Самохин А.В. Математическая логика и теория алгоритмов

Подождите немного. Документ загружается.

§1. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ É ÐÏÒÑÄÏË 41

úÁÄÁÞÁ 72. (ôÅÏÒÅÍÁ òÁÍÓÅÑ) íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ k-ÜÌÅÍÅÎÔÎÙÈ ÐÏÄÍÎÏ-

ÖÅÓÔ× ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ÒÁÚÂÉÔÏ ÎÁ l ËÌÁÓÓÏ× (k, l ¡ ÎÁÔÕÒÁÌØ-

ÎÙÅ ÞÉÓÌÁ). äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÁÊÄ¾ÔÓÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B ⊂ A, ×ÓÅ

k-ÜÌÅÍÅÎÔÎÙÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ËÏÔÏÒÏÇÏ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ÏÄÎÏÍÕ ËÌÁÓÓÕ.

(ðÒÉ k = 1 ÜÔÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ: ÅÓÌÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÁÚÂÉÔÏ ÎÁ ËÏ-

ÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ËÌÁÓÓÏ×, ÔÏ ÏÄÉÎ ÉÚ ËÌÁÓÓÏ× ÂÅÓËÏÎÅÞÅÎ. ðÒÉ k = 2 É l = 2

ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÔÁË: ÉÚ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á

ÌÀÄÅÊ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÌÉÂÏ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÏ ÐÏÐÁÒÎÏ ÚÎÁËÏÍÙÈ, ÌÉÂÏ ÂÅÓ-

ËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÏ ÐÏÐÁÒÎÏ ÎÅÚÎÁËÏÍÙÈ. ëÏÎÅÞÎÙÊ ×ÁÒÉÁÎÔ ÜÔÏÇÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅ-

ÎÉÑ ¡ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÓÒÅÄÉ ÌÀÂÙÈ ÛÅÓÔÉ ÌÀÄÅÊ ÅÓÔØ ÌÉÂÏ ÔÒÉ ÐÏÐÁÒÎÏ ÚÎÁ-

ËÏÍÙÈ, ÌÉÂÏ ÔÒÉ ÐÏÐÁÒÎÏ ÎÅÚÎÁËÏÍÙÈ, ¡ ÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉ-

ËÏ×.)

íÎÏÖÅÓÔ×Ï ËÌÁÓÓÏ× ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÆÁËÔÏÒ-ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ

ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X ÐÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ R. (åÓÌÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÓÏÇÌÁÓÏ-

×ÁÎÏ Ó ÄÏÐÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÍÉ ÓÔÒÕËÔÕÒÁÍÉ ÎÁ X, ÐÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÆÁËÔÏÒ-ÇÒÕÐÐÙ,

ÆÁËÔÏÒ-ËÏÌØÃÁ É Ô. Ä.)

ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÎÁÍ ÎÅ ÒÁÚ ÅÝ¾ ×ÓÔÒÅÔÑÔÓÑ, ÎÏ ÓÅÊÞÁÓ ÎÁÛÁ

ÏÓÎÏ×ÎÁÑ ÔÅÍÁ ¡ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÐÏÒÑÄËÁ.

âÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ 6 ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å X ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÞÁ-

ÓÔÉÞÎÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÅÓÌÉ ×ÙÐÏÌÎÅÎÙ ÔÁËÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á:

• (ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔØ) x 6 x ÄÌÑ ×ÓÅÈ x ∈ X;

• (ÁÎÔÉÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔØ) x 6 y É y 6 x ⇒ x = y ÄÌÑ ×ÓÅÈ x, y ∈ X;

• (ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔØ) x 6 y É y 6 z ⇒ x 6 z ÄÌÑ ×ÓÅÈ x, y, z ∈ X.

(óÌÅÄÕÑ ÔÒÁÄÉÃÉÉ, ÍÙ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍ ÓÉÍ×ÏÌ 6 (Á ÎÅ ÂÕË×Õ) ËÁË ÚÎÁË ÏÔÎÏ-

ÛÅÎÉÑ ÐÏÒÑÄËÁ.) íÎÏÖÅÓÔ×Ï Ó ÚÁÄÁÎÎÙÍ ÎÁ Î¾Í ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ

ÐÏÒÑÄËÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÍ.

çÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ Ä×Á ÜÌÅÍÅÎÔÁ x, y ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÓÒÁ×-

ÎÉÍÙ, ÅÓÌÉ x 6 y ÉÌÉ y 6 x. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ

ÎÅ ÔÒÅÂÕÅÔ, ÞÔÏÂÙ ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÂÙÌÉ ÓÒÁ×ÎÉÍÙ. äÏÂÁ-

×É× ÜÔÏ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÅ, ÍÙ ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ (ÌÉÎÅÊÎÏ

ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á).

ðÒÉ×ÅÄ¾Í ÎÅÓËÏÌØËÏ ÐÒÉÍÅÒÏ× ÞÁÓÔÉÞÎÙÈ ÐÏÒÑÄËÏ×:

• þÉÓÌÏ×ÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Ó ÏÂÙÞÎÙÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÐÏÒÑÄËÁ (ÚÄÅÓØ ÐÏÒÑÄÏË

ÂÕÄÅÔ ÌÉÎÅÊÎÙÍ).

• îÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å R × R ×ÓÅÈ ÐÁÒ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÍÏÖÎÏ ××ÅÓÔÉ

ÞÁÓÔÉÞÎÙÊ ÐÏÒÑÄÏË, ÓÞÉÔÁÑ, ÞÔÏ hx

, x

i 6 hy

, y

i, ÅÓÌÉ x

6 x

É y

6 y

. üÔÏÔ ÐÏÒÑÄÏË ÕÖÅ ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÌÉÎÅÊÎÙÍ: ÐÁÒÙ h0, 1i É h1, 0i ÎÅ

ÓÒÁ×ÎÉÍÙ.

42 çÌÁ×Á II. õÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á

• îÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÆÕÎËÃÉÊ Ó ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÍÉ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁÍÉ É ÚÎÁÞÅÎÉÑ-

ÍÉ ÍÏÖÎÏ ××ÅÓÔÉ ÞÁÓÔÉÞÎÙÊ ÐÏÒÑÄÏË, ÓÞÉÔÁÑ, ÞÔÏ f 6 g, ÅÓÌÉ f(x) 6

6 g(x) ÐÒÉ ×ÓÅÈ x ∈ R. üÔÏÔ ÐÏÒÑÄÏË ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÌÉÎÅÊÎÙÍ.

• îÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÃÅÌÙÈ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÍÏÖÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÐÏÒÑ-

ÄÏË, ÓÞÉÔÁÑ, ÞÔÏ x 6 y, ÅÓÌÉ x ÄÅÌÉÔ y. üÔÏÔ ÐÏÒÑÄÏË ÔÏÖÅ ÎÅ ÂÕÄÅÔ

ÌÉÎÅÊÎÙÍ.

• ïÔÎÏÛÅÎÉÅ ÌÀÂÏÊ ÐÒÏÓÔÏÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ ÞÉÓÌÁ x Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁËÖÅ É ÄÅ-

ÌÉÔÅÌÅÍ ÞÉÓÌÁ y ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÐÏÒÑÄËÁ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÃÅÌÙÈ

ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ (ÏÎÏ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ, ÎÏ ÎÅ ÁÎÔÉ-

ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ).

• ðÕÓÔØ U ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï. ôÏÇÄÁ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å P (U) ×ÓÅÈ

ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á U ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ ⊂ ÂÕÄÅÔ ÞÁÓÔÉÞÎÙÍ

ÐÏÒÑÄËÏÍ.

• îÁ ÂÕË×ÁÈ ÒÕÓÓËÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ ÔÒÁÄÉÃÉÑ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÐÏÒÑÄÏË

(Á 6 Â 6 × 6 . . . 6 Ñ). üÔÏÔ ÐÏÒÑÄÏË ÌÉÎÅÅÎ ¡ ÐÒÏ ÌÀÂÙÅ Ä×Å ÂÕË×Ù

ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ËÁËÁÑ ÉÚ ÎÉÈ ÒÁÎØÛÅ (ÐÒÉ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÚÁÇÌÑÎÕ× ×

ÓÌÏ×ÁÒØ).

• îÁ ÓÌÏ×ÁÈ ÒÕÓÓËÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ ÏÐÒÅÄÅÌ¾Î ÌÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÊ ÐÏÒÑÄÏË

(ËÁË × ÓÌÏ×ÁÒÅ). æÏÒÍÁÌØÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÔÁË: ÅÓÌÉ ÓÌÏ×Ï x

Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÞÁÌÏÍ ÓÌÏ×Á y, ÔÏ x 6 y (ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ËÁÎÔ 6 ËÁÎÔÏÒ). åÓÌÉ

ÎÉ ÏÄÎÏ ÉÚ ÓÌÏ× ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÞÁÌÏÍ ÄÒÕÇÏÇÏ, ÐÏÓÍÏÔÒÉÍ ÎÁ ÐÅÒ×ÕÀ ÐÏ

ÐÏÒÑÄËÕ ÂÕË×Õ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÓÌÏ×Á ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ: ÔÏ ÓÌÏ×Ï, ÇÄÅ ÜÔÁ ÂÕË×Á

ÍÅÎØÛÅ × ÁÌÆÁ×ÉÔÎÏÍ ÐÏÒÑÄËÅ, É ÂÕÄÅÔ ÍÅÎØÛÅ. üÔÏÔ ÐÏÒÑÄÏË ÔÁËÖÅ

ÌÉÎÅÅÎ (ÉÎÁÞÅ ÞÔÏ ÂÙ ÄÅÌÁÌÉ ÓÏÓÔÁ×ÉÔÅÌÉ ÓÌÏ×ÁÒÅÊ?).

• ïÔÎÏÛÅÎÉÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ((x 6 y) ⇔ (x = y)) ÔÁËÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ

ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÉËÁËÉÅ Ä×Á ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÎÅ

ÓÒÁ×ÎÉÍÙ.

• ðÒÉ×ÅÄ¾Í ÔÅÐÅÒØ ÂÙÔÏ×ÏÊ ÐÒÉÍÅÒ. ðÕÓÔØ ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X ËÁÒÔÏÎ-

ÎÙÈ ËÏÒÏÂÏË. ÷×ÅÄ¾Í ÎÁ Î¾Í ÐÏÒÑÄÏË, ÓÞÉÔÁÑ, ÞÔÏ x 6 y, ÅÓÌÉ ËÏÒÏÂËÁ x

ÃÅÌÉËÏÍ ÐÏÍÅÝÁÅÔÓÑ ×ÎÕÔÒØ ËÏÒÏÂËÉ y (ÉÌÉ ÅÓÌÉ x É y ¡ ÏÄÎÁ É ÔÁ ÖÅ

ËÏÒÏÂËÁ). ÷ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÎÁÂÏÒÁ ËÏÒÏÂÏË ÜÔÏÔ ÐÏÒÑÄÏË ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ

ÉÌÉ ÎÅ ÂÙÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÍ.

ðÕÓÔØ x, y ¡ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X. çÏ×ÏÒÑÔ,

ÞÔÏ x < y, ÅÓÌÉ x 6 y É x 6= y. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ×ÙÐÏÌÎÅÎÙ ÔÁËÉÅ

Ó×ÏÊÓÔ×Á:

x 6< x;

(x < y) É (y < z) ⇒ x < z.

(ðÅÒ×ÏÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÐÒÏ×ÅÒÉÍ ×ÔÏÒÏÅ: ÅÓÌÉ x < y É y < z, ÔÏ ÅÓÔØ x 6 y, x 6= y,

§1. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ É ÐÏÒÑÄÏË 43

y 6 z, y 6= z, ÔÏ x 6 z ÐÏ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ; ÅÓÌÉ ÂÙ ÏËÁÚÁÌÏÓØ, ÞÔÏ x = z,

ÔÏ ÍÙ ÂÙ ÉÍÅÌÉ x 6 y 6 x É ÐÏÔÏÍÕ x = y ÐÏ ÁÎÔÉÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ, ÞÔÏ

ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÀ.)

ôÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ÚÁÍÅÞÁÎÉÅ: ÍÙ ÞÉÔÁÅÍ ÚÎÁË 6 ËÁË ÍÅÎØÛÅ ÉÌÉ ÒÁ×ÎÏ,

Á ÚÎÁË < ¡ ËÁË ÍÅÎØÛÅ, ÎÅÑ×ÎÏ ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÑ, ÞÔÏ x 6 y ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ

ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ x < y ÉÌÉ x = y. ë ÓÞÁÓÔØÀ, ÜÔÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÔÁË. åÝ¾ ÏÄÎÏ

ÚÁÍÅÞÁÎÉÅ: ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ x > y (x ÂÏÌØÛÅ y) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ y < x, Á ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ

x > y (x ÂÏÌØÛÅ ÉÌÉ ÒÁ×ÎÏ y) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ y 6 x.

úÁÄÁÞÁ 73. ïÂßÑÓÎÉÔÅ, ÐÏÞÅÍÕ ÎÅ ÓÔÏÉÔ ÞÉÔÁÔØ x 6 y ËÁË x ÎÅ ÂÏÌØ-

ÛÅ y.

÷ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ËÎÉÖËÁÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË

ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ <, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ Ä×ÕÍ ÕËÁÚÁÎÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ

ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ x 6 y ⇔ [(x < y) ÉÌÉ (x = y)] Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ

ÐÏÒÑÄËÁ × ÓÍÙÓÌÅ ÎÁÛÅÇÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ.

úÁÄÁÞÁ 74. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ ÜÔÏ.

÷Ï ÉÚÂÅÖÁÎÉÅ ÐÕÔÁÎÉÃÙ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ < ÉÎÏÇÄÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ

ÓÔÒÏÇÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ 6 ¡ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÎÅÓÔÒÏÇÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. ïÄ-

ÎÏ É ÔÏ ÖÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÏÖÎÏ ÚÁÄÁ×ÁÔØ ÐÏ-ÒÁÚÎÏÍÕ:

ÍÏÖÎÏ ÓÎÁÞÁÌÁ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅÓÔÒÏÇÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ 6 (ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÅ,

ÁÎÔÉÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÅ) É ÚÁÔÅÍ ÉÚ ÎÅÇÏ ÐÏÌÕÞÉÔØ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ

ÓÔÒÏÇÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ <, Á ÍÏÖÎÏ ÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÔØ É ÎÁÏÂÏÒÏÔ.

úÁÄÁÞÁ 75. ïÐÕÓËÁÑ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÅ ÁÎÔÉÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ × ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÉ

ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÐÒÅÄÐÏÒÑÄËÁ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ

ÌÀÂÏÊ ÐÒÅÄÐÏÒÑÄÏË ÕÓÔÒÏÅÎ ÔÁË: ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ ÎÅÐÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅ-

ÓÑ ËÌÁÓÓÙ, ÐÒÉ ÜÔÏÍ x 6 y ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× x, y ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ,

Á ÎÁ ÆÁËÔÏÒ-ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÚÁÄÁÎ ÞÁÓÔÉÞÎÙÊ ÐÏÒÑÄÏË, ËÏÔÏÒÙÊ É ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ

ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ ÒÁÚÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ×.

÷ÏÔ ÎÅÓËÏÌØËÏ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÊ, ÐÏÚ×ÏÌÑÀÝÉÈ ÓÔÒÏÉÔØ ÏÄÎÉ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ

ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÉÚ ÄÒÕÇÉÈ.

• ðÕÓÔØ Y ¡ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á (X, 6).

ôÏÇÄÁ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å Y ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÞÁÓÔÉÞÎÙÊ ÐÏÒÑÄÏË,

ÉÎÄÕÃÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÉÚ X. æÏÒÍÁÌØÎÏ ÇÏ×ÏÒÑ,

) = (6) ∩ (Y × Y ).

åÓÌÉ ÐÏÒÑÄÏË ÎÁ X ÂÙÌ ÌÉÎÅÊÎÙÍ, ÔÏ É ÉÎÄÕÃÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÐÏÒÑÄÏË ÎÁ Y ,

ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÂÕÄÅÔ ÌÉÎÅÊÎÙÍ.

44 çÌÁ×Á II. õÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á

• ðÕÓÔØ X É Y ¡ Ä×Á ÎÅÐÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÍÎÏ-

ÖÅÓÔ×Á. ôÏÇÄÁ ÎÁ ÉÈ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÉ ÍÏÖÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÞÁÓÔÉÞÎÙÊ ÐÏ-

ÒÑÄÏË ÔÁË: ×ÎÕÔÒÉ ËÁÖÄÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÀÔÓÑ ËÁË

ÒÁÎØÛÅ, Á ÌÀÂÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X ÐÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÍÅÎØÛÅ ÌÀÂÏÇÏ

ÜÌÅÍÅÎÔÁ Y . üÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÂÏÚÎÁÞÉÔØ X + Y . (ðÏÒÑÄÏË

ÂÕÄÅÔ ÌÉÎÅÊÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÏÎ ÂÙÌ ÔÁËÏ×ÙÍ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×.)

üÔÏ ÖÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ ÐÒÉÍÅÎÑÀÔ É ÄÌÑ ÐÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ (É ÄÁÖÅ ÓÏ-

×ÐÁÄÁÀÝÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×). îÁÐÒÉÍÅÒ, ÇÏ×ÏÒÑ ÏÂ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÍ ÍÎÏÖÅ-

ÓÔ×Å N + N, ÍÙ ÂÅÒ¾Í ÄÌÑ ÎÅÐÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ËÏÐÉÉ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÑ-

ÄÁ {0, 1, 2, . . . } É {0, 1, 2 . . . } É ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {0, 1, 2, . . . ,

0, 1, 2, . . . }, ÐÒÉÞ¾Í k 6 l ÐÒÉ ×ÓÅÈ k É l, Á ×ÎÕÔÒÉ ËÁÖÄÏÊ ËÏÐÉÉ ÐÏÒÑÄÏË

ÏÂÙÞÎÙÊ.

• ðÕÓÔØ (X, 6

) É (Y, 6

) ¡ Ä×Á ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. íÏÖÎÏ

ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÐÏÒÑÄÏË ÎÁ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÉ X × Y ÎÅÓËÏÌØËÉÍÉ ÓÐÏÓÏÂÁÍÉ.

íÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ hx

, y

i 6 hx

, y

i, ÅÓÌÉ x

É y

(ÐÏ-

ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÅ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ). üÔÏÔ ÐÏÒÑÄÏË, ÏÄÎÁËÏ, ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÌÉÎÅÊÎÙÍ,

ÄÁÖÅ ÅÓÌÉ ÉÓÈÏÄÎÙÅ ÐÏÒÑÄËÉ É ÂÙÌÉ ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ: ÅÓÌÉ ÐÅÒ×ÁÑ ËÏÏÒ-

ÄÉÎÁÔÁ ÂÏÌØÛÅ Õ ÏÄÎÏÊ ÐÁÒÙ, Á ×ÔÏÒÁÑ Õ ÄÒÕÇÏÊ, ËÁË ÉÈ ÓÒÁ×ÎÉÔØ?

þÔÏÂÙ ÐÏÌÕÞÉÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÐÏÒÑÄÏË, ÄÏÇÏ×ÏÒÉÍÓÑ, ËÁËÁÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁ

ÂÕÄÅÔ ÇÌÁ×ÎÏÊ É ÂÕÄÅÍ ÓÎÁÞÁÌÁ ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÔØ ÐÏ ÎÅÊ, Á ÐÏÔÏÍ (× ÓÌÕ-

ÞÁÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á) ¡ ÐÏ ÄÒÕÇÏÊ. åÓÌÉ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÓÞÉÔÁÔØ X-ËÏÏÒÄÉÎÁÔÕ, ÔÏ

, y

i 6 hx

, y

i, ÅÓÌÉ x

ÉÌÉ ÅÓÌÉ x

= x

, Á y

. ïÄÎÁËÏ ÐÏ

ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÍ ÐÒÉÞÉÎÁÍ ÕÄÏÂÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÇÌÁ×ÎÏÊ ×ÔÏÒÕÀ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÕ.

çÏ×ÏÒÑ Ï ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÉ Ä×ÕÈ ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ËÁË Ï

ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å, ÍÙ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÐÏÄÒÁÚÕÍÅ×ÁÅÍ

ÉÍÅÎÎÏ ÔÁËÏÊ ÐÏÒÑÄÏË (ÓÎÁÞÁÌÁ ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÅÍ ÐÏ ×ÔÏÒÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÅ).

úÁÄÁÞÁ 76. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å

N × N (ÐÏÒÑÄÏË ÐÏËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÊ) ÎÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÌÀ-

ÂÙÅ Ä×Á ÜÌÅÍÅÎÔÁ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÂÙÌÉ ÂÙ ÎÅÓÒÁ×ÎÉÍÙ. ÷ÅÒÎÏ ÌÉ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ

ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÄÌÑ Z × Z?

úÁÄÁÞÁ 77. äÏËÁÖÉÔÅ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÄÌÑ N

(ÐÏÒÑÄÏË ÐÏ-

ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÊ).

úÁÄÁÞÁ 78. ðÕÓÔØ U ¡ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÉÚ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. òÁÓ-

ÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï P (U) ×ÓÅÈ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á U, ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎ-

ÎÏÅ ÐÏ ×ËÌÀÞÅÎÉÀ. ëÁËÏ×Á ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ×ÏÚÍÏÖÎÁÑ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á

S ⊂ P (U), ÅÓÌÉ ÉÎÄÕÃÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÎÁ S ÐÏÒÑÄÏË ÌÉÎÅÅÎ? ÅÓÌÉ ÎÉËÁËÉÅ Ä×Á

ÜÌÅÍÅÎÔÁ S ÎÅ ÓÒÁ×ÎÉÍÙ? (õËÁÚÁÎÉÅ: ÓÍ. ÚÁÄÁÞÕ 12.)

úÁÄÁÞÁ 79. óËÏÌØËÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÐÏÒÑÄËÏ× ÎÁ

§1. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ É ÐÏÒÑÄÏË 45

ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÉÚ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ×?

úÁÄÁÞÁ 80. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÓÑËÉÊ ÞÁÓÔÉÞÎÙÊ ÐÏÒÑÄÏË ÎÁ ËÏÎÅÞÎÏÍ

ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÍÏÖÎÏ ÐÒÏÄÏÌÖÉÔØ ÄÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ (ÐÒÏÄÏÌÖÉÔØ ÏÚÎÁÞÁÅÔ,

ÞÔÏ ÅÓÌÉ x 6 y × ÉÓÈÏÄÎÏÍ ÐÏÒÑÄËÅ, ÔÏ É × ÎÏ×ÏÍ ÜÔÏ ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ ÔÁË).

úÁÄÁÞÁ 81. äÁÎÏ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X.

äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × Î¾Í ×ÓÅÇÄÁ ÎÁÊÄ¾ÔÓÑ ÌÉÂÏ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï

ÐÏÐÁÒÎÏ ÎÅÓÒÁ×ÎÉÍÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÌÉÂÏ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÎÁ ËÏ-

ÔÏÒÏÍ ÉÎÄÕÃÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÐÏÒÑÄÏË ÌÉÎÅÅÎ.

úÁÄÁÞÁ 82. (ëÏÎÅÞÎÙÊ ×ÁÒÉÁÎÔ ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÚÁÄÁÞÉ.) äÁÎÙ ÃÅÌÙÅ ÐÏ-

ÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ m É n. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×Ï ×ÓÑËÏÍ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏ-

ÞÅÎÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÍÏÝÎÏÓÔÉ mn + 1 ÍÏÖÎÏ ÕËÁÚÁÔØ ÌÉÂÏ m + 1 ÐÏÐÁÒÎÏ

ÎÅÓÒÁ×ÎÉÍÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÌÉÂÏ n + 1 ÐÏÐÁÒÎÏ ÓÒÁ×ÎÉÍÙÈ.

úÁÄÁÞÁ 83. ÷ ÓÔÒÏÞËÕ ÎÁÐÉÓÁÎÙ mn + 1 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. äÏËÁÖÉÔÅ,

ÞÔÏ ÍÏÖÎÏ ÞÁÓÔØ ÉÚ ÎÉÈ ×ÙÞÅÒËÎÕÔØ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÓÔÁÌÁÓØ ÌÉÂÏ ×ÏÚÒÁ-

ÓÔÁÀÝÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÄÌÉÎÙ m + 1, ÌÉÂÏ ÕÂÙ×ÁÀÝÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×Á-

ÔÅÌØÎÏÓÔØ ÄÌÉÎÙ n + 1. (õËÁÚÁÎÉÅ: ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÊ

ÚÁÄÁÞÅÊ.)

