Самохин А.В. Математическая логика и теория алгоритмов

Подождите немного. Документ загружается.

§5. ôÅÏÒÅÍÁ ëÁÎÔÏÒÁ  âÅÒÎÛÔÅÊÎÁ 21

òÉÓ. 2

ÖÄÅÎÉÅ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ ëÁÎÔÏÒÁ  âÅÒÎÛÔÅÊÎÁ, ËÏÔÏ-

ÒÕÀ ÍÙ ÓÅÊÞÁÓ ÄÏËÁÖÅÍ.)

• äÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ×ÅÒÎÏ (ÈÏÔÑ ÂÙ) ÏÄÎÏ ÉÚ Ä×ÕÈ: ÌÉÂÏ

A ÉÍÅÅÔ ÎÅ ÂÏÌØÛÕÀ ÍÏÝÎÏÓÔØ, ÞÅÍ B, ÌÉÂÏ B ÉÍÅÅÔ ÎÅ ÂÏÌØÛÕÀ ÍÏÝ-

ÎÏÓÔØ, ÞÅÍ A. (äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÇÏ ÆÁËÔÁ ÔÒÅÂÕÅÔ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÊ

ÔÒÁÎÓÆÉÎÉÔÎÏÊÉÎÄÕËÃÉÉ É ÚÄÅÓØ ÐÒÉÎÉÍÁÅÔÓÑ ÎÁ ×ÅÒÕ)

ôÅÏÒÅÍÁ 6 (ëÁÎÔÏÒÁ  âÅÒÎÛÔÅÊÎÁ). åÓÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ

ÎÅËÏÔÏÒÏÍÕ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B, Á B ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÍÕ

ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, ÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A É B ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙ.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ A ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Õ B

ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B,

Á B ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Õ A

ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A (ÓÍ. ÒÉÓ. 2). ðÒÉ ×ÚÁÉÍÎÏ

ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ ÍÅÖÄÕ B É A

ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B

⊂ B ÐÅÒÅÈÏÄÉÔ

× ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A

⊂ A

. ðÒÉ ÜÔÏÍ ×ÓÅ ÔÒÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, B

É A

ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙ, ¡ É ÎÕÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ B, ÉÌÉ,

ÞÔÏ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ, A

ôÅÐÅÒØ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÚÁÂÙÔØ ÐÒÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B É ÅÇÏ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á É ÄÏËÁ-

ÚÙ×ÁÔØ ÔÁËÏÊ ÆÁËÔ: ÅÓÌÉ A

⊂ A

É A

ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ A

, ÔÏ ×ÓÅ ÔÒÉ

ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙ. (äÌÑ ÅÄÉÎÏÏÂÒÁÚÉÑ ÍÙ ÇÏ×ÏÒÉÍ A

×ÍÅÓÔÏ A.)

ðÕÓÔØ f ¡ ÆÕÎËÃÉÑ, ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÀÝÁÑ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ

→ A

(ÜÌÅÍÅÎÔ x ∈ A

ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÜÌÅÍÅÎÔÕ f(x) ∈ A

). ëÏÇÄÁ A

ÐÅ-

ÒÅÈÏÄÉÔ × A

, ÍÅÎØÛÅÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A

ÐÅÒÅÈÏÄÉÔ × ËÁËÏÅ-ÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A

⊂

⊂ A

(ÓÍ. ÒÉÓ. 3). áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÓÁÍÏ A

ÐÅÒÅÈÏÄÉÔ × ÎÅËÏÔÏÒÏÅ

22 çÌÁ×Á I. íÎÏÖÅÓÔ×Á É ÍÏÝÎÏÓÔÉ

òÉÓ. 3

ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A

⊂ A

. ðÒÉ ÜÔÏÍ A

⊂ A

, ÔÁË ËÁË A

⊂ A

ðÒÏÄÏÌÖÁÑ ÜÔÕ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÀ, ÍÙ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÕÂÙ×ÁÀÝÕÀ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØ-

ÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×

⊃ A

⊃ . . .

É ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ f : A

→ A

, ÐÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ A

ÓÏÏÔ×ÅÔ-

ÓÔ×ÕÅÔ A

i+2

(ÉÎÏÇÄÁ ÜÔÏ ÚÁÐÉÓÙ×ÁÀÔ ÔÁË: f(A

) = A

i+2

). æÏÒÍÁÌØÎÏ ÍÏÖÎÏ

ÏÐÉÓÁÔØ A

ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÐÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÉÚ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ

ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A

ÐÏÓÌÅ n-ËÒÁÔÎÏÇÏ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ f. áÎÁÌÏÇÉÞ-

ÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ A

2n+1

ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÅÈ É ÔÏÌØËÏ ÔÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÐÏÌÕ-

ÞÁÀÔÓÑ ÉÚ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A

ÐÏÓÌÅ n-ËÒÁÔÎÏÇÏ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÑ

ÆÕÎËÃÉÉ f.

úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A

×ÐÏÌÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÅÐÕ-

ÓÔÏ: ÏÎÏ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, Õ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÏÖÎÏ ÓËÏÌØËÏ ÕÇÏÄÎÏ ÒÁÚ

ÂÒÁÔØ f-ÐÒÏÏÂÒÁÚ. ôÅÐÅÒØ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ ÔÁË: ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A

ÍÙ ÒÁÚÂÉÌÉ ÎÁ

ÎÅÐÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÓÌÏÉ C

= A

\ A

i+1

É ÎÁ ÓÅÒÄÃÅ×ÉÎÕ C =

óÌÏÉ C

, C

, . . . ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙ (ÆÕÎËÃÉÑ f ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄ-

ÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ C

É C

, ÍÅÖÄÕ C

É C

É Ô. Ä.):

−→ C

−→ . . .

ôÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ ÐÒÏ ÓÌÏÉ Ó ÎÅÞ¾ÔÎÙÍÉ ÎÏÍÅÒÁÍÉ:

−→ C

−→ . . .

§5. ôÅÏÒÅÍÁ ëÁÎÔÏÒÁ  âÅÒÎÛÔÅÊÎÁ 23

òÉÓ. 4

íÏÖÎÏ ÅÝ¾ ÏÔÍÅÔÉÔØ (ÞÔÏ, ×ÐÒÏÞÅÍ, ÎÅ ÐÏÎÁÄÏÂÉÔÓÑ), ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ f ÎÁ

ÍÎÏÖÅÓÔ×Å C ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔ ÅÇÏ ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ (×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ-

×ÅÔÓÔ×ÉÅ Ó ÓÁÍÉÍ ÓÏÂÏÊ).

