Сборник трудов конференции Павловские чтения 2010

Пленарное заседание

80

}

+⋅−⋅⋅+++⋅⋅

ΒΦΒΦθΒΦθ

ξξξ

Sin)()H()H()()Н(

x

''

yyyyy

''

хх

2

{

⋅++⋅⋅−+⋅−⋅⋅+ 222 )()H()()(H

''

xyyy

''

x

''

yx

θΒΦΒΦθθΒΦ

ξξ

(11)

}

⋅⋅=⋅−⋅+−⋅⋅

ξξξ

ΒΦΒΦΒΦθΒΦ

HCos)(H)()H(

yyxx

''

yxx

2

[

]

.CosH)H(Sin

''

xyxyxy

ΒΦθΒΦΒΦ

ξξ

⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅ 22

При

y

''

x

ΒΦθ

−=

,

x

''

y

ΒΦθ

=

дифференциальное уравнение (11) превращается в

тождество.

Анализ (11),(6) показывает, что компоненты тензора напряжений и компоненты тензора

скоростей деформаций определяются одинаковыми гармоническими функциями координат

θ

и

Φ

. Действительно,

θΑθ

⋅−=

'

,

θΒθ

⋅−=

''

, при

Β

Α

=

,

'''

θ

=

.

Результат получен, благодаря решению замкнутой задачи и является здесь определяющим.

Поля напряжений и скоростей деформаций зависят от одинаковых функций, являющихся

параметрическими. Это позволяет установить между ними аналитическую связь в виде

математической модели деформируемой среды

С учетом

Β

Α

=m

,

( )

m

i

НT ⋅=

α

, (12)

где

i

Т

- интенсивность касательных напряжений,

i

H

- интенсивность скорости

деформации сдвига. Имеем простую модель пластической среды. Интенсивность касательных

напряжений зависит только от одного обобщенного параметра интенсивности скорости

деформации сдвига. Очевидно, последняя как-то связана со средней скоростью деформации в

очаге формоизменения.

СЛОЖНАЯ МОДЕЛЬ ПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ

Постановка задачи, включает:

уравнения равновесия

;

yx

;

yx

yyxxy

x

00 =

∂

+

∂

=

∂

+

∂

σ

τ

σ

условие пластичности

;k)(

xyyx

2

44 ⋅=⋅+−

τσσ

уравнения связи для скоростей деформаций и деформаций

;F

xy

.

yx

xy

yx

1

2

=

−

=

⋅

−

γ

ξ

τ

σ

;

2

F

xy

yx

xy

yx

=

γ

ε

−

ε

=

τ⋅

σ

−

σ

(13)

уравнения несжимаемости для скоростей деформаций и деформаций

;

yx

0

=

+

ξ

0

=

+

yx

ε

;

уравнения неразрывности скоростей деформаций и деформаций

Пленарное заседание

81

;

'2

2

xyxy

xyy

x

∂∂

γ∂

=

∂

ξ∂

+

∂

ξ∂

;

2

xyxy

xyy

x

∂∂

γ∂

=

∂

ε∂

+

∂

ε∂

уравнение теплопроводности

)

y

T

x

T

(a

t

T

2

∂

+

∂

=

∂

,

Сложная модель пластической среды, так как она является зависимостью от

нескольких параметров очага деформации

3

21

m

i

m

i

)T()()H(T ⋅⋅⋅=

Γχ

(14)

где

i

Г

- интенсивность деформации сдвига,

T

- температура в каждой точке очага

деформации. Модель (14) - это реальная упрочняющаяся среда. Граничные условия для

напряжений в виде (2). Все интенсивности и температура принимаются зависимыми от координат

очага деформации и, каким-то образом определены средними значениями соответствующих

параметров в зоне обжатия, т.е.

