Ремпен И.С., Егоров Е.Н., Овчинников А.А. Основы цифровой схемотехники. Учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

«Саратовский государственный университет имени

Н.Г. Чернышевского»

И.С. Ремпен, Е.Н. Егоров, А.А. Овчинников

ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ СХЕМОТЕХНИКИ

ДЛЯ СПЕЦИАЛИСТОВ В ОБЛАСТИ ЭЛЕКТРОНИКИ И

ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ

Учебное пособие

Издательство «Новый ветер»

2010

УДК 621.37

ББК 32.973

К68 Основы цифровой схемотехники для специалистов в области

электроники и теории колебаний / И.С. Ремпен, Е.Н. Егоров,

А.А. Овчинников. – Саратов: из-во «Новый ветер», 2010. – 64 с.: ил.

Рецензенты – доктор физико-математических наук, профессор А.Е. Храмов

кандидат физико-математических наук, профессор Ю.И. Левин

ISBN 978-5-98116-113-1

Учебное пособие «Основы цифровой схемотехники для специалистов

в области электроники и теории колебаний» посвящено изложению

теоретических основ работы цифровых схем. Пособие состоит из 3 частей,

последовательно излагающих основы алгебры логики, основы

функционирования базовых компонентов цифровой электроники и работу

последовательных логических устройств, на основе базовых компонентов.

Каждая часть содержит краткие теоретические сведения, набор

индивидуальных практических заданий для студентов, методические

указания и вопросы для самопроверки. Учебное пособие представляет

собой дополнение к лекционным курсам «Физическая электроника»,

«Электронные приборы». Пособие предназначено для студентов 3-4 курсов

физического факультета, факультета нелинейных процессов и факультета

компьютерных наук и информационных технологий Саратовского

госуниверситета, специализирующихся в области электроники и

схемотехники, а также для студентов других вузов обучающихся по сходным

специальностям.

УДК 004.65 УДК 621.37

ББК 32.973

ISBN 978-5-98116-113-1

имени Н.Г. Чернышевского, 2009

Содержание

Введение .............................................................................................................................. 4

Работа 1. Основы алгебры логики. ............................................................................... 5

Введение .............................................................................................................................. 5

1.1 Алгебра логики ....................................................................................................... 6

1.2 Законы алгебры логики. ......................................................................................... 9

1.3 Двоичная арифметика .......................................................................................... 13

1.4 Практические задания .......................................................................................... 15

1.5 Контрольные вопросы .......................................................................................... 16

Работа 2. Базовые компоненты цифровой электроники ........................................ 18

Введение ............................................................................................................................ 18

2.1 Базовые элементы логических схем ................................................................... 19

2.2 Комбинационные устройства .............................................................................. 22

2.3 Несколько слов о методике проектирования цифровых узлов. ....................... 29

2.4 Практические задания. ......................................................................................... 30

2.5 Контрольные вопросы. ......................................................................................... 32

Работа 3. Последовательные логические устройства .............................................. 33

Введение ............................................................................................................................ 33

3.1 Функциональные элементы последовательных логических устройств .......... 33

3.2 Последовательные логические устройства в задачах синтеза цифровых

устройств ..................................................................................................................... 44

3.3 Практическое задание .......................................................................................... 58

3.4 Контрольные вопросы. ......................................................................................... 60

Литература ....................................................................................................................... 62

Введение

Появившись около тридцати лет назад, цифровые и комбинированные

цифроаналоговые устройства к настоящему моменту получили чрезвычайно

широкое распространение. Если на заре своего существования цифровые устройства

рассматривались исключительно как узлы вычислительных машин, то к настоящему

моменту спектр их применения крайне широк и в ряде случаев цифровые системы

теснят аналоговые с традиционно занимаемых ими позиций. Хорошим примером

последнему могут служить так называемые цифровые потенциометры, микросхемы,

одно из наиболее частых использований которых – замена аналоговых переменных

резисторов в цепях обратной связи усилителей в бытовой и в контрольно-

измерительной аппаратуре. В подавляющем большинстве случаев цифровые

устройства оказываются дешевле в производстве, меньше страдают от разброса

параметров, неизбежно возникающего при их изготовлении, менее подвержены

влиянию окружающей среды, а значит, работают стабильнее и надёжнее своих

аналоговых предшественников. При этом зачастую они занимают меньше места и

потребляют значительно меньше энергии.

