Степанов А.Г. Динамика машин
Подождите немного. Документ загружается.
ДИССИПАТИВНЫХ СВОЙСТВ СИСТЕМЫ
Предположим, что в реальной машине отсутствуют силы, связанные с рассеиванием
энергии. Тогда коэффициент, характеризующий диссипативные свойства системы, µ
2
будет
равен нулю и уравнение (4.3) примет вид
( )
′′
+ =∆ ∆ω
2
2
2
a t .
(4.4)
4.1.1. ВОЗМУЩАЮЩЕЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ К МАШИНЕ ПРИКЛАДЫВАЕТСЯ
СТУПЕНЬЮ
Если к машине прикладывается возмущающее воздействие ступенью, которое в
процессе остается постоянной величиной, то замедление (ускорение) a
2
(t) - постоянно, т. е.
a
2
(t) = a
2
= const. Допущение, что силы, приложенные к массам, остаются постоянными,
соответствует реальным условиям эксплуатации многих машин. Например, движущееся
усилие асинхронного двигателя с фазным ротором при пуске на каждой ступени изменяется
от величины F
1
до F
2
(F
2
и F
1
- верхнее и нижнее усилия переключения). Однако, для
некоторых случаев можно допустить, что среднее усилие при пуске
21р
FFF
–
=
есть
величина постоянная. Такое усилие для привода постоянного тока может быть задано
системой автоматического регулирования. Для многих машин тормозное усилие можно
считать постоянной величиной. Как правило, в этом случае длительность динамического
процесса торможения значительно больше времени срабатывания тормоза, так как величина
тормозного усилия по отношению к статическому небольшая и тормоз предназначен для
остановки и стопорения. Если статическое сопротивление постоянно, то уравнение (4.4)
имеет вид
.
2
2
2
a=∆ω+∆
′′
(4.5)
Эта зависимость является классическим уравнением, характеризующим
вынужденные колебания системы при отсутствии демпфирования [13]. Поскольку корни
характеристического уравнения комплексные, то общее решение уравнения (4.5) примет
вид
∆ = + +С t С t
a
1 2 2 2
2
2
2
sin cos ,ω ω
ω
(4.6)
′
= −∆ С t С t
1 2 2 2 2 2
ω ω ω ωcos sin .
(4.7)
Постоянные интегрирования С
1
и С
2
, определенные из начальных условий т.е. при t = 0, ∆ =
0, ∆′= 0 равны
С
a
1 2
2
2
0= = −; . С
ω
Тогда уравнения (4.6), (4.7) можно записать
( )
∆ = −
a
t
2
2
2 2
1
ω
ωcos ,
(4.8)
′
∆ =
a
2
ω
ω
2
2
sin .t
(4.9)
Примем силу вредного сопротивления P
y
равной нулю. Из системы (4.2) видно, что
,;
2
∆−=
′′
∆=
′′
x
y
y
y
m
c
ax
m
c
y
131
131
или
( )
′′
=
+
−y
m
m m
a t
x
x y
2 2
1 cos ,ω
(4.10)
′′
=
+
+
x
m
m m
a
m
m
t
x
x y
y
x
2 2
1 cos .ω
(4.11)
Обозначим
m
m m
a
F
m m
a
x
x y x y
+
=
∑
+
=
2
,
где a - замедление (ускорение) машины под воздействием суммы сил
∑ F
, при допущении,
что все массы сосредоточены в одной материальной точке, т. е. машина представлена
системой с одной степенью свободы. Вокруг этой величины совершают колебания массы
m
y
и m
x
.
Уравнения (4.10) и (4.11) можно представить в виде
( )
;cos1
2
tay
ω
−=
′′
(4.12)
+=
′′
t
m
m
ax
x
y
2
cos1
ω
(4.13)
Скорости масс равны:
;sin
2
2
0
t
a
atvy
ω
ω
−+=
′
(4.14)
′
= + +x v at
am
m
t
y
x
0
2
2
ω
ωsin
(4.15)
где v
0
- скорость в начальной момент переходного процесса, м⋅с
-1
.
На рис 4.2 показаны процессы торможения машины при разных соотношениях m
x
/m
x
.
Рис. 4.2. Процесс торможения машины
Х
'
и
Х
"
п
р
и
М
у
=
М
х
1
-
м
а
с
с
о
в
а
я
У
'
и
У
"
п
р
и
М
у
=
М
х
У
'
и
У
"
п
р
и
М
у
=
1
,
5
М
х
У
"
п
р
и
М
у
=
0
,
5
М
х
-
8
.
