Шпоры по гидравлике

Подождите немного. Документ загружается.

37. Осредненные скорости.

Пульсационные составляющие

В теории турбулентного движения очень многое

связано с именем исследователя этого движения РейE

нольдса. Рассматривая хаотическое турбулентное

движение, он представил мгновенные скорости, как

некоторые суммы. Эти суммы имеют вид:

где u

, u

— мгновенные значения проекций скоE

рости;

p, τ — то же самое, но для напряжений давления

и трения;

черта у величин наверху означает, что параметр

усреднен по времени; у величин u′

, u′

, p′, τ′

черта сверху означает, что имеется в виду пульE

сационная составляющая соответствующего паE

раметра («добавка»).

Осреднение параметров по времени осуществляетE

ся по следующим формулам:

где — интервал времени, в течение котоE

рого проводится осреднение.

–

=dt

ττ

∫

(2)

p= pdt

u' = u dt;

∫

;;;';(1)

xx xyy yzz z

u = u + u' u = u + u' u = u + u' p = +

ττ

39. Распределение скоростей

при равномерном

установившемся движении.

Ламинарная пленка

Все же, несмотря на вышеперечисленные и другие

особенности, о которых не сказано изEза их невосE

требованности, основным признаком турбулентного

движения является перемешивание частиц жидкости.

Принято об этом перемешивании с точки зрения коE

личества говорить как о перемешивании молей жидE

кости.

Как мы убедились выше, с ростом числа Re интенE

сивность турбулентности нe растет. Несмотря на

это, все же, например, у внутренней поверхности

трубы (или у любой другой твердой стенки) существуE

ет некоторый слой, в пределах которого все скороE

сти, в том числе пульсационные «добавки», равны нуE

лю: это очень интересное явление.

Этот слой принято называть вязким подслоем по&

тока.

Само собой на границе соприкосновения с основE

ной массой потока этот вязкий подслой все же имеет

некоторую скорость. Следовательно, все изменения

в основном потоке передаются и в подвязкий слой,

но их значение очень мало. Это позволяет считать

движение слоя ламинарным.

Ранее, считая, что эти передачи в подвязкий слой отE

сутствуют, слой назвали ламинарной пленкой. Теперь

нетрудно убедиться, что с точки зрения современной

гидравлики ламинарность движения в этом слое отE

носительная (интенсивность ε в подвязком слое (лаE

минарной пленке) может достигать значения 0,3. Для

ламинарного движения это достаточно большая велиE

чина).

40. Распределение скоростей

в «живом» сечении потока

Современной гидродинамике удалось разрешить эти

проблемы, применив метод статистического анали&

за. Основным орудием этого метода является то, что

исследователь выходит за рамки традиционных подE

ходов и применяет для анализа некие средние по вреE

мени характеристики потока.

Усредненная скорость

Ясно, что в любой точке живого сечения любую мгноE

венную скорость и можно разложить на u

, u

комE

поненты.

Мгновенная скорость определяется по формуле:

Полученную скорость можно назвать скоростью,

усредненной по времени, или средней местной,

эта скорость — фиктивно постоянная и позволяет

судить о характеристике потока.

Вычислив можно получить вектор усредненE

ной скорости:

Касательные напряжения

,= + '

τττ

xyz

u= u +u +u

udt

∫

38. Средне квадратичное отклонение

Принят стандарт, который называется среднеквад&

ратическим отклонением. Для хEой компоненты соотE

ветствующее выражение этого стандарта:

Чтобы получить формулу для любого параметра «доE

бавки» из формулы (1), достаточно заменить u

в (1) на

искомый параметр.

Среднеквадратичное отклонение можно относить

к следующим скоростям: усредненная местная скоE

рость данной точки; средняя по вертикали; средняя по

живому сечению; максимальная скорость.

Обычно максимальная и средняя по вертикали скоE

рости не используются; используются две из вышепеE

речисленных характерных скорости. Кроме них, исE

пользуют также динамическую скорость.

где R — гидравлический радиус;

J — гидравлический уклон.

Среднеквадратичное отклонение, отнесенное к средE

ней скорости, есть, например, для хEой компоненты:

.(3)

,(2)

u= gRL

(). (1)

ux x

=u'

37а

38а

39а

40а

Но лучшие результаты получаются, если средE

неквадратичное отклонение относить к u

, т. е.

динамической скорости, например

Определим степень (интенсивность) турбулентноE

сти, как называют величину e:

Однако лучшие результаты получаются, если за масE

штаб скорости (то есть за характерную скорость) взять

динамическую скорость u

Еще одним свойством турбулентности является

частота пульсаций скорости. Средняя частота пульсаE

ции в точке с радиусом r от оси потока:

где N — половина экстремума вне кривой мгновенE

ных скоростей;

Т — период осреднения;

T/N = 1/w — период пульсации.

