Морозов А.И. Физика твердого тела. Учебное пособие
Подождите немного. Документ загружается.
20
2. Гальваномагнитные явления
2.1. Эффект Холла
Как видно из названия главы, к таковым относят явления,
связанные с протеканием тока в магнитном поле. Самое
известное из этих явлений, с которым вы уже познакомились в
курсе общей физики, это эффект Холла. Напомним его суть. На
носители заряда в магнитном поле действует сила
Лоренца
[
]
Bvq
L
r
r
r
,=ℑ , (2.1)
где q - заряд носителя, v
r
- его скорость, а B
r
- магнитная
индукция в месте нахождения носителя. В отсутствие тока, в
силу хаотичности движения НЗ, какого-либо их
перераспределения под действием силы Лоренца не происходит,
хотя траектории движения НЗ изменяются (искривляются). При
протекании тока средняя скорость НЗ отлична от нуля и равна
qn
j
v
r
r
=〉〈
, (2.2)
где
j
v
- плотность тока, n - концентрация НЗ. Поэтому в
магнитном поле возникнет холловская составляющая тока,
перпендикулярная направлению
j
v
при 0
=
B
r
. В рассматриваемой
нами простой геометрии эксперимента, когда напряженность
приложенного электрического поля
BE
r
r
⊥
0
(рис.2.1) и
постоянный ток в направлении, перпендикулярном
0
E
r
, течь не
может, включение магнитного поля приведет к появлению на
поверхности проводника электрических зарядов. Холловский ток
после переходного процесса исчезнет, но возникнет холловская
напряженность электрического поля
H
E
r
. Значение ее таково,
что сила, с которой это поле действует на НЗ
H
Eq
r
, полностью
компенсирует действие силы Лоренца. Следовательно,
jB
H
R
nq
jB
H
E ≡= , (2.3)
где
21
(
)
1
−
= nq
H
R (2.4)
- постоянная Холла. Измеряя разность потенциалов между
крайними точками поперечного сечения проводника
d
H
E
H
U =
(смотри рис.2.1), можно, зная j и B, найти
концентрацию НЗ в полупроводнике.
Е
0
j
В
r
V
Рис.2.1.
Более того, НЗ разного знака отклоняются магнитным полем
при заданном направлении
j
v
в одну и ту же сторону, смотри
рис.2.2. Поэтому полярность возникающего напряжения
свидетельствует о знаке НЗ.
- - - - - - - - - -
+ + + + + + + +
+
j
r
В
r
v
ℑ
L
- - - - - - - -
+ + + + + + + +
-
j
r
В
r
v
ℑ
L
Рис.2.2.
Приведенное выше простое рассмотрение эффекта Холла не
требует привлечения кинетического уравнения Больцмана.
Однако оно не дает ответа на вопрос: а изменилось ли
сопротивление проводника в магнитном поле, или, другими
22
словами, имеется ли продольное магнетосопротивление
ρ
∆
,
которое определяется как
∆ρ = ρ
(B) - ρ
o
, (2.5)
где
ρ
o
- удельное сопротивление без магнитного поля, а ρ
(B) -
продольное удельное сопротивление, то есть коэффициент
пропорциональности между
0
E
r
и j
v
(
0
E
=ρ
||
(B)
j
), индекс
означает параллельность направлению тока.
Для ответа на этот вопрос необходимо использовать
кинетическое уравнение Больцмана. В случае стационарной и
однородной системы оно имеет вид
,
)(
ст
I
j
j
p
pF
=ℑ
∂
∂
r
где
)( p
F
r
- функция распределения НЗ,
j
p - компонента
импульса,
j
ℑ
- компонента внешней силы, действующей на НЗ, а
ст
I
- интеграл столкновений.
При исследовании электропроводности в случае слабой
неравновесности мы заменяли
)( p
F
r
на равновесную функцию
распределения
)(
0
pF
r
. В результате уравнение принимало вид (II,
5.6)
,)),((
)(
0
ст
Ikv
kF
=ℑ
∂
∂
r
r
r
r
ξ
где
ξ
- энергия НЗ, а h
r
r
/pk = .
Но поскольку скалярное произведение
0)),(( =ℑ
L
kv
r
r
r
(сила
Лоренца перпендикулярна скорости НЗ), то для учета действия
магнитного поля на НЗ необходимо учесть в левой части
кинетического уравнения слагаемое
Lj
j
p
kf
ℑ
∂
∂ )(
r
, где )(kf
r
-
неравновесная часть функции распределения
(
)()()(
0
kfkFkF
r
r
r
+= ).
23
После этого кинетическое уравнение в τ-приближении
принимает вид:
В этом случае кинетическое уравнение приобретает в
τ
-
приближении и в стационарном случае следующий вид:
()
[]
j
k
kf
j
Bkv
q
k
kf
Ekv
kF
q
∂
∂
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
)(
),(
)(
)(
),(
)(
0
r
r
r
r
h
r
r
r
r
r
r
τ
ξ
. (2.6)
Легко видеть, что в присутствии магнитного поля уравнение
из алгебраического стало дифференциальным.