0
0
-
4
.
0
0
0
.
0
0
4
.
0
0
8
.
0
0
1
2
.
0
0
У
с
к
о
р
е
н
и
е
,
м
/
с
С
к
о
р
о
с
т
ь
,
м
/
с
2
3
π
2
π
π
132
132
Допустим, машина представлена одно-массовой системой, а тормозное усилие
прикладывается ступенью. Под воздействием этого усилия замедление машины
a = 2 м⋅с
-2
. Скорость и замедление, характеризующие квазидинамический процесс (все
массы сосредоточены в одной материальной точке) показаны прямыми пунктирными
линиями.
Замедление массы m
y
изменяется от нуля и через полпериода (ωt = π) достигает
двукратной величины по отношению к a. Скорость массы m
y
на отрезке 0 - π больше
скорости машины.
Замедление массы m
y
колеблется вокруг прямой, соответствующей процессу для
одно-массовой системы, при этом амплитуда колебаний зависит от соотношения масс
m
y
и m
x
. При m
y
= m
x
, в момент приложения к массе m
x
усилия ступенью, замедление ее
равно 2a. (кривая 1). Через четверть периода
( )ω
π
t =
2
замедления масс m
y
и m
x
равны, а
через полпериода
′′
=x 0,
а
′′
=y a2 .
(кривая 3). При уменьшении отношения
m
m
y
x
амплитуда колебаний массы m
x
уменьшается. При
m
m
y
x
= 0 5, ,
максимальное замедление
массы m
x
равно 1,5 a. (кривая 5).
Если если масса m
y
> m
x
, замедление
′′
y
может достигать величины более 2a и в
отдельные моменты времени (ω
2
t = π; 3π) менять знак (кривая 4).
При
m
m
y
x
= 15,
замедление
x
′′
изменяется в пределах от -2,5a до + 0,5a
(от -5 м⋅c
-2
до +1,0 м⋅с
-2
) (кривая 4), т. е. при ωt = π масса m
x
разгоняется с ускорением 1
м⋅с
-2
. В момент остановки массы m
x
замедление x″ приобретает нулевое значение, а скорость
и замедление массы m
y
имеют значения
′
y
0
и
′′
y
0
, определяемые начальными условиями.
Пример 4.1. Исследовать процесс пуска вентиляторной установки. Рабочее колесо
вентилятора посажено на вал диаметром 0,3 м. Длина вала 4 м. Момент инерции
вентилятора 6250 кг⋅м
2
. Вентилятор имеет привод мощностью 500 кВт, с частотой вращения
500 об⋅мин
-1
и моментом инерции 2150 кг⋅м
2
. Эквивалентная схема такой установки
представлена на рис. 4.3. Будем считать, что рабочее колесо вентилятора имеет момент
инерции J
y
, а ротор электродвигателя J
x
.
Введем координаты отсчета ϕ
y
и ϕ
x
. На рабочее колесо вентилятора действует
момент сопротивления M
ст
, равный по величине номинальному моменту электродвигателя.
Привод во время пуска развивает постоянный момент γM
дв
. Перегрузочная способность
электродвигателя γ = 1,8. Номинальный момент, развиваемый электродвигателем,
определяется
M g
P
n
н
= = ⋅ =975 975 9 81
500
500
9750,
Н⋅м; следовательно, M
ст
= 9750 Н⋅м, M
дв
=
1,8⋅9750 = 17550 Н⋅м.
133
133
Рис. 4.3. Эквивалентная схема вентиляторной установки
Жесткость вала при кручении c
к
c
G
L
J
к
сд
n
= =
⋅
⋅ = ⋅
8 1 10
4
0 1 0 3 16 4 10
10
4 6
,
, , ,
Нм.
Где G
сд
= 8,1⋅10
10
Н⋅м
-2
- модуль упругости углеродистой стали при сдвиге;
J
n
= 0,1 d
4
- полярный момент инерции круглого вала;
L = 4 - длина вала, м.
Используя принцип Даламбера, математическую модель рассматриваемой схемы можно
записать
( )
J M M
J M M
M c
x x дв y
y y y ст
y к н
′′ = −
′′
= −
= −
÷
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
,
,
.
Эти уравнения аналогичны уравнению (4.1) и приводятся к уравнению (4.5)
′′
+ =∆ ∆ω
2
2
2
a
,
где
,
1
2
c2,101
62502150
62502150
6
104,16
−
=
⋅
+
⋅=
+
=ω
y
J
x
J
y
J
x
J
r
c
.с6,6
6250
9750
2150
17550
2
2−
=−=−=
y
J
M
x
J
M
a
стдв
Решение этого уравнения есть зависимость (4.8)
( )
∆ = −
a
t
2
2
2
2
1
ω
ωcos .
