Никитин В.А., Бойко С.В. Методы и средства измерений, испытаний и контроля
Подождите немного. Документ загружается.
∆ (Р) = Θ (Р).
Если
(
)
()
,88,0 ≤
Ρ
Θ
≤
XS
то доверительную границу погрешности результата измерений
вычисляют по следующей комплексной формуле (9.14) /5/
(
)
(
)
[
]
Ρ
+
Ρ
Θ
⋅
=
∆
ε
p
K
, (9.14)
где
()
()
()
.
)()(3
;
1
1
2
XSPK
K
⋅⋅
ΡΘ
=
+
+
=Κ=
ΣΡ
γ
γ
γ
γ
В квадратных скобках К(Р), при определении величины «γ» принимается
по таблице 9.4 от формулы (9.2).
По вычисленному значению в приведенной таблице находят значения
Если вычисленные по формуле и таблице значения К
Σ(γ)
, не совпадают,
то проводят эстрополяцию между этими значениями.
Таблица 9.4 - Значения K
Σ(γ)
от показателя γ
γ
0 0,3 0,5 0,7 1,0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0
∞
Κ
Σ(γ)
1,00 0,8 0,75 0,7 0,71 0,7 0,75 0,79 0,8 0,85 1,00
При увеличении числа наблюдений - n , СКО - (среднеквадратичное
отклонение) случайной погрешности результата измерений S(X) уменьшается
по закону обратной пропорциональности -
n
.
Этим руководствуются при выборе n для разумного уменьшения S(Х),
например, по сравнению с НСП результата измерений Θ, не зависящей от n (до
выполнения условия Θ
i
/ S(Х) ≥ 8 , дальнейшее увеличение n не имеет смысла).
Как правило, выбор числа наблюдений производится при разработке МВИ.
Для обеспечения качества производства в цехах предприятия должна
быть правильно оформленная технология измерений. С июня 1997 года в
Российской Федерации действует ГОСТ Р 8.563-96 «ГСИ. Методики
выполнения измерений». Согласно этого стандарта, каждый параметр или
размер должен быть оформлен по требованиям вышеуказанного стандарта под
названием «Методика выполнения измерений» как новый стандарт и
аттестован органами, аккредитованными институтами Госстандарта
Российской Федерации. В сфере производства различных предприятий
содержится большое количество параметров, подлежащих измерениям и
контролю, и если все измерения оформлять методиками выполнения измерений
строго по вышеуказанному стандарту, то их количество будет загромождать
перечислением их в технологическом процессе отдельными списками. На все
ли параметры необходимо иметь документированную методику выполнения
измерений строго по требованиям ГОСТ Р 8.563 – 96?
9.2 Прямые измерения с однократными наблюдениями
За результат измерения в этом случае принимают результат
однократного наблюдения Х (с введением поправки, если она имеется),
используя предварительно полученные (например, при разработке МВИ)
данные об источниках, составляющих погрешность.
Подавляющее большинство измерений - однократные. Вообще, в
бытовой практике людей, в производственной практике выполняются
однократные измерения (токарная обработка, фрезерная обработка, кузнечно-
штамповое производство, сборка машин, слесарно-лекальная обработка деталей
и т.д. исключая тонкую настройку или прецизионные сопряжения деталей).
