Никифоров В.О. и др. Интеллектуальное управление в условиях неопределенности

Подождите немного. Документ загружается.

2 2

221

0100

;

01000

;;

0101

;

0100 10

ABB

AA B

ηη

⎡⎤

⎢⎥

⎡⎤ ⎡⎤

−

⎢⎥

== ==

⎢⎥ ⎢⎥

⎢⎥

−

⎣⎦ ⎣⎦

⎢⎥

−

⎣⎦

Проверим управляемость агрегированных систем по состоянию ()

tσ

и выходу ()

tη )2,1( =

с помощью матриц управляемости

(2.51)

(2.54), которые с учетом n=2 имеют реализации

[]

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

σσσσσ

0000

2000020002000

1111

11111

BACBACBACBCW

[

]

[

]

2000020002000

1111

11111

−==

ηηηηη

BACBACBACBCW

;

[

]

;

6000004000020000

6000040002000

2222

22222

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−−

σσσσσ

BACBACBACBCW

[

]

[]

.6000040002000

2222

22222

−−=

ηηηηη

BACBACBACBCW

Ранги матриц

σy

W и

σy

W соответственно равны 1

σy

Wrang ,

σy

Wrang

, агрегированные системы (2.40), (2.41) с составными

векторами состояний

{

}

= xcolx и

{

}

xcolx не являются

полностью управляемыми по векторам

(

)

(

)

, поэтому

недостаточно выполнения условия асимптотической сходимости

(2.52) по состоянию параметрически возмущенного ОУ. Ранги матриц

равны 1

ηη yy

WrangWrang , что совпадает с

размерностью 1=m вектора выхода. Таким образом, выбором закона

управления можно обеспечить сходимость

(

)

lim , , 0; 1,2

ytq q j

→∞

ΔΔ==

с заданным темпом. Сингулярные числа матриц

(

)

1, 2

принимают значения

{

}

{

}

210; 610

ηη

α=⋅α=⋅

. Отсюда

следует, что асимптотическая сходимость к нулю дополнительного

движения

(

)

,,ytq qΔΔ потребует больших затрат на управление, чем

сходимость дополнительного движения

(

)

,,ytq q

Δ с тем же

темпом.

Рассмотрим теперь возможности аппарата функций траекторной

чувствительности применительно к исследованию спроектированной

системы в условиях параметрической неопределенности, а,

следовательно, к оценке эффекта введения регулятора, реализующего

просинтезированный закон управления.

При произвольном значении

qq q

+Δ векторе параметров

исследуемая система имеет векторно-матричное представление

(,) ()(,) ()();(0); (,) ()(,)

tq Fqxtq Gqgt x ytq Cqxtq=+ =

, (2.55)

(, ) () (, ),tq gt ytqε=− (2.56)

где ()gt – внешнее воздействие, ( , )tq

– ошибка воспроизведения

системой (2.55) внешнего воздействия. Система (2.55) образована

агрегированием ОУ (2.33) и регулятора, реализующего ЗУ

() () ()

Ut Kgt Kxt=− (2.57)

в виде прямой связи (ПС) по внешнему воздействию и отрицательной

обратной связи (ОС) по вектору состояния ОУ, матрицы которого

просинтезированы для случая номинальной версии (2.39)

объекта управления. Определенности ради положим, что матрица

просинтезирована с использованием концепции матричного и

векторного подобия, приводящей к матричному уравнению

Сильвестра, решение которого является алгоритмической основой

современной постановки задачи модального управления (МУ).

Матрица

ПС доставляет спроектированной системе необходимые

свойства отношения "вход–выход". Простейшим из них является

равенство входа ()gt и выхода ()yt в неподвижном состоянии

(свойство астатизма порядка V≥1), что накладывает на номинальную

передаточную матрицу

() ( )

sq q

Φ=Φ = системы (2.55)

()

CsI F G

−

Φ= −

(2.58)

условие

() ()

IGCFs

=−=Φ=Φ

−

→

lim0 ; (2.59)

с учетом того, что

FABKGBK=− = (2.60)

соотношение (2.59) позволяет для матрицы

K ПС записать

()

