Сибилев В.Д. Модели и проектирование баз данных

Подождите немного. Документ загружается.

( )  R

( ) = .

 Объединение отношений. Пусть отношения R

и R

совместимы по объединению. Отношение R называется объединением

отношений R

и R

, если его схема эквивалентна схемам операндов, а

тело составлено из всех кортежей, принадлежащих хотя бы одному из

операндов.

 R = R

 R

= {S

: R ( ) = R

( ) = R

( ), S

 R

 S

 R

Пример:

A B A B A B

= a

, R

= a

, R

 R

= a

 Взятие разности отношений. Пусть отношения R

совместимы по объединению. Отношение R называется разностью

отношений R

и R

, если его схема эквивалентна схемам операндов, а

тело составлено только из кортежей R

, не принадлежащих R

 R = R

– R

= {S

: R( ) = R

( ) = R

( ), S

 R

 S



Пример:

A B A B A B

= a

, R

= a

, R

– R

= a

 Пересечение отношений. Пусть отношения R

и R

совместимы по объединению. Отношение R называется пересечением

отношений R

и R

, если его схема эквивалентна схемам операндов, а

тело составлено только из кортежей R

, принадлежащих R

 R = R

 R

= {S

: R( ) = R

( ) = R

( ), S

 R

 S



Пример:

A B A B A B

= a

, R

= a

, R

 R

= a

Это неэлементарная операция. Она представляется через

операции объединения и разности:

 R

= R

 R

– (R

– R

)  (R

– R

 Расширенное прямое произведение. Пусть

отношения R

и R

совместимы по взятию расширенного прямого

произведения. Отношение R называется расширенным прямым

произведением отношений R

и R

, если его схема эквивалентна

(теоретико-множественному) объединению схем операндов, а тело

составлено из всех попарных (теоретико-множественных)

объединений кортежей R

и R

 R = R

 R

= {S

: S

= S

 S

, R() = R

()  R

(),

 R

, S

 R

Пример:

A B C D

A B C D a

= a

, R

= a

, R

 R

= a

Селекция или ограничение по условию. Это унарная операция.

Она строит отношение, схема которого эквивалентна схеме операнда,

а тело составлено из кортежей операнда, удовлетворяющих заданному

условию. Это можно представить себе как вычеркивание ненужных

строк таблицы.

 Пусть R – отношение и F – предикат, определенный

на его атрибутах. Селекция отношения R по условию F есть

множество кортежей, на которых предикат F принимает значение .Т.

(«истина»).

 R

= 

(R) = {S

: R

( ) = R( ), S

 R, F (S

) = .T.}.

Примеры:

A B C A B C

a b c A B C d g f

b b c a b c , 

A=d  C=c

(R) = d b f .

R = d g f , 

B = b

(R) = b b c a b c

d b f d b f b b c

e a h b c c

b c c

Проекция. Это также унарная операция. Она преобразует не

только тело, но и схему отношения. Ее можно представить себе как

вычеркивание столбцов таблицы.

 Пусть R – отношение со схемой R(A, B), А и B –

подмножества атрибутов схемы. Проекцией отношения R на атрибуты

А называется отношение R



= 

(R), имеющее схему R



(A),

кортежами которого являются соответствующие схеме подкортежи

отношения R.

Пример:

A B C D E F A C F

a b c d e f a c f

R = a b c f g h , 

A,C,F

(R) = a c h .

d b d d g h d d h

a c c f g h

Естественное соединение. Существует несколько

разновидностей операции соединения отношений. Наиболее важный

для практики вид – естественное соединение или просто соединение.

Эта операция применяется к отношениям, схемы которых имеют

одноименные атрибуты, определенные на общем домене, т.е. к

отношениям с пересекающимися схемами.

Результатом является отношение, схема которого есть

теоретико-множественное объединение схем операндов, а тело

составлено из теоретико-множественных объединений таких кортежей

операндов, в которых значения одноименных атрибутов совпадают.

 Пусть X, Y, Z – подмножества атрибутов, а R

и R

–

отношения со схемами R

(X, Y) и R

(Y, Z), соответственно.

