Пилипюк Р.Г. Отчёт по научно - исследовательской работе Системы геодезических координат и их преобразование
Подождите немного. Документ загружается.
- 31 -
Крюгера L
0
, а В
х
– геодезическая широта, соответствующая длине дуги
осевого меридиана, численно равной абсциссе пункта наблюдения х.
Широта В
х
определяет как функция этой координаты из формулы [11]:
(
)
(
)
(
)
,6sin4sin2sin
0
6
04020
xAAxAAxAAxAB
x
+++=
(3.16)
где коэффициенты
i
A
определяются на основании коэффициентов
i
A
(формулы (3.12)) из таких соотношений:
.
2
3
3
,
,
2
1
,
1
3
0
2
2
0
42
0
6
6
2
0
2
6
4
4
3
0
2
2
0
42
0
2
2
0
0
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⋅
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⋅
+=
=
A
A
A
AA
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
AA
A
A
A
A
A
(3.17)
Формула (3.16) определяет В
х
в радиальной мере.
В соответствии с приведенными формулами алгоритм вычисления
геодезических координат для произвольного эллипсоида будет таким:
1) записывают параметры эллипсоида а, е
2
(
α
) и исходные
координаты х, у
’
;
2) преобразуют условною ординату у
’
в истинную зональную
ординату у на основании формулы (3.10)
у = у
’
(без номера зоны n) – 500000м.;
3) вычисляют по параметрам эллипсоида а, е
2
и по формулам
(3.12) значения коэффициентов А
i
, а по формулам (3.17)
значения коэффициентов
i
A
;
- 32 -
4) Пользуясь коэффициентами
i
A
и координатой х в метрах,
находят по формуле (3.16) геодезическую широту В
х
в
радианах;
5) вычисляют коэффициенты формул (3.15) в соответствии с
выражениями:
()
()
()
()
()
.cos8cos624285
cos120
1
,cos21
cos6
1
,
cos
1
,459061
720
,cos9cos3cos6cos635
24
,cos1
2
22'222'42
5
5
22'2
3
3
1
42
6
6
44'244'22'222'2
4
4
2'
2
2
xxxxx
x
xx
xx
xx
xx
x
x
xxxxxxx
x
x
x
x
x
BeBtgBeBtgBtg
BN
b
BeBtg
BN
b
BN
b
BtgBtg
N
tgB
a
BeBtgBeBeBtgBeBtg
N
tgB
a
Be
N
tgB
a
++++=
++=
+=
++−=
−−−+++=
+−=
(3.18)
6) вычисляют геодезическую широту В и геодезическую долготу
L:
5
5
3
31
6
6
4
4
2
2
,
ybybybl
yayayaBB
x
⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅+=
(3.19)
и долготу
,
0
lLL
+
=
где L
0
– долгота осевого меридиана зоны в проекции Гаусса – Крюгера.
Формулы (3.19) определяют B и L в радианной мере.
Алгоритм вычисления на ЭОМ геодезических координат B и L с
помощью формул (3.15) можно представить и на основании таких процессов.
1) по (3.16), с учетом (3.12) и (3.17), вычисляют геодезическую
широту В
х
, соответствующую заданной координате х;
- 33 -
2) вычисляют радиус кривизны первого вертикала эллипсоида
для точки с широтой В
х
по формуле:
(
)
(
)
,6378245sin142.21346sin155.107sin605.0
222
+++=
xxxx
BBBN
(3.20)
в случае использования в качестве отсчетного эллипсоида Красовского и
(
)
2/1
22
sin1
−
−=
xx
BeaN
(3.21)
для эллипсоида с произвольными параметрами;
3) определяют вспомогательные величины:
(3.22)
xx
xx
tgBt
и
Be
=
=
22'2
cos
η
где е
’2
= 0.0067385254 – второй эксцентриситет эллипсоида Красовского, а
для произвольного эллипсоида его определяют из вычислений по формуле:
2
22
2'
b
ba
e
−
=
(3.23)
в которой a и b – значения большой и малой полуосей эллипсоида;
4) вычисляют коэффициенты:
(3.24)
;459061
,8624285
,936635
,21
,1
42
4
22242
3
4242222
2
22
1
2
0
xx
xxxxx
xxxxxxx
xx
x
ttk
tttk
tttk
tk
k
++=
⋅++++=
⋅−−⋅−++=
++=
+=
ηη
ηηηη
η
η
- 34 -
5) определяют значение коэффициентов
i
a
и
i
b
по формулам:
;
20
1
,
6
1
,
cos
1
,
30
1
,
12
1
,
2
2
5
2
3
1
2
6
2
4
2
2
x
x
xx
x
x
x
x
N
b
N
b
BN
b
N
a
N
a
N
t
a
=
=
=
=
=
=
(3.25)
6) вычисляют геодезические координаты точки по формулам:
(
)
(
)
()()
.1
,
3
2
5
1
2
31
2
4
6
2
2
4
0
2
2
kybkybybl
ykakyakyaBB
x
−−=
−+−=
(3.26)
По разности долгот l вычисляют геодезическую долготу
lLL
+
=
0
, где
L
0
– долгота осевого меридиана зоны в проекции Гаусса – Крюгера. Значения
B и L по формуле (3.26) определяют в радианной мере, а знак l соответствует
знаку координаты у.
