Сологаев В.И. Прогнозы и моделирование подтопления и дренирования в городском строительстве

Подождите немного. Документ загружается.

( 26)

Здесь x, y, z — декартовы координаты, причем z по вертикали; r — го-

ризонтальная цилиндрическая координата; h

— фильтрационный напор в

i-том слое; i = 1 для верхнего слоя; i = 2 для нижнего слоя;



— коэффици-

ент анизотропии для i-того слоя; k

— коэффициент фильтрации в верти-

кальном направлении для i-того слоя; k

, k

Гi

— коэффициенты фильт-

рации в горизонтальном направлении для i-того слоя.

Условие на свободной поверхности УПВ, находящейся в верхнем слое,

было записано А.Ж. Муфтаховым в линеаризованном виде [152]

( 27)

где



— обобщенная координата,



= x для плоской в разрезе фильтрации,



= r для осесимметричной;



— коэффициент водоотдачи или недостатка

насыщения верхнего слоя соответственно при понижении или повышении

УГВ;



— инфильтрационное питание водоносного пласта, зависящее от

координаты



. Величину



называют также дополнительной инфильтра-

цией или интенсивностью дополнительной инфильтрации [204]. Обратим

внимание, что напор на свободной поверхности записан как h

, а не H

, то

есть он отсчитывается от горизонтальной плоскости 0-0, проведенной че-

рез подстилающий грунтовые воды водоупор.

Отметим, что дифференциальные уравнения изотермической фильтра-

ции газа [19, 206] впервые получил Л.С. Лейбензон [122]. Эти уравнения

сокращенно можно записать так [19]:

( 28)

где 

— лапласиан (оператор Лапласа); k

— газопроницаемость

2 2 2

2 2

2 2 2

0; 1, 2; ;

i i i zi

i i

Гi

H H H k

x y z k

  

 

  

    

1 1 1

1 1

( )

0; .

h k h

z h

t z

   

   

    

2 2

г a

n t



 

 

пористой среды (м

);



— динамическая вязкость газа (Па·с); n

—

активная пористость (по газу).

В данном параграфе, как и в последующих, дифференциальные

уравнения фильтрации даны без выводов, так как это не входило в задачи

исследований, предпринятых в нашей работе.

Тем не менее, в дальнейшем изложении при переходе к

моделированию фильтрации на компьютере, автор применяет особый

прием осмысления дифференциальных уравнений фильтрации, связанный

с получением формул моделирования методом конечных разностей в

электронных таблицах Excel (метод автора МЭТ). Обычно [58; 223]

дифференциальные уравнения служат отправными при получении

конечно-разностных уравнений движения флюидов в пористых средах.

Однако весьма полезным является обратный способ вывода, когда

дифференциальные уравнения получаются предельным переходом из

конечных разностей. Для этого автор широко использует интегро-

балансовый принцип А.А. Самарского [223]. Такая интерпретация

исходных дифференциальных уравнений фильтрации придает их

осмыслению весьма наглядный физический смысл, помогает в верной

исходной постановке задач. Иногда уточнение исходных

дифференциальных уравнений фильтрации автор получал благодаря

первоначальному изучению соответствующих процессов с помощью

численного моделирования (см. п. 3.3.1).

Рассмотренные дифференциальные уравнения и их классификации

приведены в качестве необходимого обзора. Кроме того, в процессе

изложения представлена база понятий и определений, которые

используются в последующих гл. 3–5. Такие же соображения относятся и к

следующим параграфам данной главы. Подробное описание понятийного

аппарата потребовалось в связи с тем, что существует некоторое

несоответствие терминологии в разных сферах строительства.

2.1.2. Дифференциальные уравнения фильтрационной консолидации

Уравнения фильтрации сжимающихся грунтов относятся к теории

фильтрационной консолидации [351]. Искомой функцией в них является

поровое давление, которое можно записывать через напор в грунтовых во-

дах H, так как поровое давление есть избыточное давление в грунтовой

воде над установившимся гидростатическим давлением в естественном со-

стоянии грунта. Теоретическая основа фильтрационной консолидации не-

обходима для целей прогноза и моделирования изменения проницаемости

грунтов под влиянием тех или иных разновидностей строительства.