,(6)

;;. (5)

xy z

υυ

δδ

εεε

υυυ

===

.(4)

определим и суммарное значение касательноE

го напряжения τ. Поскольку это напряжение возE

никает изEза наличия сил внутреннего трения, то жидE

кость считают ньютоновой.

Если предположить, что площадь соприкосновения —

единичная, то сила сопротивления

где μ — динамическая вязкость жидкости;

dυ/dy — изменение скорости. Эту величину часто

называют градиентом скорости, или скоростью

сдвига.

В настоящее время руководствуются выражением,

полученным в вышеупомянутом уравнении Прандтля:

где ρ — плотность жидкости;

l — длина пути, на котором рассматривается двиE

жение.

Без вывода приводим окончательную формулу для

пульсационной «добавки» касательного напряжения:

'= l

τρ

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

'= l

τρ

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

τμ

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Подвязкий слой ε

очень тонкий по сравнению

с основным потоком. Именно наличие этого слоя

порождает потери напора (удельной энергии).

Что касается толщины ламинарной пленки δ

, то она

обратно пропорциональна числу Re. Это более наE

глядно видно из следующего сравнения толщины в зоE

нах потока при турбулентном движении.

Вязкий (ламинарный) слой — 0 < ua / V < 7.

Переходная зона — 7 < ua/V < 70.

Турбулентное ядро — ua/V < 70.

В этих соотношениях u — динамическая скорость

потока, а — расстояние от твердой стенки, V — кинеE

матическая вязкость.

Углубимся немного в историю теории турбулентноE

сти: эта теория включает в себя совокупность гипотез,

на основании которых были получены зависимости межE

ду основными параметрами турбулентного двиE

жения потока.

У разных исследователей к этому вопросу были разE

ные подходы. Среди них немецкий ученый Л. Прандтль,

советский ученый Л. Ландау и многие другие.

Если до начала XX в. ламинарный слой, по мнению

ученых, представлял собой некоторый мертвый слой,

в переходе к которому (или от которого) происходит

как бы разрыв скоростей, то есть скорость меняется

скачкообразно, то в современной гидравлике совсем

другая точка зрения.

Поток — это «живое» явление: все переходные проE

цессы в нем носят непрерывный характер.

Из формул (1) следует, что пульсируют не тольE

ко проекции скорости, но и нормальные р икаE

сательные τ напряжения. Значения усредненных во

времени «добавок» должны быть равны нулю: наприE

мер для хEой компоненты:

Интервал времени Т определяют достаточным,

чтобы при повторном осреднении значение «добавки»

(пульсирующей составляющей) не изменилось.

Турбулентное движение считается неустановившимE

ся движением. Несмотря на возможное постоянство

осредненных параметров, мгновенные параметры все

же пульсируют. Следует запомнить: осредненная (по

времени и в конкретной точке) и средняя (в конкретном

живом сечении) скорости — не одно и то же:

где υ = Q/w;

Q — расход жидкости, которая течет со скоE

ростью υ через w.

,(4)

≠

0. (3)

u' = u' dt =

∫

37б

38б

39б

40б

41. «Шероховатость» и «гладкость»

внутренних стенок трубы

Рассматривая выше механизм турбулентного двиE

жения, мы убедились: по мере удаления от оси потоE

ка к стенкам трубы скорость движения уменьшается,

а у стенки вовсе равна нулю.

Дело в том, что у любой поверхности имеются неE

ровности в разной степени, например, на дне канаE

ла. В трубах эти неровности предопределены техноE

логией изготовления материала, из которого делают

трубы.

По мере удаления от стенок к центру влияние неE

ровностей на поток сходит на нет.

Именно эти неровности порождают явление, котоE

рое принято называть гидравлическим сопротивлениE

ем, а сами неровности в гидравлике называют шероE

ховатостью.

Шероховатость может возникать и в результате

естественного износа (ржавчина, отложения осадков

и др.).

По величине и форме различают однородную и не&

однородную, регулярную и подвижную шероховаE

тости.

Если у неровностей геометрия и относительное расE

положение одинаковое, то шероховатость однородE

ная, в противном случае — неоднородная. РегулярE

ность шероховатости — понятие о периодичности

расположения неровностей, об их повторяемости.

Если обозначить высоту выступа неровности Δ, то

отношения ε = Δ/d, Δ/h , где d — диаметр трубы, h —

высота потока в открытом русле, называют относиE

тельной шероховатостью. Обратные отношения ε =

= d/Δ, h/Δ называют относительной гладкостью.

43. Равномерное движение

и коэффициент сопротивления

по длине. Формула Шези.

Средняя скорость и расход потока

При ламинарном движении (если оно равномерное)

ни живое сечение, ни средняя скорость, ни эпюра скоE

ростей по длине не меняются со временем.

