Садчикова Г.М. Цикловые дискретные системы управления

Подождите немного. Документ загружается.

умножить на логическое выражение

yy 

, где y

= А, В, С, ..., N, то есть

одна из переменных, которая не входит в данную конъюнкцию.

1.6. Оптимизация переключательных функций

Релейная функция, представленная в виде СКНФ или СДНФ, может

быть оптимизирована (упрощена). При аналитическом способе

оптимизации применяются законы и аксиомы алгебры логики. Этот способ

не всегда приводит к удовлетворительным результатам. Чаще

используются графический способ – представление логических функций в

виде карт Карно. На рис. 6 показаны карты Карно для функций с

количеством переменных K=2;3 (карты Карно используются для K<7).

Карта Карно содержит 2

клеток, причем каждой клетке соответствует

один из минтермов. Каждой клетке карты поставлен в соответствие один

из наборов логических переменных, который определяется номером

строки и столбца, на пересечении соответствующих минтерм m

в клетку

карты ставится «1», если значение функции для данного набора входных

переменных равно «1». Если же нет, то клетка остается пустой, либо

ставится 0. Таким образом, представление функции в табличной (таблица

истинности), алгебраической (в виде СДНФ) и графической (на карте

Карно) формах имеет однозначное соответствие.

Рис. 6. Карты Карно для функций двух и трех переменных

Полученные на основании законов алгебры логики правила

минимизации логических функций объединением на картах Карно клеток,

0 0 0 1 1 1 1 0

а в с а в с а в с а в с

0 1

а в а в

занятых единицами, формулируются следующим образом:

Правило 1. Объединяются клетки, составляющие полные квадраты из 4

и 16 клеток.

Правило 2. Объединяются клетки, составляющие полные столбцы или

ряды из 2, 4 или 8 клеток, а также два рядом расположенных столбца или

ряда из 4, 8 или 16 клеток.

Правило 3. Объединяются две соседние клетки в столбце или ряду.

Правило 4. Объединяются клетки, пары соседних клеток, клетки,

образующие квадраты, столбцы или ряды, если они расположены

симметрично либо относительно центральной вертикальной или

горизонтальной оси карты Карно, либо относительно вертикальной оси

одной из половин (левой или правой) карты Карно функции пяти

переменных, либо относительно вертикальной или горизонтальной оси

одной из четвертей карты Карно шести переменных.

1.7. Построение многотактных релейных устройств

В задачу синтеза многотактного релейного устройства входят

следующие этапы: 1) формирование и запись условий работы

проектируемого устройства (составление циклограммы работы); 2)

определение числа промежуточных элементов (числа элементов памяти),

которые необходимо внести в систему для получения реализуемой

циклограммы; 3) синтез многотактного релейного устройства,

удовлетворяющего заданным требованиям (циклограммы работы

исполнительных устройств объекта управления). В соответствии с

перечисленными этапами построения многотактных релейных устройств

можно определить следующий порядок структурного синтеза: определяют

те элементы, которые могут быть использованы для построения

требуемого устройства; составляют эскизную схему устройства,

показывающую взаимосвязи релейного устройства с объектом управления

с отметкой характера и числа этих связей, характера передаваемых

сигналов; составляют реализуемую циклограмму, для чего сначала вносят

в нее требуемые по условиям работы последовательности входных и

выходных сигналов и по этим условиям определяют число и порядок

работы промежуточных элементов памяти (число обратных связей); на

основе реализуемой циклограммы работы релейного устройства

составляют таблицу включений исполнительных устройств объекта

управления и промежуточных элементов памяти; на основании таблицы

включений составляют логические функции работы для отдельных

исполнительных цепей (выходных сигналов) и промежуточных элементов

(сигналов обратной связи); по полученным функциям синтезируют схему,

реализующую заданные условия работы релейного устройства.

Для записи циклограммы работы релейного устройства каждый

исполнительный механизм объекта управления обозначают одной буквой

(прописные буквы с индексами), а сигналы об обработке этих воздействий

на исполнительные механизмы — соответствующими строчными буквами,

например, буквой X для входных элементов и Z для элементов обратной

связи. Для записи включения исполнительного механизма используют

прописную букву без черты, для записи выключения исполнительного

механизма — прописную букву с чертой. Сигналы об отработке

соответствующих сигналов исполнительных механизмов также

записывают строчными буквами без черты и с чертой.