Уравнения фильтрационной консолидации для анизотропного грунта в

соответствии с принципом гидроемкости Н.М. Герсеванова [52] можно

представить с учетом ( 5) в следующих вариантах [84; 294]:

одномерная консолидация в вертикальном направлении

( 29 )

двухмерная плоская (в разрезе) консолидация

( 30)

трехмерная (пространственная) консолидация

( 31)

осесимметричная (пространственная, профильно-радиальная) консолида-

ция

( 32 )





;

e k

H H

t t a z

 

   



  









2 2

1 1

;

Г z

HH H H

k k

t t a x z



  

    

 

 

   

 

 









2 2 2

1 1 2

;

Г Г z

H H H H

k k k

t t a x y z



   

     

 

 

    

 

 









2 2

1 1 2

Г z

H H k H H

k k

t t a r r r z



   

     

 

 

     

 

 

Здесь H — напор в грунтовой воде; H

— напор от действия дополни-

тельной нагрузки от веса возводимого здания или сооружения; e — коэф-

фициент пористости грунта; m

— коэффициент сжимаемости (уплотне-

ния) грунта;



— коэффициент бокового давления грунта;



— удельный

вес грунтовой воды; k

— коэффициент фильтрации грунта в горизонталь-

ном направлении; k

— то же в вертикальном направлении; r — горизон-

тальная цилиндрическая координата. В данных уравнениях считают, что

жидкость несжимаема и уплотнение происходит за счет уменьшения по-

ристости грунта.

В случае «мгновенной» нагрузки от здания и сооружения в изотропных

грунтах

( 33)

Тогда уравнения ( 29 ), ( 30), ( 31) и ( 32 ) можно записать кратко с помо-

щью оператора Лапласа 

[64, с. 482; 103, с. 173] в виде аналога хорошо

известного в математической физике уравнения теплопроводности [294]:

( 34)

где а — коэффициент пьезопроводности, в данном случае определяемый с

учетом ( 5) зависимостью [294]:

( 35)

Здесь N — число измерений (1, 2 или 3). В случае осесимметричной

консолидации следует брать N = 3, так как грунт испытывает пространст-

венную деформацию.

Приведенные дифференциальные уравнения в математическом смысле

являются нелинейными. Такая особенность возникает вследствие того, что

при фильтрационной консолидации происходит сжатие грунта за счет

0, .

Г z

H t k k k

 

  

a H



 









уп

1 1 1

k e N

N a



 

   

 

 

уменьшения объема пор. Так как вода практически несжимаема, то уплот-

нение грунта происходит в основном за счет переукладки частиц его ске-

лета. Изменение коэффициента пористости приводит к одновременному

изменению коэффициента фильтрации уплотняющегося во времени грун-

та. Поровое давление внутри воды уменьшается и соответственно фильт-

рационный напор уменьшается. Процесс фильтрационной консолидации

постепенно, с течением времени, затухает. Массив же грунта дает осадку.

Изложенный процесс в виде гипотезы впервые был сформулирован К.

Терцаги [351].

Доля осадки грунта за счет фильтрационной консолидации водонасы-

щенных грунтов достигает 90-95 % [125]. Поэтому строительные нормы и

правила [231] рекомендуют определять избыточное давление в водонасы-

щенных пылевато-глинистых и биогенных грунтах методами фильтраци-

онной консолидации. Консолидация неразрывно связана с проницаемо-

стью грунта, поэтому автор рекомендует моделировать изменение коэф-

фициента фильтрации грунтов оснований с помощью МКР-Excel (МЭТ),

используя примеры из книг В.А. Флорина [294] и П.Л. Иванова [84]. См.

также пример 62 в [262] и п. 5.1 настоящей работы.

Максимально возможное уплотнение водонасыщенного грунта под

фундаментами вследствие фильтрационной консолидации можно найти по

так называемой схеме «мгновенно» загруженного фундамента [84; 294].

Эта схема дает запас и с точки зрения механики грунтов (увеличиваются

осадки фундаментов), и с точки зрения уменьшения коэффициента

фильтрации грунта под фундаментом (увеличивается барражный эффект).

В случае сильносжимаемых грунтов под фундаментами, дорогами с

динамическими нагрузками, в других экстремальных ситуациях

уменьшение k может резко усилиться. Все это, а также случаи слоистых,

анизотропных грунтов при их уплотнении можно промоделировать с

помощью нашего метода МЭТ (см. главы 4 и 5).

