
Вища математика
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
32
Ця теорема за програмою подається без доведення. Розглянемо
її геометричну ілюстрацію (рис. 2.1). В останньому прикладі загальний
інтеграл у = С/х геометрично зображується сімейством гіпербол, а
частинний інтеграл, визначений початковою умовою, зображується
однією з цих гіпербол, яка проходить через точку Μ
0
(2;1).
Диференціальні рівняння першого порядку:
- диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними
. Щоб
знайти розв'язок рівняння
)y(g)x(fy =
, треба обидві його частини
помножити (поділити) на такий вираз, щоб в одну частину рівняння
входила тільки змінна х, а в другу - тільки змінна у, а потім
проінтегрувати обидві його частини.
Записавши задане рівняння у вигляді: dy/dx = f(x)·g(y),
дістаємо dy/g(y) = f(х)dx і
∫∫
= dx)x(f)y(g/dy
.
Розв'язуючи рівняння з відокремлюваними змінними, треба
пам'ятати, що від ділення обох частин рівняння на вираз, який містить
x і у, можна "втратити" розв'язки, що перетворюють цей вираз у нуль.
Приклад.
Розв'язати рівняння
y1yxy =+
.
Розв'язання
. Запишемо рівняння у вигляді ху(dy/dx) = у – 1.
Послідовно поділивши обидві частини рівняння на х(у – 1) і помноживши
на dx, дістанемо уdy/(y – 1) = dx/x.
Змінні відокремлено. Проінтегруємо обидві частини рівняння:
∫∫
=− x/dx)1y/(ydy
;
∫∫ ∫
=−+ x/dx)1y/(dydy
;
| 1| | |
+ − = +
;
Cxe)1y(
y
=−
.
Остання рівність, яка встановлює вигляд залежності між
змінними х, у, і є загальним розв'язком диференціального рівняння.
Виконуючи ділення, припускали, що
0x
і
1y
. Тобто могли
"втратити" розв'язки х = 0 і у = 1. Підставляючи х = 0 і у = 1 у вихідне
рівняння, переконуємось, що у = 1 є його розв'язком, а х = 0 ні.
Диференціальне рівняння
)cbyax(fy ++=
, де а, b і с - дані
числа, заміною
cbyaxu ++=
зводиться до рівняння з
відокремлюваними змінними.
Приклад
. Розв’язати рівняння
2
)yx(y +=
′
.
Розв’язання. Покладемо
, тоді
y1u
+=
або
2
u1
dx
du
+=
, звідки
dx
u1
du
2
=
+
.
∫ ∫
=
+
dx
u1
du
2
.
, тобто
cx)yx(arctg +=+
;