ôÅÐÅÒØ ÌÅÇËÏ ÐÏÎÑÔØ, ËÁË ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ

g ÍÅÖÄÕ A

É A

. ðÕÓÔØ x ∈ A

. ôÏÇÄÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÅÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔ g(x)

ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÔÁË: g(x) = f (x) ÐÒÉ x ∈ C

É g(x) = x ÐÒÉ x ∈ C

2k+1

ÉÌÉ x ∈ C

(ÓÍ. ÒÉÓ. 4).

ôÅÏÒÅÍÁ ëÁÎÔÏÒÁ  âÅÒÎÛÔÅÊÎÁ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÕÐÒÏÝÁÅÔ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á

ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏÓÔÉ: ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ ÍÙ ÈÏÔÉÍ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÂÕÂÌÉË É ÛÁÒ ×

ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙ, ÔÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÉÚ ÂÕÂÌÉËÁ ÍÏÖÎÏ

×ÙÒÅÚÁÔØ ÍÁÌÅÎØËÉÊ ÛÁÒ (ÇÏÍÏÔÅÔÉÞÎÙÊ ÂÏÌØÛÏÍÕ), Á ÉÚ ÛÁÒÁ ¡ ÍÁÌÅÎØ-

ËÉÊ ÂÕÂÌÉË.

úÁÄÁÞÁ 42. ðÏÓÍÏÔÒÉÔÅ ÎÁ ÐÒÉ×ÅÄ¾ÎÎÙÅ ×ÙÛÅ ÚÁÄÁÞÉ, ÇÄÅ ÔÒÅÂÏ×Á-

ÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏÓÔØ, É ÕÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ×Ï ÍÎÏÇÉÈ ÉÚ ÎÉÈ ÐÒÉÍÅ-

ÎÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ ëÁÎÔÏÒÁ  âÅÒÎÛÔÅÊÎÁ ÓÉÌØÎÏ ÕÐÒÏÝÁÅÔ ÄÅÌÏ.

úÁÄÁÞÁ 43. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÉÇÕÒÙ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ

ÈÏÔÑ ÂÙ ËÕÓÏÞÅË ÐÒÑÍÏÊ ÉÌÉ ËÒÉ×ÏÊ, ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙ.

úÁÄÁÞÁ 44. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ Ë×ÁÄÒÁÔ ÒÁÚÂÉÔ ÎÁ Ä×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á,

ÔÏ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏ ÉÚ ÎÉÈ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ Ë×ÁÄÒÁÔÕ. (õËÁÚÁÎÉÅ. åÓÌÉ ÏÄÎÁ ÉÚ

ÞÁÓÔÅÊ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÔÒÅÚÏË, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÔÅÏÒÅÍÏÊ ëÁÎÔÏ-

ÒÁ  âÅÒÎÛÔÅÊÎÁ. åÓÌÉ ÖÅ, ÓËÁÖÅÍ, ÐÅÒ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÔÒÅÚËÏ×,

24 çÌÁ×Á I. íÎÏÖÅÓÔ×Á É ÍÏÝÎÏÓÔÉ

ÔÏ × ËÁÖÄÏÍ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÏÍ ÓÅÞÅÎÉÉ Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÅÓÔØ ÔÏÞËÁ ×ÔÏÒÏÊ ÞÁ-

ÓÔÉ, É ÓÎÏ×Á ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÌÁÔØÓÑ ÎÁ ÔÅÏÒÅÍÕ ëÁÎÔÏÒÁ  âÅÒÎÛÔÅÊÎÁ.)

úÁÄÁÞÁ 45. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÏÔÒÅÚÏË ÒÁÚÂÉÔ ÎÁ Ä×Å ÞÁÓÔÉ, ÔÏ

ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÁ ÉÚ ÎÉÈ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÁ ÏÔÒÅÚËÕ.

ôÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÍÏÖÎÏ ÉÚÌÏÖÉÔØ ÂÏÌÅÅ ÁÂÓÔÒÁËÔÎÏ (É ÉÚÂÁ-

×ÉÔØÓÑ ÏÔ ÕÐÏÍÉÎÁÎÉÑ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ). îÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ f : A → A

ÅÓÔØ

×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ A É ÅÇÏ ÐÏÄÍÎÏÖÅ-

ÓÔ×ÏÍ A

, Á A

¡ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÐÒÏÍÅÖÕÔÏÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï. îÁÚÏ×¾Í ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï

X ⊂ A ÈÏÒÏÛÉÍ, ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ A \ A

É ÚÁÍËÎÕÔÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ f, Ô. Å.

X ⊃ (A \ A

) + f(X)

(ÍÙ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍ ÚÎÁË + ÄÌÑ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ, ÐÏÓËÏÌØËÕ ÏÂßÅÄÉÎÑÅÍÙÅ ÍÎÏÖÅ-

ÓÔ×Á ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÎÅ ÐÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ). ìÅÇËÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÌÀÂÏ-

ÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÈÏÒÏÛÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÈÏÒÏÛÅÅ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÅÓÌÉ ÍÙ ÐÅÒÅÓÅÞ¾Í ×ÓÅ

ÈÏÒÏÛÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÔÏ ÐÏÌÕÞÉÍ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÐÏ ×ËÌÀÞÅÎÉÀ ÈÏÒÏÛÅÅ ÍÎÏ-

ÖÅÓÔ×Ï. îÁÚÏ×¾Í ÅÇÏ M. ìÅÇËÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï (A \ A

) + f(M)

ÂÕÄÅÔ ÈÏÒÏÛÉÍ, ÐÏÜÔÏÍÕ × ÓÉÌÕ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÓÔÉ M ×ËÌÀÞÅÎÉÅ × ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÉ

ÈÏÒÏÛÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÐÒÅ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï:

M = (A \ A

) + f(M).

ôÅÐÅÒØ ×Ó¾ ÇÏÔÏ×Ï ÄÌÑ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÂÉÅËÃÉÉ g : A → A

. üÔÁ ÂÉÅËÃÉÑ ÓÏ×ÐÁ-

ÄÁÅÔ Ó f ×ÎÕÔÒÉ M É ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÁ ×ÎÅ M.

úÁÄÁÞÁ 46. ðÒÏ×ÅÄÉÔÅ ÜÔÏ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ ÐÏÄÒÏÂÎÏ.

üÔÏ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ ÕÄÏÂÎÏ ÐÒÉ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÉ ÁËÓÉÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÏÒÉÉ ÍÎÏ-

ÖÅÓÔ×, ÔÁË ËÁË × Î¾Í ÎÅ ÎÕÖÎÙ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ (ËÏÔÏÒÙÅ ÓÔÒÏÑÔÓÑ ÄÁ-

ÌÅËÏ ÎÅ ÓÒÁÚÕ). îÏ ÐÏ ÓÕÝÅÓÔ×Õ ÜÔÏ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ, ÐÏÓËÏÌØËÕ M

ÅÓÔØ C

∪ C

∪ . . .

