Сибирева А.Р. Высшая математика для студентов технических специальностей в формулах и таблицах

Подождите немного. Документ загружается.

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Ульяновский государственный технический университет

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

для студентов технических специальностей

В ФОРМУЛАХ И ТАБЛИЦАХ

( часть 1)

Методические указания

Составитель: А. Р. Сибирева

Ульяновск 2007

УДК 517 (076)

ББК 22.161я7

Рецензент доцент кафедры «Математический анализ» УгПУ, кандидат

физико-математических наук Е. В. Фолиадова

Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета

университета

Высшая математика для студентов технических специальностей в формулах

и таблицах: методические указания / сост.: А. Р. Сибирева. – Ульяновск:

УлГТУ, 2007. – 34 с.

Указания составлены в соответствии с учебной программой курса "Высшая математика" для сту-

дентов технических специальностей втуза.

Настоящие методические указания являются справочным материалом. Они содержат определения,

формулы, некоторые теоретические сведения, алгоритмы решения типовых задач. Цель работы – предста-

вить в небольшом по объему справочнике некоторые сведения по математике, необходимые при изучении

тем «Матрицы

», «Системы линейных уравнений», «Элементы аналитической геометрии», «Пределы и не-

прерывность», «Дифференциальное исчисление функций одной переменной», «Интегральное исчисление

функций одной переменной», «Дифференциальные уравнения».

Методические указания могут быть использованы студентами технических специальностей при ре-

шении задач курса «Высшая математика».

Работа подготовлена на кафедре «Высшая математика».

УДК 517 (076)

ББК

22.161я7

ПРЕДИСЛОВИЕ

Данные методические указания являются справочным материалом.

Они содержат определения, формулы, некоторые теоретические сведения,

алгоритмы решения типовых задач. Цель работы – представить в небольшом

по объему справочнике некоторые сведения по математике, необходимые

при изучении тем «Матрицы», «Системы линейных уравнений», «Элементы

аналитической геометрии», «Пределы и непрерывность», «Дифференциаль-

ное исчисление функций одной переменной», «Интегральное исчисление

функций одной переменной», «Дифференциальные уравнения».

Методические указания могут быть использованы студентами техниче-

ских специальностей при решении задач курса «Высшая математика». Сле-

дует иметь в виду, что это – не учебная книга, не краткий конспект лекций.

Краткий справочный материал не заменит изучения лекционного материала

и учебной литературы.

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1.1. Матрица

Матрицей размера nm × называют прямоугольную таблицу чисел, со-

держащую т строк и п столбцов. Обозначения

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

mnmm

a...aa

....

a...aa

22221

11211

(

)

Суммой двух матриц

(

)

(

)

одинаковых размеров nm

называется матрица тех же размеров

(

)

(

)

(

)

ijij

babaBA

×××

+ .

Произведением n×1 строки на 1

n столбец называют число равное

()

.ba...baba

...

a...aa

+++=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

2211

Произведением двух матриц

(

)

(

)

, которые заданы в

определенном порядке (первая и вторая) и размеры которых связаны услови-

ем: число столбцов первой матрицы равно числу строк – второй, называется

матрица

(

)

= , каждый элемент

c которой равен произведению i -ой

строки матрицы

на

-ый столбец матрицы

Произведением матрицы

(

)

на число

называется матрица, по-

лучаемая умножением всех элементов матрицы

на число c :

(

)

cacA

Транспонированием матрицы называется перемена ролями строк и

столбцов с сохранением их номеров.

1.2. Определители

Определителем второго порядка называют число

21122211

2221

1211

aaaa

Adet −==

Определителем третьего порядка называют число

.aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

aaa

Adet

113223332112312213

133221312312332211

333231

232221

131211

−−−

−++==

Минором

M элемента

a матрицы )nn(A

называется определитель

порядка 1−n , полученный вычеркиванием i -ой строки и

-го столбца, в пе-

ресечении которых стоит данный элемент

a .

Алгебраическим дополнением элемента

a , называется число

(

)

−= 1 .

Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки

(или столбца) на их алгебраические дополнения.

Простейшие свойства определителей.

1. При транспонировании определителя его значение не изменяется.

2. Если все элементы какой-нибудь строки (или столбца) определителя

равны нулю, то определитель равен нулю.

3. При перестановке двух любых строк (или столбцов) определитель ме-

няет знак.

4. Если две строки (или два столбца) определителя одинаковы, то он ра-

вен нулю.

5. Если все элементы одной строки (или столбца) определителя умножить

на одно и то же число, то и весь определитель умножится на это число. Ины-

ми словами, общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно

выносить за знак определителя.

6. Если все элементы одной строки определителя пропорциональны соот-

ветствующим элементам другой строки, то определитель равен нулю. То же

верно и для столбцов.

7. Если к одной строке определителя прибавить другую строку, умножен-

ную на любое число, то значение определителя не изменится. То же верно и

для столбцов.