Иногда, в отдельных случаях, применяют два или три метода измерений,
взаимоисключающих погрешности. В обычных условиях точность
однократных измерений вполне приемлема, а простота, высокая
производительность - (количество измерений в единицу времени и
сравнительно низкая стоимость по оценке трудозатрат) ставят их вне
конкуренции. Если, человек задался вопросом о том, что такое однократные и
многократные измерения, то возникает другой вопрос: - почему в теории и
практике измерений столько сложностей, формул, чуть ли не «миф» такой
научности и невозможности избавиться от какой-то там погрешности? В жизни
нашей, в быту, в магазине, на работе, мы редко имеем прямое ощущение
погрешности при измерениях и постепенно привыкаем к тому, что этих
погрешностей нет в природе, а метрологи их просто придумывают, чтобы
оправдать свою занятость! На самом-то деле погрешность существует всегда,
но мы ее или не учитываем, или ее величина настолько незначительная, что ею
можно пренебречь, но, в любом случае, при измерениях мы обязаны ее оценить,
хотя бы на примерном уровне, а затем количественно. Пренебрежение этой
погрешностью в жизни людей часто мстительно «аукается» тем кто ей
пренебрегает. Хотя, имея такой опыт, мы опять и опять «наступаем на эти
грабли» и до конца своей жизни не понимаем или не сталкиваемся с
обстоятельствами, требующими более точного подхода к измерениям, и
применяем только однократные измерения. Не ошибается, или ошибается, но
значительно реже, лишь тот, кто относится к любым измерениям, как к
случайному событию измерительного наблюдения и не считает результат
наблюдения за окончательный результат измерения. Проводит еще два
наблюдения и, после элементарного анализа и осмысления на априорность
полученной информации, по величине наблюдения и погрешности, делает
окончательный расчет результата измерения, хотя бы на глаз, на вскидку. Итак,
необходимым условием проведения однократного измерения служит наличие
априорной информации о количестве физических величин, какого - либо
параметра. Что значит «априорная»?! Это значит - примерная, на глаз вам уже
известная информация. Например: Длина стола; Величина напряжения
переменного тока; Величина температуры горящего пламени в топке котла, и
т.д. Вам с достаточно высокой точностью уже известно или видно, из опыта
предыдущих измерений, с какой вероятностью (вид закона распределения
случайных событий) результаты наблюдений дают ожидаемый результат
измерения, после простейших операций расчетной оценки. Кроме этой
информации, при сомнении, Вы можете дополнительно использовать
информацию о том, насколько результат наблюдения отличается от
нормируемого результата (параметра, размера) по НТД, о классе точности
средства измерения, которым Вы воспользовались, и величине поля допуска
(квалитета) нормируемого размера. В связи с этим Вам необходимо, под
«флагом» метрологической экспертизы, провести анализ соответствия цены
деления СИ, его класса точности с величиной поля допуска и их
соотносительности по сравнительным величинам. Поле допуска может быть
симметричным - плюс, минус «А» или плюс А1, минус А2. В зависимости от
класса точности и чувствительности СИ Вы будете иметь величину цены
деления – «В». Соотношение - плюс, минус А или (А1 - А2) к «В» должно быть
много больше единицы (лучше всего 5 и выше), т.е. величина цены деления СИ
должна укладываться в поле допуска как минимум один раз или больше. Из
этого Вам нужно учесть величины поправок - аддитивных и
мультипликативных (от латинских слов addituvus - прибавляемый, multiplico -
умноженный). Эти поправки, как правило неизвестны, но если проводятся 3
наблюдения при измерениях и есть их различия по величине – Х
max
. и Х
min
., то в
Вашем случае поправки существуют и следует оценить норму однократности
измерений. К такой норме относится известная зависимость
()
()
()
()
(
)
()
() () () ()
()
13.9
;;
;88,0;8;8,0
2
1
2
1
1
2
формулаили
XSXSгде
XSXSXS
m
i
i
m
i
i
∑∑
==
=Θ⋅ΡΚ=ΡΘ
≤
Ρ
Θ
≤>
ΡΘ
<
ΡΘ
где К(Р) – коэффициент, определяемый принятой Р(х) и числом m1;
Θj – найденные нестатическим методами границы j-й составляющей
НСП (неисключенным остатком систематических
погрешностей), представляющей границы интервала, внутри
которой находится эта составляющая, определяемые при
отсутствии сведений о вероятности ее нахождения в этом
интервале. Значения К(Р) берется по таблице 9.2;
S (x) - СКО, среднеквадратическое отклонение случайных величин.