ôÅÐÅÒØ, ÉÍÅÑ × ×ÉÄÕ ÔÅÏÒÅÍÕ ëÁÎÔÏÒÁ  âÅÒÎÛÔÅÊÎÁ, ×ÅÒÎ¾ÍÓÑ Ë ×ÏÐÒÏÓÕ

Ï ÓÒÁ×ÎÅÎÉÉ ÍÏÝÎÏÓÔÅÊ. äÌÑ ÄÁÎÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉ ÉÍÅÀÔÓÑ

ÞÅÔÙÒÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ:

• A ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÞÁÓÔÉ B, Á B ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÞÁÓÔÉ A.

(÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÁË ÍÙ ÚÎÁÅÍ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙ.)

• A ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÞÁÓÔÉ B, ÎÏ B ÎÅ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ ÎÉËÁËÏÊ ÞÁ-

ÓÔÉ A. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ A ÉÍÅÅÔ ÍÅÎØÛÕÀ ÍÏÝÎÏÓÔØ,

ÞÅÍ B.

• B ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÞÁÓÔÉ A, ÎÏ A ÎÅ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ ÎÉËÁËÏÊ ÞÁ-

ÓÔÉ B. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ A ÉÍÅÅÔ ÂÏÌØÛÕÀ ÍÏÝÎÏÓÔØ,

ÞÅÍ B.

§6. ôÅÏÒÅÍÁ ëÁÎÔÏÒÁ 25

• îÉ A ÎÅ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ ÎÉËÁËÏÊ ÞÁÓÔÉ B, ÎÉ B ÎÅ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ ÎÉËÁËÏÊ

ÞÁÓÔÉ A. (üÔÏÔ ÓÌÕÞÁÊ ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÅÎ).

úÁÄÁÞÁ 47. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÞ¾ÔÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÉÍÅÅÔ ÍÅÎØÛÕÀ

ÍÏÝÎÏÓÔØ, ÞÅÍ ÌÀÂÏÅ ÎÅÓÞ¾ÔÎÏÅ.

úÁÄÁÞÁ 48. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ ÁËËÕÒÁÔÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ A ÉÍÅÅÔ ÍÅÎØÛÕÀ ÍÏÝ-

ÎÏÓÔØ, ÞÅÍ B, Á B ÉÍÅÅÔ ÍÅÎØÛÕÀ ÍÏÝÎÏÓÔØ, ÞÅÍ C, ÔÏ A ÉÍÅÅÔ ÍÅÎØ-

ÛÕÀ ÍÏÝÎÏÓÔØ, ÞÅÍ C (ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔØ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÍÏÝÎÏÓÔÅÊ).

úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÕÖÅ ÄÏÌÇÏ ÇÏ×ÏÒÉÍ Ï ÓÒÁ×ÎÅÎÉÉ ÍÏÝÎÏÓÔÅÊ, ÎÏ ×ÏÚÄÅÒ-

ÖÉ×ÁÅÍÓÑ ÏÔ ÕÐÏÍÉÎÁÎÉÑ ÍÏÝÎÏÓÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ËÁË ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÏÂß-

ÅËÔÁ, Á ÔÏÌØËÏ ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÅÍ ÍÏÝÎÏÓÔÉ ÒÁÚÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×. ÷ ÐÒÉÎÃÉÐÅ ÍÏÖÎÏ

ÂÙÌÏ ÂÙ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ËÁË ËÌÁÓÓ ×ÓÅÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÒÁ×-

ÎÏÍÏÝÎÙÈ A. ôÁËÉÅ ËÌÁÓÓÙ ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÓÏ×ÐÁÄÁÀÔ × ÔÏÍ É ÔÏÌØËÏ

ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ A É B ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙ, ÔÁË ÞÔÏ ÓÌÏ×Á ÉÍÅÀÔ ÒÁ×ÎÕÀ ÍÏÝ-

ÎÏÓÔØ ÐÒÉÏÂÒÅÌÉ ÂÙ ÂÕË×ÁÌØÎÙÊ ÓÍÙÓÌ. ðÒÏÂÌÅÍÁ ÔÕÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÔÁËÉÈ

ÍÎÏÖÅÓÔ× (ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ A) ÓÌÉÛËÏÍ ÍÎÏÇÏ, ÐÏÓËÏÌØËÕ ×Ó¾ ÎÁ

Ó×ÅÔÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ. éÈ ÎÁÓËÏÌØËÏ ÍÎÏÇÏ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÔØ ÉÚ

ÎÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÁÔÒÕÄÎÉÔÅÌØÎÏ, ÜÔÏ ÍÏÖÅÔ ÐÒÉ×ÅÓÔÉ Ë ÐÁÒÁÄÏËÓÁÍ (ÓÍ. ÒÁÚ-

ÄÅÌ 6, Ó. 28).

éÚ ÜÔÏÊ ÓÉÔÕÁÃÉÉ ÅÓÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ×ÙÈÏÄÏ×. óÁÍÙÊ ÐÒÏÓÔÏÊ ¡ ÐÏ-ÐÒÅÖ-

ÎÅÍÕ ÇÏ×ÏÒÉÔØ ÔÏÌØËÏ Ï ÓÒÁ×ÎÅÎÉÉ ÍÏÝÎÏÓÔÅÊ, ÎÏ ÎÅ Ï ÓÁÍÉÈ ÍÏÝÎÏÓÔÑÈ.

íÏÖÎÏ ÔÁËÖÅ ××ÅÓÔÉ ÐÏÎÑÔÉÅ ËÌÁÓÓÁ ¡ ÔÁËÏÊ ÂÏÌØÛÏÊ ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔÉ ÏÂß-

ÅËÔÏ×, ÞÔÏ Å¾ ÕÖÅ ÎÅÌØÚÑ ÓÞÉÔÁÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÄÒÕÇÉÈ ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔÅÊ (ÅÓÌÉ ×Ù

ÐÏÎÉÍÁÅÔÅ, Ï Þ¾Í Ñ ÔÕÔ ÔÏÌËÕÀ), É ÓÞÉÔÁÔØ ÍÏÝÎÏÓÔØÀ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ËÌÁÓÓ

×ÓÅÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙÈ A. åÝ¾ ÏÄÉÎ ×ÙÈÏÄ ¡ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ A ×ÙÂÒÁÔØ

ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏÅ A, É ÎÁÚ×ÁÔØ ÅÇÏ ÍÏÝÎÏ-

ÓÔØÀ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A. ïÂÙÞÎÏ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÂÅÒÕÔ ÍÉ-

ÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÏÒÄÉÎÁÌ, ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙÊ A, ¡ ÎÏ ÜÔÏ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÕÖÅ ÔÒÅÂÕÅÔ

ÂÏÌÅÅ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ (ÁËÓÉÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ) ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×.

