Станішевський С.О. Вища математика. Конспект лекцій. Модуль 2
Подождите немного. Документ загружается.
Вища математика
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
101
2 2
2 2
z x y ,
z 6 x y .
= +
= − −
;
2 2 2 2
x y 6
х у
+ = − −
.
2 2
x y t
+ =
;
t 0
≥
;
2
t 6 t
= −
;
1,2
1 1 24 1 5
t
2 2
− ± + − ±
= =
;
1
t 2
=
;
2
t 3
= −
. Отже,
2 2
x y 2
+ =
;
2 2
x y 4
+ =
.
ЛЕКЦІЯ № 24
Задачі механіки. Нехай речовину неперервно розподілено в
тривимірній області
G
з густиною
(
х
,
у
,z ) ( N )
γ γ
=
. Розділемо
G
на
елементарні частини. Маса відповідної елементарної частини дорівнює
dm dV
γ
=
, де
dV dxdydz
=
– елемент об’єму в декартовій системі
координат. Елементарні статичні моменти відносно координатних
площин визначаються рівностями
xy
dM zdm
=
;
yz
dM xdm
=
;
xz
dM ydm
=
.
Після граничного переходу маса і статичні моменти тіла,
якому відповідає область
G
, визначаються відповідними формулами:
тС
m dV
γ
= ∫ ∫ ∫
;
т
xy
С
M z dV
γ
= ∫ ∫ ∫
;
т
yz
С
M x dV
γ
= ∫ ∫ ∫
;
т
х
z
С
M
у
dV
γ
= ∫ ∫ ∫
. (4.34)
Координати центра маси
c c c
( x ,y ,z )
тіла задовольняють
співвідношення
c yz
x M / m
=
,
c xz
y M / m
,
c xy
z M / m
=
, (4.35)
згідно з визначенням цього поняття.
Елементарні моменти інерції відносно координатних осей
дорівнюють:
2 2
x
dI ( y z )dm
= +
;
2 2
у
dI (
х
z )dm
= +
;
2 2
z
dI (
х
y )dm
= +
,
де
2 2
y z
+
,
2 2
х
z
+
,
2 2
х у
+
– квадрати віддалей точки
N( x,y,z )
від
відповідної вісі
Ох
,
Оу
,
Oz
. Згідно з визначенням, моментом інерції
системи точок відносно осі називають суму добутків мас цих точок на
квадрати їх віддалі до осі. Отже, моменти інерції всього тіла
дорівнюють:
2 2
x
G
I ( y z ) dV
γ
= ∫ ∫ ∫ +
;
2 2
у
G
I (
х
z ) dV
γ
= ∫ ∫ ∫ +
;
2 2
z
G
I (
х
y ) dV
γ
= ∫ ∫ ∫ +
. (4.36)
Момент інерції тіла відносно початку координат:
2 2 2
0
G
I (
х у
z ) dV
γ
= ∫ ∫ ∫ + +
. (4.37)
Вища математика
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
102
Приклад. Знайти центр маси однорідного тіла, обмеженого
параболоїдом
2 2
2z x y
= +
і кулею
2 2 2
x y z 3
+ + =
.
Розв’язання
. Маємо тіло обертання навколо осі
Oz
(рис. 4.25).
Тіло однорідне, тому візьмемо
( x,y,z ) 1
γ
=
. Оскільки вісь
Oz
є віссю
симетрії тіла, то
c c
x y 0
= =
. Отже, шуканою є величина
c
z
.
Рис. 4.25
Але спочатку знайдемо проекцію лінію перетину даних
поверхонь з системи:
2 2 2
2 2
x y z 3,
x y 2z.
+ + =
+ =
2
2z z 3
+ =
;
2
z 2z 3 0
+ − =
;
1,2
z 1 1 3 1 2
= − ± + = − ±
;
1
z 1
=
;
2
z 3
= −
.