Например, записи

2121

YYYY

соответствует работа двух

исполнительных механизмов (Y

и Y

), которые во времени работают

следующим образом. Первым включается исполнительный механизм Y

после чего в систему управления поступает сигнал у

на включение

исполнительного механизма Y

. После включения исполнительного

механизма Y

, систему управления поступает сигнал у

, на отключение

исполнительного механизма

. После отключения исполнительного

механизма

т. е. при поступлении сигнала

в систему управления,

вырабатывается сигнал на отключение исполнительного механизма

Графически циклограмму изображают в виде таблицы, в которой

столбцы используют для изображения тактов, исполнительных

механизмов и весов этих механизмов и промежуточных элементов. Строки

этой таблицы используют для обозначения отдельных исполнительных

механизмов, промежуточных элементов и одну строку для записи веса

такта. Число тактов всегда равно числу включений и отключений

исполнительных механизмов и промежуточных элементов. Графическое

изображение циклограммы

43214321

YYYYYYYY

приведено на рис. 7.

Рис. 7. Циклограмма

Вес каждого такта

2...22





riiii

YYYN

где N

— вес i-ro такта;

,,2,1

...,

riii

YYY

—состояние исполнительных

механизмов в i-м такте;

=0, если j-й механизм в i-м такте выключен или

включается; Y

= 1, если j-й механизм в i-u такте включен или

отключается; j = 1, 2, .... k.

Циклограмма считается реализуемой, если отсутствуют такты с

одинаковыми весами. Если же в циклограмме имеются такты с

№

элемента

Вес

элемента

Вес такта

1 1 1 0 0 010

3 4 5 6 7 821

1 1 1 1 0 000

0 1 1 1 1 000

0 0 1 1 1 100

3 7 15

112 81

Номер такта

одинаковыми весами, то такая циклограмма считается нереализуемой. Для

получения реализуемой циклограммы в нереализуемую вводят

промежуточные элементы памяти таким образом, чтобы исключить такты

с одинаковыми весами. Если промежуточный элемент вводится для

различения тактов с номерами α и β то этот промежуточный элемент

нужно включить до такта с номером α и выключить за этим тактом, но до

такта с номером β. Если же промежуточный элемент вводят для

различения двух множеств тактов

,,...,,

21 i





,...,,

, то этот

промежуточный элемент нужно включить до такта с номером а

выключить за тактом с номером а

, но до такта с номером β

Число промежуточных элементов памяти зависит от числа

совпадающих тактов:

12max2;min2  MM

где

 

mmmM ,...,,max



— максимальное число тактов с одинаковыми

весами;

mmm ,...,,

— число повторений тактов с весами

min21

;,...,, S



—минимальное число промежуточных элементов памяти, необходимое

для преобразования нереализуемой циклограммы в реализуемую;

max

—

максимальное число промежуточных элементов памяти, с помощью

которых всегда можно преобразовать нереализуемую циклограмму в

реализуемую.

При построении реализуемой циклограммы нужно добиться такого

положения, чтобы в каждом такте включался и выключался только один

элемент.

На основании реализуемой циклограммы составляют таблицу

включений. Таблица включений содержит столько же тактов, сколько и

реализуемая циклограмма, и содержит информацию о состоянии каналов

выходных сигналов. Поэтому число строк в таблице включений равно

числу выходных сигналов релейного устройства плюс число каналов

управления элементами памяти. Для управления одним элементом памяти

нужно выработать два управляющих сигнала по различным каналам

(выходным). Таблица включений для циклограммы, данной на рис. 7,

приведена на рис. 8.

Рис. 8. Таблица включений

На основании реализуемой циклограммы составляют логические

функции работы каждого исполнительного механизма и промежуточного

элемента по следующим правилам:

1) составляют полный набор состояний исполнительных механизмов и

промежуточных элементов

  

12,...,2,1,0 

sr

;

2) составляют набор из весов всех тактов

 

,,...,,

21 N

aaaA 

, где N —

число тактов;

3) из полного набора вычеркивают те номера, которые соответствуют

весам тактов, т. е. образуется разность множеств U = Е — А, которая

является множеством номеров условных конституент единиц для

выходных функций каждого исполнительного механизма и

промежуточного элемента;

4) для каждого исполнительного механизма и промежуточного

Выходной

сигнал

Номер такта

2 3 4 5 6 7 8

элемента составляют множество обязательных номеров конституент

единиц, в которое включаются веса тех тактов, при которых

рассматриваемый элемент или включается или находится во включенном

состоянии (О

). Веса тактов, когда рассматриваемый элемент выключается,

во множество обязательных номеров конституент единиц не входят.

Таким образом, для каждого исполнительного механизма и

промежуточного элемента получают функцию следующего вида:

 

 

UOY 

при

srj  ,...,3,2,1

где

1111

...... YYYZZZ

rrss 

— базис двоичных переменных с весами

0121

2,2,...,2,2

 srsr

На основании полученной системы уравнений синтезируется система

управления, реализующая заданную циклограмму работы исполнительных

механизмов.

