Орленок В.В. Основы геофизики
Подождите немного. Документ загружается.
12
6
где
()
rx h=+
22
1
2
, т.е.
()
VG
m
xh
=
+
22
1
2
. (V.6)
Из определения силы тяжести
(см. гл. 4, §3) ее вертикальная
и горизонтальная составляю-
щие определяются как первая
и вторая производные по h и
x:
∆gV
V
h
z
==−
∂
∂
; (V.7)
V
V
x
xz
z
=−
∂
∂
. (V.8)
()
∆g
Gmh
xh
=
+
22
3
2
; (V.9)
()
V
Gmhx
xh
xz
=
+
3
22
5
2
. (V.10)
Максимальное и минимальное значение ∆g принимает при x = 0 и
x = ±∞:
∆g
Gm
h
xmax =
=
0
2
. (V.11)
V
xz x=
=
0
0. (V.12)
Графики функций ∆g и V
xz
приведены на рис. 26.
Притяжение шара. Многие геологические тела в земной коре мо-
гут быть аппроксимированы шаром (купола, дайки, подводные холмы
и т.д.). Предположим, что шар массой М залегает на глубине h и на
расстоянии r от точки наблюдения, расположенной на поверхности
земли (рис. 27). Будем считать шар однородным по плотности. Помес-
тим его под центром системы координат xoz (y = 0). Притяжение шара
эквивалентно притяжению точки, помещенной в центр шара. Поэтому
можно воспользоваться формулой, полученной для элементарной мас-
сы (V.9):
Рис. 26. К расчету поля силы тяжести
точечной массы
12
7
()
∆g
Gmh
xh
=
+
22
3
2
. (V.13)
Аналогично имеем для вто-
рой производной потенциала
силы тяжести V
xz
:
()
V
Gmhx
xh
xz
=
+
3
22
5
2
. (V.14)
В плане гравитирующим
массам, имеющим форму,
близкую к шару, соответст-
вуют изометрические анома-
лии, максимум которых рас-
полагается над центром тя-
жести шара (рис. 27).
Таким образом, над цен-
тром шара вертикальная составляющая силы тяжести ∆g имеет макси-
мум, горизонтальная составляющая V
xz
– минимум. С удалением от
шара кривые ∆g и V
xz
асим-
метрически приближаются к
оси x (рис.27).
§3. Гравитационное поле
вертикального стержня
Некоторые небольшие по
диаметру и уходящие на
большую глубину интрузии
могут быть аппроксимирова-
ны вертикальным стержнем
или цилиндром (рис.28).
Массу стержня можно
представить в виде суммы
элементарных масс, распре-
деленных по всей длине
стержня. Полагая
dm dh=λ ,
где λ – линейная плотность
Рис. 27. К расчету поля силы
тяжести шара
Рис. 28. К расчету поля силы тяжести вер-
тикального стержня
128
стержня, получим:
Mdh
h
h
=
∫
λ
1
2
. (V.15)
Потенциал стержня можно представить в виде потенциала точеч-
ной массы:
()
V
Gdm
r
Gdm
xh
==
+
22
1
2
.
Найдем вертикальную составляющую силы тяжести ∆g элементарной
массы стержня dm.
()
2
3
22
hx
Gdmh
h
V
Vg
z
+
=−==∆
∂
∂
. (V.16)
Для нахождения поля силы тяжести, созданного всей массой
стержня, полученное выражение (V.16) проинтегрируем в пределах от
h
1
до h
2
:
.
11
2
1
)(
2
)()(
2
)(
)(
2
1
)(
2
2
22
1
2
2
1
22
22
2
3
22
2
3
22
22
2
3
22
2
1
2
1
2
1
2
1
+
−
+
=
+
=
=++=
=
+
+
=
+
=∆
−
−
∫
∫∫
hxhx
Gm
hx
Gm
hxdhx
Gm
hx
hxd
Gm
hx
hdh
Gmg
h
h
h
h
h
h
h
h
(V.17)
Для стержня бесконечной длины (h
2
→ ∞):
∆gGm
xh
=
+
1
2
1
2
. (V.18)
Дифференцируя (V.18) по x, найдем V
xz
:
()
V
Gmx
xh
xz
=−
+
22
5
2
. (V.19)
129
При x = 0
∆g
Gm
h
V
xz
==,0
. (V.20)
Графики ∆g и V
zx
показаны на рис. 28. Сравнивая их с аналогичными
графиками для шара, нетрудно убедиться в сходстве полей ∆g и V
zx
для
шара и вертикального стержня. В плане поле стержня также имеет вид
концентрических окружностей более или менее правильной формы,
сходящихся над вертикальной осью стержня (рис. 28).