Допустим, у Вас получены 3 наблюдения измерений - X
max
, X
i
, X
min
Граница доверительной вероятности размаха результатов наблюдений X
max
-
X
min
. Необходимо сравнить величину этой границы с величиной поля допуска в
НТД, сколько раз вмещается эта граница в величину поля допуска? Если
вмещается как минимум один раз с вероятностью 0,99 или 1,0, то априорная
информация обеспечивается на 100 % и однократность измерения
обеспечивается. Если этого оценить сразу нельзя, то делается расчет
вышеуказанной зависимости.
()( )
,
..
2
22
3,1
∆+∆+∆⋅=ΡΘ
эталонапредметСИ
при N ≥ 4 составляющих НСП получаем НСП - неисключенный остаток
систематической погрешности, от которой нельзя избавиться.
S (X) -среднеарифметическое от наблюдений = ∑(Xmax. +Xi+Xmin.)/3;
,
1
2
min
22
max
−
−+−+−
=
n
ХXХ
i
XХX
XS
получаем СКО = S(x).
Делим Θi на S(x), если результат больше или равен 8, то однократные
измерения имеют право на осуществление и тогда суммарная погрешность
намного меньше цены деления СИ и поля допуска, пренебрегают случайной
погрешностью СКО и принимают ∆(Р) = Θi(P). В этих случаях Методика
Выполнения Измерений по ГОСТ Р 8.563 - 96 может быть совмещена с
инструкцией на эксплуатацию СИ и норму, заложенную в НТД - ( КД, ТД и
технологическую инструкцию).
Если Θi(Р)/S(x)< 0,8, то величиной Θi(Р) - НСП пренебрегают и
окончательно принимают за погрешность результата измерения
)()()(
2/
P
X
S
P
P
ε
=
⋅
Ζ
=
∆
при доверительной вероятности (Р).
где Z
1,2 - коэффициент Лапласа по спец. таблицам от вероятности (Р).
Если 0,8 < Θi(P)/S(x) < 8, то доверительную границу погрешности
результата измерений вычисляют по формуле (9.12). В таких случаях
необходимо провести с результатами наблюдений при измерениях строгий
статистический перерасчет погрешности, границы доверительной вероятности
и т.д. с обязательными процедурами по Методике Выполнения Измерений
(МВИ) по ГОСТ Р 8.563 - 96 и ее документированием. Процедуры перерасчета
имеют большой объем и в краткой форме здесь приведены быть не могут.
Желающим необходимо обратиться к специальной метрологической
литературе. За результат измерения в любом случае принимается выражение:
<Аi - ε(P)> меньше или равно «А» меньше или равно <Аi + ε(P)>; где: ε(Р)
погрешность в зависимости от того, какими величинами можно пренебречь, а
какие подлежат обязательному учету.
Из методического материала в помощь метрологам - Москва, ТОО
«ТОТ» 1996 год. по МВИ ГОСТ Р 8.563 - 96 - стр. 6-7 следует: «Наиболее часто,
на практике в качестве исходных данных для установления требований к
точности измерений при контроле используют допуск на контролируемый
параметр (Квалитет). Считается удовлетворительным соотношение между
пределом погрешности измерений и границей симметричного поля допуска -
1:5, в ряде случаев - 1:4. При соотношении - 1:3 вводится контрольный
(суженый) допуск на контролируемый параметр. Иногда требования точности
измерений устанавливают в виде пределов допускаемых значений
характеристик абсолютной или относительной погрешности измерений. Форма
приведенной погрешности измерений не используется - (это одна из форм
выражения погрешности средств измерений - СИ, которая достаточно всем
известна.) Наиболее распространенным способом выражения требований к
точности измерений является граница допускаемого интервала наблюдений при
измерениях, в котором с заданной вероятностью «Р» должна находиться
погрешность измерения, т.е. вышеуказанная зависимость соотношений НСП и
СКО. Такое соотношение часто иллюстрируется формулой коэффициента
точности – К
т
= ׀1/2 Т
е
׀/∆
си
= 5:1; 4:1; 3:1(суженый). Если границы
симметричны, то перед их одним числовым значением ставят знак ±ε(Р) -
поправка к среднеарифметическому значению наблюдений при измерениях и
это будет являться результатом измерений. Если «Р=1», то требований к
точности измерений используются именно эти пределы допускаемых значений
погрешностей измерений – «ε(Р)=∆», при этом вероятность «Р=1» не
указывается». На основании этой выдержки из ГОСТ Р 8.563 - 96 - стр.4, не все
МВИ необходимо регламентировать документально самостоятельно,
разрабатывать текст МВИ - ее содержание и аттестацию строго по
ГОСТ Р 8.563 - 96 не обязательно, особенно для измерений давления, с
помощью показывающих манометров, электрических величин щитовыми
приборами, линейно-угловых и многих других величин, подпадающих под
вышеприведенные зависимости, с помощью простых средств измерений - СИ.