Естественным соединением этих отношений называется отношение

R = R

 R

, имеющее схему R(X, Y, Z) и тело, образованное всеми

кортежами {X:x, Y:y, Z:z} такими, что в R

существует кортеж {X:x,

Y:y} и в R

– кортеж {Y:y, Z:z}.

Пример 1.

А В С B D E A B C D E

a b c b c d a b c c d

= d e c , R

= b c e , R = R

 R

= a b c c e .

b b f a d b b b f c d

c a d b b f c e

c a d d b

Пример 2.

А В С B C E A B C E

a b c b c d a b c d

= d e c , R

= b c e , R = R

 R

= a b c e .

b b f a d b c a d b

c a d

Соединение по условию. Эта операция применяется к

отношениям, совместимым по взятию расширенного прямого

произведения. Она не является элементарной, однако, включается в

базовый набор операций, поскольку очень часто встречается в

практических процедурах манипулирования данными.

 Пусть R

и R

– отношения, совместимые по взятию

расширенного прямого произведения, F – предикат, определенный на

их атрибутах. Соединением отношений R

и R

по условию F

называется подмножество кортежей отношения R

 R

, на которых

предикат F принимает значение .Т.

 R

 R

= 

 R

)

Пример:

A B C D A B C D

= a

, R

= a

, R

 R

= a

A= a

D=B

Важным частным случаем является операция соединения по

условию равенства значений атрибутов операндов – эквисоединение.

В этом случае предикат F имеет вид A

= A

, где A

и A

– атрибуты

схем R

( ) и R

( ), соответственно. Операция имеет смысл только для

Реально соединение по условию не выполняется как селекция расширенного

прямого произведения. Это очень накладно, мощности прямых произведений в реальных

БД очень велики.

сравнимых, т.е. определенных на общем домене, атрибутов.

 Реляционное деление. Пусть X и Y – подмножества

атрибутов, R

и R

- отношения со схемами R

(X, Y), R

(Y).

Реляционным частным называется отношение R со схемой R(X), тело

которого составляют все такие кортежи {X:x}, что {X:x, Y:y}  R

для

каждого {Y:y}  R

 R = R

 R

= {S

: S

 R(X), S

 S

 R

, S



Пример:

A B C D

+ a b c d

+ a b e f С D A B

= b c e f , R

= c d , R

 R

= a b .

+ e d c d e f e d

a b d e

+ e d e f

Здесь символом ‘+’ помечены кортежи R

, подкортежи которых

войдут в реляционное частное.

Это неэлементарная операция. Она выражается через операции

проекции, прямого произведения и разности.

Переименование атрибутов. Эта операция вводится в состав

операций РА для разрешения конфликтов имен в бинарных операциях. В

реальных манипуляциях реляционными данными нередко возникает

необходимость вычислить соединение по условию отношений с

пересекающимися схемами или построить объединение отношений с

«почти совпадающими» схемами, отличающимися только именами

атрибутов и т.п.

Эта операция сохраняет тело отношения, изменяя лишь имена

указанных атрибутов:



А С

(R (A, B)) = R (C, B).

2.5.3 Синтаксис реляционных выражений. Определим теперь

синтаксис для операций РА, который будем использовать в

дальнейшем

. Основной синтаксической единицей является

Его не следует рассматривать как язык конечного пользователя. Это просто

выражение РА, производящее отношение. Любое выражение является

безымянным производным отношением.

выражение ::= унарное-выражение | бинарное-выражение;

унарное-выражение ::= переименование | выборка |

проекция;

переименование ::= терм RENAME атрибут AS атрибут;

терм ::= отношение | (выражение);

выборка ::= терм WHERE предикат;

предикат ::= сравнение | предикат AND предикат |

предикат OR предикат | NOT предикат

;

сравнение ::= символ  символ;

символ ::= атрибут | константа;

 ::= < | > | =;

проекция ::= терм | терм [список];

бинарное-выражение ::=

проекция бинарная-операция выражение;

бинарная-операция ::=

Здесь атрибут – идентификатор, список – список разделенных

запятыми атрибутов, константа – литеральное значение.

Примеры.

Унарные выражения.

S RENAME S# AS Snum;

переименование S# в Snum

проекция S на все атрибуты схемы.

S[S#, Ci];

проекция S на атрибуты {S#, Ci}.

S WHERE Ci = ‘Томск’

выборка по условию Ci = ‘Томск’

Бинарные выражения.