Современные цифровые устройства крайне сложны, однако в основе их

функционирования лежат те же принципы, что и несколько десятилетий назад.

Понимание этих принципов является ключом к пониманию работы любых

цифровых устройств. Целью данного пособия является ознакомление студентов с

основами цифровой схемотехники и основными математическими принципами,

лежащими в её основе.

Работа 1. Основы алгебры логики.

Введение

Специфическим свойством любого цифрового устройства является

представление сигналов в виде последовательности чисел с ограниченной

разрядностью. Сигналы, которыми оперируют цифровые устройства, являются

квантованными по уровню, что означает, что уровни этих сигналов могут

принимать лишь конечное множество значений (см. рис. 1.1).

Рис. 1.1. Различные виды сигналов: а) аналоговый сигнал b) дискретный сигнал с)

цифровой сигнал с произвольными уровнями d) двоичный сигнал.

Наибольшее распространение получили системы, в которых число элементов

множества уровней равно двум. Следует отметить, что в принципе, число уровней

может быть произвольным, однако наиболее удобной оказалась именно

двухуровневая система – достаточно просто представить себе и реализовать

электрическую цепь, имеющую только два устойчивых состояния (Рис. 1.2).

Достаточно часто для обозначения цифровых устройств используют термин

«логические устройства». Второе название указывает на тесную связь процессов

обработки цифрового сигнала с процессом вычисления значений логических

функций в алгебре логики. Данный раздел математической логики оперирует

высказываниями и рассматривает вопросы построения сложных высказываний из

некоторого набора простых высказываний. Следует особо отметить, что

высказывания алгебры логики характеризуются только двумя признаками –

истинностью или ложностью. Любое высказывание может быть истинным либо

ложным и может быть представлено как совокупность конечного числа

элементарных высказываний. Поэтому кажется очень заманчивой возможность

использовать алгебру логики применительно к цифровым устройствам, которые

обрабатывают двухуровневые сигналы.

Рис. 1.2. Нетрудно видеть, что приведённая электрическая цепь может работать в двух

режимах: в случае, когда ключ разомкнут ток течёт через лампочку, когда ключ замкнут,

ток через лампочку не течёт.

1.1 Алгебра логики

Как указывалось выше, логические выражения могут быть сложными, то есть,

по-прежнему принимая всего два состояния, представлять собой комбинацию более

простых логических выражений. Высказывания (или логические выражения) в

алгебре логики обычно обозначаются заглавными латинскими буквами A, B и т.д.

Сложные логические выражения формируются из более простых посредством

логических связок, называемых также логическими операциями. Рассмотрим

примеры наиболее распространённых логических операций:

1. Логическое «И», называемое также конъюнкцией и логическим

умножением. Обычно обозначается следующими символами: &, *, или же

отсутствием символа между двумя логическими высказываниями. Высказывание

A&B (AB, A*B) истинно тогда и только тогда, когда истины оба высказывания A и B.

Это обстоятельство удобно выразить в виде таблицы истинности для конъюнкции:

истинно

ложно

истинно

ложно

С точки зрения алгебры высказываний, операция конъюнкции полностью

определяется приведённой выше таблицей истинности. Отметим, что любая

комбинация логических выражений и логических связок будет полностью

определяться соответствующей таблицей истинности. В дальнейшем мы будем

неоднократно использовать таблицу истинности для определения значения

логических функций.

2. Логическое «ИЛИ», называемое также дизъюнкцией и логическим

сложением. Обычно данная операция обозначается символом ∨. Сложное

высказывание A∨B истинно в том случае, если истинно хотя бы одно из входящих в

его состав простых высказываний. Операция дизъюнкции может быть представлена

следующей таблицей истинности:

истинно

ложно

истинно

ложно

истинно

ложно

3. Логическое «НЕ»

, называемое отрицанием A. Данная операция задаётся

следующей таблицей истинности:

истинно

ложно

истинно

Операция отрицания является унарной операцией, то есть в ней участвует

одно логическое выражение. Рассмотренные же ранее операции конъюнкции и

дизъюнкции представляют собой бинарные операции, поскольку в них участвуют

два логических высказывания.