При равномерном движении пьезометрический уклон

где l

— длина потока;

— потери напора на длине L;

d — соответственно радиус и диаметр трубы.

В формуле (2) безразмерный коэффициент λ назыE

вают коэффициентом гидравлического трения

или коэффициентом Дарси.

Если в (2) d заменить на гидравлический радиус, то

следует

.(3)

пR

.(2)

;, (1)

Jr=

44. Гидравлическое подобие

Понятие о подобии. Гидродинамическое моде&

лирование

Для исследования вопросов сооружения гидроэлекE

тростанций применяют метод гидравлических подоE

бий, суть которого состоит в том, что в лабораторных

условиях моделируются точно такие же условия, что

и в натуре. Это явление называют физическим модеE

лированием.

Например, чтобы два потока были подобными, треE

буется их:

1) геометрическое подобие, когда

где индексы н, м соответственно означают «натуE

ра» и «модель».

Однако, отношение

что значит, относительная шероховатость в модели

такая же, как и в натуре;

2) кинематическое подобие, когда траектории соотE

ветствующих частиц, соответствующие линии тока

подобны. Кроме того, если соответствующие части

прошли подобные расстояния l

, l

, то отношение

соответствующих времен движения выглядит слеE

дующим образом:

где M

— масштаб времени.

,(3)

idem, (2)=

=М

,(1)

42. Параметры потока,

от которых зависит потеря напора.

Метод размерностей

Неизвестный вид зависимости определяется по меE

тоду размерностей. Для этого существует

ππ

&теоре&

ма: если некоторая физическая закономерность выE

ражена уравнением, содержащим к размерных величин,

причем оно содержит п величин с независимой разE

мерностью, то это уравнение может быть преобразоE

вано в уравнение, содержащее (кEп) независимых, но

уже безразмерных комплексов.

Для чего определимся: от чего зависят потери наE

пора при установившемся движении в поле сил тяE

жести.

Эти параметры.

1. Геометрические размеры потока:

1) характерные размеры живого сечения l

;

2) длина рассматриваемого участка l;

3) углы, которыми завершается живое сечение;

4) свойства шероховатости: Δ — высота выступа и lΔ —

характер продольного размера выступа шероховаE

тости.

2. Физические свойства:

1) ρ — плотность;

2) μ — динамическая вязкость жидкости;

3) δ — сила поверхностного натяжения;

4) Е

— модуль упругости.

3. Степень интенсивности турбулентности, хаE

рактеристикой которой является среднеквадратичное

значение пульсационных составляющих δ

Теперь применим πEтеорему.

Исходя из приведенных выше параметров, у нас наE

бирается 10 различных величин: l, l

, Δ, l

, Δp, μ, δ, E

, t.

41а 42а

43а

44а

Кроме этих, имеем еще три независимых паE

раметра: l

, ρ, υ. Добавим еще ускорение падеE

ния g.

Всего имеем к = 14 размерных величин, три из котоE

рых независимы.

Требуется получить (к3п) безразмерных комплексов,

или, как их называют πEчленов.

Для этого любой параметр из 11, который не входил

бы в состав независимых параметров (в данном слуE

чае l

, ρ, υ), обозначим как N

, теперь можно опредеE

лить безразмерный комплекс, который является хаE

рактеристикой этого параметра N

, то есть iEтый

πEчлен:

Здесь углы размерности базовых величин:

общий вид зависимости для всех 14 параметров имеет

вид:

жu

fl l l l p g E t

υρμ δ δ

ΔΔ

(,,,,, ,,,,,, , ,)=0. (3)

lL LT ML

υρ

−−13

[]=;[]= ;[]= , (2)

xy z

LMT

υρ

000

==. (1)

Такое же сходство имеется для скорости (масE

штаб скорости)

и ускорения (масштаб ускорения)

3) динамическое подобие, когда требуется, чтобы соE

ответствующие силы были подобными, например,

масштаб сил

Таким образом, если потоки жидкости механичеE

ски подобны, то они подобны гидравлически; коэфE

фициенты M

, M

и прочие называются мас&

штабными множителями.

.(6)

=М

;(5)

(4)

Введем обозначение тогда с учетом

того, что гидравлический уклон

Эту формулу называют формулой Шези.

называется коэффициентом Шези.

