Полоцкий Л.М., Лапшенков Г.И. Автоматизация химических производств

Подождите немного. Документ загружается.

Чем больше степень самовыравнивания, тем меньше отклонение вы-

ходной величины от первоначального положения.

Емкость объекта является свойством, присущим всем динамическим

объектам. Она характеризует их инерционность — степень влияния входной

величины на скорость изменения выходной. Даже ступенчатое изменение

входной величины объекта приводит к изменению выходной величины с ко-

нечной скоростью. Под емкостью понимают такое изменение входной вели-

чины, которое приводит к изменению его выходной величины на единицу за

единичный отрезок времени

Чем больше емкость, тем меньше скорость изменения выходной вели-

чины объекта, и наоборот.

Запаздывание объекта выражается в том, что его выходная величина

начинает изменяться не сразу после нанесения возмущения, а только через

некоторый промежуток времени т, называемый временем запаздывания. Все

реальные объекты обладают запаздыванием, так как изменение потоков ве-

щества или тепла распространяется в объектах с конечной скоростью и тре-

буется время для прохождения сигнала от места нанесения возмущения до

места, где фиксируется изменение выходной величины. Обозначив это рас-

стояние через l, a скорость прохождения сигнала через s, выразим время за-

паздывания следующим образом:

Влияние свойств объекта на вид его переходного процесса будем изу-

чать на примерах одномерных объектов с сосредоточенными параметрами.

В зависимости от вида дифференциального уравнения динамики ре-

ального объекта химической технологии целесообразно различать объекты

первого, второго и высокого порядков.

По способности восстанавливать равновесное состояние при конеч-

ном изменении входных величин можно подразделять объекты на нейтраль-

ные, устойчивые и неустойчивые (рис. II-4).

Объекты 1-го порядка широко распространены в химической про-

мышленности. К ним относятся сборники жидкости, бункеры для сыпучих

материалов, газовые аккумуляторы, жидкостные смесители, теплообменники

смешения и т. д. Во всех этих аппаратах количество вещества или тепла за-

ключено в одном резервуаре. Такие объекты обладают способностью ак-

кумулировать (накапливать) проходящие через них вещество или тепло в пе-

реходном режиме. Это выражается в том, что рассогласование потоков на

входе и выходе при изменении, например, нагрузки вызывает изменение ко-

личества вещества или

тепла в объекте, а следовательно, и выходной величины объекта. При этом

скорость изменения выходной величины объекта зависит от аккумулирую-

щей способности или инерционных свойств объекта.

Нейтральные объекты 1-го порядка. В нейтральных объектах вход-

ные величины влияют на выходные, а последние не влияют на входные вели-

чины, т. е. внутренняя обратная связь отсутствует.

В качестве примера такого объекта рассмотрим резервуар (см. рис. II-

1), из которого насосом откачивается жидкость, причем производительность

постоянна.

Для нахождения зависимости уровня жидкости в аппарате L от вход-

ных величин F

пр

и F

(в м

/с) составим уравнение материального баланса ап-

парата:

пр

(II, 4)

где V — объем Жидкости в аппарате, м

; t — время, с. Отсюда ско-

рость изменения объема жидкости в аппарате:

пр

(II, 5)

Скорость изменения уровня жидкости L, если площадь го-

ризонтального сечения аппарата А (в м

) неизменна по высоте

(

пр

) (II, 6)

Таким образом, скорость изменения уровня в резервуаре пропорцио-

нальна разности потоков жидкости на входе и выходе. Уровень жидкости

принимает постоянные значения во времени (скорость dL/dt=0) только при

отсутствии рассогласования потоков F

пр

и F

Проинтегрируем уравнение (II,6) в пределах от 0 до t

∫(

пр

)

( )

Следовательно, выходная величина объекта пропорциональна инте-

гралу от изменения его входных величин.

При ступенчатом изменении нагрузки объекта на величину ∆F уро-

вень жидкости L изменяется по зависимости (рис, II-5):

(II, 8)

Как следует из уравнения (II,8), скорость изменения выходной вели-

чины при ступенчатом возмущении ∆F постоянна и равна

(II, 9)

При расчетах систем автоматизации уравнение динамики объекта

представляют в относительных величинах. Предполагая, что F

nр

является

возмущением, a F

— регулирующим воздействием (см. рис. II-1), имеем

пр

(II, 10)

где L

и F

— значения соответствующих величин при равновесном

состоянии объекта.