В этих случаях МВИ не нужно оформлять отдельным документом по
ГОСТ Р 8.563 - 96, а достаточно указаний в КД, ТД, Проектной документации
на крупный объект технологического оборудования без сложных
измерительных зависимостей, инструкций по использованию СИ или ТУ на
СИ, оформленные соответствующим стандартом, зарегистрированных в
Госреестре типа СИ. Однако, там где требуется определять сложные
функциональные зависимости при испытаниях продукции или его
изготовлении - (аэродинамические, тепловые испытания машин, расхода
газожидкостных материалов и т.п.), то МВИ необходимо оформлять по
ГОСТ Р 8.563 - 96, в ТУ на сложную продукцию также необходимо включать
МВИ с указанием их регистрационных номеров, после их аттестации в порядке
установленным ГОСТ Р 8.563 - 96. Необходимо иметь в виду тем, кто не знает о
том, что Госстандарт РФ силами своих институтов ведет работу по разработке
МВИ распространенного типа, что эти МВИ появляются в печати под
следующим видом: - После цифры 563 в таких МВИ стоит точка и новая цифра
- порядковый номер такой МВИ, например - ГОСТ Р 8.563.3 - 97 «ГСИ.
Измерение расхода и количества жидкостей и газов методом переменного
перепада давления. Процедура и модуль расчетов. Программное обеспечение».
Таким образом, понимание однократных наблюдений при измерениях к
оператору (человеку) приходит только после тщательного осознания
технологии многократных наблюдений при измерениях, хотя в РМГ 29 -99
записано, что однократные измерения это такие измерения, которые
выполняются один раз!
9.3 Косвенные измерения
Значение измеряемой величины А находят по результатам измерений
аргументтов. А
1
,……, а
i
,……, а
m
……, связанных с искомой величиной
уравнением (9.15) /5/
(
)
,,..........,.......,,
1 mi
aaaf=Α (9.15)
Вид функции ƒ определяется при установлении модели объекта
измерения ОИ.
9.3.1 Косвенные измерения при линейной зависимости
Искомая величина А связана с m измеряемыми аргументами уравнением
(9.16) /5/
,
1
i
m
i
i
ab ⋅=Α
∑
=
(9.16)
где b
i
- постоянные коэффициенты.
Предполагается, что корреляция между погрешностями измерений a
i
отсутствует.
Результат измерения А вычисляют по формуле (9.17) /5/
,
1
i
m
i
i
ab ⋅=Α
∑
=
(9.17)
где а
i
- результат измерения а
i
с введенными поправками.
Оценку СКО результата измерения S (A) вычисляют по формуле (9.18)
/5/
()
()
,
2
1
2
i
m
i
i
aSbAS ⋅=
∑
=
(9.18)
где S
2
(ā
i
) - оценка СКО результата измерений ā
i
.