Если коэффициент Дарси λ — величина безразмерE

ная, то коэффициент Шези с имеет размерность

Определимся с расходом потока с участием коэфE

фициента Шези:

Преобразуем формулу Шези в следующий вид:

Величину называют динамической скоE

ростью.

gRJ = u

.(8)=gRJ

.(7)Q=w =wc RJ

0,5 1

[] . (6)c=L T

−

(5)

.(4)=c RJ

Если рассматривается поток в открытых руслах

(каналы, река), то течение само может формироE

вать шероховатость (подвижную) из осадков. НесмотE

ря на все разновидности, шероховатость характериE

зуется в основном величиной Δ, которую называют

абсолютной шероховатостью. Если сравнивать Δ с толE

щиной вязкого подслоя δ

в.с

, то в зависимости от их взаE

имоотношения, различают следующие случаи:

1) Δ < δ

в.с

; потери энергии наименьшие, вязкий подE

слой покрывает неровности, и основная часть поE

тока не соприкасается с шероховатой стенкой;

2) Δ > δ

в.с

; в этом случае шероховатость проникает

в основную часть потока, в турбулентную область,

и это приводит еще к большей потере энергии.

Но поскольку сама толщина δ

в.с

зависит от числа Re,

а оно от скорости потока, то понятия о гидравлических

шероховатостях и гладкостях относительны.

Поэтому введены понятия относительных шерохоE

ватостей и гладкостей, о которых сказано выше.

Напор в трубе зависит от шероховатости. Толщина

видного подслоя определяется формулой:

где d — диаметр трубы;

Re — число Рейнольдса;

λ — коэффициент Дарси.

вп

41б

42б

43б

44б

45. Критерии

гидродинамического подобия

Условия гидродинамического подобия требуют раE

венства всех сил, но это практически не удается.

По этой причине, подобие устанавливают по какойE

нибудь из этих сил, которая в данном случае преоблаE

дает. Кроме того, требуется выполнение условий одE

нозначности, которые включают в себя пограничные

условия потока, основные физические характеристиE

ки и начальные условия.

Рассмотрим частный случай.

Преобладает влияние сил тяжести, например, при

течении через отверстия или водосливы

P = ρgW. (1)

Если перейти к взаимоотношению P

и P

и выраE

зить его в масштабных множителях, то

После необходимого преобразования, следует

Если теперь совершить переход от масштабных мноE

жителей к самим отношениям, то с учетом того, что l —

характерный размер живого сечения, то

() . (4)

ннн

мм

gl =

1. ( 3 )

ММ M =

−−

.(2)

рlg

М= =МММ

47. Турбулентный равномерный

режим движения потока

Если рассмотреть плоское движение (т. е. потенE

циальное движение, когда траектории всех частиц паE

раллельны одной и той же плоскости и являются функциE

ей двух координат и если движение неустановившееся),

одновременно являющееся равномерным турбулентным

в системе координат XYZ, когда линии тока параллельны

оси O

, то

Усредненная скорость при сильно турбулентном

движении.

Это выражение: логарифмический закон распредеE

ления скоростей для турбулентного движения.

При напорном движении поток состоит в основном

из пяти областей:

1) ламинарная: приосевая область, где местная скоE

рость максимальна, в этой области λ

лам

= f(Re), где

число Рейнольдса Re < 2300;

2) во второй области поток начинает переходить из

ламинарного в турбулентный, следовательно, увеE

личивается и число Re;

3) здесь поток полностью турбулентный; в этой области

трубы называются гидравлическими гладкими

(шероховатость Δ меньше, чем толщина вязкого

слоя δ

, то есть Δ < δ

ln const.

u= t+

(); 0; 0,

xx y x

u=u t u= u=

48. Неравномерное движение:

формула Вейсбаха и ее применение

При равномерном движении потери напора, как праE

вило, выражаются формулой

где потери напора h

пр

зависят от скорости потока; она

постоянна, поскольку, движение равномерное.

Следовательно, и формула (1) имеет соответствуюE

щие формы.

Действительно, если в первом случае

то во втором случае

Как видно, формулы (2) и (3) различаются только

коэффициентом сопротивления x.

Формула (3) называется формулой Вейсбаха. В обоE

их формулах, как и в (1), коэффициент сопротивления —

величина безразмерная, и в практических целях опредеE

ляется, как правило, по таблицам.

Для проведения опыта по определению xм последоE

вательность действий следующая:

1) должен быть обеспечен ход равномерности потока

в исследуемом конструктивном элементе. НеобхоE

димо обеспечить достаточное удаление от входа

пьезометров.

.(3)

ξυ

,(2)

ξυ

/2 , (1)

h= g

ξυ

46. Распределение касательных

напряжений при равномерном

движении

При равномерном движении потеря напора на длиE

не l

определяется:

где χ — смоченный периметр,

w — площадь живого сечения,

— длина пути потока,

ρ, g — плотность жидкости и ускорение силы

тяжести,

— касательное напряжение вблизи внутренних

стенок трубы.

Следует:

Откуда с учетом h

≠ l = J и

Исходя из полученных результатов для τ

, распредеE

ления касательного напряжения τ в произвольно выE

бранной точке выделенного объема, например, в точке

– r = t это расстояние равно:

,(4)

=g J

τρ

.(3)

=g J

τρ

⇒

wx R==⇒

,(2)=gRJ

τρ

,(1)

τχ

45а 46а

47а 48а

тем самым вводим касательное напряжение t

на поверхности цилиндра, действующее на точку

в r

– r = t.