CF B

−

=− . (2.61)

Следует заметить, что в зависимости от состава допустимых

измерений ЗУ (2.57) может иметь еще две реализационные версии,

записываемые в формах

() () () ()

gyx

Ut Kgt Kyt Kxt=−−, (2.62)

() () ()

Ut K t Kxt

=ε− . (2.63)

При этом формы представления ЗУ (2.57), (2.62) и (2.63) при

номинальных значениях параметров являются эквивалентными, если

выполняются матричные соотношения

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

, (2.64)

(

)

gyx

KKKKCFBC

−

== =+ . (2.65)

Однако при реализации структурных компонентов системы

с некоторой параметрической неопределенностью, т.е. в форме

()

q , ( )

q и ()

, свойства системы (2.55), (2.56) с ЗУ в формах

(2.57), (2.62) и (2.63), определяемые дополнительными движениями

(

)

tq qΔΔ,

(

)

,,ytq qΔΔ и

(

)

,,tq q

εΔ, оказываются различными.

Модель траекторной чувствительности системы (2.55), (2.56),

если ввести обозначение

()

(

)

() ()

GqGFqF

qqqqqq

qqq

∂

===

0000

|;|;|;|

,(2.66)

по аналогии с (2.38) (см. рисунок 2.5) имеет вид

() () () (); () () ()

jj j

jjqqjjq

tFtFxtGgt tCtCxtσ=σ+ + η=σ+

. (2.67)

Функция траекторной чувствительности ()

вектора ошибки

удовлетворяет условию

[]

(, )

() () (, ) ()

j j

qq qq

tgtytqyt

∂ε ∂

ε= = − =−

∂∂

. (2.68)

Если по аналогии с (2.40), (2.41) ввести в рассмотрение

агрегированную систему с вектором состояния

{

}

() ,

xt colx

то для

нее получим

{

}

() () (); (0) (0),0

jjj jj

xt Fxt Ggtx colx=+ =

%% %

, (2.69)

() (); () (); () ()

xj j j j j j j

tCxtytCxt tCxt

==σ=

%% %

, (2.70)

() (); () ()

jjjj

tCxt t t

η= ξ=−η

, (2.71)

где

FF G

⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦

, (2.72)

а матрицы

задаются в форме (2.43).

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

()

(

)

(

)

y Δ,

()

Рис.2.5 Модель траекторной чувтвительности, дополненная

номинальной моделью системы (2.55), (2.56)

Если провести агрегирование номинальной системы и всех

МТЧ вида (2.67) путем введения вектора

{

}

,; 1,

col x j p=σ=

размерности

(

)

dim 1

pn=+

, то векторно-матричное представление

такой системы по аналогии с (2.44)–(2.47) получает представление

()

{

}

() (); (0) (0), (0) 0; , ,

tFxtGtx colx jlp

•

=+ = σ==

%% %

(2.73)

(

)

(

)

; () (); () (); () (); () ()

tCxtytCxt tCxt tCxt t t

ση

==σ=η=ξ=−η

%%%%

, (2.74)

где

{}{}

;, ;,

nnp

qj jj

col F j l p diag F F j l p

⎡⎤

⎢⎥

===

⎢⎥

⎣⎦

{

}

,;1,

GcolGG j p==

.(2.75)

Матрицы

, С

определяются посредством (2.47)–(2.49).

Анализ свойств спроектированной системы в условиях

параметрической неопределенности ее функциональных компонентов

может быть осуществлен траекторными и структурными методами.

Траекторный метод предполагает конструирование оценок

максимального и минимального размеров сечений трубы, в которой

размещаются движения

((), , ,)

gt q qt

Δ по состоянию,

((), , ,)ygt q qtΔΔ

((), , ,)gt q qtΔΣ Δ

по выходу и ошибке.

Если эта задача решается в глобальной постановке, т.е. на

множестве всех параметров

q 1,

p= , образующих вектор p, то для

формирования оценок, как это уже отмечено в начале параграфа,

целесообразно использовать SVD-анализ применительно к матрицам

чувствительности ()tΣ (2.31) и

(

)

(2.32), конструируемым с

помощью агрегированной системы (2.73)–(2.75).

