Полоцкий Л.М., Лапшенков Г.И. Автоматизация химических производств

Подождите немного. Документ загружается.

Сократим все слагаемые в последнем уравнении на ехр(iwt) и вынесем общий

множитель в его левой части за скобки

[

(

)]

вых

вх

(I, 66)

По определению модуль вектора АФХ звена при частоте со равен от-

ношению A

вых

/А

вх

, а аргумент — φ. Учитывая это, из уравнения (I,66) полу-

чим искомое аналитическое выражение АФХ апериодического звена W(iw):

(

)

вых

вх

(

)

(I, 67)

Сравнивая полученное выражение с выражением передаточной функ-

ции этого звена (1,39), отметим, что они совпадают за исключением множи-

телей р и iw. Этот вывод справедлив для всех звеньев и систем.

Следовательно, аналитическое выражение АФХ системы n-го поряд-

ка, уравнение движения которой описывается равенством (I,6) а передаточ-

ная функция — зависимостью (1,38), может быть получено путем замены

комплексной величины р в уравнении (1,38) на мнимую величину iw

(

)

( )

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(I, 68)

Аналитические выражения остальных частотных характеристик звена

или системы находят по выражению АФХ. Для этого сначала освобождаются

от мнимости в знаменателе АФХ и разделяют полученную комплексную ве-

личину на вещественную и мнимую части, т. е. находят соответственно ВЧХ

и МЧХ. Затем по равенствам (I,58) и (I,59) определяют АЧХ и ФЧХ.

Пример 1-5. Найти АЧХ и ФЧХ звена, характеризуемого уравнением

динамики (I,27).

Для нахождения этих частотных характеристик освободимся от мни-

мости в знаменателе выражения (I,67) и представим АФХ звена через веще-

ственную и мнимую части:

(

)

Отсюда

(

)

(I, 69)

(

)

(I, 70)

В данном случае при изменении w от 0 до -∞ U (w) принимает только

положительные значения, а V(w) — только отрицательные. Следовательно,

АФХ этого звена располагается в IV квадранте комплексной плоскости.

АЧХ и АФХ рассматриваемого звена можно записать уравнениями

(

)

√

(I, 71)

(

)

( ) (I, 72)

Зная A(w) и φ(w), запишем АФХ звена в показательной форме

(

)

√

( )

(I, 73)

Графики A(w), φ(w) и W(iw) рассматриваемого звена приведены на

рис. I-13, I-14. Укажем, что АФХ звена имеет вид полуокружности, располо-

женной в IV квадранте комплексной плоскости, с центром в точке с коорди-

натами +k/2, i0.

Нахождение численных значений постоянных коэффициентов урав-

нения (I,27) по частотным характеристикам выполняется так, как показано на

рис. I-13 и I-14.

Частотные характеристики типовых динамических звеньев приведены

также в табл. 1.4.

Если известны структурная схема системы и уравнения динамики всех

ее звеньев, то для определения АФХ системы обычно находят аналитические

выражения передаточных функций всех звеньев системы и по ним, используя

зависимости (I,41), (I,44), (I,48) и (I,49) и правила преобразования струк-

турных схем, определяют передаточную функцию системы. Заменяя в полу-

ченном выражении комплексную переменную р на ею, находят АФХ систе-

мы.

Логарифмические частотные характеристики. Такие характе-

ристики также находят применение в расчетах АСР. Зависимость lg A(w), по-

строенную в логарифмическом масштабе частот по оси абсцисс, называют

логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ). При этом

по оси ординат обычно откладывают не величину lg A(w), а про-

порциональную ей величину L(w), выраженную в децибелах. Соответствие

между A(w) в натуральных единицах и L(w) в децибелах определяется равен-

ством

(

)

( ) (I, 74)

Зависимость φ(w), построенную в логарифмическом масштабе частот

по оси абсцисс, называют логарифмической фазо-частотной характеристикой

(ЛФЧХ). Фазовый угол по оси ординат откладывают в градусах или радиа-

нах.

При построении логарифмических характеристик частоты отклады-

вают в декадах. Декадой называют интервал изменения частоты в 10 раз.

Логарифмические частотные характеристики на больших участках

изменения со без большой погрешности можно заменить прямыми. Всю же

характеристику можно аппроксимировать ломаной кривой, состояли из не-

скольких прямолинейных отрезков (асимптот). Асимптотическую ЛАЧХ

обозначают через L

(w), а асимптотическую Л ФЧХ — через φ

(w). Для по-

строения асимптотических логарифмических характеристик достаточно

определить наклоны прямолинейных отрезков и координаты точек их сопря-

жение Аппроксимация логарифмических частотных характеристик прямыми

значительно облегчает их построение и поэтому именно они обычно исполь-

зуются в инженерной практике для расчета систем.