Из сравнений (4) и (3) следует:

поэтому

Подставив r = r

– t в (5), получим

Выводы:

1) при равномерном движении распределение касаE

тельного напряжения по радиусу трубы подчиняетE

ся линейному закону;

2) на стенке трубы касательное напряжение максиE

мально (когда r

= r, т. е. t = 0 ), на оси трубы оно

равно нулю (когда r

= t).

R — гидравлический радиус трубы,получим,что

.(7)

.(6)

ττ

−

.(5)

ττ

2) для установившегося движения вязкой несжиE

маемой жидкости между двумя сечениями (в наE

шем случае, это вход с x

и выход с x

применяем уравнение Бернулли:

В рассматриваемых сечениях поток должен быть

плавно изменяющимся. Между сечениями могло бы

произойти что угодно.

Поскольку суммарные потери напора

то находим потери напора на этом же участке;

3) по формуле (5) находим, что h

= h

пр

– h

, после этоE

го по формуле (2) находим искомый коэффициент

сопротивления

.(6)

мм

−

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

,(5)

np l м

h=h+h

111 222

,(4)

2g 2g

px px

t+ + =t + + +h

υυ

ρρ

В случае, когда Δ > δ

, труба считается «гидравE

лически шероховатой».

Характерно, что если для λ

лам

= f(Re

–1

), то в этом

случае λ

гд

= f(Re

–0,25

);

4) эта область находится на пути перехода потока к подE

вязкому слою: в этой области λ

лам

= (Re, Δ/r

). Как

видно, коэффициент Дарси уже начинает зависеть

от абсолютной шероховатости Δ;

5) эта область называется квадратичной областью

(коэффициент Дарси не зависит от числа РейнольдE

са, но определяется почти полностью касательным

напряжением) и является пристенной.

Эту область называют автомодельной, т. е. не заE

висящей от Re.

В общем случае, как известно, коэффициент Шези

Формула Павловского:

где п — коэффициент шероховатости;

R — гидравлический радиус.

При 0,1 ≤ R ≤ 3 м

причем при R < 1 м, при R > 1 м,

1,3 .yn≈

1,5 ,yn≈

()

2,5 0,13 0,75 0,1 ,y= n R n−− −

с= R

8/.c= g

В (4) комплекс υ

/gl называется критерием

Фруди, который формулируется так: потоки, в коE

торых преобладают силы тяжести, геометрически поE

добны, если

Это второе условие гидродинамического подобия.

Нами получены три критерия гидродинамического

подобия:

1. Критерий Ньютона (общие критерии).

2. Критерий Фруда.

3. Критерий Дарси.

Отметим только: в частных случаях гидродинамичеE

ское подобие может быть установлено также по

где Δ — абсолютная шероховатость;

R — гидравлический радиус;

J — гидравлический уклон.

мн

нм

=JJ

ΔΔ

⎛⎞ ⎛⎞

⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠ ⎝⎠

idem

=Fr

=1или ; (5)

45б

46б

47б

48б

49. Местные сопротивления

Что происходит после того, как поток вошел с некоE

торым напором и скоростью в трубопровод.

Это зависит от вида движения: если поток ламинарE

ный, то есть его движение описывается линейным

законом, тогда его кривая — парабола. Потери напора

при таком движении достигают (0,2 × 0,4) × (υ

/ 2g).

При турбулентном движении, когда оно описывается

логарифмической функцией, потери напора — (0,1 ×

× 1,5) × (υ

/2g).

После таких потерь напора движение потока стабиE

лизируется, то есть восстанавливается ламинарный

или турбулентный поток, каким и был входной.

Участок, на котором происходят вышеуказанные поE

тери напора, восстанавливается по характеру, прежE

нее движение называется начальным участком.

А чему равна длина начального участка l

нач

Турбулентный поток восстанавливается в 5 раз

быстрее, чем ламинарный, при одних и тех же гидраE

влических сопутствующих данных.

Рассмотрим частный случай, когда поток не сужаетE

ся, как рассмотрели выше, но внезапно расширяетE

ся. Почему происходят потери напора при такой геоE

метрии потока?

Для общего случая:

Чтобы определить коэффициенты местного сопроE

тивления, преобразуем (1) в следующий вид: раздеE

лив и умножив на υ

1. (2)

вр

υυ

⎛⎞

−

⎜⎟

⎝⎠

()

,(1)

вр

υυ

−

51. Гидравлический удар

Наиболее распространенным, то есть часто встреE

чающимся видом неустановившегося движения явE

ляется гидравлический удар. Это типичное явление

при быстром или постепенном закрытии затворов (резE

кое изменение скоростей в некотором сечении потока

приводит к гидравлическому удару). Как следствие, возE

никают давления, которые распространяются по всему

трубопроводу волной.