Если задача решается в локальной покомпонентной форме, то

оценки максимальных размеров трубок дополнительных движений

((), , ,)

gt q qtΔΔ и

((), , ,)

ygtq qtΔΔ на множестве угловых

реализаций вектора qΔ , параметризованные временем t,

определяются соотношениями

()

max ( (), , ,) () sgn ()

ii jijji

txgtqqttqt

∧

Δ=Δ Δ=ΣσΔ δ, (2.76)

()

max ( (), , ,) () sgn ()

ll jljjl

yt ygtq qt t q t

∧

Δ=Δ Δ=ΣηΔ η, (2.77)

()

tyt

∧∧

Δε =Δ . (2.78)

Структурный метод предполагает конструирование оценок норм

элементов функционального пространства

([0,))

LT=∞

применительно к функциям траекторной чувствительности с

использованием системных грамианов как в глобальной, так и

локальной постановках. Если далее ограничиться функциями

траекторной чувствительности по выходу (ошибке) в глобальной

постановке, то используется агрегированная система (2.73)–(2.74), при

этом кросс-грамиан

конструируется на тройке матриц

( ,,)CFG

как решения матричного уравнения

FW W F GC

ηη η

+=−

%% % %

(2.79)

Теперь к кросс-грамиану W

необходимо применить технику

SVD-анализа, которая дает информацию о длинах максимальной и

минимальной полуосей эллипсоидных покрытий в виде ()

()

– максимального и минимального сингулярных чисел W

, а

элементы правого сингулярного базиса V

, согласованные с ()

()

, задают наименее и наиболее благоприятные состояния

параметров, порождающие дополнительные движения

((), , ,)ygt q qtΔΔ максимальной и минимальной норм

функционального пространства. В случае локальной покомпонентной

постановки задач, когда оценивается норма дополнительного

движения

((), , ,)

ygtq qtΔΔ, порожденного вариацией

qΔ j-го

компонента вектора параметров q, наблюдаемого на l-том выходе j-ой

МТЧ при возбуждении k-того входа системы (2.55), кросс-грамиан

(,)

WCG

ηη

строится на тройке матриц

(,,)

jjk

CAG

ηΣ

%%%

как решение

матричного уравнения

(,) (,)

ll l

jj jk jj jkj jkjn

FW C G W C G F G C

ηη ηη

+=−

%% %% %%

%% % %

. (2.80)

Ненулевые сингулярные числа кросс-грамианов (,)

jjk

WCG

ηη

позволяют дать полную апостериорную характеристику эффекта

введения в систему регулятора, реализующего ЗУ в одной из форм

(2.57), (2.62) и (2.63), осуществить апостериорное ранжирование

варьируемых параметров.

Структурный метод может быть реализован и с использованием

передаточных матриц (функций) "вход агрегированной системы –

выход МТЧ" с последующим использованием аппарата анализа

∞

Η .

Так, аналогом (2.80) является передаточная функция

()

() ( ) ,

()

lk j j jk

CsIF G

−

ηη

Φ= = −

(2.81)

для которой необходимо получить оценку нормы в

∞

- пространстве.

Пример 2.6. Рассматривается система, представляющая собой

объединение ОУ с передаточной функцией

()

(1)

регулятора, доставляющего матрице

FABK

− распределение мод

Баттерворта с характеристической частотой

10с

−

ω= , так что ее

собственные значения имеют реализацию

1,2

10(0,707 0.707)j

=− m.

Ставится задача сравнить по чувствительности реализации ЗУ в

формах (2.62) и (2.63),

(

)

(1 ) () (1 ) () ()

gyx

ut K q gt K q yt Kxt=+ −+ −

, (2.82)

(

)

(1 ) ( ) ( )

ut K q t Kxt

=+ε− , (2.83)

применительно к дополнительному установившемуся движению по

выходу при ступенчатом входном воздействии

() 1()gt g t

. Модель

(2.39) номинального OУ характеризуется матрицами

[]

01 0

;;10

01 1

ABC

⎡⎤⎡⎤

===

⎢⎥⎢⎥

−

⎣⎦⎣⎦

Система (2.55) при номинальном значении вектора параметров

0qq== характеризуется матрицами

;

100 14.1

⎡

⎤

⎢

⎥

−−

⎣

⎦

;[10]

100

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

. Система (2.55) при реализации ЗУ в форме (2.82)

имеет матрицы

01 0

() ; () ; [1 0]

100(1 ) 14.1 100(1 )

Fq Gq C

⎡⎤⎡⎤

===

⎢⎥⎢⎥

−+− +

⎣⎦⎣⎦

а при реализации ЗУ в форме (2.83) –

01 0

() ; () .

