Морозов А.И. Физика твердого тела. Учебное пособие
Подождите немного. Документ загружается.
10
преобладают примесные носители (примесный полупроводник).
С ростом температуры могут начать преобладать собственные
носители заряда. Полупроводник из примесного может стать
собственным. Характерная температура перехода зависит от
концентрации доноров (акцепторов), положения примесного
уровня и ширины запрещенной зоны. Она может оказаться
больше комнатной (и даже температуры плавления
полупроводника). Нас интересует, какой тип носителей
преобладает
в рабочем диапазоне температур. Если преобладает
примесные носители заряда электронного типа, то
полупроводник называют полупроводником n-типа, а если
примесные носители дырочного типа - то полупроводником р –
типа
Условие электронейтральности в присутствии доноров и
(или) акцепторов имеет следующий вид:
ион
a
N
ион
d
Nn
e
n
−=−
h
, (1.13)
где
ион
d
N
и
ион
a
N
- концентрации ионизованных (заряженных)
доноров и акцепторов, соответственно.
Найдем концентрацию носителей заряда в полупроводнике
n-типа. Пренебрегая собственными носителями заряда, можно
положить
0=
h
n
(
h
n
e
n
>>
). Тогда условие электронейтральности
примет вид
ион
d
N
e
n =
. (1.14)
Вероятность того, что донор окажется ионизованным в
равновесном состоянии, то есть вероятность того, что донорный
уровень не заселен, равна
)(
0
1
d
F
ε
−
. Пусть концентрация
доноров равна
d
N
.Тогда концентрация ионизованных доноров
))(
0
1(
d
F
d
N
d
N
ε
−
=
. (1.15)
Подставив (1.7) и (1.15) в условия электронейтральности (1.14),
получаем
11
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
T
g
E
T
e
m
T
d
d
N
µ
π
εµ
exp
2
3
2
2
*
2
1
exp1
h
. (1.16)
Полагая, что
T
d
>>−
ε
µ
, путем логарифмирования
находим из (1.16) значение химпотенциала
d
N
e
N
T
g
E
d
ln
22
−
+
=
ε
µ
, (1.17)
где введено обозначение
2
3
2
2
*
2
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
h
π
T
e
m
e
N
. (1.18)
При Т=0 уровень Ферми расположен посередине между
донорным уровнем и дном зоны проводимости (рис.1.2а), а с
ростом температуры он сдвигается вниз к середине запрещенной
зоны. Подставляя значение
µ
в (1.7), находим концентрацию
примесных носителей в полупроводнике n-типа
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
T
g
E
d
e
N
d
N
e
n
2
exp
2
1
ε
. (1.19)
В случае полупроводника р-типа концентрация
ионизованных акцепторов в равновесии равна
(
)
a
F
a
N
ион
a
N
ε
0
= , (1.20)
где
a
N
- концентрация акцепторов Условие
электронейтральности имеет вид
h
n
ион
a
N
= , (1.21)
откуда
a
N
h
N
T
a
ln
22
+=
ε
µ
, (1.22)
где
12
2
3
2
2
*
2
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
h
π
T
h
m
h
N
. (1.23)
Таким образом, при Т=0 уровень Ферми расположен
посередине между акцепторным уровнем и потолком валентной
зоны (рис.1.2б), а с ростом температуры он сдвигается вверх к
середине запрещенной зоны.
Концентрация примесных носителей заряда в
полупроводнике р-типа равна
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
T
a
a
N
h
N
h
n
2
exp
2
1
ε
. (1.24)
Рассмотрим качественно еще несколько вариантов. Что
будет, если донорный уровень расположен выше дна зоны
проводимости? В этом случае уже при Т=0 доноры ионизуются, а
электроны переходят в зону проводимости, образуя частично
заполненную зону с соответствующей поверхностью Ферми.
Такой полупроводник называется вырожденным
полупроводником n-типа. Аналогичная ситуация возникает в
полупроводнике р
-типа, когда акцепторный уровень расположен
ниже потолка валентной зоны. Тогда часть электронов,
обладающих при Т=0 наибольшей энергией, переходит на
акцепторный уровень, валентная зона оказывается частично
заполненной, и в ней возникает дырочная поверхность Ферми.
Если же ввести в полупроводник и доноры, и акцепторы,
причем
ad
ε
ε
>
, то уже при Т=0 электронам с доноров выгодно
перейти на акцепторы. При этом они понижают свою энергию.
Если
a
N
d
N
>
, то окажутся ионизованными все акцепторы и
часть доноров
)(
a
N
ион
a
N
ион
d
N
== . В противном случае
)(
a
N
d
N
<
ионизованы все доноры и часть акцепторов:
a
N
ион
a
N
ион
d
N
== . В результате в полупроводнике возникает
большое число заряженных примесей - ионизованных доноров и
акцепторов. Такой процесс называется компенсацией, а
13
полупроводник - компенсированным. В области компенсации
концентрация носителей ниже, чем в n и р пространственных
областях.