Эта волна может быть разрушительной, если не приE

нять специальные меры: могут разорваться трубы,

выйти из строя насосные станции, возникнуть насыE

щенные пары со всеми разрушительными последE

ствиями и т. д.

Гидравлический удар может порождать разрывы

жидкости в трубопроводе — это не менее серьезная

авария, чем разрыв трубы.

Наиболее часто встречающиеся причины гидравлиE

ческого удара следующие: внезапное закрытие (отE

крытие) затворов, внезапная остановка насосов при

заполнении трубопроводов водой, выпуск воздуха чеE

рез гидранты в оросительной сети, пуск насоса при отE

крытом затворе.

Если это уже случилось, то как протекает гидравлиE

ческий удар, какие последствия вызывает?

Все это зависит от того, по какой причине возник

гидравлический удар. Рассмотрим основную из этих

причин. Механизмы возникновения и протекания по

остальным причинам сходны.

Мгновенное закрытие затвора

Гидравлический удар, который происходит в этом

случае — чрезвычайно интересное явление.

52. Скорость распространения волны

гидравлического удара

В гидравлических расчетах немалый интерес предE

ставляет скорость распространения ударной волны

гидравлического удара, как и сам гидравлический

удар. Как ее определить? Для этого рассмотрим круE

глое поперечное сечение в упругом трубопроводе. Если

рассмотреть участок длиной Δl, то выше этого участка

за время Δt жидкость еще движется со скоростью υ

кстати, как и до закрытия затвора.

Поэтому в соответствующей длине l объем ΔV ′ войE

дет жидкость Q = ω

, т. е.

ΔV ′ = QΔt = ω

Δt, (1)

где площадь круглого поперечного сечения — объем,

образовавшийся в результате повышения давления

и, как следствие этого, изEза растяжек стены трубоE

провода ΔV

. Oбъем, который возник изEза роста давE

ления на Δp обозначим как ΔV

. Значит, тот объем, коE

торый возник после гидравлического удара, есть

ΔV = ΔV

+ ΔV

, (2)

ΔV ′ входит в ΔV.

Определимся теперь: чему будут равны ΔV

и ΔV

В результате растяжки трубы произойдет приращеE

ние радиуса трубы на Δr, то есть радиус станет равE

ным r = r

+ Δr. ИзEза этого увеличится круглое сечение

поперечного сечения на Δω = ω – ω

. Все это приведет

к приращению объема на

ΔV

= (ω – ω

)Δl = ΔωΔl . (3)

50. Расчет трубопроводов

Задачи расчета трубопроводов.

Требуются решать следующие задачи:

1) требуется определить расход потока Q, при этом

заданы напор Н; длина трубы l; шероховатость труE

бы Δ; плотность жидкости r; вязкость жидкости V

(кинематическая);

2) требуется определить напор Н. Заданы расход поE

тока Q; параметры трубопровода: длина l; диаметр

d; шероховатость Δ; параметры жидкости: ρ плотE

ность; вязкость V;

3) требуется определить необходимый диаметр труE

бопровода d. Заданы расход потока Q; напор Н; длиE

на трубы l; ее шероховатость Δ; плотность жидкоE

сти ρ; ее вязкость V.

Методика решений задач одна и та же: совместное

применение уравнений Бернулли и неразрывности.

Напор определяется выражением:

Расход жидкости,

поскольку J = H / l.

Важной характеристикой трубопровода является веE

личина, которая объединяет некоторые параметры

трубопровода, исходя из диаметра трубы (рассматриE

,Q=w =wc RJ

49а

50а

51а 52а

ваем простые трубы, где диаметр по всей длине

l постоянен). Этот параметр k называют расход&

ной характеристикой:

Если начинать наблюдение с самого начала трубоE

провода, то увидим: некоторая часть жидкости, не изE

меняясь, доходит до конца трубопровода транзитом.

Пусть это количество будет Q

(транзитный расход).

Жидкость по пути частично раздается потребитеE

лям: обозначим эту часть как Q

(путевой расход).

С учетом этих обозначений, в начале трубопровода

Q = Q

+ Q

соответственно, в конце расход потока

Q – Q

= Q

Что касается напора в трубопроводе, то:

расx

H=Q

.k=wc R

Следует иметь в виду, что индекс ноль ознаE

чает принадлежность параметра к начальному

состоянию.

Что касается жидкости, то ее объем уменьшится на

ΔV

изEза приращения давления на Δp.

Искомая формула скорости распространения волны

гидравлического удара:

где ρ — плотность жидкости;

D/l — параметр, характеризующий толщину стенE

ки трубы.