Сначала рассмотрим случай наличия только одного сорта
НЗ, причем обладающих изотропным квадратичным по
k
r
законом дисперсии
const
m
k
+=
*2
22
h
ξ
. (2.7)
В этом случае
*
m
k
v
r
h
r
=
и можно перейти от переменной
k
r
к
переменной
v
r
. Уравнение (2.6) примет вид
()
()
(
)
()
[]
(
)
j
v
vf
j
Bv
m
q
v
vf
Ev
vF
q
∂
∂
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
r
r
r
r
r
r
r
r
,
*
,
0
τξ
. (2.8)
Его решение будем искать в виде
() () ()
()
vAvv
F
qvf
r
r
rrr
,
0
τ
ξ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−= , (2.9)
где
A
r
-неизвестный вектор. Подставляя (2.9) в (2.8) находим
()
()
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
− Ev
vF
q
r
r
r
,
0
ξ
()
()
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
− vAv
vF
q
r
r
r
r
,
)(
0
ξ
[]
()
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+ )(,)(
)(
,
*
0
2
vAvv
vF
v
Bv
m
q
j
j
r
r
rr
r
r
r
τ
ξ
. (2.10)
В силу изотропности закона дисперсии
(
)
v
r
τ
зависит только
от
ξ, а не от направления вектора v
r
, и
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
ξ
0
F
j
v
и
()
v
j
v
r
τ
∂
∂
параллельны
j
v
.Поэтому их скалярное произведение с силой
24
Лоренца равно нулю. Будем предполагать, что
A
r
тоже не зависит
от направления
v , а определяется только величиной ξ.
Следовательно, выражение
j
v
A
vm
j
v
A
v
j
v
A
v
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
∂
∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
ξ
ξ
ξ
r
r
r
r
r
r
,*,,
(2.11)
и также обращается в ноль при умножении на
jL,
ℑ
. Поэтому при
дифференцировании по
j
v произведения
()
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
− )(,)(
)(
0
vAvv
vF
r
r
rr
r
τ
ξ
в (2.10) неисчезающий после
домножения на
jL,
ℑ
вклад дает только слагаемое
()
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
− A
j
v
v
v
F
r
r
r
,
0
τ
ξ
()
j
Av
F
r
τ
ξ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
0
. (2.12)
После этого уравнение (2.10) принимает вид
), ],([
*
),(),( ABv
m
q
AvEv
r
r
r
r
r
r
r
τ
+=
, (2.13)
или, окончательно, после циклической перестановки в
смешанном произведении
[
]
AB
m
q
AE
r
r
r
r
,
*
τ
+=
. (2.14)
Поскольку
τ
не зависит от направления v
r
, то в уравнении
(2.14) нет величин, зависящих от направления
v
r
. Следовательно,
корень этого уравнения – вектор
A
r
также не зависит от
направления v
r
. Сделанное нами предположение подтвердилось.
Р
Q
N
А
r
Е
r
M
25
Рис.2.3.
Решать уравнение (2.14) лучше всего геометрически
(рис.2.3). Из подобия прямоугольных треугольников MNP и MPQ
находим
[
]
22
1
,
B
BEE
A
β
β
+
+
=
r
r
r
r
, (2.15)
где введено обозначение
*m
q
τ
β
=
. (2.16)
Найдем теперь силу тока в образце. Поскольку формула
(2.9) отличается (II, 5.8) только заменой
E
r
на
A
r
, то очевидно, что
jA
r
r
0
ρ
= . (2.17)
Подставляя (2.17) в (2.14) находим
[
]
jBjE
r
r
r
r
,
0
0
ρβρ
+= . (2.18)
Спроектируем это векторное равенство на направление
j
.
Получим
jE
00
ρ
=
. (2.19)
Таким образом, в нашей модели магнетосопротивление
отсутствует. Для перпендикулярной
j
r
холловской составляющей
E
r
получаем
Bj
H
E
0
β
ρ
=
. (2.20)
Постоянная Холла равна
0
β
ρ
=
H
R , а величина
β
называется холловской подвижностью НЗ.
2.2.
Двухзонная модель. Магнетосопротивление
Для того, чтобы исследовать явление
магнетосопротивления, необходимо усложнить рассмотренную
выше простую модель. Правильнее всего было бы рассмотреть
анизотропный случай, так как не существует полностью
изотропного закона дисперсии ни в одном реальном кристалле.