Доверительные границы ε (Р) случайной погрешности А при
нормальном распределении погрешностей аi вычисляют по формуле (9.19) /5/
(
)
(
)
(
)
Α
⋅
Ρ
=
Ρ
Snt
эф
,
ε
, (9.19)
где t(P,n
эф
) - коэффициент Стьюдента, соответствующий доверительной
вероятности Р (обычно 0,95 , в исключительных случаях
0,99) и эффективному числу наблюдений; – n
эф
,
вычисляемому по формуле (9.20)
()
(
)
()
,
1
1
2
1
44
1
44
2
2
1
2
'
∑
=
∑
=
∑
=
+
⋅
+
⋅
⋅−
⋅
=
m
i
i
ii
m
i
i
ii
i
m
i
i
эф
n
aSb
n
aSb
aSb
n
(9.20)
где n
i
- число наблюдений при измерении а
i
.
Доверительные границы Θ(Р) НСП результата такого измерения, сумму
Θ (Р) и ε(Р) для получения окончательного значения ∆(Р) рекомендуется
вычислять с использованием критериев и формул (2,3,9 - 11), в которых m1,Θi,и
S(x) заменяются, соответственно, на m, bi,Θi, и S(A).
9.3.2 Косвенные измерения при нелинейной зависимости
При некоррелированных погрешностях измерений а
i
используется метод
линеаризации путем разложения функции ƒ(a
1
,......, a
m
) в ряд Тейлора по
формуле (9.21) /5/
()()
,,.....,,....,
1
11
Ra
a
f
aafaaf
i
m
i
i
mm
+∆
∂
∂
+=
∑
=
(9.21)
где ∆ аi = аi - аi - отклонение отдельного результата наблюдения а
i
от
а
i
;
R - остаточный член.
Метод линеаризации допустим, если приращение функции ƒ можно
заменить ее полным дифференциалом. Остаточным членом
2
_
2
2
1
2
1
∆
∂
∂
Σ=
=
i
f
R
i
i
m
i
α
α
,
пренебрегают, если
()
α
α
⋅⋅
∂
∂
<
∑
2
2
8,0 S
f
R
i
где S (a
i
) - оценка СКО случайных погрешностей результата измерения
а
i
.
При этом отклонения ∆а
i
должны быть взяты из возможных значений
погрешностей и такими, чтобы они максимизировали R.
Результат измерения А вычисляют по формуле (9.22) /5/
А = f (a
1
,.....,a
i
), (9.22)
Оценку СКО случайной составляющей погрешности результата такого
косвенного измерения S (A) вычисляют по формуле (9.23) /5/
()
()
,
2
1
2
i
n
i
i
aS
a
f
S ⋅
∂
∂
=Α
∑
=
(9.23)
а ε(Р) - по формуле (9.19).
Значение n
эф
, границы НСП Θ(Р) и погрешность ∆ (Р) результата
косвенного измерения при нелинейной зависимости вычисляют так же, как и
при линейной зависимости, но с заменой коэффициентов b на ∂ f / ∂ a
i
.
Метод приведения (для косвенных измерений с нелинейной
зависимостью) применяется при неизвестных распределениях погрешностей
измерений а
i
и при корреляции между погрешностями а
i
для получения
результата косвенного измерения и определения его погрешности. При этом
предполагается наличие ряда n результатов наблюдений а
ij
измеряемых
аргументов а
i
. Сочетания а
ij
, полученных в j - м эксперименте подставляют в
формулу (9.14) и вычисляют ряд значений А
i
измеряемой величины А.
Результат измерения А вычисляют по формуле (9.24) /5/
,
1
∑
=
Α
=Α
n
i
j
n
(9.24)
Оценку СКО S (A) - случайной составляющей погрешности А
вычисляют по формуле (9.25) /5/
()
(
)
()
[]
,
1
1
2
∑
=
−
Α−Α
=Α
n
i
j
nn
S
(9.25)
ε(Р) вычисляют по формуле (9.14).
Границы НСП Θ(Р) и погрешность ∆(Р) результата измерения А
определяют описанными выше способами для нелинейной зависимости.
