Теорія ймовірностей
58
Примітка. Шуканий результат в останньому виразі поданий, на
перший погляд, у незручній формі. Однак, саме ця форма найбільше
підходить для порівняння рішення, отриманого за допомогою основних
теорем теорії ймовірностей, з рішенням за формулою Бернуллі, яку буде
розглянуто в наступному підрозділі.
Як було сказано раніше, всі задачі на повторення незалежних
експериментів можуть бути вирішені за допомогою основних теорем теорії
ймовірностей. Але в умовах великого числа випробувань вирішення таких
задач за допомогою основних теорем стає малоефективним через великі
витрати часу на обчислювальні процедури. Щоб уникнути рутинних
обчислень, у теорії ймовірності розроблені спеціальні математичні засоби,
які й складають предмет подальшого розгляду.
3.2.2. Формула Бернуллі
У вирішенні останньої задачі за допомогою основних теорем теорії
ймовірностей при пошуку ймовірності настання події А рівно 2 рази в
трьох експериментах, тобто ймовірності Р(В), ми змушені були вдатися до
повного перебору можливих виходів, що сприяють події В. Така процедура
повного перебору виправдує себе тільки при невеликому числі
випробувань. У разі великого числа випробувань, набагато ефективніше
використовувати формулу Бернуллі, що призначена саме для цієї цілі.
Теорема 3.3 (Теорема Бернуллі). Якщо
робиться
n
незалежних випробувань, у кожному
з яких подія
А
з'являється з однаковою
ймовірністю
р,
то ймовірність того, що в цих
випробуваннях подія
А
відбудеться рівно
k
разів (байдуже, в якій послідовності)
визначається за формулою
.1
kn
kk
nn
ppCkP
−
−=
(3.7)
Теорема 3.3 приводиться без доказу, оскільки він примітивний і
громіздкий. Читачеві пропонується довести теорему самостійно на основі
використання комбінаторної формули обчислення числа сполучень.
Формула (3.7) відома як формула Бернуллі.
Рекомендується використовувати формулу Бернуллі при числі
випробувань, що не перевищує числа 10.