Ускорения масс m
x
и m
y
определяются
( )
( )
′′
= −
′′
= +
ϕ
ϕ
x
x
дв к
y
y
ст к
J
M c
J
M c
1
1
∆
∆
,
.
Характеристики колебательного процесса при
пуске вентилятора показаны на рис.
4.4.
134
134
ϕ
ϕ
0 . 0 0 0 . 1 0 0 . 2 0
В р е м я , с
- 5 . 0 0
0 . 0 0
5 . 0 0
1 0 . 0 0
У с к о р е н и е , м / с
2
"
"
x
y
Рис. 4.4. Характеристики колебательного процесса
Видно, что
′′
ϕ
x
и
′′
ϕ
y
имеют высокочастотные колебания ω = 101,2 c
-1
с периодом
T = =
2
0 062
π
ω
, c.
Угловая скорость, соответствующая максимальной частоте вращения равна
,
1-
c3,52
30
=
π
=
n
max
v
следовательно, время разгона будет
T
v
a
р
max
= =
1
7 9, . c
Если этот график
представить в функции ω
2
t, то он будет аналогичен процессу, показанному на рис. 4.2.
4.1.2. ВОЗМУЩАЮЩЕЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ ПРИКЛАДЫВАЕТСЯ К МАШИНЕ ПО
ЛИНЕЙНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ
В разделах (1.4), (1.5) были рассмотрены механические характеристики машин и их
приводов. Показано, что некоторые машины имеют линейные механические
характеристики, а для многих машин, с достаточной точностью для инженерной практики,
эти характеристики можно линеаризовать.
Линейная характеристика изменения движущего или тормозного усилия показана на
рис. 4.5. Текущее значение усилия F(t) запишется
( )
F t
F
t
t
н
= ,
(4.16)
где F - установившееся значение усилия, Н;
t
н
- время нарастания усилия, с.
Рис. 4.5. Линейная характеристика F (t)
Тогда уравнение (4.4) будет
′′
+ =∆ ∆ω ρ
2
2
1
t,
(4.17)
F
F
t
t
н
135
135
где
ρ
1
2
= =
F
t m
a
t
н x н
- рывок, характеризующий скорость изменения ускорения (замедления)
массы m
x
, м⋅с
-3
.
Уравнение (4.17) - неоднородное линейное дифференциальное второго порядка с
постоянными коэффициентами. Общее решение находим аналогично уравнению (3.24).
Общее решение однородного уравнения при комплексных корнях
характеристического уравнения будет аналогичным решению уравнения (3.5) без правой
части, т. е.
∆ = +С t С t
1 2 2 2
sin cos .ω ω
Частное решение уравнения (4.17) будем искать в виде
∆
∗
= С t
3
.
Тогда
′
=
′′
=
∗ ∗
∆ ∆С
3
0; .
Подставив эти значения в уравнение (4.17), определим
С
3
1
2
2
=
ρ
ω
,
тогда искомое решение
запишем
∆ = + +С t С t t
1 2 2 2
1
2
2
sin cos ,ω ω
ρ
ω
(4.18)
′
= − +∆ С t С t
1 2 2 2 2 2
1
2
2
ω ω ω ω
ρ
ω
cos sin .
(4.19)
Постоянные интегрирования С
1
и С
2
, определенные из начальных условий- t = 0, ∆ = 0,
′
=∆ 0
- равны
.0;
2
3
1
1
=−= С„
ω
ρ
Уравнения (4.18) и (4.19) примут вид
∆ = −
ρ
ω ω
ω
1
2
2
2
2
1
t tsin ,
(4.20)
( )
′
= −∆
ρ
ω
ω
1
2
2 2
1 cos .t
(4.21)
Зная, что
′′
=y
c
m
y
y
∆
и
′′
= −x t
c
m
y
x
ρ
1
∆
получим
′′
= −
y t tρ
ω
ω
1
2
2
sin ,
(4.22)
′′
= +
x t
m
m
t
y
x
ρ
ω
ω
1
2
2
sin .
(4.23)
Здесь
( )
ρ =
+
=
F
t m m
a
t
н x y
н
- рывок, характеризующий скорость изменения ускорения
(замедления) машины, представленной одно-массовой механической системой, м⋅с
-3
.