9.4 Формы представления и интерпретация результатов измерений
Результат измерения должен содержать не только полученное значение
измеряемой величины, но и, обязательно, характеристики его погрешности с
указанием числа наблюдений и доверительной вероятности. Вместо
характеристик погрешности измерений можно дать ссылку на
стандартизованную МВИ, по которой выполнялись измерения.
Допускается представление результата измерений доверительным
интервалом, покрывающим истинное значение измеряемой величины с
определенной доверительной вероятностью. В этом случае характеристики
погрешности отдельно не указываются. Совместно с результатами измерений
могут приводиться дополнительные данные и условия измерений, которые
необходимы для практического их использования, например, моменты времени,
к которым относятся результаты измерений, сведения о принятой модели ОИ .
Недопустима интерпретация результатов и погрешностей измерений за
рамками (фреймом) принятой модели объекта измерений. Наименьшие разряды
значений результатов измерений должны быть такими же, как наименьшие
разряды значений СКО абсолютной погрешности измерений или значений
границ, в которых находится абсолютная погрешность измерений или ее
статистические характеристики. Характеристики погрешности выражаются
числом, содержащим не более двух значащих цифр, так как погрешность
определения погрешности, в лучшем случае, превышает 10 %. Наиболее
распространены следующие формы представления результатов измерений. При
симметричной погрешности результат измерения представляют в форме А ; ±
∆ ; Р или А ± ∆ ; Р . При несимметричной погрешности измерений – в форме
А; ∆(Р) от ∆н до ∆в ; Р, где ∆н и ∆в - значения нижней и верхней границы
погрешности измерения.
9.5 Правила округления и записи результатов наблюдений и
измерений
9.5.1 Числовое значение результата наблюдения округляют в
соответствии с числовым разрядом значащей цифры погрешности измерений.
Лишние цифры в целых числах заменяются нулями, в десятичных дробях -
отбрасываются. Если десятичная дробь оканчивается нулями, они
отбрасываются только до того разряда, который соответствует разряду
погрешности. Пример: результат 1,072000, погрешность + 0,0001. Результат
округляют до 1,0720. Если первая (слева направо) из заменяемых нулями или
отбрасываемых цифр меньше 5, остающиеся цифры не изменяются. Если
первая из этих цифр равна 5, а за ней не следует никаких цифр, или идут нули,
то, если последняя цифра в округляемом числе четная или нуль, она остается
без изменения, если нечетная - увеличивается на единицу. Пример: 1234,50
округляют до 1234; 8765,50 - до 8766. Если первая из заменяемых нулями или
отбрасываемых цифр больше 5 или равна 5, но за ней следует значащая цифра,
то последняя остающаяся цифра увеличивается на единицу. Пример: 6783,6
округляют до 6784; 12,34501 до 12,35. В соответствии с правилом 1, добавляют
один разряд справа, т.е. в первом примере результат 1,072000 нужно округлять
не до 1,0720, а до 1,07200.
9.5.2 Если в процессе вычисления встречается операция деления,
бессмысленно продолжать ее по правилам арифметики, после того, как получен
результат, соответствующий правилу 1.
9.5.3 При определении предстоит произвести некоторые математические
операции, то при округлении результатов числа знаков при вычислении
погрешностей измерений следует учитывать, что погрешность определения
значения погрешности достаточно велика, порядка 30 % при n = 10 и порядка
15 % при n = 20 - 25, поэтому, при n < 10 следует оставлять одну значащую
цифру, если она больше 3-х и две, если первая из них меньше 4-х.
Погрешность, возникающая в результате вычислений, не должна превышать
10 % суммарной погрешности измерений. Поэтому, если над результатами
измерений (наблюдений). Пример, если при n = 10, s = 0,523 оставляемом
значение s = 0,5; если при n = 10, s = 0,253 оставляем значение s = 0,25. При
n > 10, достаточно надежно оставлять во всех случаях две значащие цифры.
Значения Z (P, n) представлены в таблице 9.5.