- 35 -
3. 3 Алгоритм вычисления плоских прямоугольных координат х и у по
геодезическим координатам в универсальной поперечно –
цилиндрической проекции UTM
(Universal Transverse Mercator projection)
Проекция Меркатора UTM получила достаточно широкое
распространение в геодезических и картосоставительных работах
англоязычных стран, в том числе и США.
В проекции UTM земной эллипсоид также делится на 60 зон по 6
0
каждая, однако нумерация зон начинается с меридиана противоположного
Гринвичскому, т. е. с долготой 180
0
и номера зон возрастают на восток. Так в
проекции Меркатора (М) осевой меридиан первой зоны М1имеет долготу
177
0
W (западной долготы), зоны М2 – 171
0
W, а зоны М31 – 3
0
Е (восточной
долготы) и будет соответствовать осевому меридиану первой зоны проекции
Гаусса – Крюгера.
При вычислении плоских прямоугольных координат в проекции UTM
принят масштабный коэффициент m
0
= 0.9996. Введя обозначения
.cos
,
22'2
Be
tgBt
=
=
η
(3.27)
в соответствии с [13] запишем формулы для вычисления плоских
прямоугольных координатах х и у в проекции UTM:
()
()
()
()
.
5814185cos
120
1cos
6
cos
,
3302705861cossin
720
495cossin
24
cossin
2
222425
5"
5"
223
3"
3"
"
"
0
222425
6"
6"
4223
4"
4"
2"
2"
0
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−++−+
+−++
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−++−+
+++−++
=
ηη
ρ
η
ρρ
ηη
ρ
ηη
ρρ
tttB
l
tBN
l
BN
l
my
tttBBN
l
tBBN
l
BBN
l
X
mx
(3.28)
- 36 -
Сопоставляя (3.28) с (3.1) устанавливаем, что эти формулы
отличаются только масштабным множителем m
0
. Поэтому алгоритм
вычисления координат х и у в проекции UTM будет таким:
1) по геодезической долготе L определяют долготу осевого
меридиана L
0
в зональной системе координат проекции
Меркатора UTM:
(
)
,3630
0
0
−⋅−= mL
(3.29)
где m – номер зоны в проекции Меркатора, а отрицательное значение L
0
,
вычисляемое по (3.29), означает западную долготу;
2) определяют разность долгот
0
LLl
−
=
;
3) используя параметры заданного эллипсоида a и е
2
вычисляют
по формуле (3.12) значения коэффициентов А
i
и по формуле (3.11)
значение длины дуги осевого меридиана Х, то есть:
()
()
()
()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+++−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++++−=
...
512
35
1
6
1
,...
256
105
64
15
1
4
1
,...
512
525
16
15
4
3
1
2
1
,...
256
175
64
45
4
3
11
62
6
642
4
6422
2
6422
0
eeaA
eeeaA
eeeeaA
eeeeaA
(3.12)
и
...;6sin4sin2sin
6420
+
−
+
−= BABABABAX (3.11)
4) вычисляют по (3.27) величины t и
η
2
и по приведенным ниже
формулам, значения коэффициентов k
i
:
- 37 -
(3.30)
,3302705861
,5814185
,495
,1
22242
4
22242
3
422
2
22
1
ηη
ηη
ηη
η
tttk
tttk
tk
tk
−++−=
−++−=
++−=
−+=
а также коэффициенты a
i
:
;sincos
,cos
2
1
BBNa
BNa
=
=
(3.31)
5) вычисляют плоские прямоугольные координаты х, у в
проекции UTM:
(
)
(
)
()()
.cos0833333.01666667.0cos1
,cos0013889.00416667.0cos5.0
22
31
22
10
22
42
222
200
BlkkBllamy
BlkkBllamXmx
⋅⋅+⋅+=
⋅⋅+⋅++=
(3.32)
При вычислениях по формулах (3.32) разность долгот “l”
определяется в радианах.