ôÁË ÉÌÉ ÉÎÁÞÅ, ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÕÐÏÔÒÅÂÌÑÔØ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ |A| ÄÌÑ ÍÏÝÎÏÓÔÉ

ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ÈÏÔÑ ÂÙ ËÁË ×ÏÌØÎÏÓÔØ ÒÅÞÉ: |A| = |B| ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á

A É B ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙ; |A| 6 |B| ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ A ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÍÕ

ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B, Á |A| < |B| ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ A ÉÍÅÅÔ ÍÅÎØÛÕÀ

ÍÏÝÎÏÓÔØ, ÞÅÍ B (ÓÍ. Ó. 24).

§6. ôÅÏÒÅÍÁ ëÁÎÔÏÒÁ

ëÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÊ ÐÒÉÍÅÒ ÎÅÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙÈ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× (ÄÏ ÓÉÈ ÐÏÒ

ÔÁËÏÇÏ ÐÒÉÍÅÒÁ Õ ÎÁÓ ÎÅ ÂÙÌÏ!) ÄÁ¾Ô ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÁÑ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÑ ëÁÎÔÏÒÁ.

26 çÌÁ×Á I. íÎÏÖÅÓÔ×Á É ÍÏÝÎÏÓÔÉ

ôÅÏÒÅÍÁ 7 (ëÁÎÔÏÒÁ). íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ

ÎÕÌÅÊ É ÅÄÉÎÉÃ ÎÅÓÞ¾ÔÎÏ.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÏÎÏ ÓÞ¾ÔÎÏ. ôÏÇÄÁ ×ÓÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×Á-

ÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÕÌÅÊ É ÅÄÉÎÉÃ ÍÏÖÎÏ ÐÅÒÅÎÕÍÅÒÏ×ÁÔØ: α

, α

, . . . óÏÓÔÁ×ÉÍ ÂÅÓ-

ËÏÎÅÞÎÕÀ ×ÎÉÚ ÔÁÂÌÉÃÕ, ÓÔÒÏËÁÍÉ ËÏÔÏÒÏÊ ÂÕÄÕÔ ÎÁÛÉ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ:

= α

. . .

= α

. . .

= α

. . .

. . . . . . . . . . . .

(ÞÅÒÅÚ α

ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍ j-Ê ÞÌÅÎ i-Ê ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ). ôÅÐÅÒØ ÒÁÓÓÍÏ-

ÔÒÉÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÕÀ ÓÔÏÑÝÉÍÉ ÎÁ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÞÌÅÎÁÍÉ

, α

, . . . ; Å¾ i-Ê ÞÌÅÎ ÅÓÔØ α

É ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó i-Í ÞÌÅÎÏÍ i-Ê ÐÏÓÌÅÄÏ-

×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. úÁÍÅÎÉ× ×ÓÅ ÞÌÅÎÙ ÎÁ ÐÒÏÔÉ×ÏÐÏÌÏÖÎÙÅ, ÍÙ ÐÏÌÕÞÉÍ ÐÏÓÌÅ-

ÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ β, Õ ËÏÔÏÒÏÊ

= 1 − α

ÔÁË ÞÔÏ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ β ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÌÀÂÏÊ ÉÚ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ-

ÓÔÅÊ α

(× ÐÏÚÉÃÉÉ i) É ÐÏÔÏÍÕ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ × ÔÁÂÌÉÃÅ. á ÍÙ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÉÌÉ,

ÞÔÏ ÔÁÂÌÉÃÁ ×ËÌÀÞÁÅÔ × ÓÅÂÑ ×ÓÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ¡ ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ.

éÚ ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï R ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ (ËÏ-

ÔÏÒÏÅ, ËÁË ÍÙ ×ÉÄÅÌÉ, ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÕÌÅÊ

É ÅÄÉÎÉÃ) ÎÅÓÞ¾ÔÎÏ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÏÎÏ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÓÏ×ÐÁÄÁÔØ ÓÏ ÓÞ¾ÔÎÙÍ ÍÎÏ-

ÖÅÓÔ×ÏÍ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ ÞÉÓÅÌ É ÐÏÔÏÍÕ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ,

ÎÅ Ñ×ÌÑÀÝÅÅÓÑ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÍ (ÎÅ Ñ×ÌÑÀÝÅÅÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÎÉËÁËÏÇÏ ÎÅÎÕÌÅ×Ï-

ÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Ó ÃÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ). ôÁËÉÅ ÞÉÓÌÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ

ÔÒÁÎÓÃÅÎÄÅÎÔÎÙÍÉ.

ë ÍÏÍÅÎÔÕ ÓÏÚÄÁÎÉÑ ëÁÎÔÏÒÏÍ ÔÅÏÒÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÕÖÅ ÂÙÌÏ ÉÚ-

×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÔÁËÉÅ ÞÉÓÌÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ. ðÅÒ×ÙÊ ÐÒÉÍÅÒ ÔÁËÏÇÏ ÞÉ-

ÓÌÁ ÐÏÓÔÒÏÉÌ × 1844 ÇÏÄÕ ÆÒÁÎÃÕÚÓËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË ö. ìÉÕ×ÉÌÌØ.

ïÎ ÐÏËÁÚÁÌ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ, ÈÏÒÏÛÏ ÐÒÉÂÌÉÖÁÅÍÏÅ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙ-

ÍÉ, ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÍ (ÔÁËÏ×Ï, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÞÉÓÌÏ

(1/10

)). äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ ìÉÕ×ÉÌÌÑ ÎÅ ÏÞÅÎØ ÓÌÏÖÎÏ,

ÎÏ ×Ó¾-ÔÁËÉ ÔÒÅÂÕÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÏÃÅÎÏË ÐÏÇÒÅÛÎÏÓÔÉ ÐÒÉÂÌÉÖÅ-

ÎÉÑ; ÎÁ ÅÇÏ ÆÏÎÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ëÁÎÔÏÒÁ, ÏÐÕÂÌÉËÏ×ÁÎÎÏÅ ÉÍ

× 1874 ÇÏÄÕ, ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÞÉÓÔÏÊ ×ÏÄÙ ÆÏËÕÓÏÍ. üÔÁ ÐÕÂÌÉËÁÃÉÑ

ÂÙÌÁ ÐÅÒ×ÏÊ ÒÁÂÏÔÏÊ ÐÏ ÔÅÏÒÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×; × Å¾ ÐÅÒ×ÏÍ ÐÁÒÁÇÒÁ-

ÆÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÞ¾ÔÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ ÞÉÓÅÌ,

Á ×Ï ×ÔÏÒÏÍ ¡ ÎÅÓÞ¾ÔÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ.