1.3. Обратная матрица

Определение. Обратной матрицей для квадратной nn × матрицы

на-

зывается квадратная матрица

1−

A того же порядка, обладающая свойством

AAAA

⋅

−− 11

где

— единичная матрица порядка n ,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

1000

010

001

....

...

Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель

равен нулю. Невырожденной, если ее определитель не равен нулю.

Теорема. Вырожденная матрица не имеет обратной.

Любая невырожденная матрица

(

)

имеет единственную обрат-

ную матрицу

nnnn

A...AA

....

A...AA

Adet

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

22221

11211

где

A – алгебраическое дополнение элемента

a ,

– знак транспонирования.

1.4. Система линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=+++

.bxa...xaxa

..........................................

,bxa...xaxa

mnmnmm

2211

22222121

11212111

(1)

Система линейных уравнений может быть записана в виде

где

(

)

= ,

(

)

1×

bB ,

()

1×

xX ,

или в виде расширенной матрицы

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

mmnmm

...

a...aa

....

a...aa

22221

11211

. (2)

Метод Крамера решения системы линейных уравнений. Если дана

система уравнений (1), где nm

(т. е. число уравнений равно числу неиз-

вестных) и определитель

≠

Adet

, то система имеет единственное решение,

которое находится по формулам Крамера

∆

( n,...,,i 21

где Adet=∆ , определитель

∆

получен из определителя ∆ заменой

-го

столбца на столбец из свободных членов.

Матричный метод решения системы линейных уравнений. Если

дана система уравнений (1), где nm

(т. е. число уравнений равно числу не-

известных) и определитель 0

≠

Adet , то система имеет единственное решение,

которое находится по формуле

1−

Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.

Рангом системы строк (соответственно столбцов) матрицы А называет-

ся наибольшее число линейно независимых среди них.

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие

преобразования: 1) перестановка двух любых строк, 2) умножение строки на

число c , отличное от нуля, 3) прибавление к одной строке другой строки,

умноженной на любое число.

Две матрицы называются эквивалентными, если от одной из них к дру-

гой можно перейти путем конечного числа элементарных преобразований.

При элементарных преобразованиях матрицы ее ранг не изменяется,

иными словами, ранги эквивалентных матриц равны.

Ступенчатой матрицей называется матрица, обладающая тем свойст-

вом, что если в какой-либо из ее строк первый отличный от нуля элемент

стоит на k -ом месте, то во всех следующих строках на первых k местах сто-

ят нули.

Алгоритм решения системы линейных уравнений методом Гаусса.

1. Записать расширенную матрицу B/A ,отвечающую системе уравнений (1).

2. Элементарными преобразованиями привести расширенную матрицу B/A

к ступенчатому виду.

3. Провести исследование совместности системы линейных уравнений, ис-

пользуя теорему Кронекера-Капелли:

а) если

nB/rangArangA ==

, где n число неизвестных, то система линейных

уравнений имеет единственное решение;

б) если nB/rangArangA <= , где n число неизвестных, то система линейных

уравнений имеет бесконечно много решений;

в) если B/rangArangA ≠ , то система линейных уравнений не имеет реше-

ний.

4. Записать ступенчатую систему линейных уравнений.

а) Если nB/rangArangA == , последовательно найти

x,...,x,x

nn −

б) Случай nB/rangArangA

= . Неизвестные, с которых начинаются урав-

нения ступенчатой системы, назовем базисными переменными (существует

более общий способ выбора базисных переменных). Остальные переменные

назовем свободными. Выразим базисные переменные через свободные, полу-

чим тем самым общее решение системы уравнений.

в) Если B/rangArangA ≠ , то система линейных уравнений не имеет реше-

ний.

2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

2.1. Векторы. Основные определения, понятия темы «Векторы» см., напри-

мер, [ 1,2].

2.2. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов

Скалярное произве-

дение

Векторное произве-

дение

Смешанное произве-

дение

Определение

Скалярным произведе-

нием векторов

на-

зывается число, оп-

ределяемое равенством

)b,acos(ba)b,a(

∧

⋅= .

Обозначения:

)b,a( , ba,ba ⋅ .

Векторным произведе-

нием векторов

на-

зывается вектор

длина которого равна

)b,asin(bac

∧

⋅=

а направление таково,

что он ортогонален пло-

скости векторов

образует с ними правую

тройку векторов (т.е.

векторы

направ-

лены, соответственно,

как большой, указа-

тельный и средний

пальцы правой руки).

Обозначения:

]b,a[ , ba × .

Смешанным произве-

дением векторов

называется чис-

ло равное

cba ⋅× .

Обозначения:

cba ⋅× , )c],b,a([ , cba .

Формулы

212121

zzyyxxba ⋅+⋅+⋅=⋅ ,

где

)z,y,x(a

111

)z,y,x(b

222

= .

222

111

zyx

kji

ba =×

где

)z,y,x(a

111

)z,y,x(b

222

= .

333

222

111

zyx

cba =⋅×

где

)z,y,x(a

111

= ,

)z,y,x(b

222

)z,y,x(c

333

= .