З другого рівняння виходить, що
z 0
≥
. Отже, лінія перетину
даних поверхонь є коло
2 2
х у
2
+ =
, яке проектується на площину
xOy
в область інтегрування
D
з межами:
2 x 2
− ≤ ≤
;
2 2
2
х у
2
х
− − ≤ ≤ −
. Оскільки тіло має осьову симетрію, то
розглянемо її четверту частину, розташовану у першому октанті. За
формулою (4.34) маємо:
2 2
2
2 2
3 x y
2 2 x
G 0 0
x y
2
m dV 4 dx dy dz
− −
−
+
= ∫ ∫ ∫ = ∫ ∫ ∫ =
2
2 2
2 2 x 2
2 2 2 3
0 0 0
x y
4 dx 3 x y dy 2 ( 3 / 3)d
2
π ρ ρ ρ ρ
−
+
= ∫ ∫ − − − = ∫ − − =
2 3/ 2 4
2
2 ((3 ) / 3 / 8 )
0
π ρ ρ
= − − +
2 ( 3 5 / 6 )
π
= −
. У повторному
Вища математика
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
103
інтегралі перейшли до полярної системи координат:
x cos
ρ ϕ
=
;
y sin
ρ ϕ
=
;
dxdy d d
ρ ρ ϕ
=
. Цей перехід виконайте самостійно.
За формулою (4.35) обчислимо аналогічно статичний момент:
2 2
2
2 2
3 x y
2 2 x
xy
G 0 0
x y
2
M zdV 4 dx dy z dz
− −
−
+
= ∫ ∫ ∫ = ∫ ∫ ∫ =
2 2
2
2 2
3 x y
2 2 x
2
0 0
x y
2
2 dx z dy
− −
−
+
= ∫ ∫ =
2
2 2 2
2 2 x
2 2
0 0
( x y )
2 dx 3 ( x y ) dy
4
−
+
= ∫ ∫ − + − =
2
2
2 3 4 2 3 5
0
2 x
2 (3y x y y / 3 ( x y 2x y / 3 y / 5)) dx
0
−
= ∫ − − − + + =
2
2 4 2
0
4
(16 6x x ) 2 x dx I
15
= ∫ − − − =
.
У останньому інтегралі зробимо заміну змінної:
x 2 sint
=
,
dx 2 costdt
=
, де
t 0,
2
π
∈
.
Отримаємо:
2
2 4 2
0
4
I (16 12sin t 4 sin t )2cos tdt
15
π
= ∫ − − =
2
2
0
4 5
(16 6(1 cos2t ) (1 cos2t ) (1 cos2t )dt
15 3
π
π
= ∫ − − − − + =
.
Інтегрування тригонометричного виразу у останньому інтегралі
виконайте самостійно. За формулою (4.35) обчислюємо:
c xy
5
z M / m /(2 ( 3 5 / 6 )) 5 /(6 3 5)
3
π π
= = − = −
. Центр маси даного
тіла міститься у точці
(0;0;5 /(6 3 5))
−
.
Приклад. Знайти момент інерції однорідного
( 1)
γ
=
циліндричного тіла, висота якого
Н
, а радіус основи
R
, відносно вісі,
яка є діаметром основи циліндра.
Розв’язання
. Нехай вісь
О
z
напрямлена вздовж вісі циліндра;
основа циліндра лежить у площині
Оху
( z 0 )
=
і центр основи
Вища математика
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
104
збігається з початком координат (рис. 4.26). Момент інерції тіла
будемо шукати відносно осі
Оу
.
y
z
x
0
D
R
R
H
Рис. 3.26
Скористаємося формулою (4.36). Область
D
являє собою
коло
2 2 2
x y R
+ =
.
Отже,
2 2
R R x H
2 2 2 2
y
G 0 0 0
I ( x z )dV 4 dx dy ( x z )dz
−
= ∫ ∫ ∫ + = ∫ ∫ ∫ + =
2 2
R R x R
2 3 2 2 2 2
0 0 0
H
4 dx ( x z z / 3) dy 4H R x ( x H / 3)dx I
0
−
= ∫ ∫ + = ∫ − + =
.
Зробимо заміну змінної:
x R sint
=
;
dx Rcostdt
=
, де
[
]
t 0; / 2
π
∈
.