100(1 ) 14.1 100(1 )

Fq Gq

⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

−+− +

⎣⎦⎣⎦

Агрегированные системы с векторами

{

}

,; 1,3

xcolx j=σ=

(2.69)–(2.72) характеризуются матрицами

[]

111

0100 0

100 14.1 0 0 100

;;0010

0001 0

0 0 100 14.1 100

FGG

⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

−−

⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

== ==

⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

⎣⎦

⎢⎥⎢⎥

−−

⎣⎦⎣⎦

;

[]

222

0100 0

100 14.1 0 0 100

;;0010

0001 0

100 0 100 14.1 0

FGG

⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

−−⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

== = =

⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

⎣⎦

⎢⎥⎢⎥

−−−

⎣⎦⎣⎦

;

[]

333

0100 0

100 14.1 0 0 100

;;0010

000 1 0

100 0 100 14.1 100

FGG

⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

−−

⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

== = =

⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

−

⎣⎦

⎢⎥⎢⎥

−−−

⎣⎦⎣⎦

Для решения поставленной задачи используем структурный

подход, основанный на аппарате передаточных функций, для которых

1111

( ) 100

() ( ) ;

( ) 14,1 100

Ф sCsIFG

gs s s

−

ηη

== − =

2222

( ) (100)

() ( ) ;

( ) ( 14,1 100)

Ф sCsIFG

gs s s

−

ηη

== − =

3333

( ) 100 ( 14,1)

() ( ) .

( ) ( 14,1 100)

sss

Ф sCsIFG

gs s s

−

ηη

η+

== − =

Анализ установившегося значения функций чувствительности по

выходу на основе их Лапласовых образов при скачкообразном входе

() 1()gt g t=

() () ()

s Ф sgs

η=

дает:

110 0

lim ( ) lim ( )

уст

tg Ф sg

→∞ →

η=η= =,

220 0

lim ( ) lim ( )

уст

tg Ф sg

→∞ →

η=η= =−,

330

lim ( ) lim ( ) 0

уст

tg Ф s

→∞ →

η=η= =.

Таким образом, дополнительные движения по выходу в

установившемся режиме при ступенчатом внешнем воздействии,

соответственно при реализации закона управления в форме (2.82) и

(2.83), получают представления

112 2012

() ( )

уст уст уст

Yt q qgq qΔ=ηΔ+ηΔ=Δ−Δ,

() 0

уст уст

Yt qΔ=ηΔ=. 

В заключение рассмотрим возможности аппарата функций

траекторной чувствительности к исследованию дополнительных

движений по состоянию,

()

00 0

,, (, ) (,) ()

kq q xkq q xkq k q

ΔΔ=+Δ− =ΣΔ, (2.84)

и выходу,

()( )

(

)

(

)

qkqkyqqkyqqky

−

+=ΔΔ

000

,,,,

, (2.85)

где k – дискретное время, выраженное в числе интервалов

дискретности длительности

, для дискретных динамических систем

на примере

(

)

1, ()(,) ()();(0); (,) ()(,)

kqAqxkqBqukxykqCqxkq+= + = . (2.86)

Будем придерживаться концепции дискретного объекта

управления (ДОУ), состоящей в том, что ДОУ (2.86) представляет

собой дискретную по времени с интервалом дискретности

длительности t

выборку из непрерывных процессов по вектору

состояния (, )

tqи выходу (, )ytq при фиксированном на интервале

(

)