§6. ôÅÏÒÅÍÁ ëÁÎÔÏÒÁ 27

(ïÂÝÅÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏÓÔÉ ÂÙÌÏ ÄÁÎÏ ëÁÎÔÏÒÏÍ ÌÉÛØ

ÞÅÒÅÚ ÔÒÉ ÇÏÄÁ, ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ Ó ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÏÍ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ-

ÓÔÉ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÒÁÚÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÉÚÍÅÒÅÎÉÊ, Ï ËÏÔÏÒÏÍ ÍÙ ÕÖÅ

ÇÏ×ÏÒÉÌÉ.)

ïÔÍÅÔÉÍ ËÓÔÁÔÉ, ÞÔÏ × ÔÏÍ ÖÅ 1874 ÇÏÄÕ ÆÒÁÎÃÕÚÓËÉÊ ÍÁÔÅ-

ÍÁÔÉË û. üÒÍÉÔ ÄÏËÁÚÁÌ, ÞÔÏ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÌÏÇÁÒÉÆ-

ÍÏ× e ÔÒÁÎÓÃÅÎÄÅÎÔÎÏ, Á ÞÅÒÅÚ ×ÏÓÅÍØ ÌÅÔ ÎÅÍÅÃËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË

æ. ìÉÎÄÅÍÁÎ ÄÏËÁÚÁÌ ÔÒÁÎÓÃÅÎÄÅÎÔÎÏÓÔØ ÞÉÓÌÁ π É ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ

ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ Ë×ÁÄÒÁÔÕÒÙ ËÒÕÇÁ.)

úÁÄÁÞÁ 49. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÚÁÍËÎÕÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ⊂ R ÌÉ-

ÂÏ ËÏÎÅÞÎÏ, ÌÉÂÏ ÓÞ¾ÔÎÏ, ÌÉÂÏ ÉÍÅÅÔ ÍÏÝÎÏÓÔØ ËÏÎÔÉÎÕÕÍÁ. (õËÁÚÁÎÉÅ.

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B ⊂ A, ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ÔÅÈ ÔÏÞÅË ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A,

× ÌÀÂÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅÓÞ¾ÔÎÏ ÍÎÏÇÏ ÄÒÕÇÉÈ ÔÏÞÅË ÉÚ A. åÓÌÉ

B ÐÕÓÔÏ, ÔÏ A ËÏÎÅÞÎÏ ÉÌÉ ÓÞ¾ÔÎÏ. åÓÌÉ B ÎÅÐÕÓÔÏ, ÔÏ ÏÎÏ ÚÁÍËÎÕÔÏ É

ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÔÏÞÅË.)

üÔÁ ÚÁÄÁÞÁ ÐÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÐÒÑÍÏÊ ×ÅÒ-

ÎÁ ÇÉÐÏÔÅÚÁ ËÏÎÔÉÎÕÕÍÁ, ÕÔ×ÅÒÖÄÁÀÝÁÑ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÐÒÑÍÏÊ

ÌÉÂÏ ËÏÎÅÞÎÏ, ÌÉÂÏ ÓÞ¾ÔÎÏ, ÌÉÂÏ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ R. (ëÁÎÔÏÒ, ÄÏËÁÚÁ×ÛÉÊ ÜÔÏÔ

ÆÁËÔ, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÌ ÅÇÏ ËÁË ÐÅÒ×ÙÊ ÛÁÇ Ë ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÇÉÐÏÔÅÚÙ ËÏÎÔÉ-

ÎÕÕÍÁ ÄÌÑ ÏÂÝÅÇÏ ÓÌÕÞÁÑ, ÎÏ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ×ÙÛÌÏ.)

÷ÅÒÎ¾ÍÓÑ Ë ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÏÊ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÉ. íÙ ÚÎÁÅÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÐÏÓÌÅ-

ÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÕÌÅÊ É ÅÄÉÎÉÃ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÁ-

ÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÁ (ËÁÖÄÏÍÕ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÅÇÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉ-

ÞÅÓËÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, Õ ËÏÔÏÒÏÊ ÅÄÉÎÉÃÙ ÓÔÏÑÔ ÎÁ ÍÅÓÔÁÈ ÉÚ ÜÔÏÇÏ

ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á). ðÏÜÔÏÍÕ ÍÏÖÎÏ ÐÅÒÅÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÜÔÕ ÔÅÏÒÅÍÕ ÔÁË:

íÎÏÖÅÓÔ×Ï N ÎÅ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ Ó×ÏÉÈ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÁËÖÅ ÍÏÖÎÏ ÛÁÇ ÚÁ ÛÁÇÏÍ ÐÅÒÅ×ÅÓÔÉ ÎÁ ÔÁËÏÊ ÑÚÙË: ÐÕÓÔØ

ÏÎÉ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙ; ÔÏÇÄÁ ÅÓÔØ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ i 7→ A

ÍÅÖ-

ÄÕ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ É ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÁ. äÉÁÇÏ-

ÎÁÌØÎÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ × ÜÔÉÈ ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÍÎÏÖÅÓÔ-

×Ï ÔÅÈ i, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ i ∈ A

, Á ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ β, ÏÔÓÕÔÓÔ×Ï×Á×ÛÁÑ ×

ÐÅÒÅÞÉÓÌÅÎÉÉ, ÔÅÐÅÒØ ÂÕÄÅÔ ÅÇÏ ÄÏÐÏÌÎÅÎÉÅÍ (B = {i | i /∈ A

}).

ðÒÉ ÜÔÏÍ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÄÅÌÏ Ó ÎÁÔÕÒÁÌØ-

ÎÙÍ ÒÑÄÏÍ, É ÍÙ ÐÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÔÁËÏÍÕ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÀ:

ôÅÏÒÅÍÁ 8 (ÏÂÝÁÑ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁ ÔÅÏÒÅÍÙ ëÁÎÔÏÒÁ). îÉËÁËÏÅ ÍÎÏÖÅ-

ÓÔ×Ï X ÎÅ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ×ÓÅÈ Ó×ÏÉÈ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ ϕ ¡ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ X

É ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ P (X) ×ÓÅÈ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅ ÜÌÅÍÅÎ-

28 çÌÁ×Á I. íÎÏÖÅÓÔ×Á É ÍÏÝÎÏÓÔÉ

ÔÙ x ∈ X, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÍÕ ÉÍ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Õ.

ðÕÓÔØ Z ¡ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÅ ÉÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï:

Z = {x ∈ X | x /∈ ϕ(x)}.

äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Z ÎÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÎÉËÁËÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ ÍÎÏ-

ÖÅÓÔ×Á X. ðÕÓÔØ ÜÔÏ ÎÅ ÔÁË É Z = ϕ(z) ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ z ∈ X.

ôÏÇÄÁ

z ∈ Z ⇔ z /∈ ϕ(z) ⇔ z /∈ Z

(ÐÅÒ×ÏÅ ¡ ÐÏ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÀ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Z, ×ÔÏÒÏÅ ¡ ÐÏ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÀ ϕ(z) =

= Z). ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ ÐÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ Z ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÎÉÞÅÍÕ

ÎÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ, ÔÁË ÞÔÏ ϕ ÎÅ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ.

ó ÄÒÕÇÏÊ, ÓÔÏÒÏÎÙ, ÌÀÂÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÞÁÓÔÉ

ÍÎÏÖÅÓÔ×Á P (X). ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ËÁÖÄÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ x ∈ X ÍÏÖÎÏ ÐÏÓÔÁ-

×ÉÔØ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÏÄÎÏÜÌÅÍÅÎÔÎÏÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {x}. ðÏÜÔÏÍÕ, ×ÓÐÏÍÉ-

ÎÁÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÐÏ ÍÏÝÎÏÓÔÉ (Ó. 24), ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ,

ÞÔÏ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X ×ÓÅÇÄÁ ÍÅÎØÛÅ ÍÏÝÎÏÓÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á P (X)

úÁÄÁÞÁ 50. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ n < 2

ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ n = 0, 1, 2, . . .

÷ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÔÅÏÒÅÍÙ 8 ëÁÎÔÏÒ ×ÍÅÓÔÏ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÒÁÓÓÕ-

ÖÄÁÌ Ï ÆÕÎËÃÉÑÈ, ÐÒÉÎÉÍÁÀÝÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑ 0 É 1.

îÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÍÙ ÕÖÅ ÐÒÉÂÌÉÚÉÌÉÓØ Ë ÏÐÁÓÎÏÊ ÇÒÁÎÉÃÅ, ËÏÇÄÁ ÎÁÇÌÑÄ-

ÎÙÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ ÐÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÀ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ,

ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× U, ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ

×ÓÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. ôÏÇÄÁ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ×ÓÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á U ÂÕÄÕÔ

ÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ, É P (U) ⊂ U, ÞÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ ëÁÎÔÏÒÁ.

üÔÏ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÒÁÚ×ÅÒÎÕÔØ, ×ÓÐÏÍÎÉ× ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ

ëÁÎÔÏÒÁ ¡ ÐÏÌÕÞÉÔÓÑ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÐÁÒÁÄÏËÓ òÁÓÓÅÌÁ. ÷ÏÔ ËÁË ÅÇÏ ÏÂÙÞ-

ÎÏ ÉÚÌÁÇÁÀÔ.

ôÉÐÉÞÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ Ó×ÏÉÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ. óËÁÖÅÍ, ÍÎÏ-

ÖÅÓÔ×Ï ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ N ÓÁÍÏ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ É ÐÏÔÏ-

ÍÕ ÎÅ ÂÕÄÅÔ Ó×ÏÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ. ïÄÎÁËÏ × ÐÒÉÎÃÉÐÅ ÍÏÖÎÏ ÓÅÂÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ É

ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ËÏÔÏÒÏÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ó×ÏÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ (ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ

ÍÎÏÖÅÓÔ×). îÁÚÏ×¾Í ÔÁËÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÅÏÂÙÞÎÙÍÉ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÐÅÒØ ÍÎÏ-

ÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÏÂÙÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×. âÕÄÅÔ ÌÉ ÏÎÏ ÏÂÙÞÎÙÍ? åÓÌÉ ÏÎÏ ÏÂÙÞÎÏÅ,

ÔÏ ÏÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ó×ÏÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ É ÐÏÔÏÍÕ ÎÅÏÂÙÞÎÏÅ, É ÎÁÏÂÏÒÏÔ. ëÁË ÖÅ

ÔÁË?

íÏÄÉÆÉÃÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ×ÅÒÓÉÑ ÜÔÏÇÏ ÐÁÒÁÄÏËÓÁ ÔÁËÏ×Á: ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÐÒÉ-

ÌÁÇÁÔÅÌØÎÏÅ ÓÁÍÏÐÒÉÍÅÎÉÍÙÍ, ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÏÐÉÓÙ×ÁÅÍÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ.

îÁÐÒÉÍÅÒ, ÐÒÉÌÁÇÁÔÅÌØÎÏÅ ÒÕÓÓËÉÊ ÓÁÍÏÐÒÉÍÅÎÉÍÏ, Á ÐÒÉÌÁÇÁÔÅÌØÎÏÅ ÇÌÉ-

ÎÑÎÙÊ ÎÅÔ. äÒÕÇÏÊ ÐÒÉÍÅÒ: ÐÒÉÌÁÇÁÔÅÌØÎÏÅ ÔÒ¾ÈÓÌÏÖÎÙÊ ÓÁÍÏÐÒÉÍÅÎÉÍÏ, Á

§6. ôÅÏÒÅÍÁ ëÁÎÔÏÒÁ 29

Ä×ÕÓÌÏÖÎÙÊ ÎÅÔ. ôÅÐÅÒØ ×ÏÐÒÏÓ: ÂÕÄÅÔ ÌÉ ÐÒÉÌÁÇÁÔÅÌØÎÏÅ ÎÅÓÁÍÏÐÒÉÍÅÎÉ-

ÍÙÊ ÓÁÍÏÐÒÉÍÅÎÉÍÙÍ? (ìÀÂÏÊ ÏÔ×ÅÔ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ ÐÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÀ.)

ïÔÓÀÄÁ ÎÅÄÁÌÅËÏ ÄÏ ÛÉÒÏËÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ ÐÁÒÁÄÏËÓÁ ÌÖÅÃÁ, ÇÏ×ÏÒÑÝÅÇÏ Ñ

ÌÇÕ, ÉÌÉ ÄÏ ÉÓÔÏÒÉÉ Ï ÓÏÌÄÁÔÅ, ËÏÔÏÒÙÊ ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÌ ÂÒÉÔØ ×ÓÅÈ ÓÏÌÄÁÔ ÏÄÎÏÊ

Ó ÎÉÍ ÞÁÓÔÉ, ËÔÏ ÎÅ ÂÒÅÅÔÓÑ ÓÁÍ É Ô. Ð.