Используя описанные выше операции можно строить сколь угодно сложные

логические выражения. В принципе, можно ограничится использованием только

операции отрицания и любой бинарной в качестве базовых – все остальные

операции возможно переопределить через имеющиеся две, однако для упрощения

структуры конечных функций и вычислений обычно всё же в качестве базовых

операций выбирают все три из описанных выше. Зачастую оказывается удобным

вводить дополнительные логические операции, определяя их через базовые. В

качестве примера можно привести операцию «исключающего ИЛИ», обозначаемую

как ⊕ или XOR:

BABABA ∨=⊕

для которой справедлива следующая таблица истинности:

Истинно

истинно

ложно

Истинно

ложно

истинно

Ложно

истинно

Ложно

ложно

Существует достаточно большое количество собственных обозначений для

различного рода сложных комбинаций базовых операторов и высказываний.

Более подробно этот вопрос освещён, например, в [1,5]

При построении сложных логических выражений, следует помнить, что

первой выполняется операция отрицания (применительно к самым простым

выражениям), затем операция логического умножения и лишь затем логическое

сложение.

Поскольку логические операции полностью характеризуются таблицами

истинности, можно уйти от понятия высказывания и оперировать только таблицами.

Более того, для обозначения истинности высказывания мы будем использовать

символ 1, для обозначения ложности – 0. Это позволит нам ввести понятие

логической функции:

О.1. Функцией алгебры логики или логической функцией f(x

,…,x

)от

логических переменных x

,…,x

называется функция, принимающая значения

0,1 и аргументы которой также принимают значения 0,1.

Логическая функция однозначно задаётся своей таблицей истинности:

…

n-1

f(x

,…,x

n-1

)

…

f(0,0,…,0,0)

…

f(1,0,…,0,0)

…

f(1,1,…,1,0)

…

f(1,1,…,1,1)

1.2 Законы алгебры логики.

Приведём основные равносильности (*), справедливые для алгебры логики,

определённой выше:

Коммутативный закон:

1221

xxxx =

1221

xxxx +=+

Ассоциативный закон:

321321

)()(

xxxxxx

321321

)()( xxxxxx ++=++

Дистрибутивный закон:

3121321

)( xxxxxxx +=+

))((

3121321

xxxxxxx ++=+

Правило склеивания:

1211

)( xxxx =+

1211

xxxx =+

Правило повторения:

xxx =

xxx =+

Правило отрицания:

0=xx

1=+ xx

Правило двойного отрицания:

( )

xx =

Теорема де Моргана:

2121

xxxx +=

2121

xxxx =+

Операции с 0 и 1:

=⋅

Для дальнейшего изложения материала требуется ввести формальное

определение алгебры логики. Алгебру логики, называемую также иногда булевой

алгеброй по имени её основоположника Дж. Буля, можно формально определить

следующим образом:

О.2. Множество M , на котором определены две бинарные операции

xyyx ⇒,

yxyx ∨⇒,

и одна унарная

xx ⇒

и выделены два элемента

∈1,0

M , причём

для этих операций и элементов выполняются соотношения (*), называется

булевой алгеброй.

Обозначим множество натуральных чисел как N. Обозначим совокупность его

подмножеств как N

. Через xy (x,y∈N) обозначим пересечение множеств x и y,

через x∨y – их объединение, через

- дополнение к подмножеству x до всего

множества N, через 0 – пустое множество. Нетрудно видеть, что приведённый

способ позволяет определить булеву алгебру практически на любом

множестве.

Приведя основные положения алгебры логики, вернёмся к цифровым

устройствам и обсудим вопрос о применении к ним алгебры логики.

Как известно, при выполнении различных операций в современных цифровых

системах числа обычно представляются в двоичной системе счисления, т.е. системе

счисления, основанием которой является число 2. При этом целое k-разрядное

десятичное число A

записывается в виде n-разрядного двоичного числа A

∑∑

−

===

)2()10(

aAaA

Нетрудно показать, что на множестве {0,1} также можно определить булеву

алгебру. Тогда арифметические действия над числами, записанными в данной