§4. Гравитационное
поле горизонтальной
полуплоскости
Вертикальный уступ в ре-
альных геологических услови-
ях соответствует вертикально-
му сбросу, выклиниванию го-
ризонтальных пластов различ-
ной плотности, границе круп-
ного интрузивного образова-
ния на контакте с осадочными
породами и т.п. (рис. 29).
Предположим, что пласт по-
род с плотностью
ρ
>
ρ
0
про-
стирается бесконечно вправо
от нуля и по оси z – в глубину.
Профиль x расположен вкрест
простирания уступа. Притя-
жение такого уступа опреде-
ляется по формуле:
()
) (пусть ;
2
22
22
0
0
222
0
i
i
z
xxx
h
x
arctgG
h
x
arctgG
xh
dx
hGdxdz
r
z
GgV
+=
+∆=⋅∆=
=
+
∆=−=∆=
∞
∞
∫∫∫
π
ρρ
ρρρ
(V.21)
Ðис. 29. К расчету поля силы тяжести
го
р
изонтальной пол
у
плоскости
130
()
2
2
0
22
0
2
22
224
hx
h
G
hx
h
G
hx
xdx
hGV
i
xz
+
∆=
+
∆−=
+
∆=
∞
∞
∫
ρρρ
. (V.22)
При x = 0 получаем значения ∆g в точке перегиба:
∆∆
∆
gGV
G
h
x
xz
=
==
0
2
ρπ
ρ
, . (V.23)
Ход кривых ∆g и V
zx
показан на рис. 29. В плане аномальное поле ∆g
имеет резко выраженный градиентный характер в зоне ступени и более
спокойный по обе стороны от нее (рис. 29).
В случае ступени ограниченного пространства (рис. 29) формула
для ∆g и V
zx
над уступом имеет следующий вид:
()
[]
.ln
;ln22
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
2
212
hx
hx
GV
hx
hx
x
h
x
arctgh
h
x
arctghhhGg
xz
+
+
∆=
+
+
+−+−∆=∆
ρ
πρ
(V.24)
При x = 0 и x = +∞
()
∆∆gGhh
x=
=
−
0
21
ρ
π
;
(
)
∆∆gGhh
x=+∞
=−2
21
ρπ
; (V.25)
VG
h
h
xz
x=
=
0
2
1
2 ∆
ρ
ln .
(V.26)
∆g
x=−∞
= 0.
§ 5. Гравитационное поле
плоского слоя
Рассмотрим очень важную
задачу притяжения, создаваемого
плоским слоем в точке А, распо-
ложенной на некоторой высоте z
над ним (рис. 30). Пусть плот-
ность слоя
ρ
= const. Вырежем в
нем диск радиусом r и толщиной
∆z. Найдем потенциал элемента
Рис. 30. К расчету поля силы тяжести
плоского слоя
131
массы dm этого диска V
А
и притяжения ∆g, которое он создает в точке
А:
V
Gm
R
A
= ;
()
Rz r=+
22
1
2
;
()
∆g
V
h
Gdmz
zr
A
=− =
+
∂
∂
22
3
2
, (V.27)
где drdzrddm
ϕ
ρ
= , т.е.
()
2
3
22
rz
drdzGrzd
g
A
+
=∆
ϕ
ρ
. (V.28)
Для определения притяжения всей массой диска нужно полученное
выражение для элемента массы dm (V.28) проинтегрировать по всему
объему диска:
()
∫∫∫
+
=∆
π
ϕ
ρ
2
00
2
3
22
2
1
a
z
z
слоя
rz
drdzzrd
Gg
. (V.29)
Возьмем интегралы по отдельности:
d
ϕϕ π
π
π
0
2
0
2
2
∫
==;
()()
zrdr
rz
z
az
a
22
3
2
22
1
2
0
1
+
=
+
−
∫
;
z
za
dz za za zz
z
z
22
2
22
1
22
21
1
1
2
+
−
=+−+−+
∫
.
Отсюда ∆g
слоя
будет равно:
(
)
∆g Gza za zz
слоя
=+−+−+2
2
22
1
22
21
πρ
. (V.30)
Представим
za a
z
a
a
z
a
22
2
2
2
2
11
2
+= + ≈ +
. (V.31)
Подставим (V.31) в (V.30):
132
.
2
2
22
2
2
1
2
2
21
21
2
2
1
2
2
2
−
+−=
=
−+−−+=∆
a
zz
zzG
zz
a
za
a
a
za
aGg
–‘”Ш
ρπ
ρπ
(V.32)
Проанализируем полученное выражение.
1) Если слой имеет бесконечно большие размеры в сравнении с
расстоянием z до точки А, то
(
)
z
a
zz
a
≈
−
2
2
1
2
2
, тогда
(
)
∆gGzz=−=2
12
πρ
const , (V.33)
где zz z
12
−=
∆
– толщина слоя.