Интегрируя (4.22) и (4.23), получим закономерности изменения скоростей масс m
y
и
m
x
.
136
136
( )
′
= + + −
y v
t
t
0
2
2
2 2
2
1
1ρ
ω
ωcos ,
(4.24)
( )
′
= + − −
x v
t
m
m
t
y
x
0
2
2
2 2
2
1
1ρ
ω
ωcos
. (4.25)
Где v
0
- скорость масс в начале процесса, м⋅с
-1
.
По истечении времени нарастания t
н
усилие достигнет установившейся величины F и
дальнейший процесс будет совершаться при постоянном возмущающем воздействии.
Параметры колебательного процесса будут определяться уравнениями (4.20) - (4.25) при
значении времени t = t
н
, в частности,
( )
∆
∆
н н н
н н
t t
t
= −
′
= −
ρ
ω ω
ω
ρ
ω
ω
1
2
2
2
2
1
2
2 2
1
1
sin ,
cos .
Уравнение (4.17) примет вид
′′
+ =∆ ∆ω
2
2
2
a .
Полученное уравнение аналогично уравнению (4.5) и его решениями будут
зависимости (4.6) и (4.7). Мысленно перенесем начало координат процесса в точку,
соответствующую времени t
н
, т. е. в приведенных ниже зависимостях текущее значение
времени изменяется от нуля.
Постоянные интегрирования С
1
и С
2
, определенные из начальных условий - t = 0, ∆ =
∆
н
,
′
=
′
∆ ∆
н
- равны
( )
С
m
c
a
t
t
С a
m
c
t
t
m
c
a
t
t
y
y
н
н
y
y
y
н
y
y
н
н
1
2
2
2
2
2
2
2
1
=
−
= =
cos
,
sin
sin
.
ω
ω
ω
ω
ω
ω
Постоянные интегрирования С
1
и С
2
можно представить в виде
С A С A
1 2 2 2 2 2
= =sin ; cosθ θ
, тогда, очевидно,
A С С
2 1
2
2
2
= + ,
2
1
2
arctg
С
С
=
θ
.
Подставив значения С
1
и С
2
, получим
A a
m
c t
t
t
t
y
y н
н
н
н
2
2
2 2
2
2
2 1
1
= − =
−
ω
ω θ
ω
ω
( cos ) ; tg
cos
sin
.
Обратим внимание на тот факт, что функция
1− cos ωt
н
всегда положительная,
следовательно, подкоренное выражение также всегда положительная величина.
137
137
Известно, что
1 2
2
2
− =cos sinω
ω
t
t
н
н
[24], тогда
.tg
sin
1
arctg;
2
2
sin
2
2
2
2
2
2
−==
’
’
’
’
x
y
tс
t
t
t
m
m
aA
ω
ω
θ
ω
ω
Уравнения (4.6), (4.7) можно записать
∆
∆
= + +
′
= −
A t A t
a
A t A t
2 2 2 2 2 2
2
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
sin sin cos cos ,
sin cos cos sin .
θ ω θ ω
ω
ω θ ω ω θ ω
Или
( )
∆ = − +A t a
m
c
y
y
2 2 2
cos ,θ ω
(4.26)
( )
′
= −∆ A t
2 2 2 2
ω θ ωsin .
(4.27)
В этих уравнениях A
2
- амплитуда колебаний, м; θ
2
- разность фаз или фазовый угол
колебаний, рад.
Если ввести обозначение
A
t
t
н
н
=
sin
ω
ω
2
2
, тогда
A a
m
c
A
y
y
2
=
. Запишем уравнения
(4.26), (4.27) в виде
( )
[ ]
,cos1
22
tA
c
m
a
y
y
ω−θ+=∆
(4.28)
( )
.sin
222
tA
c
m
a
y
y
ω−θω=∆
′
(4.29)
Используя известные зависимости
′′
=y
c
m
y
y
∆
и
′′
= −x a
c
m
y
x
2
∆
, получим
( )
[ ]
,cos1
22
tAay ω−θ+=
′′
(4.30)
( )
.cos1
22
ω−θ−=
′′
tA
m
m
ax
x
y
(4.31)
138
138
Из уравнений (4.30), (4.31) видно, что колебания замедлений (ускорений) масс
совершается вокруг величины a, при этом амплитуды
′′
y
зависят только от величины A, а
x" определяется также отношением m
y
и m
x
. Проинтегрировав (4.30) и (4.31) получим
( )
,sin
22
2
0
tA
a
atvy ω−θ
ω
++=
′
(4.32)
( )
.sin
22
2
0
tA
m
m
a
atvx
x
y
ω−θ
ω
−+=
′
(4.33)
Пример 4.2. Построить графики переходных процессов для машины имеющей: m
x
=
60570 кг; m
y
= 18840 кг; c
y
= 1,54⋅10
5
Н⋅м
-1
; F = -79,4 кН; v
0
= 12 м⋅с
-1
; ω
2
= 3,27 c
-1
.