2. ЗАДАНИЕ

1. Требуется перейти аналитическим способом от ДНФ к СДНФ и от

КНФ к СКНФ. В таблице 2 даны исходные данные в виде ДНФ и КНФ

(номер варианта соответствует номеру по списку).

2. По таблице истинности (табл. 3) перейти к СДНФ и СКНФ.

3. Оптимизировать СДНФ, полученную аналитическим или табличным

способом, применяя основные законы и аксиомы алгебры логики.

4. Оптимизировать СДНФ с помощью карты Карно, заполнив таблицу

истинности по исходной ДНФ.

5. Провести проверку правильности результатов оптимизации,

выполненной по заданию 3 и 4. Для этого составить таблицу истинности

для оптимизированной двумя способами переключательной функции,

полученные результаты должны совпадать.

6. По таблице 4 составить циклограмму работы устройства.

7. В случае необходимости добавить элементы памяти и добиться

реализуемой циклограммы.

8. По реализуемой циклограмме составить таблицу включений.

9. Составить функции выходных сигналов;

10. Составить карты Карно и записать оптимизированные

переключательные функции для каждого устройства.

Таблица 2

ДНФ и КНФ переключательных функций

Вариант

C)B,(A,f

ДНФ

D)C,B,(A,f

КНФ

1 2 3

BCA 

  

BACBA 

BCAB 

 

CABCA 

BAC 

 

CBA 

 

BACB 

BCACA 

 

CBA 

BCABA 

 

CAB

ACB 

  

BCCA 

CBACB 

  

CBACB 

CBAAB 

 

CBA 

CBA 

 

CABC 

CBA 

 

AACBA 

CA 

 

  

BCBABA 

AB

 

ACBA 

CAB 

 

BACAB 

ABCA 

 

ACBAC 

ACBA 

 

ACA 

CBACAB 

 

DCBBA 

CCAB 

 

CBA C

BAAC 

 

ACCB 

CBA 

  

BABCA 

BCBA 

  

BABCA 

ABCABBA 

  

BACA 

CBBCAA 

 

BABC 

BAC

  

ACBABA 

BCBA 

 

ACBA 

Окончание таблицы 2

1 2 3

BCACA 

 

CBA 

BCABA 

 

CAB

ACB 

  

BCCA 

CBACB 

  

CBACB 

CBAAB 

 

CBA 

CBA 

 

CABC 

CBA 

 

AACBA 

CA 

 

  

BCBABA 

AB

 

ACBA 

CAB 

 

BACAB 

Таблица 3

Таблица истинности

A B C f

0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1

0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1

0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1

0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1

1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1

1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1

1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1

0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0

1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1

1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1

1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1

1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1

0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0

1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1

1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1

1 1 0 1 1 1 1 0

0 1 1 0 0 0 1 1

0 1 1 0 0 0 1 0

1 1 1 1 1 0 0 1

0 1 1 0 0 1 1 0

0 1 0 0 0 1 1 1

0 1 1 0 0 0 1 0

1 1 1 1 1 0 0 1

Таблица 4

Данные к построению циклограммы

№

вари

Переключательная

функция

№

вари

Переключательная

функция

№

вариа

Переключательн

ая функция

анта анта нта

1 Y

13 Y

25 Y

2 Y

14 Y

26 Y

3 Y

15 Y

27 Y

4 Y

16 Y

28 Y

5 Y

17 Y

29 Y

6 Y

18 Y

30 Y

7 Y

19 Y

31 Y

8 Y

20 Y

32 Y

9 Y

21 Y

33 Y

10 Y

22 Y

34 Y

11 Y

23 Y

35 Y

12 Y

24 Y

3. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ

1. Преобразовать аналитически в СДНФ следующую

переключательную функцию, заданную в виде ДНФ:

C.ABC)B,(A,f

ДНФ



В минтерм АВ добавляется переменная C:

.CABABC)CAB(CAB 

К переменной C добавляются A и B:

  

C.BACBABCAABCBBCAAC)AC(AC 

Записывается СДНФ:

C.BACBABCACABABCC)B,(A,f

СДНФ



Для перехода от КНФ i-ого ранга к СКНФ k-ого ранга (i<k)

необходимо дизъюнкции, входящие в КНФ, просуммировать с логическим

выражением

, где у

= A, В, С, ..., N, то есть одна из переменных,

которая не входит в данную дизъюнкцию.

Преобразовать аналитически в СКНФ следующую переключательную

функцию, заданную в форме КНФ:

 

.CBAC)B,(A,f

КНФ



К переменной A добавляются B и С.

 

    

 

 CBACBACCBACCBABABABBAA

  

.CBACBA 