2.1.3. Закон диффузии влаги и дифференциальные уравнения влаготепло-

переноса

Закон диффузии Фика для изотермического влагопереноса в пористой

среде связывает скорость диффузии V

(м/сут) с коэффициентом диффу-

зии пористой среды D

(м

/сут), перепадом влажности (влагосодержания)

грунта или материала W (кг/кг) — при условии небольшого изменения

влажности W — и длиной пути диффузии L (м) так [72, с. 86; 198, с. 51;

128, с. 432; 129, с. 56; 148, с. 253; 195, с. 508]:

( 36)

Диффузия влаги в пористой среде происходит от большей влажности

к меньшей W

. В зависимости ( 36) разность влажностей (перепад)

( 37)

Закон диффузии влаги в грунте в форме (48) был использован

А.Ж. Муфтаховым, Н.П. Курановым, А.П. Шевчиком и И.М. Бывальцевым

для разработки основ проектирования вентиляционного дренажа [37; 198;

158]. Разработанная методика вошла в справочное пособие к СНиП [204].

Диффузия влаги по зависимости ( 36) относится к концентрационной

диффузии, то есть подчиняется закону Фика [128]. Другими разновидно-

стями диффузии влаги в пористых телах являются термодиффузия (эффект

Соре) [129, с. 9] и бародиффузия. Термодиффузия проявляется при значи-

тельных температурных градиентах, а бародиффузия на практике весьма

мала и ее часто не учитывают [276, с. 265].

Самыми простыми являются дифференциальные уравнения изотерми-

ческой диффузии влаги в пористой среде [128, с. 475]:

( 38)



W = W



D W



 

= D

W / L.

где 

— оператор Лапласа [103, с. 173]; W — влажность (влагосодержа-

ние) пористого тела, кг/кг; D

— коэффициент диффузии, м

/сут; t — вре-

мя, сут.

В более общем случае дифференциальные уравнения неизотермиче-

ского диффузионного влаготеплопереноса в пористой среде, следуя А.В.

Лыкову [128, с. 475], можно записать в виде

( 39)

где Т — температура, С; а

— коэффициент концентрационной диффу-

зии влаги по закону Фика, м

/сут; а

— коэффициент термодиффузии

влаги по эффекту Соре, м

/(сут·С); а

— коэффициент, пропорциональ-

ный температуропроводности по закону Фурье с учетом внутреннего ис-

парения, м

/сут; а

— коэффициент теплопереноса за счет диффузии вла-

ги по эффекту Дюфо, м

·С/сут; 

— оператор Лапласа.

Еще сложнее дифференциальные уравнения неизотермического диф-

фузионно-фильтрационного влаготеплопереноса в пористой среде, кото-

рые по А.В. Лыкову [128, с. 479] можно записать в виде такой системы

уравнений:

( 40)

где P — давление пара, образующегося из вскипающей влаги внутри по-

ристого тела при температуре выше 100 °С [55, с. 157]. Такое состояние

2 2

11 12

2 2

22 21

;

a W a T

a T a W





   







   





2 2 2

11 12 13

2 2 2

21 22 23

2 2 2

31 32 33

;

a W a T a P





     



     





     





влажного пористого тела обычно наблюдается в искусственных условиях,

например при сушке в электрическом поле высокой частоты, применяемой

в пищевой промышленности. В городском строительстве при защите от

подтопления такие условия практически не наблюдаются. Поэтому в каче-

стве основных могут быть приняты уравнения ( 38) и ( 39).

Отметим, что уравнения А.В. Лыкова ( 39) в двухмерной постановке в

вертикальной плоскости применены В.И. Федоровым [293] для решения

прогнозной задачи влаготеплопереноса в грунте обратной засыпки фунда-

ментных пазух на контакте с естественным грунтом. Выбрана декартова

система координат в вертикальном разрезе. Испарение с поверхности зем-

ли принято стационарным. Градиенты температуры были осреднены по

всему массиву грунта. Однако В.И. Федоров вовсе не моделировал данную

задачу, а выполнил ее в виде аналитических расчетов на ЭВМ.

Мы же рекомендуем моделировать уравнения ( 38) и ( 39) с помощью

нашего метода МЭТ (см. главы 4 и 5). Формулы моделирования можно по-

лучить из этих уравнений, применяя конечно-разностные аналоги диффе-

ренциальных операторов. Примеры этих аналогов можно найти в справоч-

нике [184]. Еще лучше формулы моделирования вывести с использованием

интегро-балансового принципа А.А. Самарского [222, 223], который ши-

роко использован в гл. 4 и 5 при изложении технологии МЭТ.