Для любых векторов

c,b,a , для любого числа

∈

Свойства

1) abba ⋅=⋅ ,

caba)cb(a ⋅+⋅=+⋅ ,

)ab(b)a( ⋅⋅=⋅⋅

λλ

aaa =⋅ .

abba ×−=× ,

caba)cb(a ×+×=+× ,

)ba(b)a( ×⋅=×⋅

λλ

0=⋅aa .

cbacba ×⋅=⋅× ,

=== acbbaccba

abcbcacab −=−=−=

3) Если два вектора в

смешанном произведе-

нии поменять местами,

то его знак изменится.

⋅

∧

)b,acos(

212121

zyxzyx

zzyyxx

++⋅++

⋅+

⋅

+⋅

)b,asin(

⋅

∧

1) Объем параллеле-

пипеда, построенно-

го на векторах

cbaV ⋅×= .

2) =

⋅

bпр

212121

zyx

zzyyxx

⋅+⋅+⋅

2) Площадь паралле-

лограмма, постро-

енного на векторах

baS ×= .

2) Объем тетраэдра,

построенного на

cbaV ⋅×=

Приложения

3) (Ненулевые векторы

ортогональ-

ны)

)ba( 0=⋅⇔

3) Площадь треуголь-

ника, построенного

на векторах

baS ×=

∆

4) (Ненулевые векторы

коллинеарны)

)ba( 0

=×⇔

3) (Ненулевые векторы

компланар-

ны)

)cba( 0=⋅×⇔ .

2.3. Уравнение плоскости

1. Общее уравнение плоскости

DCzByAx ,

где

)C,B,A(n = – нормальный вектор плоскости.

2. Уравнение плоскости, проходящей через точку

)z,y,x(M

000

, с нормальным

вектором

)C,B,A(n =

000

−

− )zz(C)yy(B)xx(A .

3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки

)z,y,x(M

1111

)z,y,x(M

2222

, )z,y,x(M

3333

131313

121212

111

−−−

zzyyxx

4. Уравнение плоскости в отрезках

1=++

где

a , b , c – отрезки, отсекаемых плоскостью на осях OX ,OY , OZ , соответст-

венно.

5. Нормальное уравнение плоскости

−

⋅

⋅ pzcosycosxcos

где

cos ,

cos – направляющие косинусы перпендикуляра, опущенно-

го из начала координат на заданную плоскость,

– расстояние от начала ко-

ординат до плоскости.

Расстояние от точки

)z,y,x(M

mmm

до плоскости P, заданной уравнением

DCzByAx ,

находится по формуле

222

CBA

DCzByAx

)P,M(

mmm

+++

Косинус угла между плоскостями

1111

++ DzCyBxA и 0

2222

DzCyBxA

находится по формуле

212121

CBACBA

CCBBAA

)n,ncos(cos

++++

∧

где

)C,B,A(n

111

= , )C,B,A(n

222

= – нормальные векторы плоскостей.

2.4. Прямая в пространстве

1. Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку

)z,y,x(M

000

, с

направляющим вектором

)m;l;k(q =

000

−

2. Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку )z,y,x(M

000

с направляющим вектором

)m;l;k(q =

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

,mtzz

,ltyy

,ktxx

(

∈

t R).

3. Уравнение прямой, проходящей через две точки

)z,y,x(M

1111

)z,y,x(M

2222

−

4. Прямая, как линия пересечения двух плоскостей

⎩

⎨

⎧

=+++

.DzCyBxA

,DzCyBxA

2222

1111

2.5. Прямая на плоскости

1. Общее уравнение прямой

CByAx ,

где

)B,A(n = – нормальный вектор прямой.

2. Уравнение прямой, проходящей через точку )y,x(M

с нормальным век-

тором

)B,A(n =

−

)yy(B)xx(A .

3. Каноническое уравнение прямой

−

где

)y,x(M

– точка прямой, )m;l(q = – направляющий вектор прямой.

4. Параметрические уравнения прямой

⎩

⎨

⎧

,mtyy

,ltxx

(

∈

t R),

где

)y,x(M

точка прямой, )m;l(q = – направляющий вектор прямой.

5. Уравнение прямой, проходящей через две точки

)y,x(M

111

)y,x(M

222

−

6. Уравнение прямой в отрезках

1=+

где

a и b – отрезки, отсекаемые прямой на осях OX и OY , соответственно.

7. Нормальное уравнение прямой

−

⋅

pycosxcos

где

cos ,

cos – направляющие косинусы перпендикуляра, опущенного из

начала координат на заданную прямую,

– расстояние от начала координат

до прямой.

8. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

bkxy

где

tgk = ,

– угол между прямой и положительным направлением оси OX ,

)b;( 0

– точка пересечения прямой с осью OY .

Расстояние от точки

)y,x(M

до прямой l , заданной уравнением

CByAx ,

находится по формуле

CByAx

)l,M(

Косинус угла между прямыми

111

+ CyBxA и 0

222

CyBxA

находится по формуле

2121

BABA

BBAA

)n,ncos(cos

∧

где

)B,A(n

= , )B,A(n

= – нормальные векторы прямых.