),y,x(TT),y,x(HH),y,x(

i

=

Γ

(15)

Используя уравнения совместности деформаций и скоростей деформаций системы (13),

аналогично уравнениям (4), (9), имеем три уравнения второго порядка в частных производных,

неоднородных, гиперболического типа

22

2

xy

xyxy

k

yxyx

τ

ττ

−

∂∂

∂

⋅=

∂

−

∂

,

F

xyxy

x

xx

ξ

ξξ

⋅

∂∂

∂

⋅=

∂

−

∂

1

2

1

2

(16)

,

F

xyxy

x

xx

ε

εε

⋅

∂∂

∂

⋅=

∂

−

∂

2

1

2

Решение задачи

Подставляя (7), с учетом (15), в первое уравнение системы (16), получим

(

)

{

(

)

[

]

−++++++

2

yx

'

tix

'

гix

'

н

x

'

tix

'

гix

'

н

TГHTГH

ΑΦθθθθθθ

(

)

(

)

[

]

⋅







+−++−++−

xyxy

'

tiy

'

гiy

'

н

y

'

tiy

'

гiy

'

н

AATГHTГH

ΦΦθθθθθθ

2

( )

(

)

[

]

(

)

[

]

{

+++−⋅+++⋅+⋅

y

'

tiy

'

гiy

'

нxyx

'

tix

'

гix

'

н

T

Г

HT

Г

HSin

θθθΑΦΑΦθθθΑΦ

2

(

+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅−−+

ixy

'

гiyix

'

ггixy

'

нiyix

'

ннyyxx

ГГГ

HHH

θθθθΑΦΑΦ

2

)

}

( )

0=⋅⋅+⋅⋅+

ΑΦθθ

CosTTT

xy

'

tyx

'

tt

, (17)

Уравнение (17) будет тождественно удовлетворено при условии (7), т.е.

Пленарное заседание

82

(

)

yx

'

tix

'

гix

'

н

'

x

TГH

ΑΦθθθθ

−=++=

(

)

xy

'

tiy

'

гiy

'

н

'

y

ATГH

Φθθθθ

=++=

.

Если смешанные производные равны нулю, тогда

,dГd,dHd

i

'

г

'

i

'

н

'

θθθθ

==

2

1

dTd

'

t

'

θθ

=

3

,

''''

dddd

3

2

1

θθθθ

++=

,

),H(

i

''

θθ

=

1

)(

i

''

Γθθ

=

2

,

)T(

''

θθ

=

3

.

Показатель экспоненты определяется как сумма трех функций, учитывающих влияние

скорости деформации, степени деформации и температуры, т.е.

),(

'''''''

θΑθΑθΑθθθθΑθ

3

2

1

3

2

1

++−=++=−=

θΑθ

''

1

−=

,

θΑθ

''

2

−=

,

θΑθ

''

3

−=

,

отсюда

'''

3

2

1

ΑΑΑΑ

++=

, где

'''

,,

3

2

1

ΑΑΑ

- постоянные величины, определяющие

влияние скорости, степени деформации и температуры.

Сопротивление сдвигу и составляющие тензора напряжений

)exp()exp()exp(СkT

'''

i

θΑθΑθΑ

σ

3

2

1

−⋅−⋅−⋅==

, (18а)

)(Sin)exp()exp()exp(С

'''

xy

ΑΦθΑθΑθΑτ

σ

⋅−⋅−⋅−⋅=

321

, (18б)

C)y(f)(Cos)exp()exp()exp(С

'''

x

+++⋅−⋅−⋅−⋅=

0

3

2

1

σΑΦθΑθΑθΑσ

σ

,

(18в)

C)x(f)(Cos)exp()exp()exp(С

'''

y

+++⋅−⋅−⋅−⋅−=

0321

σΑΦθΑθΑθΑσ

σ

, (18г)

при

yx

'

x

'

x

''

x

)()()(

ΑΦθθθθ

−=++=

321

,

.)()()(

xy

'

y

'

y

''

y

ΑΦθθθθ

=++=

321

Перейдем к рассмотрению деформационной задачи

;ctg

xy

yx

ΑΦ

τ

σ

=

⋅

−

2

;ctg

xy

'

yx

ΦΒ

γ

ξ

1

=

−

xy

yx

γ

ε

−

=

Φ

Β

2

ctg

,

Аналогично (10) принимаем

ΦΒθξξ

ξ

11

CosexpC

''

yx

⋅⋅=−=

;