÷ÏÚ×ÒÁÝÁÑÓØ Ë ÔÅÏÒÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÍÙ ÏÂÑÚÁÎÙ ÄÁÔØ ÓÅÂÅ ÏÔÞ¾Ô × ÔÏÍ,

ÞÔÏ ÐÌÏÈÏÇÏ ÂÙÌÏ × ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑÈ, ÐÒÉ×ÅÄÛÉÈ Ë ÐÁÒÁÄÏËÓÕ òÁÓÓÅÌÁ. ÷ÏÐÒÏÓ

ÜÔÏÔ ÄÁÌÅËÏ ÎÅ ÐÒÏÓÔÏÊ, É ÅÇÏ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÅ ÁËÔÉ×ÎÏ ÛÌÏ ×ÓÀ ÐÅÒ×ÕÀ ÐÏÌÏ×ÉÎÕ

20-ÇÏ ×ÅËÁ. éÔÏÇÉ ÜÔÏÇÏ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÑ ÐÒÉÂÌÉÚÉÔÅÌØÎÏ ÍÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ

ÔÁË:

• ðÏÎÑÔÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ; ÒÁÚÎÙÅ

ÌÀÄÉ (É ÎÁÕÞÎÙÅ ÔÒÁÄÉÃÉÉ) ÍÏÇÕÔ ÐÏÎÉÍÁÔØ ÅÇÏ ÐÏ-ÒÁÚÎÏÍÕ.

• íÎÏÖÅÓÔ×Á ¡ ÓÌÉÛËÏÍ ÁÂÓÔÒÁËÔÎÙÅ ÏÂßÅËÔÙ ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ×ÏÐÒÏÓ

Á ÞÔÏ ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ? ÉÍÅÌ ÓÍÙÓÌ. îÁÐÒÉÍÅÒ, × ÒÁÂÏÔÅ ëÁÎÔÏÒÁ 1878 ÇÏ-

ÄÁ ÂÙÌÁ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÁ ËÏÎÔÉÎÕÕÍ-ÇÉÐÏÔÅÚÁ: ×ÓÑËÏÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï

ÏÔÒÅÚËÁ ÌÉÂÏ ËÏÎÅÞÎÏ, ÌÉÂÏ ÓÞ¾ÔÎÏ, ÌÉÂÏ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ ×ÓÅÍÕ ÏÔÒÅÚ-

ËÕ. (äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÍÅÖÄÕ ÓÞ¾ÔÎÙÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ É ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ

ÍÏÝÎÏÓÔÉ ËÏÎÔÉÎÕÕÍ ÎÅÔ ÐÒÏÍÅÖÕÔÏÞÎÙÈ ÍÏÝÎÏÓÔÅÊ). ëÁÎÔÏÒ ÎÁÐÉ-

ÓÁÌ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÄÏËÁÚÁÎÏ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÅÔÏÄÁ ÉÎ-

ÄÕËÃÉÉ, × ÉÚÌÏÖÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÙ ÎÅ ÂÕÄÅÍ ×ÈÏÄÉÔØ ÚÄÅÓØ ÐÏÄÒÏÂÎÅÅ,

ÎÏ ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÄÏËÁÚÁÔØ ÜÔÏ ÅÍÕ ÎÅ ÕÄÁÌÏÓØ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÐÏÓÔÅÐÅÎ-

ÎÏ ÓÔÁÌÏ ÑÓÎÏ, ÞÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ËÏÎÔÉÎÕÕÍ-ÇÉÐÏÔÅÚÙ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ

ÉÓÔÉÎÎÙÍ ÉÌÉ ÌÏÖÎÙÍ, ¡ ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÐÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÒÁÚÎÙÅ ÔÅÏÒÉÉ ÍÎÏ-

ÖÅÓÔ×, ÎÏ × ÏÂÝÅÍ-ÔÏ ÎÉ ÏÄÎÁ ÉÚ ÜÔÉÈ ÔÅÏÒÉÊ ÎÅ ÌÕÞÛÅ ÄÒÕÇÏÊ.

ôÕÔ ÅÓÔØ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÁÎÁÌÏÇÉÑ Ó ÎÅÅ×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÅÊ. íÙ ÍÏ-

ÖÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ ÐÑÔÙÊ ÐÏÓÔÕÌÁÔ å×ËÌÉÄÁ (ÞÅÒÅÚ ÄÁÎÎÕÀ ÔÏÞËÕ ÐÒÏÈÏÄÉÔ

ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÊ ÐÒÑÍÏÊ, ÐÁÒÁÌÌÅÌØÎÏÊ ÄÁÎÎÏÊ) ÉÓÔÉÎÎÙÍ. ôÏÇÄÁ ÐÏÌÕ-

ÞÉÔÓÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÁÑ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ. á ÍÏÖÎÏ ÐÒÉÎÑÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å

ÁËÓÉÏÍÙ ÐÒÏÔÉ×ÏÐÏÌÏÖÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ: ÞÅÒÅÚ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÔÏÞËÕ ÍÏÖ-

ÎÏ ÐÒÏ×ÅÓÔÉ Ä×Å ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÐÒÑÍÙÅ, ÐÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÅ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÐÒÑÍÏÊ.

ôÏÇÄÁ ÐÏÌÕÞÉÔÓÑ ÎÅÅ×ËÌÉÄÏ×Á ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ.

÷ÏÐÒÏÓ Ï ÔÏÍ, Å×ËÌÉÄÏ×Á ÉÌÉ ÎÅÅ×ËÌÉÄÏ×Á ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÐÒÁ×ÉÌØÎÁ ÎÁ

ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÅÓÌÉ ×ÏÏÂÝÅ ÉÍÅÅÔ ÓÍÙÓÌ, ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ¡

ÓËÏÒÅÅ ÏÂ ÜÔÏÍ ÓÌÅÄÕÅÔ ÓÐÒÁÛÉ×ÁÔØ ÆÉÚÉËÏ×. ë ÔÅÏÒÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÜÔÏ

ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ × ÅÝ¾ ÂÏÌØÛÅÊ ÓÔÅÐÅÎÉ, É ÒÁÚ×Å ÞÔÏ ÔÅÏÌÏÇÉÑ (ëÁÎÔÏÒ ÎÅÏÄ-

ÎÏËÒÁÔÎÏ ÏÂÓÕÖÄÁÌ ×ÏÐÒÏÓÙ ÔÅÏÒÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× Ó ÐÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌÁÍÉ-ÔÅÏ-

ÌÏÇÁÍÉ) ÍÏÇÌÁ ÂÙ × ÐÒÉÎÃÉÐÅ ÐÒÅÔÅÎÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ.