1.4.
Подвижность носителей
Электропроводность вещества пропорциональна числу
носителей заряда, поэтому наблюдаемая в эксперименте
температурная зависимость электропроводности полупроводника
обусловлена, в основном, экспоненциальной зависимостью числа
носителей заряда, рассмотренной в предшествующем разделе.
Для описания процесса перемещения отдельного носителя
заряда в электрическом поле вводят характеристику, называемую
подвижностью. Она определяется как коэффициент
пропорциональности между величиной
скорости направленного
движения носителей заряда
v
r
и величиной напряженности
электрического поля
E
r
(в изотропном случае направление
скорости параллельно или антипаралельно направлению поля в
зависимости от знака носителя):
Ev
γ
=
r
. (1.25)
Используя соотношение
vnqj
r
r
= , где j
r
- плотность
электрического тока,
n - концентрация носителей, а q – заряд
носителя, получаем соотношение между электропроводностью и
подвижностью:
γ
σ
qn
=
. (1.26)
В случае наличия нескольких сортов носителей заряда их
вклады в электропроводность складываются.
По порядку величины подвижность носителя заряда можно
оценить как
*
/ mq
τγ
= , (1.27)
где
*
m
- эффективная масса носителя а
τ
- время его свободного
пробега (время релаксации по импульсу).
Так как в полупроводнике число носителей заряда невелико то
столкновения между ними маловероятны (в отличие от
14
металлов). Поэтому основную роль в процессах релаксации
носителей заряда играет их взаимодействие с примесями (область
низких температур) или с фононами (область высоких
температур). Оба этих вклада в сопротивление аддитивны как и в
случае металлов.
Поскольку взаимодействие электронных возбуждений с
фононами и примесями было подробно изучено в II (§5.3-5.6), то
мы рассмотрим только
отличия от полученных выражений,
возникающие в рассматриваемом случае.
1.5.
Рассеяние носителей заряда на фононах
В случае невырожденного полупроводника кинетическая
энергия равновесных носителей заряда составляет величину
порядка Т. Согласно формуле (1.2) характерное значение
B
k
ат
E
T
B
kTmkk
<<− ~/*~
*
h
rr
(где
B
k - волновой вектор
на границе зоны Бриллюэна, а
ат
E
- энергия атомного масштаба)
для всех значений Т, при которых кристалл еще существует.
Характерный волновой вектор фононов при Т>>
D
θ
порядка
B
k , а
при Т<<
D
θ
, когда в равновесии невымерзшими остаются только
акустические фононы, характерный тепловой фонон имеет
волновой вектор
D
Т
B
k
T
k
θ
~
.
Оценим температуру
*
Т
, при которой характерные
волновые вектора фононов и носителей заряда сравниваются
ат
E
T
B
k
*
D
Т
B
k
θ
*
~
,
откуда
К
ат
Е
D
Т 1~
2
~
*
θ
. (1.28)
15
Таким образом, при Т>>
*
Т
характерный волновой вектор
фонона превосходит таковой у НЗ.
Рассмотрим ситуацию, когда в зоне Бриллюэна имеется
несколько (6 - в кремнии и 8 – в германии) эквивалентных
минимумов зоны проводимости - так называемых долин. В этом
случае при
D
Т
θ
≥
возможны процессы поглощения или
испускания фонона носителем заряда, при которых последний
переходит от одной долины в другую - междолинные переходы.
При таких переходах процессы переброса происходят так же
часто, как и нормальные процессы, и выражение для обратного
времени рассеяния электрона на фононе
1
,
−
phе
τ
дается формулой
II (5.49), где интегрирование по
'
k
r
нужно проводить по всей зоне
Бриллюэна. Поскольку энергия носителя заряда, отсчитанная от
дна зоны проводимости порядка Т и намного превосходит
энергию фонона (
(
)
D
k
p
θω
~
r
h ), то можно пренебречь энергией
фонона в аргументе δ-функции в этом выражении. Тогда наличие
)]()'([ kk
r
r
ξξδ
− приведет к тому, что интегрирование по '
k
r
будет
происходить по изоэнергетической поверхности с энергией
)(k
r
ξ
.
В случае металла эта поверхность была близка к
поверхности Ферми, и интегрирование по ней давало плотность
состояний
)(
F
ε
ν
. В нашем случае это интегрирование дает
значение
))(( k
r
ξ
ν
.