ΦΒθεε

ε

22

CosexpC

''

yx

⋅⋅=−=

,

ΦΒξξγ

1

2

1

2 tg

F

xx

xy

'

⋅⋅=⋅⋅=

,

ΦΒεεγ

2

1

2 tg

F

xxxy

⋅⋅=⋅⋅=

Подставляя последние соотношения в уравнения неразрывности скоростей деформаций и

деформаций (16) получаем

[

]

+⋅−+++−−

ΦΒΦΒθθΦΒθθ

1111

2

111

Sin)()(

x

''

y

''

yyy

''

x

''

xx

[

)()(

y

''

x

''

yx

ΦΒθθΦΒ

1111

2 +⋅−⋅+

+

]

=

⋅

−

Φ

Β

Φ

Β

Φ

Β

111

Cos)(

yyxx

,CosSin

''

xyxy

ΦΒθΦΒΦΒ

1111

22 ⋅⋅+⋅⋅=

(19)

Пленарное заседание

83

также

[

]

+⋅−+++−−

ΦΒΦΒθθΦΒθθ

2222

2

222

Sin)()(

x

''

y

''

yyy

''

x

''

xx

[

)()(

y

''

x

''

yx

ΦΒθθΦΒ

2222

2 +⋅−⋅+

+

]

=

⋅

−

Φ

Β

Φ

Β

Φ

Β

222

Cos)(

yyxx

,CosSin

''

xyxy

ΦΒθΦΒΦΒ

2222

22 ⋅⋅+⋅⋅=

(20)

Появляются аналогичные скобки (17),(19),(20). Это позволяет получить тождества для

функций

x

ξ

и

x

ε

в уравнениях неразрывности при условии

yx

''

)(

ΦΒθ

11

−=

,

,)(

xy

''

ΦΒθ

11

=

yx

''

)(

ΦΒθ

22

−=

,

xy

''

)(

ΦΒθ

22

=

. Полученные выше дифференциальные

соотношения представляют собой соотношения Коши-Римана, а указанные функции являются

гармоническими.

Выражения для скоростей деформаций и деформаций имеют вид

ΦΒθΒΦΒθξξ

ξξ

1111

Cos)exp(CCosexpC

''

yx

⋅−⋅=⋅⋅=−=

, (21а)

ΦΒθΒΦΒθγ

ξξ

1111

22 Sin)exp(CSinexpC

''

xy

'

⋅−⋅=⋅⋅=

, (21б)

)exp(CexpCH

''

i

θΒθ

ξξ

11

22 −⋅=⋅=

, (21в)

и

ΦΒθΒΦΒθεε

εε

2222

Cos)exp(CCosexpC

''

yx

⋅−⋅=⋅⋅=−=

, (22а)

ΦΒθΒΦΒθγ

εε

2222

22 Sin)exp(CSinexpC

''

xy

⋅−⋅=⋅⋅=

, (22б)

)exp(CexpC

''

i

θΒθΓ

ε

2

22 −⋅=⋅=

, (22в)

при

,)(

xy

''

ΦΒθ

11

=

yx

''

)(

ΦΒθ

11

−=

,

,)(

xy

''

ΦΒθ

22

=

yx

''

)(

ΦΒθ

22

−=

.

Сопоставляя формулы (18), (21) и (22), убеждаемся, что во всех выражениях имеют место

функции от координат

θ

и

Φ

. Поля напряжений, скоростей деформаций и деформаций

согласуются присутствием указанных функций.

Рассмотрим температурную задачу, решение которой также может определяться

указанными выше зависимостями. Дифференциальное уравнение для стационарного

температурного поля

0

2

=

∂

+

∂

y

T

x

T

.

Решение определяется в виде

),CosSin()exp(CT

''

T

ΦΒΦΒθ

3

+⋅⋅=

(23)

Покажем, что (23) является решением уравнения Лапласа.