,1ttktk∈Δ Δ +⎡⎤

⎣⎦

значении управления () ( ) ( )ut u tk uk

Δ= . Эта

концепция связывает матрицы непрерывного (2.39) и дискретного ОУ

(2.39) следующими функциональными соотношениями:

(

)

() 1 ()

() ; () () (); () ()

Aq t Aq t

qe BqAqe IBqCqCq

Δ−Δ

== − =, (2.87)

если при выводе управления из устройства, его формирующего и

осуществляющего цифро-аналоговое преобразование, можно

пренебречь задержкой τ по сравнению с t

. Если задержкой

пренебречь нельзя, то размерность вектора ДОУ становится на

больше размерности вектора состояния непрерывного ОУ, где

r –

размерность вектора управления, а матрицы модели (2.86) принимают

вид

(

)

()( ) 1

() () () 1

() ()

( ) () ()

() ;

Aq t

Aq t Aq t Aq

rn rr

eIAqBq

eeIeAqBq

Aq B

Δ−τ −

ΔΔ τ−

××

⎡

⎤

−

⎡⎤

−

⎢

⎥

⎢⎥

⎢

⎥

⎣⎦

⎣

⎦

, (2.88)

[]

. (2.89)

Матрицы функций чувствительности

(

)

∑

(

)

ℵ

строятся в форме

(2.31), (2.32) на основе гипотезы о том, что в каждый дискретный

момент времени векторы

(

)

kg и

(

)

,ykg дифференцируемы по q :

() ()

()

;1,

xkq

krow k j p

⎧

⎫

∂

⎪

∑= σ = =

⎨

⎬

∂

⎪

⎩⎭

, (2.90)

() ()

()

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

∂

==Ξ

qky

krowk

,1;|

. (2.91)

Модель траекторной чувствительности, необходимая для

генерирования функций траекторной чувствительности

(

)

kσ

(

)

kj pη= по состоянию и выходу ДОУ, строится путем

дифференцирования компонентов представления (2.86) по

компонентам

q вектора параметров

при его номинальном

значении, в результате чего для МТЧ получаем

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

()

(

)

(

)

1;00;

k A k A xk Buk C k C xkσ+=σ + + σ =η =σ + .(2.92)

Дальнейшее конструирование инструментария аппарата функций

траекторной чувствительности осуществляется по той же схеме, что и

в случае непрерывных ОУ.

Необходимо в заключение отметить, что векторно-матричное

представление ДОУ в форме (2.86) с матричными компонентами

(2.87) и (2.88), в явном виде содержащими такие чисто "дискретные"

параметры, как интервал дискретности t

и задержку τ вывода

управления, заметно упрощает анализ процессов ДОУ, опирающийся

на возможности аппарата функций траекторной чувствительности.

2.2.2. Функции чувствительности алгебраических и геометрических

спектров матриц

Рассматривается nn× квадратная матрица

(

)

Nq, элементы

которой

()

(

)

,1,

Nqil n= зависят от параметров

q , образующих

мерный вектор

qq q=+Δ с номинальным значением

q . Очевидно,

оказываются зависимыми от элементов

q вектора параметров

1,qj p=

и элементы

(

)

qλ алгебраического спектра собственных

значений матрицы

(

)

(

)

{

}

(

)

(

)

(

)

{

}

:det 0; 1,

Nq q qI Nq i nσ=λ λ−==

⎡⎤

⎣⎦

, становятся

зависимыми от вектора параметров q и собственные векторы

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

:1,

iiii

qNqq qqinζζ=λζ=

Если для матрицы

(

)

Nq построить сингулярное разложение, то

получим представление

(

)

(

)

(

)

(

)

Nq Uq qV q=∑ , (2.93)

где

(

)

(

)

,Uq Vq – ортогональные матрицы для t

∀

, образующие левый

и правый сингулярный базисы,

(

)

∑

– диагональная для q∀ матрица

сингулярных чисел

(

)

qα

(

)

(

)

{

}

;1,

qdiag qi n∑= α = , (2.94)

где сингулярные числа

(

)

(

)

qi nα= вычисляются в силу

соотношений

() () () () ()

()

() () ()

()

det det 0

q q qI NqN q qI N qNqα=μ μ − =μ − =. (2.95)