• åÓÌÉ ÍÙ ÈÏÔÉÍ ÒÁÓÓÕÖÄÁÔØ Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ, ÎÅ ×ÐÁÄÁÑ × ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅ-

ÞÉÑ, ÎÕÖÎÏ ÐÒÏÑ×ÌÑÔØ ÏÓÔÏÒÏÖÎÏÓÔØ É ÉÚÂÅÇÁÔØ ÏÐÒÅÄÅÌ¾ÎÎÙÈ ×ÉÄÏ×

30 çÌÁ×Á I. íÎÏÖÅÓÔ×Á É ÍÏÝÎÏÓÔÉ

ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ. âÅÚÏÐÁÓÎÙÅ (ÐÏ ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÐÏËÁ ÎÅ ÐÒÉ×ÅÄÛÉÅ Ë ÐÒÏ-

ÔÉ×ÏÒÅÞÉÀ) ÐÒÁ×ÉÌÁ ÏÂÒÁÝÅÎÉÑ ÓÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÙ ×

ÁËÓÉÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÏÒÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× (ÆÏÒÍÁÌØÎÁÑ ÔÅÏÒÉÑ ZF, ÎÁÚ×ÁÎÎÁÑ

× ÞÅÓÔØ ãÅÒÍÅÌÏ É æÒÅÎËÅÌÑ). äÏÂÁ×É× Ë ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÉÉ ÁËÓÉÏÍÕ ×ÙÂÏÒÁ,

ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÔÅÏÒÉÀ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÕÀ ZFC (Óhoice ÐÏ-ÁÎÇÌÉÊÓËÉ ¡ ×ÙÂÏÒ).

åÓÔØ É ÄÒÕÇÉÅ, ÍÅÎÅÅ ÐÏÐÕÌÑÒÎÙÅ ÔÅÏÒÉÉ.

ïÄÎÁËÏ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÅ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÔÅÏÒÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× ×ÙÈÏÄÉÔ ÚÁ ÒÁÍËÉ ÎÁ-

ÛÅÇÏ ËÕÒÓÁ. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÙ ÏÇÒÁÎÉÞÉÍÓÑ ÎÅÆÏÒÍÁÌØÎÙÍ ÏÐÉÓÁÎÉÅÍ ÏÇÒÁÎÉÞÅ-

ÎÉÊ, ÎÁËÌÁÄÙ×ÁÅÍÙÈ ×Ï ÉÚÂÅÖÁÎÉÅ ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÊ: ÎÅÌØÚÑ ÐÒÏÓÔÏ ÔÁË ÒÁÓ-

ÓÍÏÔÒÅÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÉÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÎÅ Ñ×ÌÑ-

ÀÝÉÈÓÑ Ó×ÏÉÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ, ÐÏÓËÏÌØËÕ ËÌÁÓÓ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÐÒÅÔÅÎÄÅÎÔÏ×

ÓÌÉÛËÏÍ ÎÅÏÂÏÚÒÉÍ. íÎÏÖÅÓÔ×Á ÍÏÖÎÏ ÓÔÒÏÉÔØ ÌÉÛØ ÐÏÓÔÅÐÅÎÎÏ. îÁÐÒÉ-

ÍÅÒ, ÍÏÖÎÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÄÁÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á

(ÁËÓÉÏÍÁ ÓÔÅÐÅÎÉ). íÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÁÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á,

ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ Ó ËÁËÉÍ-ÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ (ÁËÓÉÏÍÁ ×ÙÄÅÌÅÎÉÑ). íÏÖ-

ÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ×ÈÏÄÑÝÉÈ ÈÏÔÑ ÂÙ × ÏÄÉÎ ÉÚ

ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÄÁÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á (ÁËÓÉÏÍÁ ÓÕÍÍÙ). åÓÔØ É ÄÒÕÇÉÅ ÁËÓÉÏÍÙ.

éÚÌÁÇÁÑ Ó×ÅÄÅÎÉÑ ÉÚ ÔÅÏÒÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÓÔÁÒÁÔØÓÑ ÄÅÒÖÁÔØÓÑ

ÐÏÄÁÌØÛÅ ÏÔ ÏÐÁÓÎÏÊ ÞÅÒÔÙ, É ÕËÁÚÙ×ÁÔØ ÎÁ ÏÐÁÓÎÏÓÔØ × ÔÅÈ ÍÅÓÔÁÈ, ËÏÇÄÁ

×ÏÚÎÉËÎÅÔ ÉÓËÕÛÅÎÉÅ Ë ÜÔÏÊ ÞÅÒÔÅ ÐÒÉÂÌÉÚÉÔØÓÑ. ðÏËÁ ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ÍÅÓÔÏ ÂÙÌÏ

ÏÄÎÏ: ÐÏÐÙÔËÁ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ËÁË ËÌÁÓÓ (ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï) ×ÓÅÈ

ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙÈ ÅÍÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×.

§7. æÕÎËÃÉÉ

äÏ ÓÉÈ ÐÏÒ ÍÙ ÓÔÁÒÁÌÉÓØ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÔØÓÑ ÍÉÎÉÍÕÍÏÍ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÓÔÅÊ

É ÇÏ×ÏÒÉÌÉ Ï ÆÕÎËÃÉÑÈ, ÉÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁÈ, ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ, ËÏÍÐÏÚÉÃÉÉ É Ô. Ð. ÂÅÚ

ÐÏÐÙÔÏË ÄÁÔØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÜÔÉÈ ÐÏÎÑÔÉÊ. óÅÊÞÁÓ ÍÙ ÄÁÄÉÍ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÅ

ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ.

ðÕÓÔØ A É B ¡ Ä×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎ-

ÎÙÈ ÐÁÒ ha, bi, ÇÄÅ a ∈ A É b ∈ B. üÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÅËÁÒÔÏ×ÙÍ

ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ A × B. (ë ×ÏÐÒÏÓÕ Ï ÔÏÍ,

ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ ÐÁÒÁ, ÍÙ ÅÝ¾ ×ÅÒÎ¾ÍÓÑ ÎÁ Ó. 34.)

ìÀÂÏÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï R ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A×B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÍÅÖÄÕ

ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A É B. åÓÌÉ A = B, ÇÏ×ÏÒÑÔ Ï ÂÉÎÁÒÎÏÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ ÎÁ ÍÎÏ-

ÖÅÓÔ×Å A. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ

ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÂÙÔØ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ, ÏÂÙÞÎÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍÏÅ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ |. ôÏ-

ÇÄÁ ÍÏÖÎÏ × ÐÒÉÎÃÉÐÅ ÂÙÌÏ ÂÙ ÎÁÐÉÓÁÔØ h2, 6i ∈ | É h2, 7i /∈ |. ïÂÙÞÎÏ,

ÏÄÎÁËÏ, ÚÎÁË ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÐÉÛÕÔ ÍÅÖÄÕ ÏÂßÅËÔÁÍÉ (ÎÁÐÒÉÍÅÒ, 2|6).