Пример 1-6. Аппроксимировать ЛАЧХ аналитическое выражение ко-

торой имеет вид

(

)

√

(I, 75)

Эта характеристика аппроксимируется двумя асимптотами:

при ω

(

)

(I, 76)

при ω

(

)

(I, 77)

Первая из этих асимптот представляет собой горизонтальную прямую

с ординатой, не зависящей от частоты равной 20 lg k, а вторая — прямую с

отрицательным наклоном. Для нахождения наклона, асимптоты L

) най-

дем ее значение при частоте, равной 10w

(в ДБ)

(

)

(

)

или

(

)

Отсюда наклон асимптоты L

) равен

(

)

декада

д декада (I, 78)

При частоте, w = 1/T ординаты асимптот L

) и L

) имеют одина-

ковое значение, равное 20 lg k, и асимптоты сопрягаются. :

Наибольшая погрешность аппроксимации (в дБ), наблюдаемая при

w = 1/T, равна:

(

)

(

) (

)

√

(I, 79)

Графики рассмотренных действительной L(w) и асимптотической

(w) характеристик даны на рис. I-15.

Рис. I-15. Логарифмические амплитудно-частотные (а) и фазо-частотные (б) характери-

стики апериодического звена:

1 — асимптотические; 2 — действительные.

Пример 1-7. Построить асимптотическую характеристику звена,

ЛФЧХ которого определяется равенством

(

)

ω (I, 80)

Рассматриваемую характеристику можно заменить тремя отрезками

прямых: при значениях w

<<0,1/T — горизонтальной прямой, совпадающей с

осью абсцисс

(

)

(I, 81)

при w

>>10/T — также горизонтальной прямой, описываемой равен-

ством

(

)

(I, 82)

а в интервале частот 0,1/T<w

<10/T — наклонной прямой/уравнение

которой имеет вид:

(

)

(

) (I, 83)

Эта прямая проходит через точку с координатами [w=1/T, φ

(w)=-π/4]

и имеет наклон — -π/4 на одну декаду. При такой аппроксимации погреш-

ность не превышает 6°.

Графики характеристик φ(w) и φ

(w) также приведены на рис. I-15.

Асимптотические логарифмические частотные характеристики систе-

мы находятся довольно просто при последовательном соединении входящих

в нее звеньев. Для этого

на одно поле чертежа наносят характеристики отдельных звеньев, а затем в

соответствии с равенствами

(

)

∑

( ) ( )

(

)

∑

( )

определяют значения их ординат при сопрягающих частотах и соеди-

няют полученные точки отрезками прямых.

По временным характеристикам, передаточным функциям, характери-

стическим уравнениям или частотным характеристикам можно определить

динамические свойства технологических объектов, регуляторов и других

элементов, а также АСР.

ГЛАВА-II

ОБЪЕКТЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ

1. Виды объектов химической технологии, их математическое

описание

Аппарат, система аппаратов, машина или другое устройство, в кото-

ром одна или несколько химико-технологических величин, характеризующих

его состояние, поддерживаются автоматическими регуляторами на заданном

значении или изменяются по определенному закону, называется объектом

химической технологии. В химической промышленности объектами являют-

ся реакторы, абсорберы, экстракторы, ректификационные колонны, теплооб-

менники, насосы, компрессоры и другие аппараты технологических устано-

вок, а также участки трубопроводов.

Являясь неотъемлемой частью АСУ или АСР, каждый объект пред-

ставляет собой динамическую систему со своими входными и выходными

величинами. К входным величинам объектов относят регулирующие воздей-

ствия х (потоки жидкостей, газов или сыпучих твердых веществ и тепловые

потоки), которые с помощью исполнительных устройств можно изменять, а

также разнообразные возмущающие воздействия з (изменение параметров

исходного сырья и энергетических агентов, состояния технологической ап-

паратуры, атмосферных условий ,и др.).

Одним из существенных возмущений является изменение нагрузки

объекта. Под нагрузкой объекта (понимают количество вещества (или тепла),

которое проходит через объект в единицу времени. Так, нагрузкой резервуа-

ра является расход

протекающей через него жидкости, нагрузкой теплообменника — количество

тепла, передаваемого в единицу времени от более нагретого вещества к более

холодному. Величина нагрузки определяет размеры аппарата, а также типо-

размеры первичных преобразователей и исполнительных устройств АСР.

Выходные величины объектов — регулируемые величины у — характеризу-

ют протекание химико-технологического процесса в объекте. Такими вели-

чинами могут быть (температура, давление и расход жидкости, газа или пара,

уровень жидкости или сыпучего материала, содержание одного из компонен-

тов в газовой смеси, концентрация растворов, рН водного раствора,, плот-

ность и вязкость жидкостей, влажность газов или сыпучих материалов и др.