Подставив производные от (23) в уравнение теплопроводности, после упрощений, получим

[

]

{

[

]

[

]

⋅+++−⋅++

xy

''

yy

''

yx

''

yx

''

xx

''

)()()()()(

ΦΒθθΦΒθΦΒθθ

33333333

Пленарное заседание

84

[

]

}

[

⋅++⋅⋅++⋅−⋅ 22

3333333 xxxx

''

xy

''

)()CosSin()(

ΦΒΦΒθΦΒΦΒΦΒθ

]

0

33333

=−⋅+⋅⋅ )SinCos()(

yyyy

''

ΦΒΦΒΦΒΦΒθ

. (24)

Как и ранее, в уравнении (24) появляются скобки,

[

]

yx

''

)(

ΦΒθ

33

+

,

[

]

xy

''

)(

ΦΒθ

33

−

,

которые являются результатом преобразований нелинейных операторов, стоящих при

тригонометрических функциях. Если положить указанные скобки равными нулю,

yx

''

)(

ΦΒθ

33

−=

,

xy

''

)(

ΦΒθ

33

=

, дифференциальное уравнение (24) превращается в

тождество. Выражения в скобках соответствуют условию Коши-Римана. Следовательно,

вводимые в рассмотрение функции являются гармоническими, и в температурных зависимостях

присутствуют те же переменные, что и для напряжений и деформаций. Для температурной задачи

θΒθ

3

−=

''

.

Интенсивности и температура параметрически заданы от одинаковых координатных

функций. Деформационные параметры и температуру можно математически выразить через

единую зависимость. Таким образом,

3

21

1

33

11

22

Β

ε

Β

ξ

ΦΒΦΒ

Γ

θ

)

)CosSin(C

T

()

C

()

C

H

()exp(

T

ii

+⋅

=

⋅

=

⋅

=−

.

Подставляя в выражение для сопротивления деформации

i

Tk

=

, получим

( )

⋅













⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

3

21

321

22

m

T

mm

'

CCCCCCCk

σεσξσσ

3

21

m

i

m

i

)T()()H(

Γ

⋅

, (25)

при

,Cos)exp(CT

''

T

ΦΒθ

3

⋅⋅=

где

1

Β

Α

'

m =

,

2

Β

Α

'

m =

,

3

Β

Α

'

m =

.

После введения обозначений в (25) получим (14)

.)T()()H(T

m

i

m

i

3

21

⋅⋅⋅=

Γχ

Следует отметить, что сопротивление сдвигу является сложной , многофакторной

функцией от термомеханических параметров в каждой точке очага деформации. Если изменение

указанных функций можно привести в соответствие относительно их средних значений, тогда

распределение их можно считать заданным. Выражение (25) в сравнении с (12) расширяет

возможности расчета и анализа напряженно-деформированного состояния пластической среды.

РЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧЕСКАЯ СРЕДА

При изучении напряженного состояния пластической среды часто ограничиваются

определением безразмерных значений напряженного состояния, например отношением

нормального напряжения к пределу текучести. При этом распределение реального предела

текучести по очагу не исследуется, что во многом ограничивает возможности расчета. В

настоящее время используются методы определения среднего предела текучести в зоне

деформирования.

Пленарное заседание

85

На основании экспериментальных данных, получены зависимости предела текучести от

химического состава, степени, скорости деформации, температуры .

Аналитически определена математическая модель пластической среды с использованием

замкнутого решения плоской задачи теории пластичности (14). Поля напряжений, деформаций,

скоростей деформаций и температур описываются одинаковыми координатными функциями, что

позволяет связать кинематические параметры процесса с силовыми.

Покажем возможности метода гармонических функций для определения напряженного

состояния пластической среды с учетом многофакторной аналитической зависимости

компонентов тензора напряжений [4].

Постановка задачи аналогична (13).

Воспользуемся первым уравнением системы (17). Его решение ищем в виде

'

4

3

m

2

m

i

1

m

i

exp)T()()H(Ck

θΓ

σ

⋅⋅⋅⋅=

. (26)

Сопротивление пластической деформации

k

отличается от решения (14), значением

'

exp

4

θ

, тогда

''

4

'

3

'

2

'

1

expCexpexpexpexpCk

θθθθθ

σ

⋅=⋅⋅⋅⋅=

, (27)

где

'

4

'

3

'

2

'

1

'

θθθθθ

+++=

,

θΑθ

1

'

1

−=

,

θΑθ

2

'

2

−=

,

θΑθ

3

'