úÁÄÁÞÁ 84. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ

ÒÑÄÁ, ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÅ ÐÏ ×ËÌÀÞÅÎÉÀ. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉ Õ ÎÅÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÐÏ-

ÒÑÄÏÞÅÎÎÏÅ (× ÉÎÄÕÃÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÐÏÒÑÄËÅ) ÐÏÄÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÍÏÝÎÏÓÔÉ ËÏÎÔÉ-

ÎÕÕÍ? óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉ Õ ÎÅÇÏ ÐÏÄÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÍÏÝÎÏÓÔÉ ËÏÎÔÉÎÕÕÍ, ÌÀÂÙÅ

Ä×Á ÜÌÅÍÅÎÔÁ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÅÓÒÁ×ÎÉÍÙ?

üÌÅÍÅÎÔ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÍ, ÅÓ-

ÌÉ ÏÎ ÂÏÌØÛÅ ÌÀÂÏÇÏ ÄÒÕÇÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ, É ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×Õ-

ÅÔ ÂÏÌØÛÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ. åÓÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎ-

ÎÙÍ, ÔÏ ÜÔÏ ÎÅ ÏÄÎÏ É ÔÏ ÖÅ: ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ

ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÍ, ÎÏ ÎÅ ÎÁÏÂÏÒÏÔ. (ïÄÎÏ ÄÅÌÏ ËÏÒÏÂËÁ, × ËÏÔÏÒÕÀ ÐÏÍÅÝÁÅÔÓÑ

ÌÀÂÁÑ ÄÒÕÇÁÑ, ÄÒÕÇÏÅ ¡ ËÏÒÏÂËÁ, ËÏÔÏÒÁÑ ÎÉËÕÄÁ ÂÏÌØÛÅ ÎÅ ÐÏÍÅÝÁÅÔÓÑ.)

áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÅ É ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÅ ÜÌÅ-

ÍÅÎÔÙ.

ìÅÇËÏ ÐÏÎÑÔØ, ÞÔÏ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ × ÄÁÎÎÏÍ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎ-

ÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ, × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÈ

ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÍÎÏÇÏ.

úÁÄÁÞÁ 85. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÎÅ

ÓÒÁ×ÎÉÍÙ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × ËÏÎÅÞÎÏÍ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÍ ÍÎÏ-

ÖÅÓÔ×Å X ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ x ÎÁÊÄ¾ÔÓÑ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ y,

ÂÏÌØÛÉÊ ÉÌÉ ÒÁ×ÎÙÊ x.

46 çÌÁ×Á II. õÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á

§2. éÚÏÍÏÒÆÉÚÍÙ

ä×Á ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÉÚÏÍÏÒÆÎÙÍÉ, ÅÓÌÉ

ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ, ÔÏ ÅÓÔØ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔ-

ÓÔ×ÉÅ, ÓÏÈÒÁÎÑÀÝÅÅ ÐÏÒÑÄÏË. (åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÞÔÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÎÉ ÒÁ×ÎÏ-

ÍÏÝÎÙ ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Á.) íÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ ÔÁË: ÂÉÅËÃÉÑ f : A → B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ

ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B, ÅÓÌÉ

6 a

⇔ f(a

) 6 f(a

)

ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× a

, a

∈ A (ÓÌÅ×Á ÚÎÁË 6 ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÐÏÒÑÄÏË × ÍÎÏÖÅ-

ÓÔ×Å A, ÓÐÒÁ×Á ¡ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å B).

ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÉÚÏÍÏÒÆÎÏÓÔÉ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ (ËÁÖÄÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ-

×Ï ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÓÁÍÏÍÕ ÓÅÂÅ), ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ (ÅÓÌÉ X ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ Y , ÔÏ É ÎÁ-

ÏÂÏÒÏÔ) É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ (Ä×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÉÚÏÍÏÒÆÎÙÅ ÔÒÅÔØÅÍÕ, ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ

ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ). ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×ÓÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÁÚ-

ÂÉ×ÁÀÔÓÑ ÎÁ ËÌÁÓÓÙ ÉÚÏÍÏÒÆÎÙÈ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÐÏÒÑÄËÏ×ÙÍÉ ÔÉÐÁÍÉ.

(ðÒÁ×ÄÁ, ËÁË É Ó ÍÏÝÎÏÓÔÑÍÉ, ÔÕÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÁ ÏÓÔÏÒÏÖÎÏÓÔØ ¡ ÉÚÏÍÏÒÆ-

ÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÓÌÉÛËÏÍ ÍÎÏÇÏ, É ÐÏÔÏÍÕ ÇÏ×ÏÒÉÔØ Ï ÐÏÒÑÄËÏ×ÙÈ ÔÉÐÁÈ ËÁË

ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ ÎÅÌØÚÑ.)

ôÅÏÒÅÍÁ 12. ëÏÎÅÞÎÙÅ ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÉÚ ÏÄÉÎÁ-

ËÏ×ÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ëÏÎÅÞÎÏÅ ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÇÄÁ

ÉÍÅÅÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ (×ÏÚØÍ¾Í ÌÀÂÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ; ÅÓÌÉ ÏÎ ÎÅ ÎÁÉÍÅÎØ-

ÛÉÊ, ×ÏÚØÍ¾Í ÍÅÎØÛÉÊ, ÅÓÌÉ É ÏÎ ÎÅ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ, ÅÝ¾ ÍÅÎØÛÉÊ ¡ É ÔÁË

ÄÁÌÅÅ; ÐÏÌÕÞÉÍ ÕÂÙ×ÁÀÝÕÀ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ x > y > z > . . . , ËÏÔÏÒÁÑ

ÒÁÎÏ ÉÌÉ ÐÏÚÄÎÏ ÄÏÌÖÎÁ ÏÂÏÒ×ÁÔØÓÑ). ðÒÉÓ×ÏÉÍ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ ÎÏ-

ÍÅÒ 1. éÚ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ ÓÎÏ×Á ×ÙÂÅÒÅÍ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ É ÐÒÉÓ×ÏÉÍ ÅÍÕ

ÎÏÍÅÒ 2 É ÔÁË ÄÁÌÅÅ. ìÅÇËÏ ÐÏÎÑÔØ, ÞÔÏ ÐÏÒÑÄÏË ÍÅÖÄÕ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÓÏÏÔ×ÅÔ-

ÓÔ×ÕÅÔ ÐÏÒÑÄËÕ ÍÅÖÄÕ ÎÏÍÅÒÁÍÉ, ÔÏ ÅÓÔØ ÞÔÏ ÎÁÛÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ

ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ {1, 2, . . . , n}.