(S[Ci]) UNION (P[Ci]);

объединение проекций;

(S[Ci]) INTERSECT (P[Ci]);

пересечение проекций;

(S[Ci]) MINUS (P[Ci]);

разность проекций;

(S RENAME Ci AS SCi) TIMES

(P RENAME Ci AS Pci);

расширенное прямое

произведение;

(SPJ[S#, P#]) DIVIDEBY (P[P#]);

реляционное деление;

(S JOIN SPJ)[Sn, Qt];

проекция объединения;

основа для обсуждения реляционных операторов.

В предикатах могут использоваться круглые скобки, если необходимо явно

указать порядок вычисления.

2.5.4 Примеры запросов на языке РА. Сформулируем

средствами РА несколько запросов к БД «Поставщик–Деталь–

Изделие» (см. рис. 2.3). В формулировках запросов ненужные круглые

скобки будем опускать.

1) Получить полные сведения обо всех производимых изделиях.

2) Получить номера и названия изделий, производимых в

Томске.

(J WHERE Ci = ‘Томск’) [J#, Jn];

3) Получить значения номеров поставщиков, выполняющих

поставки для изделия J1.

(SPJ WHERE J# = ‘J1’)[S#];

4) Получить значения номеров поставщиков, поставляющих

деталь Р1 для изделия J1.

(SPJ WHERE J# = ‘J1’ AND P# = ‘P1’)[S#];

5) Получить значения наименований изделий, для которых

выполняет поставки поставщик S1.

(J JOIN (SPJ WHERE S# = ‘S1’))[Jn];

Другой возможный вариант формулировки:

(J[J#, Jn] JOIN (SPJ WHERE S# = ‘S1’)[J#])[Jn];

6) Получить значения цветов деталей поставляемых

поставщиком S1.

(P JOIN (SPJ WHERE S# = ‘S1’))[Co];

7) Получить номера поставщиков, поставляющих детали для

изделий J1 и J2.

(SPJ WHERE J# = ‘J1’)[S#] INTERSECT

(SPJ WHERE J# = ‘J2’)[S#];

8) Получить значения номеров поставщиков, поставляющих для

изделия J1 красную деталь.

((SPJ WHERE J# = ‘J1’) JOIN (P WHERE Co = ‘красный’))[S#];

9) Получить значения номеров деталей, поставляемых для

каждого изделия, производимого в Томске.

SPJ[P#, J#] DIVIDEBY (J WHERE Ci = ‘Томск’)[J#];

10) Получить значения номеров поставщиков, поставляющих

красные детали для изделий, производимых в Томске или Яе.

((P WHERE Co = ‘красный’) JOIN SPJ

JOIN (J WHERE Ci = ‘Томск’ OR Ci = ‘Яя’))[S#];

11) Получить значения номеров изделий, снабжаемых по

крайней мере одним поставщиком, расположенным не в том же самом

городе.

(((J RENAME Ci AS JCi) JOIN SPJ JOIN (S RENAME Ci AS Sci))

WHERE NOT (JCi = SCi))[J#];

12) Получить значения номеров изделий, для которых не

поставляется ни одной красной детали из Томска.

J[J#] MINUS ((P WHERE Co = ‘красный’ AND Ci = ‘Томск’)[P#])

JOIN SPJ)[J#];

13) Получить имена поставщиков, поставляющих деталь Р2.

(( SPJ JOIN S) WHERE P# = ‘P2’) [Sn];

14) Получить имена поставщиков, поставляющих все детали.

(( SPJ[S#, P#] DIVIDEBY P[P#]) JOIN S) [Sn];

15) Получить имена поставщиков, поставляющих все

поставляемые детали.

(( SPJ[S#, P#] DIVIDEBY SPJ[P#]) JOIN S) [Sn];

Замечание. Нередко запросы бывают очень сложными, так что

написать одно реляционное выражение очень трудно. В таких случаях

удобно использовать оператор реляционного присваивания (:= ). С его

помощью предыдущий запрос можно записать так:

T1 : = SPJ [S#, P#] ;

T2 : = SPJ [P#];

T3 : = T1 DIVIDEBY T2;

T4 : = T3 JOIN S;

T5 : = T4[Sn];

Здесь Ti понимаются как идентификаторы временных

отношений, создаваемых системой. Схема каждого Ti совпадает со

схемой отношения, произведенного выражением в правой части.