3

−=

,

θΑθ

4

'

4

−=

или

(

)

θΑθΑΑΑΑθ

⋅=⋅+++=

4

3

2

1

'

После подстановки (27), и с учетом граничных условий, в обобщенное уравнение

равновесие, получим

(

)

(

)

( )

+⋅













+−−−++

ΑΦΑΦΑΦθθΑΦθθ

Sin2

xy

2

x

'

y

'

yy

2

y

'

x

'

xx

(

)

(

)

{

}

( )

022 =⋅−−+−++

ΑΦθΑΦΑΦθΑΦΑΦθ

Cos

'

xyyyxx

'

yxy

'

x

, (28)

Для тождественного удовлетворения уравнения (28) должно выполняться условие

y

'

x

ΑΦθ

−=

,

x

'

y

ΑΦθ

=

.

В составляющих тензоров напряжений, скоростей деформаций, деформаций и температур

присутствуют одинаковые координатные функции

θ

и

Φ

. Решения представлены в виде

(21)…(23).

При этом показатели экспонент

θθ

1

''

1

B−=

.

θθ

2

''

2

B−=

.

Температура определяется зависимостью (23) и для уравнения Лапласа и может иметь

несколько измененный вид

),CosBCSinBC()exp(T

3

''

T

3

'

T

''

3

ΦΦθ

⋅+⋅⋅=

(29)

Отличие (29) по сравнению с (23) заключается в том, что вместо постоянной

Т

С

вводится

две постоянные

'

Т

С

и

''

T

C

. Это позволяет маневрировать решением, например, рассматривать

четные или не четные тригонометрические функции.

Для температурной задачи

θθ

3

''

3

B−=

. Деформационные параметры и температуру

можно математически выразить через единую функцию, см. формулу для определения

)

exp(

θ

−

.

Отсюда выражение для

k

, получим после упрощений

Пленарное заседание

86

'

B

A

'

B

A

i

B

A

i

exp)T()Г()H(Ck

'

''

4

3

2

1

θ

σ

⋅⋅⋅=

,

где

σ

C

- постоянная величина, куда вошли значения

εξ

C,C

. При этом,

1

'

1

B

A

m =

,

2

'

2

B

A

m =

,

3

'

3

B

A

m =

,

имеем

'

m

i

m

i

exp)T()Г()H(Ck

4

3

21

θ

σ

⋅⋅=

.

В литературе известны аналогичные модели, но полученные на основании

экспериментальных исследований в условиях однородного напряженного и деформированного

состояний [5]. Для разных марок стали предел текучести

T

σ

в зависимости от интегральных

параметров: скорости деформации

U

, степени деформации

ε

, температуры

о

T

, имеет вид

( )

c

o

b

a

oT

T

US













⋅⋅⋅⋅⋅=

1000

10

εσσ

. (30)

Используя (26), и выражение (30), как своеобразное граничное условие, можно получить

распределение предела текучести по объему очага деформации в зависимости от распределения

скорости деформации, степени деформации и температуры. Изменение параметров

T,H,Г

i

по

объему можно определить, используя выражения (21в), (22в). Вопрос заключается в том, как

перейти от среднего постоянного значения предела текучести к переменному по очагу. В этом

случае формулу Андреюка-Тюленева следует представить как частный случай выражения (26).

Это можно сделать, если предположить, что (30) соответствует однородному напряженно-

деформируемому состоянию. В реальных процессах ОМД такое явление имеет место при

отсутствии контактного трения. При подстановке в (26) значений из (21)…(22) и

0C

'

T

=

с учетом

0

'

=

θ

ΑΦ

, получим

(

)

( )

(

)

3

m

''

T3

2

m

2

1

m

1

CCCC2CC2Ck ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

σεσξσσ

. (31)

Из граничных условий имеем

oo

o

Cosexp

k

C

ΑΦθ

σ

⋅

=

,

Выражение (31) структурно аналогично (30). Следовательно

3

S

k

o

σ

⋅

=

,

UCC2

1

=

⋅

ξσ

,

ε

σ

10CC2

2

=

⋅

,

1000

T

CC

o''

T3

=⋅

σ

am

=

1

,

bm

2

=

,

cm

3

=

.