Время нарастания тормозного усилия принять равным соответственно: 0,5T; T; 1,5T;
2T.
Период колебаний T = 2π/ω
2
= 1,92 с.
Процессы характеризуются уравнениями
при 0< t< t
н
:
′′
= −
′′
= +
y t t
x t
m
m
t
y
x
ρ
ω
ω
ρ
ω
ω
1
1
2
2
2
2
sin ,
sin ,
при t > t
н
:
( )
[ ]
( )
′′
= + −
′′
= − −
y a A t
x a
m
m
A t
y
x
1
1
2 2
2 2
cos ,
cos .
Θ
Θ
ω
ω
Значения коэффициентов приведены в табл. 4.1.
Таблица 4.1
Расчетные значения параметров
t
н
, с 0,5T = 0,96 1T = 1,92 2T = 3,84
ρ, м⋅с
-3
1,04 0,52 0,26
a, м⋅с
-2
1,0 1,0 1,0
A 0,636 0 0
θ, рад 0,5π
0 0
Процессы замедлений на фоне тормозных характеристик показаны на рис. 4.6, а и б.
139
139
y
y
x
x
0 . 0 0 1 . 0 0 2 . 0 0 3 . 0 0 4 . 0 0 5 . 0 0
- 2 . 0 0
- 1 . 0 0
0 . 0 0
0 . 0 0
4 0 . 0 0
8 0 . 0 0
т о р м о з н о е у с и л и е , к Н
З а м е д л
е н и е , м / с
0 . 0 0 1 . 0 0 2 . 0 0 3 . 0 0 4 . 0 0 5 . 0 0
- 2 . 0 0
- 1 . 0 0
0 . 0 0
0 . 0 0 1 . 0 0 2 . 0 0 3 . 0 0 4 . 0 0 5 . 0 0
0 . 0 0
4 0 . 0 0
8 0 . 0 0
2
Т о р м о з н о е у с и л и е , К н
З а м е д л е н и е , м / с
2
В р е м я , с В р е м я , с
"
"
2
1
1
2
y
x
y
x
3
3
4
4
"
"
"
"
"
"
F 1 F 2
F 3
F 4
а б
Рис. 4.6. Процессы торможения при линейной тормозной характеристике:
а - t
н
= 0,5T; б - t
н
= 1,5T и t
н
= 2T
При времени нарастания тормозного усилия за полпериода (t
н
= 0,5T) в системе
формируются колебания замедления y″ с амплитудой (1 + 0,636) м⋅с
-2
. Колебания x″
совершаются в противофазе y″, а амплитуда определяется величиной A и соотношением
масс m
y
/m
x.
При нарастании тормозного усилия за время кратное периоду колебаний t
н
= T и
t
н
= 2T переходный процесс заканчивается без колебаний. При времени нарастания
тормозного усилия, отличающемся от времени, которое кратно периоду колебаний в
системе снова наблюдается колебательный процесс.
4.1.3. АМПЛИТУДА КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА
Из уравнения (4.12), а также из рис. 4.2 видно, что если к массе m
x
приложить усилие
ступенью, то амплитудное значение ускорения достигает двукратной величины по
сравнению с ускорением машины, представленной одно-массовой механической системой.
Если же к машине прикладывается усилие по линейному закону (см. рис. 4.5), то
амплитудные значения колебательного процесса и сдвиг фаз определяется уравнениями
A
t
t
arc tg
t
t
н
н
н
н
= =
−
sin
;
cos
sin
.
ω
ω
θ
ω
ω
2
2
2
2
2
2
2
1
(4.34)
Было отмечено, что величина A всегда положительна и зависит только от времени
нарастания усилия, т. е. от интенсивности возмущающего воздействия.
Из уравнения (4.34) видно, что при ω
2
t
н
= 2π, 4π, 6π ... A = 0, следовательно, при
приложении усилия к машине за время кратное периоду колебаний (t
н
= T, 2T, 3T ...),
амплитуда колебательного процесса будет равна нулю. Этот вывод имеет чрезвычайно
большое значение для достижения минимальных динамических нагрузок в машинах.
140
140