Могилев А.В., Пак Н.И., Хённер Е.К. Информатика
Подождите немного. Документ загружается.
(q - смертность). Скорость рождения новых особей в данной модели полагается зависящей от двух
обстоятельств: скорости потребления пищи a'∙C∙N, и эффективности f, с которой эта пища
переходит в потомство хищника. Итак, для численности хищника окончательно получаем
Так как процессы надо рассматривать вместе, объединим уравнения в систему:
(7.68)
Как и в предыдущем пункте, свойства этой модели можно исследовать, построив изоклины.
Для жертвы имеем
или, выражая С, получаем
Соответствующее уравнение изоклины для популяции хищника
Если поместить обе изоклины на одном рисунке, получим картину взаимодействия
популяций (рис. 7.46).
Как видно на рис. 7.47, численности популяций хищника и жертвы совершают
периодические колебания: при увеличении численности хищников уменьшается
Рис. 7.46. Динамика численности популяции хищника и жертвы. Численность обеих популяций
совершает периодические колебания
численность популяции жертвы и наоборот. Такие колебания численности будут продолжаться в
соответствии с моделью до тех пор, пока какое-либо внешнее воздействие не изменит численность
популяций, после чего произойдет переход в новое устойчивое состояние (такая ситуация
называется «нейтральные устойчивые циклы»).
Рис. 7.47. Динамика численности популяции хищника и жертвы при r = 5, а' = 0,1, q = 2, f = 0,6,
651
N
0
= 150, C
0
= 50. Сплошная линия - численность жертвы, штриховая – хищника
4.5. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПОПУЛЯЦИЙ
Выше мы обсудили несколько классических математических моделей в экологии. Известно
и немало других, которые можно найти в книгах и в статьях научно-популярных журналов.
Использование математических моделей, основанных на дифференциальных уравнениях
или их дискретных аналогах, далеко не единственный путь в компьютерном моделировании
динамики популяций. Другую интересную группу составляют чисто стохастические модели или
динамические модели с элементами стохастичности. Опишем две возможные модели такого
класса: одну - без подробностей, которые рекомендуем продумать самостоятельно, другую - во
всех деталях, включая реализующую ее программу.
Первая модель. Две популяции находятся в соотношении «хищник - жертва», описанном
выше, но модель совершенно иная. На некотором клетчатом поле (которое наглядно - все или по
частям - изображается на дисплее) находятся волки (несколько) и зайцы (много). Зайцы
совершают беспорядочные перемещения, длины и направления которых - случайные величины,
подчиняющиеся некоторому закону распределения вероятностей, а каждый волк в каждое
мгновение ориентируется на ближайшего зайца и может совершать ограниченные прыжки. Если
волк в течение некоторого, заранее определенного, промежутка времени остается без добычи (т.е.
не попадает в клетку, где находится заяц), то он погибает. Зайцы и волки через определенные
моменты размножаются, например, каждый второй заяц приносит двух потомков, каждый второй
волк приносит одного потомка, причем скорость размножения волков в два раза ниже, чем зайцев.
Все это может красочно изображаться на экране, состояние которого меняется через
фиксированные моменты времени.
Это - чисто имитационное моделирование, конечной целью которого является, как и в
описанных моделях, установление судьбы популяций в зависимости от многих факторов,
входящих в модель. Здесь нет дифференциальных уравнений, но зато в полной мере проявляется
стохастика, моделирование случайных процессов. Реализация такой модели требует большого
программистского искусства, способствует формированию вероятностных представлений.
Возможны и пограничные - динамико-стохастические модели. Например, в уравнениях
Лотки - Вольтерры один из параметров - случайная величина с известным законом распределения.
Самостоятельные размышления над такими задачами, даже лишь над их постановкой, очень
полезны.
Вторая модель, которую опишем во всех деталях, предложена Д.Конвейем -имитационная
модель роста, распада и различных изменений в популяции живых организмов, известная под
названием «Жизнь».
Рис. 7.48. К имитационной модели «Жизнь»
Для построения алгоритма игры рассмотрим квадратное поле из n+1 столбцов и строк с
обычной нумерацией от 0 до n, рис. 7.48. Крайние граничные столбцы и строки для удобства
определим как «мертвую зону», они играют лишь вспомогательную роль.
Для любой внутренней клетки поля с координатами (i, j) можто определить 8 соседей. Если
клетка «живая», ее закрашиваем, если клетка «мертвая», она пустая.