Записав уравнение (II,6) в приращениях и введя относительные вели-

чины, получим уравнение динамики:

(II, 11)

Из уравнения (II,11) видно, что отношение AL

имеет размерность

времени. Его называют временем разгона объекта и обозначают через T

. Под

этим термином донимают время, в течение которого выходная величина объ-

екта у, изменяясь с постоянной скоростью, достигает значения входной ве-

личины z. Время разгона T

прямо пропорционально емкости объекта и ха-

рактеризует его инерционные свойства.

Заменяя коэффициент в левой части уравнения (II,11) через T

, полу-

чим уравнение динамики нейтрального объекта первого порядка в общем ви-

де

(II, 12)

Интегрируя уравнение (II,12), найдем

∫( )

( )

В нашем случае х=0. Величину, обратную T

, часто называют скоро-

стью разгона объекта ε, под которой понимают скорость изменения выход-

ной величины у при предварительном ступенчатом изменении входной вели-

чины z, равном единице.

Действительно, при единичном ступенчатом возмущений z—x=l(t) измене-

ние выходной величины у подчиняется зависимости:

(

)

(II, 14)

Передаточная функция нейтрального объекта первого порядка

(

)

(II, 15)

В динамическом отношении такой объект представляет собой инте-

грирующее звено.

Нейтральным объектам первого порядка присущи только емкостные

(инерционные) свойства, что выражается, например при регулировании

уровня L, степенью влияния величины F

—F

на скорость dL/dt. Это влияние

зависит от площади поперечного сечения аппарата. При большем значении А

скорость изменения уровня меньше и наоборот (см. рис. II-5).

Для рассмотренного выше аппарата емкость равна

пр

(II, 16)

Из сравнения уравнений (II,6) и (II,16) следует, что емкость резервуа-

ра численно равна площади его горизонтального сечения. Единицей измере-

ния емкости в данном случае является м

Емкость объектов зависит от протекающих в них процессов. Так ем-

кость тепловых объектов, в которых осуществляется теплообмен при регули-

ровании в них температуры, находят по изменению теплового потока ∆q, Вт,

вызывающего приращение температуры T на 1 °С в течение 1 ч:

(II, 17)

Емкость аппарата зависит от теплоемкости с

, находящегося в нем

продукта. Единицей измерения емкости теплового объекта является Дж/°С.

Устойчивые объекты 1-го порядка. Если жидкость из рассмотренного

выше резервуара не откачивать насосом, а отводить самотеком по трубопро-

воду, на котором имеется дополнительное гидравлическое сопротивление,

например вентиль, то при рассогласовании потоков на входе и выходе регу-

лируемая величина (уровень) будет самостоятельно устанавливаться в новом

равновесном состоянии.

При ступенчатом увеличении притока жидкости F

пр

а величину ∆F

(рис. II-6) уровень L в аппарате в первый момент начнет изменяться, как и в

случае нейтрального объекта (см. пунктир), со скоростью определяемой ра-

венством (II,9).Но при повышении уровня возрастает гидростатический

напор, что

Рис. II-7. Структурная схема устойчивого объекта 1-го порядка.

в свою очередь увеличит расход жидкости из аппарата F

; его зависимость от

уровня L:

√

(II, 18)

где α — коэффициент расхода вентиля; А — площадь его проходного

сечения; g — ускорение свободного падения.

С увеличением F

величина возмущения ∆F = F

пр

—F

, а, следователь-

но, и скорость изменения уровня уменьшаются. Со временем расход жидко-

сти постепенно достигнет текущего значения притока, повышение ее уровня,

изменяющегося по экспоненте, прекратится и наступит новое равновесное

состояние объекта, но при более высоком значении уровня L

∞

. Аналогичным

образом при ступенчатом уменьшении F

уровень L начнет понижаться, что

обусловит уменьшение расхода F

, вследствие уменьшения гидростатическо-

го напора. Со временем между расходом и притоком жидкости восстанавли-

вается равенство, но при более низком уровне.

Устойчивость объектов объясняется наличием в них отрицательной

обратной связи. В частности, в рассматриваемом объекте обратная связь

определяется равенством (II,18).

Для нахождения передаточной функции звена обратной связи лине-

аризуем зависимость (II,18), разлагая ее в ряд Тейлора в окрестности точки с

координатами (L

, F

)

√

(

)

Откуда

√

Учитывая равенства (II,10) и (II,18), окончательно получим:

ос

(II, 19)

где k

= 1/2.