Текущие значения регулируемых величин определяют протекание процесса в

объекте в данный момент времени. Под влиянием возмущающих и регули-

рующих воздействий регулируемые величины изменяются во времени. Число

входных величин объекта обычно превышает число выходных.

Математические модели. Процессы, протекающие в объектах могут

быть формализованы, т.е. с достаточной степенью точности описаны с по-

мощью математических зависимостей. Совокупность математических урав-

нений, отражающих взаимосвязь выходных и входных величин объекта, до-

полненная ограничениями, накладываемыми на эти величины условиями их:

физической реализации и безопасной эксплуатации, представляют собой ма-

тематическую модель (математическое описание) объекта.

Математическая модель должна отражать особенности объекта, суще-

ственные с точки зрения его управления, быть адекватной моделируемому

объекту (достаточно точно отражать его свойства количественно и каче-

ственно), а также быть по возможности более простой.

Математическая формализация объекта позволяет использовать для

его исследования, а также для решения задачи управления этим объектом ме-

тоды математического моделирования, которые обычно реализуют с приме-

нением средств вычислительной техники.

В соответствии с физической сущностью процессов, протекающих в

объекте, математические модели делят на детерминированные и стохастиче-

ские. В детерминированных моделях значения выходных величин однознач-

но определяются значениями входных величин. Для их решения используют

методы классического анализа и численные методы. Детерминированные

модели с успехом используют для исследования относительно простых си-

стем. В стохастических моделях отсутствует четкое соответствие между зна-

чениями входных и выходных величин, взаимозависимость между ними опи-

сывается случайными функциями времени. Для их решения используют ап-

парат теории вероятности и математической статистики.

Стохастические модели применяют при исследовании больших химико-

технологических систем.

Поведение объекта в установившемся состоянии описывается стати-

ческой моделью, а в неравновесном— динамической.

Статическая модель содержит уравнение связи между входными и

выходными величинами объекта в равновесном состоянии

(

)

( )

Динамическая модель связывает входные и выходные величины объ-

екта в неравновесных состояниях

(

)

(II, 2)

а также ограничения, накладываемые на отдельные величины, напри-

мер:

(II, 3)

Классификация объектов проводится по ряду признаков. Различают

одномерные и многомерные объекты. Одномерные объекты имеют одну вы-

ходную величину и описываются одним уравнением статики и одним урав-

нением динамики. Примером одномерного объекта может служить резервуар

для жидкости (рис. II-1), входными величинами которого являются приход

nр

и расход F

жидкости, а выходной величиной — уровень жидкости L.

Увеличение (уменьшение) F

nр

или F

вызывает изменение уровня L. Запишем

уравнение статики этого объекта L=f(F

nр

) и уравнение его динамики

L=f(F

nр

, F

, t).

Многомерные объекты содержат по две, три и более выходных вели-

чины. Число уравнений (II,1) и (II,3) должно соответствовать числу выход-

ных величин. Наиболее простыми из многомерных объектов являются двух-

мерные объекты. Их выходные величины могут влиять или не влиять одна на

другую.

В многомерных объектах с независимыми выходными величинами

изменение любой из входных величин приводит к изменению только своей

выходной величины. Такие объекты

Рис II-1. Схемы резервуара Для жидкости (а), и его динамических каналов (б).

Рис. II-2. Схемы испарителя однокомпонентной жидкости (а) и его динамических

каналов (б).

можно разбить на несколько одномерных объектов и рассматривать

их независимо один от другого. Например, аппарат, в котором осуществляет-

ся испарение однокомпонентной жидкости при непрерывном отборе паровой

фазы (рис. II-2), можно при некоторой идеализации отнести к двухмерным

объектам q независимыми величинами. Тепловой поток, проходящий через

аппарат, представляющий собой разность между притоками тепла q

и его

потерями в окружающую среду q

, определяет расход пара F, т. е. изменение

скорости нагревания изменяет лишь скорость образования пара. Давление же

в системе Р определяет температуру T процесса испарения. Этот объект опи-

сывается двумя уравнениями статики

(

)

( )

и двумя уравнениями динамики

(

)

( )

В многомерных объектах с взаимозависимыми выходными величина-

ми изменение входных величин приводит к: одновременному изменению не-

скольких выходных величин, что объясняется наличием в таких объектах ка-

налов перекрестных связей.

Примером двухмерного объекта с перекрестными связями является

непрерывно действующий экзотермический реактор идеального перемеши-

вания. Схемы реактора и его динамических каналов приведены на рис. II-3.