Следует подчеркнуть, что

o

T,,U

ε

средние величины по очагу деформации. Определим

постоянные величины

ξ

C

,

ε

C

,

''

T

C

.

Сопоставляя последние формулы

k

, с учетом всех изменений можно записать

Пленарное заседание

87

( )

'

4

c

T

ba

o

exp

1000

T

10U

Cosexp3

S

k

θααεα

ΑΦθ

σ

εξ

⋅













⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

⋅

=

, (32)

где

1

''

1

I

)exp(

θ

α

ξ

−

=

,

2

''

2

I

)exp(

θ

α

ε

−

=

,

3

''

3

T

I

)exp(

θ

α

−

=

,

3

2

1

I,I,I

- соответствующе интегралы по объему от экспонент.

Используя выражение (32) , из уравнений равновесия имеем формулы для определения

нормальных напряжений

x

σ

и

y

σ

, действительно

C)y(f)A(Cosexpk

0

'

4

'

x

+++⋅⋅=

σΦθσ

,

C)x(f)A(Cosexpk

0

'

4

'

y

+++⋅⋅−=

σΦθσ

, (33)

Φθτ

SinAexpk

''

xy

⋅⋅=

4

,

где

( )

c

T

ba

o

'

1000

T

10U

Cosexp3

S

k













⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

⋅

=

ααεα

ΑΦθ

σ

εξ

.

Значения постоянных величин в (32) представлены в [5] (экспериментальные данные

Андреюка, Тюленева). Значение

'

k

является переменной величиной и при коэффициенте трения

0

f

=

,

1

T

=

α

εξ

,

1exp

o

=

θ

,

1Cos

o

=

ΑΦ

,

'

k

практически определяется формулой

Андреюка-Тюленева (31). Функции

θ

и

ΑΦ

являются гармоническими, удовлетворяющие

уравнению Лапласа.

Согласно выражениям (31)…(33) были подсчитаны напряжения при разных значениях

коэффициента трения, фактора формы, степени, скорости деформации, температуры для разных

марок стали, рис.1…6.

Из рис.1,2 видно, что решение реагирует на коэффициент трения и фактор формы, как для

нормальных, так и касательных напряжений, плавно переходящих через ноль в области

нейтральной оси на контакте. На рис.3 показано распределение напряжений при различной

степени деформации для Ст3 сп . Анализ показывает, что марка стали и величина обжатия

ε

изменяют характер распределения напряжений в зоне течения металла. Для той же марки стали

получено распределение напряжений на контакте при разных скоростях деформации, рис.4. Как и

для деформаций, распределение напряжений в очаге во многом определяется скоростными

параметрами процесса. При горячей обработке температурный фактор во многом является

определяющим, в значительной степени он характеризует распределение напряжений в объеме

деформируемого материала, рис.5. Разные марки стали представлены на рис.6.

Решением задачи показано, что существует возможность аналитического определения

модели сложной пластической среды, учитывающей влияние достаточного количества факторов

на напряженное состояние деформируемого металла. Появляются новые возможности расчета в

зависимости от распределения термомеханических параметров по очагу пластического течения.

Это позволяет прогнозировать свойства материала после пластической обработки, учитывать

влияние не только контактного трения и фактора формы на распределение и величину

контактного давления, но и температурно-скоростные факторы формоизменения.

Пленарное заседание

88

ВЫВОДЫ

1. На базе замкнутого решения получены аналитические зависимости, определяющие

математические модели пластической среды разной сложности.

2. Сложная модель пластической среды учитывает влияние на предел текучести не только

контактного трения и фактора формы, но и термомеханические характеристики процесса

пластического формоизменения.

3. Показана возможность аналитического учета многофакторного воздействия

термомеханических параметров на распределение предела текучести и компонентов тензора

напряжений в аналитическом виде.

Пленарное заседание

89

Рис.1. Распределение нормальных и касательных напряжений на контакте в зависимости от

коэффициента трения при

5

h

/

l

=

5

.

0

...

1

.

0

f

=

Сборник трудов конференции Павловские чтения 2010

Подождите немного. Документ загружается.