2) Если точка А лежит на слое, т.е. z
1
= 0, z
2
= H, тогда
(
)
∆gGHaH=+−−20
22
πρ
,
или
∆gGH
H
a
GH H=−
==21
2
2 0 0419
πρ πρ ρ
, . (V.34)
Это уже известная нам редукция Буге. Следовательно, притяжение
плоского слоя не зависит от высоты наблюдения z, а зависит от толщи-
ны слоя H.
§ 6. Обратные задачи гравиметрии
Используя полученные в предыдущих параграфах уравнения, рас-
смотрим обратные задачи гравиметрии, т.е. найдем выражения для оп-
ределения параметров и глубины залегания гравитирующих масс, со-
средоточенных в телах простой геометрической формы.
Определение параметров и глубины залегания вертикального
стержня. Изометрические аномалии (см. рис. 28, с. 126) можно ап-
проксимировать полем вертикального стержня или кругового цилинд-
ра бесконечного простирания. Притяжение вертикального стержня с
линейной массой
λ
, рассредоточенной по всей его длине, определяется
выражением:
133
()
∆g
G
xh
=
+
λ
2
1
2
1
2
. (V.35)
При x = 0 найдем максимальное значение ∆g
max
∆g
G
h
max
=
λ
1
.
Определим координату
x
1
2
, в которой ∆g равно половине
∆g
max
1
2
∆g
max
:
G
xh
G
h
λ
λ
1
2
22
1
2
2
+
= .
Откуда
2
11
2
2
1
2
hxh=+
или
xh
1
2
1
3= . (V.36)
Глубина залегания верхней кромки h
1
и масса тела
λ
могут быть най-
дены из следующих простых выражений:
h
x
1
1
2
3
= ;
λ=
xg
G
∆
max
3
. (V.37)
Определение параметров залегания шара. Изометрические ано-
малии одного знака, замыкающие несколько большую площадь по
сравнению с аномалиями от стержня (см. рис. 27, с. 126). можно ап-
проксимировать полем шара:
()
∆gGM
h
xh
=
+
22
3
2
. (V.38)
При x = 0
134
∆g
GM
h
max
=
2
.
Найдем абсциссу
x
1
2
, где ∆∆gg=
1
2
max
:
GM
h
xh
GM
h
1
2
22
3
2
2
1
2
+
= ,
откуда
.31,1
;766,0
2
1
2
1
xh
hx
=
=
(V.39)
Масса шара определяется из выражения:
M
gh
G
=
∆
max
2
. (V.40)
Если известна избыточная плотность
∆
ρ
ρ
ρ
=
−
10
, можно определить
массу и радиус шара а.
Ma=
4
3
3
πρ
∆ , a
M
=
3
4
3
πρ
∆
. (V.41)
Определение элементов залегания горизонтальной полуплоско-
сти
. Поле ∆g, характерное для уступа, показано на рис. 29. Притяже-
ние уступа определяется выражением:
∆gG
x
h
=+
2
2
ρ
π
arctg
, (V.42)
где ρ – поверхностная плотность.
При x = 0 найдем значения ∆g
пер
в точке перегиба:
∆
gG
пер
=
ρ
π
, (V.43)
откуда
ρ
π
=
∆
g
G
пер
.
135
Найдем координату
x
1
2
, где
∆∆gg
пе
=
1
2
р
,
2
2
1
2
1
2
G
x
h
G
ρ
π
ρπ
+
=arctg ,
откуда
arctg
x
h
1
2
4
=
π
. (V.44)
В случае уступа ограниченного простирания на глубину (рис. 29) при
x = 0
(
)
∆gG h h=−
ρπ
21
, (V.45)
откуда
hh
g
G
21
−=
∆
ρπ
. (V.46)
При известной
h
1
по формуле (V.46) можно определить нижнюю кром-
ку уступа
h
2
, или, зная ρ, можно определить амплитуду h
2
– h
1
.
Определение глубины залегания границы раздела плотности
(контактной поверхности). Неглубокое расположение границы
Мохоровичича в океанах и известные средние значения плотности
океанической
коры и верх-
ней мантии
(рис. 31) по-
зволяют при
региональных
исследованиях
оценить глу-
бину залега-
ния границы
М по следу-
ющей формуле притяжения бесконечного плоско-параллельного слоя:
(
)
(
)
01120
2 hhGgg
−
−
=
∆−∆
ρ
ρ
π
.
Откуда, зная глубину
h
0
(например, по сейсмическим данным), можно
определить
h
1
в любой другой точке профиля ∆g:
Рис. 31. Определение глубины залегания контактной по-
верхности (фундамента)