3. 4. Алгоритм вычисления геодезических координат B, L по
плоским прямоугольным координатам х, у, заданным в проекции
Меркатора UTM.
Исходя из сути проекции UTM и формул преобразования координат
B, L в координаты х, у, алгоритм преобразования координат х, у в координаты
B, L описывается такими процедурами.
1) Определяют дугу осевого меридиана Х по формуле:
.
0
m
x
X =
(3.33)
- 38 -
2) По параметрам эллипсоида a и e
2
с помощью формул (3.12)
определяют коэффициент А
i
и по ним, в соответствии с
формулами (3.17), коэффициенты
i
A
.
3) Вычисляют широту В
х
(формула 3.16), как функцию
координаты Х (формула 3.33), т.е.:
(
)
(
)
(
)
XAAXAAXAAXAB
x
⋅+⋅+⋅+⋅=
0604020
6sin4sin2sin
. (3.34)
4) Вычисляют вспомогательные величины:
(3.35)
.cos
,
22'2
xx
xx
Be
tgBt
=
=
η
5) Находят значения коэффициентов k
i
в соответствии с
формулами:
(3.36)
.25290459061
,8624285
,935
,21
224222
4
22242
3
2222
2
22
1
xxxxxx
xxxx
xxxx
xx
ttttk
tttk
ttk
tk
⋅−⋅−++=
++++=
⋅−++=
++=
ηη
ηη
ηη
η
6) Определяют радиусы кривизны меридиана М
х
и первого
вертикала N
x
по широте В
х
. Имеем:
(
)
(
)
()
.sin1
,sin11
2/1
22
2/3
222
−
−
−=
−−=
xx
xx
BeaN
BeeaM
(3.37)
где a и е
2
– большая полуось и первый эксцентриситет эллипсоида.
7) Находят значение коэффициентов a
i
в соответствии с
формулами:
- 39 -
.
1
,
,
sec
22
0
3
2
0
2
0
1
x
xx
x
x
x
Nm
a
NMm
t
a
Nm
B
a
=
=
=
(3.38)
8) Вычисляют геодезические координаты B, L по формулам:
(
)
(
)
()()
.00833333.01666667.01
,00138889.004166667.05.0
2
3
31
2
31
2
3
42
2
3
2
2
yakkyayal
yakkyayaBB
x
⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅=
⋅⋅−⋅⋅−−=
(3.39)
и определяют долготу пункта
.
0
lLL
+
=
(3.40)
3. 5 Алгоритм вычисления плоских прямоугольных координат х, у на
плоскости в проекции Ламберта по известным геодезическим
координатам
Для обработки геодезических измерений и составления карт проекция
Ламберта применяется США, Франции, Испании, Сирии и других странах
[16].
Система плоских координат х, у задается осью ОХ, которая совпадает
с центральным меридианом картографируемой территории с геодезической
долготой L
0
. За начало координат О принимают точку пересечения среднего
меридиана с южной (или данной) параллелью изображаемой территории,
геодезическая широта которой В
0
.
- 40 -
x
•
•
•
y
B=const
B
0
=const
Δ
ρ
x
y
Q
O
ρ
0
ρ
P
γ
•
Рис. 3.1 Конформная коническая проекция Ламберта
Масштаб по оси Ох принимают, как правило, равным единице, т. е.
m
0
= 1, что свидетельствует об отсутствии линейных искажений по этому
направлению. Положение произвольной точки Q в этой проекции
определяют декартовыми координатами х и у (рис. 3.1) или полярными
координатами
ρ
и
γ
.
Пусть для заданной карты в проекции Ламберта известны
геодезические координаты B
B
0
и L
0
, определяющие систему координат и
требуется для произвольной точки, заданной геодезическими координатами
B и L определить ее декартовые координаты х, у.
Алгоритм вычисления на основании [9]будет определяться таким:
1. Определяют радиус кривизны первого вертикала
(
)
,sin1
2/1
0
22
0
−
−= BeaN (3.41)