Очевидно, что чем больше D/l, тем меньше скорость

распространения волны С. Если труба жесткая абсоE

лютно, то есть Е = ∞, то, как следует из (4),

.(5)

,(4)

lЕ

Пусть имеем открытый резервуар, от которого

отводится гидравлическая прямолинейная труE

ба; на некотором расстоянии от резервуара труба имеет

затвор. Что произойдет при его мгновенном закрытии?

ВоEпервых, пусть:

1) резервуар настолько велик, что процессы, происE

ходящие в трубопроводе, в жидкости (в резервуаE

ре) не отражаются;

2) потери напора до закрытия затвора ничтожны, слеE

довательно, пьезометрическая и горизонтальная лиE

нии совпадают;

3) давление жидкости в трубопроводе происходит

только с одной координатой, две другие проекции

местных скоростей равны нулю; движение опредеE

ляется только продольной координатой.

ВоEвторых, теперь внезапно закроем затвор — в моE

мент времени t

; могут произойти два случая:

1) если стенки трубопровода абсолютно неупругие, т. е.

Е = ∞, и жидкость несжимаема (Е

= ∞), то движеE

ние жидкости также внезапно останавливается, что

приводит к резкому росту давления у затвора, поE

следствия могут быть разрушительны.

Приращение давления при гидравлическом ударе

по формуле Жуковского:

Δp = ρСυ

+ ρυ

Определим υ

/υ

из уравнения неразрывности

= υ

как υ

/υ

= w

и подставим в (2):

Остается заключить, что

..1

1. (4)

вр

⎛⎞

−

⎜⎟

⎝⎠

1. (3)

вр

⎛⎞

−

⎜⎟

⎝⎠

49б

50б

52б

51б

53. Дифференциальные уравнения

неустановившегося движения

Для того, чтобы составить уравнение любого вида

движения, нужно проецировать все действующие силы

на систему и приравнивать их сумму к нулю. Так и поE

ступим.

Пусть имеем напорный трубопровод круглого сечеE

ния, в котором есть неустановившееся движение жидE

кости.

Ось потока совпадает с осью l. Если выделить на этой

оси элемент dl, то, согласно вышеуказанному правилу,

можно составить уравнение движения

В приведенном уравнении проекции четырех сил, дейE

ствующих на поток, точнее, на Δl, равны нулю:

1) ΔM — силы инерции, действующие на элемент dl;

2) Δp — силы гидродинамического давления;

3) ΔT — касательные силы;

4) ΔG — силы тяжести: здесь мы, говоря о силах, имеE

ли в виду проекции сил, действующих на элемент Δl.

Перейдем к формуле (1), непосредственно к проекE

циям действующих сил на элемент Δt, на ось движения.

1. Проекции поверхностных сил:

1) для гидродинамических сил Δp проекцией будет

()

;(2)

ρω

∂

.(1)

MpGT

Δ=Δ+Δ+Δ

55. Истечение через

большое отверстие

Отверстие считают малым, когда его вертикальE

ные размеры d < 0,1Н. Большим отверстием будем

считать такое отверстие, для которого тот же d > 0,1Н.

Рассматривая истечение через малое отверстие,

практически пренебрегли различием скоростей в разE

ных точках сечения струи. В этом случае поступить так

же мы не сможем.

Задача та же: определить расход и скорости в сжаE

том сечении.

Поэтому расход определяют следующим способом:

выделяют бесконечно малую горизонтальную высоту

dz. Таким образом, получается горизонтальная полоE

са с переменной длиной b

. Тогда, интегрировав по

длине, можно найти элементарный расход:

где Z — переменный напор по высоте отверстия, на

такую глубину погружен верх выбранной полосы;

μ — коэффициент расхода через отверстие;

— переменная длина (или ширина) полосы.

Расход Q (1) можем определить, если μ = const и изE

вестна формула b

= f(z). В общем случае, расход

определяют по формуле

2. (2)

QgZbZdz

∫

2, (1)

dQ b gZ dz

56. Коэффициент расхода системы

Требуется выяснить вопрос о расходе, если истечеE

ние происходит по трубам, соединенным в одну систеE

му, но имеющих разные геометрические данные. Здесь

нужно рассмотреть каждый случай отдельно. Приведем

некоторые из них.

1. Истечение происходит между двумя резервуараE

ми при постоянном напоре через систему труб, у коE

торых разные диаметры и длина. В этом случае на выE

ходе системы Е = 1, следовательно, численно μ = υ, где

Е, μ, υ — коэффициенты соответственно сжатия, расE

хода и скорости.

2. Истечение происходит через систему труб с разE

ными ω (площадь поперечного сечения): при этом опреE

деляют суммарный коэффициент сопротивления сиE

стемы, который состоит из таких же коэффициентов,

но для каждого участка отдельно.