úÁÄÁÞÁ 86. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÃÅÌÙÈ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ

ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ÞÉÓÌÁ 30 Ó ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÂÙÔØ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ

ÐÏÒÑÄËÁ ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ×ÓÅÈ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {a, b, c},

ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÍÕ ÐÏ ×ËÌÀÞÅÎÉÀ.

úÁÄÁÞÁ 87. âÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÆÉÎÉÔÎÙÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÁ-

ÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÔÏ ÅÓÔØ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, Õ ËÏÔÏÒÙÈ ×ÓÅ ÞÌÅÎÙ, ËÒÏ-

ÍÅ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ, ÒÁ×ÎÙ 0. îÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÔÁËÉÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ

××ÅÄ¾Í ÐÏËÏÍÐÏÎÅÎÔÎÙÊ ÐÏÒÑÄÏË: (a

, a

, . . . ) 6 (b

, b

, . . . ), ÅÓÌÉ a

6 b

§2. éÚÏÍÏÒÆÉÚÍÙ 47

ÐÒÉ ×ÓÅÈ i. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ×ÓÅÈ

ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÃÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ Ó ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÂÙÔØ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ × ËÁÞÅÓÔ×Å

ÐÏÒÑÄËÁ.

÷ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅ-

ÓÔ×Á A × ÓÅÂÑ, Ñ×ÌÑÀÝÅÅÓÑ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÞÁ-

ÓÔÉÞÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A. ôÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ×ÓÅÇÄÁ

Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ, ÎÏ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ É ÄÒÕÇÉÅ

Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÙ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÐÒÉÂÁ×ÌÅÎÉÑ ÅÄÉÎÉÃÙ (x 7→ x + 1)

Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Z ÃÅÌÙÈ ÞÉ-

ÓÅÌ (Ó ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÐÏÒÑÄËÏÍ). äÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÔÁ ÖÅ

ÆÏÒÍÕÌÁ ÎÅ ÄÁ¾Ô Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÁ (ÎÅÔ ×ÚÁÉÍÎÏÊ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÓÔÉ).

úÁÄÁÞÁ 88. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÕÐÏÒÑÄÏ-

ÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á N ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÏÔÌÉÞÎÏÇÏ ÏÔ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ-

ÇÏ.

úÁÄÁÞÁ 89. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï P (A) ×ÓÅÈ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÅËÏÔÏ-

ÒÏÇÏ k-ÜÌÅÍÅÎÔÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÅ ÐÏ ×ËÌÀÞÅ-

ÎÉÀ. îÁÊÄÉÔÅ ÞÉÓÌÏ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ÜÔÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á.

úÁÄÁÞÁ 90. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÃÅÌÙÈ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ,

ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ x ÄÅÌÉÔ y, ÉÍÅÅÔ ËÏÎÔÉÎÕÕÍ ÒÁÚ-

ÌÉÞÎÙÈ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ×.

÷ÏÔ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÐÒÉÍÅÒÏ× ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙÈ, ÎÏ ÎÅ ÉÚÏÍÏÒÆÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÐÏ-

ÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× (× ÓÉÌÕ ÔÅÏÒÅÍÙ 12 ÏÎÉ ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÍÉ).

• ïÔÒÅÚÏË [0, 1] (Ó ÏÂÙÞÎÙÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÐÏÒÑÄËÁ) ÎÅ ÉÚÏÍÏÒÆÅÎ ÍÎÏÖÅ-

ÓÔ×Õ R, ÔÁË ËÁË Õ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÅÓÔØ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ, Á Õ ×ÔÏÒÏÇÏ ÎÅÔ.

(ðÒÉ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÅ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ, ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÄÏÌÖÅÎ ÓÏÏÔ×ÅÔ-

ÓÔ×Ï×ÁÔØ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÍÕ.)

• íÎÏÖÅÓÔ×Ï Z (ÃÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ Ó ÏÂÙÞÎÙÍ ÐÏÒÑÄËÏÍ) ÎÅ ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÍÎÏÖÅ-

ÓÔ×Õ Q (ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ). ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÐÕÓÔØ α: Z → Q Ñ×ÌÑÅÔÓÑ

ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ. ÷ÏÚØÍ¾Í Ä×Á ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÃÅÌÙÈ ÞÉÓÌÁ, ÓËÁÖÅÍ, 2 É 3. ðÒÉ

ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÅ α ÉÍ ÄÏÌÖÎÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Ï×ÁÔØ ËÁËÉÅ-ÔÏ Ä×Á ÒÁÃÉÏÎÁÌØ-

ÎÙÈ ÞÉÓÌÁ α(2) É α(3), ÐÒÉÞ¾Í α(2) < α(3), ÔÁË ËÁË 2 < 3. îÏ ÔÏÇÄÁ

ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÍ ÞÉÓÌÁÍ ÍÅÖÄÕ α(2) É α(3) ÄÏÌÖÎÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Ï×ÁÔØ

ÃÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ ÍÅÖÄÕ 2 É 3, ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅÔ.

• âÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÊ ÐÒÉÍÅÒ ¡ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Z É Z + Z. ÷ÏÚØÍ¾Í × Z + Z

Ä×Å ËÏÐÉÉ ÎÕÌÑ (ÉÚ ÔÏÊ É ÄÒÕÇÏÊ ËÏÍÐÏÎÅÎÔÙ); ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÁÌÉ ÉÈ 0

0. ðÒÉ ÜÔÏÍ 0 < 0. ðÒÉ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÅ ÉÍ ÄÏÌÖÎÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Ï×ÁÔØ

Ä×Á ÃÅÌÙÈ ÞÉÓÌÁ a É b, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ a < b. ôÏÇÄÁ ×ÓÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ

48 çÌÁ×Á II. õÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á

ÍÅÖÄÕ 0 É 0 (ÉÈ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÏ: 1, 2, 3, . . . , −3, −2, −1) ÄÏÌÖÎÙ

ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Ï×ÁÔØ ÞÉÓÌÁ ÍÅÖÄÕ a É b ¡ ÎÏ ÉÈ ÌÉÛØ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ.