2.5.5 Дополнительные реляционные операции.

Определенные к настоящему моменту операции обеспечивают

манипуляции кортежами, но не дают никаких средств для работы со

скалярами, а это часто бывает необходимо.

Например, могут понадобиться сведения о весах поставок. Их

можно получить из отношения (SPJ JOIN P)[SPJ#, We, Qt],

вычислив для каждого кортежа значение We*Qt. Однако имеющимися

средствами невозможно получить производное отношение со схемой

{SPJ#, Tot_We}, где Tot_We принимает значения выражения We*Qt.

Это пример «горизонтальных вычислений», т.е.

комбинирования значений атрибутов из текущего кортежа отношения-

операнда. В процессе анализа данных часто нужно комбинировать

значения атрибута в различных кортежах – проводить «вертикальные»

вычисления.

Например, для создания отчета о поставках может понадобиться

отношение, содержащее номера поставщиков, номера поставляемых

ими деталей и общие объемы поставок этих деталей, выполненных

этими поставщиками. Чтобы получить такое отношение, нужно:

 сгруппировать кортежи отношения SPJ по значениям

подмножества атрибута {S#, P#};

 сформировать отношение со схемой {S#, P#, Tot_Qt}, где

Tot_Qt принимает для каждого значения {S#, P#} единственное

значение, равное сумме значений атрибута Qt во всех кортежах

группы.

Определенные ниже операции производят отношения,

содержащие результаты «горизонтальных» и «вертикальных»

вычислений.

Операция расширения схемы. Это унарная операция. Она

производит безымянное отношение со схемой, включающей все

атрибуты операнда и, кроме того, атрибут, принимающий значения

некоторого скалярного выражения. Операция обеспечивает

возможность выполнения «горизонтальных вычислений». Будем

использовать для нее следующий синтаксис:

расширение ::= EXTEND терм ADD выражение AS атрибут

;

Здесь выражение – любое скалярное выражение, ссылающееся

на атрибуты терма.

Очевидны следующие ограничения:

1) схема терма не может содержать атрибута с именем,

указанным после AS;

Считается, что домен атрибута каким-то образом определен. Например, это

может быть домен «по умолчанию».

2) выражение не может ссылаться на атрибут.

Пример:

EXTEND (( P JOIN SPJ) ADD We*Qt AS Tot_We)

[SPJ#, Tot_We];

Это выражение произведет безымянное отношение со схемой

{SPJ#, Tot_We}. Его кортежи будут содержать сведения о весах

зарегистрированных поставок.

Операция подведения итогов. Это также унарная операция. Ее

синтаксис определим так:

подведение-итогов ::= SUMMARIZE терм BY (список) ADD

агрегатное-выражение AS атрибут

;

Здесь список – список атрибутов, по которым производится

группирование;

агрегатное-выражение – скалярное выражение,

возвращающее единственное значение для группы кортежей;

атрибут – атрибут схемы производного отношения,

определенный на значениях агрегатного-выражения.

Операция SUMMARIZE значительно сложнее операции

EXTEND. Поясним ее действие. Пусть R – отношение со схемой,

содержащей атрибуты A

, A

, ..., A

, по которым нужно подвести итог.

Выражение

SUMMARIZE R BY (A

, A

, ..., A

) ADD exp AS Z;

произведет безымянное отношение со схемой {A

, A

, ..., A

, Z}. Тело этого

отношения будет содержать все кортежи проекции отношения R на

атрибуты A

, A

, ..., A

, дополненные значениями атрибута Z. Значение

атрибута Z в кортеже t производного отношения является значением

выражения exp. Оно вычисляется на подмножестве всех таких кортежей

отношения R, в которых значения атрибутов A

, A

, ..., A

совпадают со

значениями соответствующих атрибутов в t. Концептуально эту процедуру

можно представить как формирование групп кортежей R с одинаковыми

значениями атрибутов A

, A

, ..., A

и вычисление значения exp для каждой

группы.

Выражение exp содержит ссылки на агрегатные функции,

возвращающие скалярные значения, вычисленные для группы