2 2 2
2 2 2 2 2 4 2 3 3
0 0 0
4
I 4HR cos t( R sin t H / 3)dt HR sin 2tdt H R dt
3
π π π
= ∫ + = ∫ + ∫
4
2
3 2
0
HR 4
(1 cos4t )dt H R t
2
2 3
0
π
π
= ∫ − + =
4
3 2
HR sin4t 4
t H R
2
2 4 3 2
0
π
π
− + ⋅ =
4
3 2 2 2 2
HR 2
H R (3R 4H ) R H / 12.
2 2 3
π
π π
= ⋅ + = +
Отже, момент інерції даного тіла відносно осі
Oy
, яка є
діаметром основи циліндра, дорівнює
2 2 2
(3R 4H ) R H / 12
π
+
.
Вища математика
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
105
РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Физматгиз, 1959. - 432 с.
2. Привалов И.И. Аналитическая геометрия. - М.: Физматгиз, 1961. -
300 с.
3. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. - М.:
Физматгиз, 1963. - 748 с.
4. Цубербиллер О.М. Задачи и упражнения по аналитической
геометрии. - М.: Физматгиз, 1966. - 336 с.
5. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического
анализа. Для ВТУЗОВ - М.: "Наука", 1973. - 720 с.
6. Російсько-український словник. – К.: "Радянська школа", 1979. -
1012 с.
7. Берман Γ.Η. Сборник задач по курсу математического анализа. -
М.: "Наука", 1985. - 384 с.
8. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.
Т.1,
ч.2: Учебное пособие для втузов. - М.: «Наука», 1985. – С.
430, 560.
9. Ципкін О.Г. Довідник з математики для середніх навчальних
закладів. – К.: "Вища школа", 1988. - 414 с.
10. Вища математика. Основні розділи. Книга 1. За ред. проф.
Г.Л.Кулініча. – К.: Либідь, 1995. – 372 с.
11. Вища математика. Спеціальні розділи. Книга 2. За ред. проф.
Г.Л.Кулініча. – К.: Либідь, 1996. – 336 с.
12. Печеніжський Ю.Є., Станішевський С.О., Тихонович О.Ю.
Посібник для розв’язування задач з вищої математики. – Х.:
ХНАМГ, 2003. – 125 с.
13. Станішевський С.О. Вища математика. – Х.: ХНАМГ, 2005. – 270
с.
14. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика. – К.: „Вид-во А.С.К.”,
2003. – 648 с.
15. Короткий російсько-український математичний словник.
Печеніжський Ю.Є., Колосов А.І., Станішевський С.О. – Х.:
ХНАМГ, 2008. – 100 с.
Вища математика
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
106
ЗМІСТ
Передмова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Тема 1. Визначений інтеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Лекція № 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Лекція № 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Лекція № 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Лекція № 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
Лекція № 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Лекція № 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Тема 2. Звичайні диференціальні рівняння . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Лекція № 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Лекція № 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
Лекція № 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
Лекція № 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Лекція № 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Тема 3. Функції кількох змінних. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Лекція № 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Лекція № 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Лекція № 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Лекція № 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Лекція № 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Тема 4. Кратні інтеграли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Лекція № 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Лекція № 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Лекція № 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Лекція № 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Лекція № 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Лекція № 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Лекція № 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Лекція № 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Список літератури. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
Вища математика
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
107
Навчальне видання
ВИЩА МАТЕМАТИКА
КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ
МОДУЛЬ 2
Напрям підготовки 6.060101
Автор: Степан Олександрович Станішевський
Редактор: М.З. Аляб'єв
План 2009, поз. 68Л
Підп. до друку 25.04.2009 р.
Папір офісний
Тираж 100 прим.
Замовл. №
Формат 60х84 1/16
Умовн.-друк. арк. 4,7
Друк на ризографі
61002, ХНАМГ, Харків, вул. Революції, 12
_____________________________________________________________
Сектор оперативної поліграфії ЦНІТ ХНАМГ
61002, ХНАМГ, Харків, вул. Революції, 12