Зададим правила игры. Если клетка (i, j) «живая» и в окружении более трех «живых»
клеток, она погибает (от перенаселения). «Живая» клетка также погибает, если в окружении менее
двух «живых» клеток (от одиночества). «Мертвая» клетка оживает, если вокруг нее имеются три
«живые» клетки. Для удобства введем двумерный массив А[0..п, 0..п], элементы которого
652
принимают значение 0, если соответствующая клетка пустая, и 1, если клетка «живая». Тогда
алгоритм определения состояния клетки с координатой (i,j) можно определить следующим
образом:
S := A[I-1, J-1] + A[I-1, J] + A[I-1, J+1] + A[I+1, J-1]
+ А[I+1, J] + A[I+1, J+l] + A[I, J+l] + А[1, J-1];
If (A[I, J] = 1) And ((S > 3) Or (S < 2); Then B(I, J] := 0;
If (A[I, J] = 0) And (S = 3) Then B[I, J] := 1;
Здесь массив В [0..п, 0..п] определяет координаты поля на следующем этапе. Для всех
внутренних клеток от i = 1 до n - 1 и j = 1 до n - 1 справедливо сказанное выше. Отметим, что
последующие поколения определяются аналогично, лишь стоит осуществить процедуру
переприсваивания
For I := 1 То N-l DO For J := 1 To N-l Do A[I, J] := B[I, J] ;
На экране дисплея удобнее выводить состояние поля не в матричном, а в графическом виде.
Читатель без труда это может осуществить. Осталось лишь определить процедуру задания
начальной конфигурации игрового поля. При случайном определении начального состояния
клеток подходит алгоритм
For I := 1 То К Do
Begin Kl := Random(N-l); K2 := Random(N-l)+1; A[K1, K2] := 1 End;
Интереснее случай, когда начальную конфигурацию мы задаем сами, и удобнее для
пользователя делать это непосредственно в графическом виде. Полный текст подобной программы
приведен ниже.
Программа 150. «Жизнь».
Program PlayLife;
Uses Crt, Graph; Const R = 41;
Var P ; 0..1; А, В : Array[0..R, 0..R] Of 0..1;
I, J, N, Kl, K2, Ss, X, Y, Gm, Gd : Integer; С : Char;
Begin DetectGraph(I, J); InitGraph(I, J, ");
{ -- заставка -- )
For I := 0 To 5 Do
Begin
SetFillStyle (1, I+2); Bar(180+1*10, 100+1*10, 430-1*10, 270-1*10);
End;
OutTextXY(260, 180, 'ИГРА "ЖИЗНЬ"'); Repeat Until KeyPressed;
{ - начальная конфигурация - }
RestoreCrtMode ;
For I := 0 To R Do
For J := 0 To R Do
Begin A[I, J] := 0; В[I, J] := 0 End;
CIrScr;
Write('Начальное поселение будете задавать случайно или вводить (0/1)?');
ReadLn(P);
If P = 0 Then Begin
Write('Введите начальное количество поселений 2 < n < 200: ');
ReadLn(N); Gm := VgaHi; SetGraphMode(Gm) ;
For I := 1 To N Do
Begin
Kl := Random(R - 1) + 1; K2 := Random(R - 1) + 1;
A{K1, K2] := 1; B[K1, K2] := 1;
End;
SetLineStyle(0, 0, 1); SetColor(4);
653
For I := 0 To R - 1 Do
Begin
Line(10 + I * 10, 10, 10 + I * 10, R * 10);
Line(10, 10 + I * 10, R * 10, 10 + I * 10);
End;
For I := 1 To R - 1 Do
For J := 1 To R - 1 Do
If A[I, J] = 1 Then
FloodFill(5 + I * 10, 5 + J * 10, 4);
Repeat Until KeyPressed;
End
Else
Begin
Gm := VgaHi; SetGraphMode(Gm); SetLineStyle(0, 0, 1); SetColor(4);
For I := 0 To R - 1 Do
Begin
Line(10 + I * 10, 10, 10 + I * 10, R * 10);
Line(10, 10 + I * 10, R * 10, 10 + I * 10);
End;
X := 15; Y := 15;
Repeat
С := ReadKey; If С = #0 Then С := ReadKey;
Case C Of
#72 : Begin
SetColor(O); Circle(X, Y, 2); Y := Y - 10; SetColor(15);
Circle(X, Y, 2)
End;
#80 : Begin
SetColor(O); Circle(X, Y, 2); Y := У + 10; SecColor(15);
Circle(X, Y, 2)
End;
#75 : Begin
SetColor(O); Circle(X, Y, 2); X := X - 10; SetColor(15);
Circle(X, Y, 2)
End;
#77 : Begin
SetColor(0); Circle(X, Y, 2); X ^ X + 10; SetColor(15) ;
Circle(X, Y, 2)
End;
#13 : Begin
FloodFill(X, Y, 4); A[(X-5) Div 10, (Y-5) Div 10] := 1;