üÔÏÔ ÐÒÉÍÅÒ ÐÒÉÎÃÉÐÉÁÌØÎÏ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÐÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ÔÅÍ, ÞÔÏ

ÚÄÅÓØ ÒÁÚÎÉÃÕ ÍÅÖÄÕ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÅÌØÚÑ ÚÁÐÉÓÁÔØ ÆÏÒÍÕ-

ÌÏÊ. ëÁË ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Z É Z + Z ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏ

ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ.

úÁÄÁÞÁ 91. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Z ×N

É Z × Z (Ó ÏÐÉÓÁÎÎÙÍ ×ÙÛÅ ÎÁ Ó. 44 ÐÏÒÑÄËÏÍ) ÎÅ ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ.

úÁÄÁÞÁ 92. âÕÄÕÔ ÌÉ ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á

N × Z É Z × Z?

úÁÄÁÞÁ 93. âÕÄÕÔ ÌÉ ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á

Q × Z É Q × N?

ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ x 7→

√

2x ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÍÅÖÄÕ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ-

ÍÉ (0, 1) É (0,

√

2). îÏ ÕÖÅ ÎÅ ÔÁË ÐÒÏÓÔÏ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÍÅÖÄÕ

ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÔÏÞÅË ÜÔÉÈ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ× (ÔÏ ÅÓÔØ ÍÅÖÄÕ Q ∩

∩(0, 1) É Q ∩(0,

√

2)), ÐÏÓËÏÌØËÕ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ

√

2 ÐÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ

ÞÉÓÌÁ × ÉÒÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ. ôÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÍÏÖÎÏ. äÌÑ

ÜÔÏÇÏ ÎÁÄÏ ×ÚÑÔØ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÉÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ

0 < x

< x

< . . . É 0 < y

< y

< . . . , ÓÈÏÄÑÝÉÅÓÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ Ë 1

√

2 É ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ËÕÓÏÞÎÏ-ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ f , ËÏÔÏÒÁÑ ÐÅÒÅ×ÏÄÉÔ x

× y

É ÌÉÎÅÊÎÁ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ÏÔÒÅÚËÏ× [x

, x

i+1

] (ÒÉÓ. 1). ìÅÇËÏ ÐÏÎÑÔØ, ÞÔÏ ÏÎÁ

ÂÕÄÅÔ ÉÓËÏÍÙÍ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ.

úÁÄÁÞÁ 94. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÉÎÔÅÒ×Á-

ÌÁ (0, 1) É ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Q ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ. (õËÁÚÁÎÉÅ: ÚÄÅÓØ ÔÏÖÅ ÍÏÖÎÏ ÐÏ-

ÓÔÒÏÉÔØ ÌÏÍÁÎÕÀ; ×ÐÒÏÞÅÍ, Õ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÅÓÔØ É ÄÒÕÇÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ËÏÔÏ-

ÒÏÅ ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ x 7→ 1/x ÐÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ

ÞÉÓÌÁ × ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ.)

âÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÁÑ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÑ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÚÁÄÁÞÅ (×ÉÄÉÍÏ, ÎÉ-

ÞÅÇÏ ÐÒÏÝÅ, ÞÅÍ ÓÏÓÌÁÔØÓÑ ÎÁ ÏÂÝÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ 13, ÔÕÔ ÎÅ ÐÒÉÄÕÍÁÅÛØ).

úÁÄÁÞÁ 95. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Ä×ÏÉÞÎÏ-ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ

ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ (0, 1) ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ Q. (þÉÓÌÏ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ Ä×ÏÉÞÎÏ-ÒÁ-

ÃÉÏÎÁÌØÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ m/2

, ÇÄÅ m ¡ ÃÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, Á n ¡ ÎÁ-

ÔÕÒÁÌØÎÏÅ.)

ä×Á ÜÌÅÍÅÎÔÁ x, y ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÓÏÓÅÄ-

ÎÉÍÉ, ÅÓÌÉ x < y É ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ, ÔÏ ÅÓÔØ ÔÁËÏÇÏ z,

§2. éÚÏÍÏÒÆÉÚÍÙ 49

òÉÓ. 1. ìÏÍÁÎÁÑ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ.

ÞÔÏ x < z < y. ìÉÎÅÊÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÐÌÏÔÎÙÍ, ÅÓÌÉ

× Î¾Í ÎÅÔ ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× (ÔÏ ÅÓÔØ ÍÅÖÄÕ ÌÀÂÙÍÉ Ä×ÕÍÑ ÅÓÔØ ÔÒÅÔÉÊ).

ôÅÏÒÅÍÁ 13. ìÀÂÙÅ Ä×Á ÓÞ¾ÔÎÙÈ ÐÌÏÔÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ

ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÂÅÚ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÇÏ É ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ X É Y ¡ ÄÁÎÎÙÅ ÎÁÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. ôÒÅÂÕÅÍÙÊ

ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÐÏ ÛÁÇÁÍ. ðÏÓÌÅ n ÛÁÇÏ× Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ Ä×Á

n-ÜÌÅÍÅÎÔÎÙÈ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á X

⊂ X É Y

⊂ Y , ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÙ

ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÈ×ÁÞÅÎÎÙÍÉ, É ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ

ÎÉÍÉ, ÓÏÈÒÁÎÑÀÝÅÅ ÐÏÒÑÄÏË. îÁ ÏÞÅÒÅÄÎÏÍ ÛÁÇÅ ÍÙ ÂÅÒ¾Í ËÁËÏÊ-ÔÏ ÎÅÏÈ×Á-

ÞÅÎÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ× (ÓËÁÖÅÍ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X) É ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÅÍ

ÅÇÏ ÓÏ ×ÓÅÍÉ ÏÈ×ÁÞÅÎÎÙÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ X. ïÎ ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÌÉÂÏ ÍÅÎØ-

ÛÅ ×ÓÅÈ, ÌÉÂÏ ÂÏÌØÛÅ, ÌÉÂÏ ÐÏÐÁÓÔØ ÍÅÖÄÕ ËÁËÉÍÉ-ÔÏ Ä×ÕÍÑ. ÷ ËÁÖÄÏÍ ÉÚ

ÓÌÕÞÁÅ× ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÎÁÊÔÉ ÎÅÏÈ×ÁÞÅÎÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ × Y , ÎÁÈÏÄÑÝÉÊÓÑ × ÔÏÍ

