Никишкин В.А., Малахов А.Н., Максюков Н.И. Высшая математика
Подождите немного. Документ загружается.
12.13. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и
специальной правой частью
,
Пусть дано уравнение L[y] = f(x). Если f(x) имеет специальный вид, то, пользуясь
методом вариации произвольного постоянного, можно доказать, что частное решение может
быть также найдено методом неопределенных коэффициентов.
Пусть
или xexUxf
x
m
β
α
cos)()( ⋅=
(
f =
sin)()
xexVx
x
m
β
α
⋅
где U
m
(x) и V
m
(x) – многочлены степени m (при m=0 U
m
(x) и V
m
(x) обращаются в постоянные),
α и β некоторые действительные постоянные.
Если
β=0, то и, в частности, при m=0 (a – const).
x
m
exUxf
α
)()( =
x
eaxf
α
⋅=)(
При
α=0 имеем
xxUxf
m
β
cos)()( ⋅= или xxVxf
m
β
sin)()(
×
= .
Если
α=0 и β=0, то ) и, в частности, при m=0 f(x)=a (a – const). ()( xUxf
m
=
Тогда если α+βi не является корнем характеристического уравнения
0
1
1
1
=++++
−
−
nn
nn
aaa
λλλ
K ,
то уравнение L[y] = f(x) заведомо имеет частное решение вида
),sin)(cos)((
xxQxxPey
mm
x
ββ
α
+=
где P
m
(x) и Q
m
(x) – некоторые многочлены степени не выше m.
Если же
α+βi является корнем характеристического уравнения кратности r, то уравнение
L[y] = f(x) заведомо имеет частное решение вида
),sin)(cos)((
xxQxxPexy
mm
xr
ββ
α
+=
где P
m
(x) и Q
m
(x) – многочлены степени не выше чем m.
Пример. Решить уравнение .
2
2 xeyy
x
−=−
′′
Решение.
λ
2
-1=0 λ
1
=1 λ
2
=-1.
Общее решение однородного уравнения будет
xx
oo
ececy
−
+=
21
.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
DCxBxexAy
e
+++=
2
;
;2)( CBxxeeAy
xx
+++=
′
BAxeAey
xx
22 ++=
′′
.
Подставляя в исходное уравнение получим:
22
222 xeDCxBxAxeAxeAe
xxxx
−=−−−−++ B .
Приравнивая коэффициенты при подобных членах в обеих частях уравнения получим:
=
=
=
=
→
=−
=−
−=−
=
2
0
1
1
02
0
1
22
D
C
B
A
DB
C
B
A
;2
2
++= xxey
x
2
2
21
++++=
−
xxeececy
xxx
.