Истечение происходит в атмосферу через незатоE

пленное отверстие. В этом случае

где Н = z = const — напор;

μ, ω — коэффициент расхода и площадь сечения.

Для того, чтобы рассчитать расход, нужно в (1) вместо

коэффициента расхода m подставить коэффициент расE

хода системы:

,(2)

сист

х+

2, (1)QgH

μω

54. Истечение жидкости

при постоянном напоре

через малое отверстие

Будем рассматривать истечение, которое происхоE

дит через малое незатопленное отверстие. Для того,

чтобы отверстие считать малым, должны выполняться

условия:

1) напор в центре тяжести Н >> d, где d — высота отверE

стия;

2) напор в любой точке отверстия практически равен

напору в центре тяжести Н.

Что касается затопленности, то таковой считают

истечение под уровень жидкости при условии, если не

изменяются со временем: положение свободных поE

верхностей до и после отверстий, давление на свободE

ные поверхности до и после отверстий, атмосферное

давление по обе стороны от отверстий.

Таким образом, имеем резервуар с жидкостью, у коE

торой плотность ρ, из которого через малое отверстие

происходит истечение под уровень. Напор Н в центре

тяжести отверстия постоянен, что значит, скорости

истечения постоянны. Следовательно, движение устаE

новившееся. Условием равенства скоростей на протиE

воположных вертикальных границах отверстий являетE

ся условие d ≤ 0,1Н, где d — наибольший вертикальный

размер.

Ясно, что нашей задачей является определение скоE

рости истечения и расхода жидкости в нем.

Сечение струи, отстоящее от внутренней стенки реE

зервуара на расстояние 0,5d, называют сжатым се&

чением струи, которое характеризуется коэффициенE

том сжатия.

53а 54а

55а 56а

поскольку в (2) коэффициент Кориолиса (или

кинетической энергии) х отнесен к выходному сеE

чению, где, как правило х ≈ 1.

Такое же истечение происходит через затопленное

отверстие

в этом случае расход определяется по формуле (3), где

μ = μ

сист

, ω — площадь выходного сечения. При отсутE

ствии или незначительности скорости в приемнике

или трубе коэффициент расхода заменяется на

Нужно только иметь в виду, что при затопленном

отверстии и этот входит в

сист

вых

.(4)

сист

2, (3)Qgz

μω

56б

Формулы определения скорости и расхода

потока:

где υ

называется коэффициентом скорости.

Теперь выполним вторую задачу, определим расход

Q. По определению

Обозначим Еυ

= μ

, где μ

— коэффициент расхода,

тогда

Различают следующие разновидности сжатия:

1. Полное сжатие — это такое сжатие, которое проE

исходит по всему периметру отверстия, в противном

случае сжатие считается неполным сжатием.

2. Совершенное сжатие является одной из двух разE

новидностей полного сжатия. Это такое сжатие, когда

кривизны траектории, следовательно, и степень сжаE

тия струи наибольшие.

Подводя итог, заметим, что неполная и несовершенE

ная формы сжатий приводят к росту коэффициента

сжатия. Характерной особенностью совершенного сжаE

тия является то, что в зависимости от того, под воздейE

ствием каких сил происходит истечение.

2. (3)QgH

μω

2. (2)

CC C C

QEEgH

ωυ ω υ ωυ υ υ ω

== = ==

2, (1)

υυ

Если форма отверстия прямоугольная, то b

= b = const, интегрировав (2), получаем:

где Н

, Н

— напоры на уровнях соответственно у верхE

ней и у нижней кромок отверстия;

— напор над центром отверстия;

d — высота прямоугольника.

Формула (3) имеет более упрощенный вид:

В случае истечения через круглое отверстие предеE

лами интегрирования в (2) служат Н

= Н

– r; Н

= Н

+ r; Z = Н

– rcosυ; dz = ρsinυdυ; b

= 2rυsinυ.

Избегая математического излишества, приведем

конечную формулу:

Как видно из сравнений формул, особой разницы

в формулах для расхода нет, только при больших и маE

лых отверстиях коэффициенты расхода разные.

2. (4)QgH

μω

2,QgH

μω

()

2, (3)

QbgHH

=−

2) для касательных сил ΔT

Проекция касательных сил имеет вид:

–ρgωJdl. (3)

2. Проекция сил тяжести

ΔΔ

G на элемент

ΔΔ

3. Проекция сил инерции

ΔΔ

M равна

,(7)

tgl

∂∂

=− ×

∂∂

.(6)

lg gt

υυ

⎛⎞

∂∂

++=−×−

⎜⎟

∂∂

⎝⎠

ddz

gl gdl

dt dt l

υυ

ρξ ρω υ

∂

⎛⎞

−=− +

⎜⎟

∂

⎝⎠

d.(5)

gdl gdl

ρω ρω

∂

Θ=−

∂

sin . (4)

53б

54б

55б