Реактор имеет пять входных величин (концентрация Q

и температура T

реа-

гентов на входе в реактор, расход реагентов в реактор F, а также тепло, отво-

димое из реактора системой охлаждения и определяемое расходом хладо-

агента F

и его температурой T

). Выходными величинами являются концен-

трация продуктов реакций Q и температура в реакторе Т.

Для стабилизации температуры Т в реакторе изменяют расход хладо-

агента Fc, а для обеспечения постоянства состава

Рис. II-3. Схемы химического реактора идеального перемешивания (а) и его ди-

намических каналов (б).

продуктов реакции Q —расход F реагентов, подаваемых в реактор. При этом

изменение расхода хладоагента F

вызывает также изменение состава про-

дуктов реакции Q, а колебание расхода исходных реагентов F приводит к из-

менению температуры Т реакционной массы в реакторе. Кроме этого, выход-

ные величины реактора (Q и T) зависят от концентрации Q

и температуры Т

входного продукта, а также от температуры хладоагента Т

. Помимо прямых

рассматриваемый объект имеет и перекрестные каналы прохождения сигна-

лов. Выходные величины такого реактора находят из уравнений динамики

(

)

(

)

Таким образом, обе выходные величины реактора испытывают влия-

ние всех его входных величин. Прохождение сигналов по каждому каналу

может быть выражено своим уравнением динамики или своей передаточной

функцией. Объекты могут обладать сосредоточенными и распределенными

параметрами.

Объекты с сосредоточенными параметрами. К ним относятся объек-

ты, регулируемые величины которых имеют одно числовое значение в дан-

ный момент времени (уровень жидкости в аппарате, давление газа в газголь-

дере и др.). (Типичными представителями объектов с сосредоточенными па-

раметрами являются резервуар для жидкостей, испаритель, химический реак-

тор.

Динамика объектов с сосредоточенными параметрами описывается

обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффи-

циентами. Эти уравнения должны быть дополнены начальными условиями.

Объекты с распределенными параметрами. К ним относятся объекты,

регулируемые величины которых (температура жидкости по длине теплооб-

менника, концентрации компонентов по высоте ректификационной колонны

и др.) имеют разные числовые значения в различных точках объекта в дан-

ный момент времени. Примерами объектов с распределенными параметрами

могут служить: аппараты типа «труба в трубе», в которых

осуществляется теплообмен между жидкостями, массообменные аппараты

колонного типа (ректификационные колонны, экстракторы, абсорберы, де-

сорберы), барабанные сушилки для сыпучих материалов, трубчатые реакто-

ры для превращения вещества и многие другие.

Динамика объектов с распределенными параметрами описывается

дифференциальными уравнениями в частных производных, дополненными

начальными и граничными условиями. Решение уравнений в частных произ-

водных более сложно, чем решение обыкновенных дифференциальных урав-

нений. Поэтому при составлении математического описания объектов с рас-

пределенными параметрами их часто разбивают на ряд последовательно со-

единенных элементов с сосредоточенными параметрами, каждый из которых

описывается обыкновенным дифференциальным уравнением. Точность тако-

го описания тем выше, чем на большее число элементов был разбит исследу-

емый объект. Поэтому далее будут рассмотрены объекты с сосредо-

точенными параметрами.

2. Свойства объектов и их переходные процессы

Вид переходного процесса в объекте зависит от величины и формы

наносимых на него регулирующих и возмущающих воздействий, а также от

его динамических свойств.

Свойства объекта необходимо знать при составлении схемы автомати-

зации, выборе закона работы регулятора и определении оптимальных значе-

ний его настроечных параметров. Правильный учет свойств объектов позво-

ляет создавать АСР, имеющие значительно более высокие показатели каче-

ства переходного процесса; недооценка же свойств объектов может привести

к тому, что даже сложные схемы регулирования не смогут обеспечить требу-

емого качества переходного процесса. Основными свойствами объектов ре-

гулирования являются самовыравнивание (саморегулирование), емкость и

запаздывание.

Самовыравнивание объекта характеризует его устойчивость. Самовы-

равниванием называют свойство устойчивого объекта самостоятельно уста-

навливаться в равновесное состояние после изменения своей входной вели-

чины. В объектах с самовыравниванием ступенчатое изменение входной ве-

личины приводит к изменению выходной величины со скоростью, по-

степенно уменьшающейся до нуля, что связано с наличием внутренней отри-

цательной обратной связи. Количественно эта характеристика определяется

степенью самовыравнивания ρ, под которой понимают отношение изменения

входной величины объекта (Х, Z) к изменению выходной величины по дости-

жении объектом равновесного состояния y

или