2.1.4. Электроосмос и его дифференциальные уравнения

Закон электроосмоса для воды связывает скорость переноса влаги V

(м/сут) с коэффициентом электроосмотической фильтрации пористой сре-

ды k

(м

/(Всут)), разностью потенциалов постоянного тока U (В) и

длиной пути фильтрации L (м) так [78; 84; 99; 124; 282]:

( 41)

= k

U / L.

Закон ( 41) является феноменологическим, так как коэффициент элек-

троосмотической фильтрации k

надежно определяется лишь опытным пу-

тем. Имеются попытки теоретического обоснования электроосмоса, кото-

рые описаны в книге [282]. Там же дана подробная библиография по

электроосмосу. К.П. Тихомолова [282] рассмотрела электроосмос как фи-

зико-химическое явление в системах упорядоченных капилляров: от оди-

ночного капилляра до порошковых многослойных диафрагм. В таком

представлении электроосмос имеет значение для изучения локальных эф-

фектов, в основном для промышленных технологий. Напротив, для техно-

логий строительного водопонижения применяют феноменологическую

теорию электроосмоса [78; 84; 99; 124], когда коэффициент k

определяют

в ходе инженерных изысканий. Именно эта теория и принята у нас для

расчетов и моделирования электроосмотического водопонижения.

По данным Б.П. Горбунова, Б.Ф. Рельтова, Р.Ж. Балли, Б.А. Ржаницы-

на, А.А. Мухина, Р.С. Зиангирова, Л. Казагранде, А. Пиасковского,

Г.М. Ломизе и Г.Н. Жинкина [78, с. 55] коэффициент электроосмотической

фильтрации для различных грунтов находится в пределах k



 (0,5…13,0)·10

–5

см

/(В·с)  (0,43…11,2)·10

–4

/(В·сут), чаще всего k



 (3…5)·10

–5

см

/(В·с)  (2,6…4,3)·10

–4

/(В·сут). По В. Кнаупе [99] k



 (3…8)·10

–5

см

/(В·с)  (2,6…6,9)·10

–4

/(В·сут). Для сравнения приводим

значения k

по данным ОАО «ОмскТИСИЗ» для 1 линии Омского метро-

политена по четвертичному суглинку павлодарской свиты, который имеет

мягко- и текучепластичную консистенцию. Данный суглинок характеризу-

ется значениями k

 (1,57…8,78)·10

–5

см

/(В·с)  (1,36…7,59)·10

–4

/(В·сут), то есть не имеет аномальных отклонений.

Г.Н. Жинкин показал [78, с. 160], что теоретически глинистый грунт

(глину, суглинок, супесь) можно осушить с помощью электроосмоса до

остаточной влажности, соответствующей пределу раскатывания

(пластичности) W

, кг/кг (стандартная влажность по массе). Однако прак-

тически снижение влажности грунта до консистенции раскатывания требу-

ет больших затрат электроэнергии. Поэтому, по результатам опытов

Г.Н. Жинкина [78], при осушении глинистого грунта с помощью электро-

осмоса целесообразно принимать остаточную влажность

( 42)

где W

— влажность грунта на пределе текучести, кг/кг.

При расчете и моделировании электроосмотического водопонижения

вместо влажности грунта по массе удобнее использовать коэффициент

электроосмотической водоотдачи грунта

( 43)

где W

— естественная (природная) объемная влажность грунта; W

ок

—

объемная влажность грунта в конце электроосмотического водопонижения

(проектный предел влажности).

Пересчитать массовую влажность W на объемную W

можно с помо-

щью следующего стандартного соотношения [300]:

( 44)

где



сух.гр.

— плотность сухого грунта, кг/м

;



— плотность воды, кг/м

Расчет электроосмотической водоотдачи грунта см. [262] (пример 32).

Электроосмотическое водопонижение рекомендуется совмещать с ва-

куумированием грунта [78; 99]. При наложении полей гравитационных на-

поров и постоянного электрического тока во влажном грунте происходит

фильтрация с суммарной скоростью [78; 99]

( 45)

где

— скорость гравитационной фильтрации по закону Дарси;

—

скорость электроосмотической фильтрации; k — коэффициент фильтрации

грунта; H — разность напоров; L — длина пути фильтрации; k

—

коэффициент электроосмотической фильтрации; U — разность

= (3W

+ W

)/4,



= W

– W

oк

= W



сух.гр.



= kH/L + k

U/L,