ÖÅ ÐÏÌÏÖÅÎÉÉ (ÂÏÌØÛÅ ×ÓÅÈ, ÍÅÖÄÕ ÐÅÒ×ÙÍ É ×ÔÏÒÙÍ ÏÈ×ÁÞÅÎÎÙÍ Ó×ÅÒÈÕ,

ÍÅÖÄÕ ×ÔÏÒÙÍ É ÔÒÅÔØÉÍ ÏÈ×ÁÞÅÎÎÙÍ Ó×ÅÒÈÕ É Ô. Ð.). ðÒÉ ÜÔÏÍ ÍÙ ÐÏÌØ-

ÚÕÅÍÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ × Y ÎÅÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ, ÎÅÔ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÇÏ É ÎÅÔ

ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ¡ × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÔÏÇÏ, ËÁËÏÊ ÉÚ ÔÒ¾È ÓÌÕÞÁÅ× ÉÍÅÅÔ

ÍÅÓÔÏ. ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÍÙ ÄÏÂÁ×ÌÑÅÍ ×ÙÂÒÁÎÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ Ë X

É Y

, ÓÞÉÔÁÑ

ÉÈ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ.

þÔÏÂÙ × ÐÒÅÄÅÌÅ ÐÏÌÕÞÉÔØ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ X É Y , ÍÙ

ÄÏÌÖÎÙ ÐÏÚÁÂÏÔÉÔØÓÑ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÏÂÏÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÂÙÌÉ ÒÁ-

ÎÏ ÉÌÉ ÐÏÚÄÎÏ ÏÈ×ÁÞÅÎÙ. üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ ÔÁË: ÐÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÍÎÏ-

50 çÌÁ×Á II. õÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á

ÖÅÓÔ× ÓÞ¾ÔÎÏ, ÐÒÏÎÕÍÅÒÕÅÍ ÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÙ É ÂÕÄÅÍ ×ÙÂÉÒÁÔØ ÎÅÏÈ×ÁÞÅÎÎÙÊ

ÜÌÅÍÅÎÔ Ó ÎÁÉÍÅÎØÛÉÍ ÎÏÍÅÒÏÍ (ÎÁ ÎÅÞ¾ÔÎÙÈ ÛÁÇÁÈ ¡ ÉÚ X, ÎÁ Þ¾ÔÎÙÈ ¡

ÉÚ Y ). üÔÏ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÚÁ×ÅÒÛÁÅÔ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

úÁÄÁÞÁ 96. óËÏÌØËÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÉÚÏÍÏÒÆÎÙÈ ÓÞ¾ÔÎÙÈ ÐÌÏÔÎÙÈ ÌÉ-

ÎÅÊÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× (ÐÒÏ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ É ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔÙ

ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ). (ïÔ×ÅÔ: 4.)

úÁÄÁÞÁ 97. ðÒÉ×ÅÄÉÔÅ ÐÒÉÍÅÒ Ä×ÕÈ ÐÌÏÔÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ

ÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÏÝÎÏÓÔÉ ËÏÎÔÉÎÕÕÍ ÂÅÚ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ É ÎÁÉÂÏÌØÛÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎ-

ÔÏ×, ÎÅ Ñ×ÌÑÀÝÉÈÓÑ ÉÚÏÍÏÒÆÎÙÍÉ. (õËÁÚÁÎÉÅ: ×ÏÚØÍÉÔÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Q+R

É R + Q.)

ôÅÏÒÅÍÁ 14. ÷ÓÑËÏÅ ÓÞ¾ÔÎÏÅ ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÉÚÏ-

ÍÏÒÆÎÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÍÕ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Q.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. úÁÍÅÔÉÍ ÓÒÁÚÕ ÖÅ, ÞÔÏ ×ÍÅÓÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Q ÍÏÖÎÏ ÂÙ-

ÌÏ ×ÚÑÔØ ÌÀÂÏÅ ÐÌÏÔÎÏÅ ÓÞ¾ÔÎÏÅ ×ÓÀÄÕ ÐÌÏÔÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÂÅÚ ÐÅÒ×ÏÇÏ É

ÐÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÔÁË ËÁË ÏÎÉ ×ÓÅ ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÇÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÔÁË ÖÅ, ËÁË É × ÔÅÏÒÅ-

ÍÅ 13 ¡ Ó ÔÏÊ ÒÁÚÎÉÃÅÊ, ÞÔÏ ÎÏ×ÙÅ ÎÅÏÂÒÁÂÏÔÁÎÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÂÅÒÕÔÓÑ ÔÏÌØ-

ËÏ Ó ÏÄÎÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ (ÉÚ ÄÁÎÎÏÇÏ ÎÁÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á), Á ÐÁÒÙ Ë ÎÉÍ ÐÏÄÂÉÒÁÀÔÓÑ

× ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ.

§3. æÕÎÄÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á

ðÒÉÎÃÉÐ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕËÃÉÉ × ÏÄÎÏÊ ÉÚ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÆÏÒÍ Ú×ÕÞÉÔ

ÔÁË:

ðÕÓÔØ A(n) ¡ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ n. ðÕÓÔØ ÎÁÍ ÕÄÁ-

ÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ A(n) × ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÉ, ÞÔÏ A(m) ×ÅÒÎÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ m, ÍÅÎØ-

ÛÉÈ n. ôÏÇÄÁ Ó×ÏÊÓÔ×Ï A(n) ×ÅÒÎÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ n.

(úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï A(0) ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÂÅÚ ×ÓÑËÉÈ

ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÊ, ÐÏÓËÏÌØËÕ ÍÅÎØÛÉÈ ÞÉÓÅÌ ÎÅÔ.)

äÌÑ ËÁËÉÈ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ×ÅÒÅÎ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÊ ÐÒÉÎ-

ÃÉÐ? ïÔ×ÅÔ ÄÁ¾ÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÐÒÏÓÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÏÊ:

ôÅÏÒÅÍÁ 15. óÌÅÄÕÀÝÉÅ ÔÒÉ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏ-

ÖÅÓÔ×Á X ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÙ:

(Á) ÌÀÂÏÅ ÎÅÐÕÓÔÏÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X ÉÍÅÅÔ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ;

(Â) ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÊ ÓÔÒÏÇÏ ÕÂÙ×ÁÀÝÅÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ-

ÓÔÉ x

> x

> . . . ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X;