Таким образом, в данном случае обратная связь соответствует усили-

тельному звену с коэффициентом усиления 1/2.

Структурная схема устойчивого объекта 1-го порядка приведена на

рис. II-7. Интегрирующее звено с передаточной функцией 1/Т

р охватывается

звеном отрицательной обратной связи с передаточной функцией k

ос

. Переда-

точная функция такого объекта имеет вид

(

)

ос

(II, 20)

где k=1/k

— коэффициент усиления объекта; T

= T

ос

- постоянная

времени объекта, под которой понимают время, в течение которого выходная

величина достигла бы своего нового установившегося значения, если бы она

изменялась с постоянной скоростью, равной скорости ее изменения в началь-

ный момент времени. При t = T

выходная величина составляет 63% нового

установившегося значения. Постоянная времени объекта определяется как

проекция на ось времени отрезка касательной к экспоненте, заключенного

между точкой касания и точкой пересечения касательной с линией устано-

вившегося значения выходной величины (см. рис. II-6,б). Длина этой про-

екции одинакова для касательных, проведенных к любой точке экспоненты.

Постоянная времени объекта Т

определяет его динамические свой-

ства. Чем она больше, тем медленнее протекает переходный процесс в объек-

те, и наоборот.

В соответствии с передаточной функцией (11,20) уравнение динамики

устойчивого объекта первого порядка имеет вид

(II, 21)

Переходная характеристика этого объекта аналогично выражению

(I,28) будет равна

(

)

(

) (II, 22)

Таким образом, рассматриваемый объект представляет собой аперио-

дическое звено первого порядка, коэффициент усиления k которого равен ве-

личине, обратной коэффициенту усиления обратной связи, а постоянная вре-

мени Т

— отношению времени разгона интегрирующего звена к коэффици-

енту усиления обратной связи.

Таблица II.I. Основные характеристики объектов химической техно-

логии по каналу х→y

Емкостные свойства устойчивых объектов 1-го порядка аналогичны

свойствам нейтральных объектов 1-го порядка.

Для устойчивых объектов степень самовыравнивания ρ>0, для

нейтральных объектов ρ = 0. Переходные характеристики объектов 1-го по-

рядка, обладающих различной степенью самовыравнивания, показаны на рис.

II-8.

Основные характеристики объектов химической технологии 1-го по-

рядка приведены в табл. II.1.

Объекты 2-го порядка. В таких объектах вещество или тепло заклю-

чено в двух объемах, разделенных сопротивлением. Примерами этих объек-

тов являются теплообменник, в котором тепло передается через стенку от

одной жидкости к другой; два сообщающихся между собой сосуда с жидко-

стью и т. д.

Рассмотрим систему, состоящую из двух аппаратов, соединенных

трубопроводом, на котором установлен, вентиль (рис. II-9). Входными вели-

чинами этого объекта являются потоки .жидкости F

и F

а выходной —

изменение уровня жидкости L

Рис. II-8. Переходные характеристики объектов 1-го порядка, обла-

дающих различной степенью самовыравнивания.

в правом аппарате. При малом гидравлическом сопротивлении; вен-

тиля на трубопроводе, соединяющем аппараты, уровни жидкости в аппаратах

будут изменяться практически одинаково, и такую систему можно рассчиты-

вать как объект 1-го порядка, объем которого равен сумме объемов обоих ап-

паратов. При существенном сопротивлении вентиля эту систему следует рас-

сматривать как объект 2-го порядка.

Нейтральные объекты 2-го порядка. Если объект состоит из двух ап-

паратов, откуда жидкость отводится насосом с постоянной производительно-

стью, то он нейтрален. Переходная характеристика нейтрального объекта 2-

го порядка приведена на рис. II-10, а. Пунктиром показано изменение уровня

в левом аппарате, а сплошной линией — уровня у в правом. При повы-

шении уровня у

появляется гидростатический напор, под действием которо-

го жидкость перетекает по соединительному трубопроводу. Скорость изме-

нения уровня у в первый момент равна нулю, а затем постепенно повышается

и достигает постоянного значения, равного dy

/dt. Нейтральный объект 2-го

порядка может быть представлен последовательно соединенными интегри-

рующим и апериодическим звеньями 1-го порядка (рис. II-10,б).

Устойчивые объекты 2-го порядка. Если жидкость отводится из объ-

екта самотеком через гидравлическое сопротивление, то объект устойчив.

Его переходная характеристика имеет вид, приведенный на рис. II-11,а. Сна-

чала выходная величина объекта изме