Остальные величины, входящие в выражение II (5.49), не
претерпят существенного изменения. Поэтому можно
использовать для оценки величины
1
,
−
phе
τ
выражение II (5.51),
помножив его на отношение
)())((
F
k
ενξ
ν
r
. Поскольку
характерная энергия НЗ порядка Т, а
(
)
εε
ν
∝ (смотри формулу
II (1.6)), то
2/1
2/3
~~
1
,
am
E
T
F
TT
phe
h
h
ε
τ
−
. (1.29)
16
Следовательно, при Т>>
D
θ
, когда рассеяние на фононах
играет определяющую роль, подвижность НЗ
2/3
−
∝T
γ
. (1.30)
При низкой температуре (Т<<
D
θ
) междолинные процессы
“вымерзают”, поскольку вероятность найти фонон с волновым
вектором
k
r
, соединяющим “долины” в зоне Бриллюэна,
величина которого порядка
B
k , экспоненциально мала. Это ведет
к экспоненциальному росту времени свободного пробега НЗ
между двумя процессами переброса
U
phе
,
τ
, и основную роль в
процессах рассеяния НЗ начинает играть примесное рассеяние.
1.6.
Рассеяние носителей заряда на заряженных дефектах
Поскольку мы рассматриваем невырожденный
полупроводник, рассеяние носителя заряда на заряженном
точечном дефекте можно описать в рамках классической теории
рассеяния. Согласно этой теории, обратная транспортная длина
свободного пробега НЗ
1
,
−
impe
l
равна
()
(
)
∫
ΘΘ
Θ
Θ−=
−
π
σ
π
0
sincos1 2
1
,
d
do
d
imp
n
impe
l
, (1.31)
где
imp
n
- концентрация заряженных дефектов,
Θ
-угол
рассеяния, то есть угол между направлениями движения частицы
до и после взаимодействия с дефектом (на очень большом
расстоянии от дефекта). Дифференциальное сечение рассеяния
)(Θ
σ
d есть отношение числа частиц, рассеянных в единицу
времени в телесный угол do к числу частиц, проходящих в
единицу времени через единицу площади поперечного сечения
подающего пучка (рис.1.3).
Потенциал взаимодействия НЗ с дефектом, заряд которого
равен Ze, имеет вид (сравни с II, (4.12))
17
r
D
e
r
Ze
rU
κ
επε
−
=
0
4
2
)(
, (1.32)
где
ε
-диэлектрическая проницаемость кристаллической решетки
полупроводника, а
D
κ
-обратный радиус экранирования Дебая,
обусловленный наличием НЗ.
ρ
θ
Рис.1.3.
Для нахождения величины
do
d
σ
необходимо решить задачу о
движении частицы с заданной вдали от дефекта кинетической
энергией и с заданным прицельным расстоянием
ρ
(рис.1.3) в
центральном поле дефекта.
Приведем ответ, а за подробностями отсылаем читателя к
курсу механики
1
:
2
22
2
2
0
2
2
*
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
D
q
Zem
do
d
κ
επε
σ
h
, (1.33)
где
2
sin
0
2
Θ
= kq
, а
0
k
r
- волновой вектор падающей частицы.
При
0=
D
κ
(отсутствие экранирования НЗ) из (1.33) получаем
известную формулу Резерфорда.
1
Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика. Тои 1. Механика. – М.
18
Поскольку
v
tr
l
tr
=
τ
, где v-скорость частицы, то после
замены переменных из (1.31) получаем для электрона с энергией
ξ
(отсчитанной от дна зоны проводимости)
()
∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
1
0
2
2
0
4/
22
3
2
2
0
2
0
2
2
*
,
1
k
D
z
dzz
k
Zem
imp
vn
tr
impe
κ
επε
π
ξτ
h
, (1.34)
где
2
sin
Θ
=z
. Легко видеть, что при
0
=
D
κ
интеграл расходится
на нижнем пределе, что связано с дальнодействием
неэкранированного кулоновского взаимодействия, то есть
заряженные примеси в отсутствие экранирования приводили бы к
очень сильному рассеянию (даже при низкой их концентрации).
Считая что
0
k
D
<<
κ
, получаем в главном по параметру
D
k
κ
0
приближении
2
:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
22
*8
ln
2
0
4
2
)(
,
1
D
mZe
imp
vn
tr
impe
κ
ξ
εξπε
π
ξτ
h
, (1.35)
Поскольку
ξ
∝v , то
2/3
)(
,
ξξτ
∝
tr
impe
, (1.36)
и для тепловых носителей с ξ~T
2
3
,
T
tr
impe
∝∝
τγ
, (1.37)
слабой логарифмической зависимостью от ξ мы пренебрегаем.
Общий вид температурной зависимости подвижности НЗ
приведен на рис.1.4.
2
Точное взятие интеграла предоставляем читателю в качестве
упражнения.
19
Температуру
0
T , при которой происходит переход от
зависимости
2/3
T∝
γ
к зависимости
2/3
−
∝ T
γ
, можно
оценить, приравнивая выражения (1.29) и (1.35) и предполагая,
что
D
T
θ
≥
0
:
3/1
~
0
x
ат
ET
, (1.38)
где
x - безразмерная концентрация примесей, то есть число
примесей на один атом матрицы кристалла.
Т
γ
Т
-3
/
2
Т
3
/
2
T
0
Рис.1.4.