При этом мы получили бы ненулевое магнетосопротивление, но
26
сложность выкладки многократно возросла бы. Поэтому выберем
другой путь. Рассмотрим вещество, в котором имеются два сорта
носителей заряда, различающихся величиной холловской
подвижности
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≠
21
ββ
. Обозначим через
1
11
−
=
ρσ
и
1
22
−
=
ρσ
вклад каждого сорта НЗ в электропроводность в отсутствие
магнитного поля
)
21
(
σ
σ
σ
+
=
. Для каждого сорта НЗ должно
выполняться уравнение (2.18):
, ],[
1111
1
jBjE
r
r
r
r
ρβρ
+= (2.21)
, ],[
2222
2
jBjE
r
r
r
r
ρβρ
+=
где
1
j
r
и
2
j
r
- плотности тока, созданные соответствующим сортом
НЗ, а полная плотность тока
21
jjj
r
r
r
+= . (2.22)
Используя формулы (2.15) и (2.17), можно найти значения
1
j
r
и
2
j
r
. Подставляя их в (2.22), получаем
[]
BE
BB
E
BB
j
rrr
r
,
22
2
1
22
22
1
1
11
22
2
1
2
22
1
1
1
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
+
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
=
β
βσ
β
βσ
β
σ
β
σ
. (2.23)
В слабом магнитном поле, когда
1<<B
i
β
, можно
пренебречь величинами
22
B
i
β
в знаменателях формулы (2.23) по
сравнению с единицей. Из подобия треугольников (рис.2.3)
находим, что
B
E
H
E
21
2211
σσ
β
σ
β
σ
+
+
≈ . (2.24)
Поскольку в нулевом по
B
i
β
приближении
()
21
σσ
+
≈
j
E
,
то в первом приближении по параметру
B
i
β
jB
H
E
2
)
21
(
2211
σσ
β
σ
β
σ
+
+
≈ , (2.25)
откуда постоянная Холла
27
2
)
21
(
2
2
21
2
1
σσ
σσ
+
+
≈
RR
H
R
, (2.26)
где
1
R
и
2
R
- постоянные Холла для соответствующего сорта НЗ.
Найдем теперь величину магнетосопротивления, не
ограничивая величину магнитного поля. По определению
ρ
()
*
22
2
1
2
22
1
1
1
2
,
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
==
BBj
Ej
β
σ
β
σ
r
r
(2.27)
1-
2
22
2
1
22
22
1
1
11
2
2
22
2
1
2
22
1
1
1
*
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
+
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+ BB
B
BB
β
βσ
β
βσ
β
σ
β
σ
Величина
ρ
∆
, согласно (2.5), равна
∆ρ = ρ
(B) -
1
21
)(
−
+
σσ
. (2.28)
Рассмотрим получившееся громоздкое выражение в двух
предельных случаях. В области слабых магнитных полей
)1( <<B
i
β
можно разложить выражение (2.27) в ряд по
2
B
.
Удерживая первые неисчезающие слагаемые, пропорциональные
2
B
, получаем (выкладку, как упражнение по мат. анализу,
предоставляем читателю):
2
2
)
21
(
22
)
21
(
21
0
B
B
∝
+
−
=
∆
σσ
ββσσ
ρ
ρ
. (2.29)
Таким образом, в области слабых магнитных полей
величина магнетосопротивления пропорциональна
2
B
.
В области сильных полей
)1( >>B
i
β
необходимо в (2.27),
(2.28) наоборот, пренебречь слагаемыми, содержащими меньшую
степень В. В результате, имеем
2
)
2211
(
2
)
21
(
21
0
βσβσ
ββσσ
ρ
ρ
+
−
=
∆
. (2.30)
28
Следовательно, в области больших магнитных полей
величина магнетосопротивления выходит на постоянное
значение. Общий вид зависимости
o
ρ
ρ
∆
(В) приведен на рис.2.4.
0
ρ
ρ∆
В
В
2
Рис.2.4. Зависимость магнетосопротивления от индукции
приложенного магнитного поля
29
3. Оптика полупроводников
3.1. Механизмы поглощения
Рассмотрим сначала возможность двухчастичного процесса,
в котором квант света - фотон поглощается электроном. Такой
процесс невозможен в случае свободных электронов (или любых
других свободных заряженных частиц), так как он противоречит
законам сохранения энергии и импульса. Действительно, пусть в
процессе выполняется закон сохранения энергии, и энергия
электрона
возросла в результате поглощения на энергию фотона.
При этом его импульс должен возрасти на величину
v
ω
h
, где v-
характерная скорость электрона. Но фотон обладая импульсом
c
ω
h
, где c -скорость света. Поскольку v<<c (для энергии
атомного масштаба скорость электрона
cv
2
10
~
−
), то закон
сохранения импульса удовлетворить невозможно
Основываясь на таком простом рассмотрении, можно
сформулировать условие, при котором возможен двухчастичный
процесс поглощения (и обратный ему процесс испускания):
начальное заполненное и конечно пустое состояния электрона
должны соответствовать практически одному и тому же
значению волнового вектора (импульса), то есть принадлежать
разным электронным зонам. Такие
переходы называют прямыми
или вертикальными.
Рассмотрим, что же будет происходить при облучении
бездефектного полупроводника с температурой
g
ET <<
электромагнитной волной с частотой
ω
(потоком фотонов). Если
энергия кванта
g
E<
ω
h
, то поглощение отсутствует. Значение
h
g
E
c
=
ω
является в случае полупроводника с прямой щелью
красной границей внутреннего фотоэффекта и называется краем
собственного поглощения. При
ω
ω
=
с
электрон может перейти
из состояния, лежащего вблизи максимума валентной зоны, в
состояние, расположенное вблизи минимума зоны проводимости.