B[(X - 5) Div 10, (Y - 5) Div 10] := 1
End;
#32 : Begin
SetFillStyled, 0); Bar(X - 4, Y - 4, X + 4, Y + 4);
A[(X - 5) Div 10, (Y - 5) Div 10] := 0:
B[(X - 5) Div 10, (Y - 5) Div 10] := 0;
SetFillStyle(1, 15);
End;
End {case};
Until С = #27;
SetColor(0); Circle(X, Y, 2) ;
End;
SetColor(15); Repeat Until Key Pressed;
OutTextXY(GetMaxX - 400, GetMaxY - 5, 'для продолжения –любая клавиша, выход
- s');
{- начало игры -- }
654
Repeat
For I := 1 То R - 1 Do
For J := 1 To R - 1 Do
Begin
Ss : = A[I - 1, J - 1] + A[I - 1, J] + A[I - 1, J + 1];
Ss := Ss + A(I + 1, J - 1] + A[I + 1, J] + A[I +1, J + 1] ;
Ss := Ss + A[I. J + 1] + A[I, J - 1];
If (A[I, J] = 1) And (Ss > 3) Then
Begin
SetFillStyled, 0); Bar(l + I * 10, 1 + J * 10, 9 + I * 10, 9
+ J * 10);
B(I, J] := 0; SetFillStyled, 15)
End;
If (A[I, J] == 1) And (Ss < 2) Then
Begin
SetFillStyled, 0); Bar(l + I * 10, 1 + J * 10, 9 + I * 10, 9
+ J * 10);
B[I, J] := 0; SetFillStyled, 15)
End;
If (A[I, J] = 0) And (Ss = 3) Then
Begin
FloodFill(5 + I * 10, 5 + J * 10, 4); B[I, J] := 1
End; Delay(20)
End;
For I := 1 To R - 1 Do
For J := 1 To R - 1 Do A[I, J] ••= B[I, J] ;
С := ReadKey
Until С = 's'; CloseGraph
End.
Теперь приступим к моделированию. Поставим несколько вопросов: какие конфигурации
исчезают с течением времени и как быстро? какие структуры могут существовать бесконечно?
каковы законы организации структур, их взаимодействия? Перед попыткой ответить на эти
вопросы читателю будет полезно поэкспериментировать самому. Предварительно отметим лишь
некоторые структуры (рис. 7.49-7.50).
Рис. 7.49. Стационарные структуры, не зависящие от времени
Существуют структуры, которые повторяют себя через 1, 2, ...,п временных шагов, их
называют циклами «-n» (см. рис. 7.50).
Рис. 7.50. Циклы «-2»
Но наиболее интересны движущиеся структуры - «планеры», «корабли», «паровозы», их
столкновения, «аннигиляции» и зарождение новых структур.
Представляет интерес модель игры в одномерном случае. Здесь имеется один ряд клеток. В
некоторых нз них задаем «жизнь». Требуется изучить эволюцию клеток, если заданы правила их
существования и зарождения.
Определим сумму значений пяти соседних клеток (самой клетки и двух ближайших к ней
слева и справа). На следующем шаге в зависимости от суммы, которая может быть равна 0,1, 2,
655
3,4, 5, клеткам присваивается значение 0,1,0,0,0,0 или 0, 1,1, 1,0,0.
Пусть X(N) - массив клеток. X(i) = 0, если i-я клетка пустая, и X(i) = 1, если в ('-и клетке
имеется «жизнь».
Если Y(N) - массив клеток на следующем временном шаге, то он заполняется, например, по
следующему правилу - если S = 1, то Y(i) = 1, иначе Y(i) = 0.
Программа 7.6. «Жизнь на полоске».
Program Lifel;
Uses Crt, Graph; Const N = 60;
Var J, К : Integer; X, Y : Array(O..N] Of 0..1; I, S, Yg : Integer;
P : Real; С : Chart;
Begin
For I := 0 To N Do Begin X[I] := 0; Y[I] := 0 End;
(начальное поселение)
X[N Div 2] := 1; DetectGraph(J, К); InitGraph(J, К, "); Yg := 20;
For I := 0 To N Do If X(I] = 1 Then Circled * 10 + 10, Yg, 2);
Repeat С := ReadKey; Yg := Yg + 10;
For I := 2 To N - 2 Do
Begin
S ;= X[I - 2] + X[I - 1] + X[I] + X[I + 1] + X[I + 2];
If S In [1..3] Then Y[I1 := 1
End;
For I := 0 To N Do
Begin
If Y[I] = 1 Then Circle(I * 10 + 10, Yg, 2); X[I] := Y[I];
Y[I] := 0
End
Until С = #27; CloseGraph;
End.
Контрольные вопросы и задания
1. В чем отличие классической экологии от современной?
2. Какие проблемы рассматриваются в классической экологии?
3. Какие виды взаимодействия организмов принято рассматривать в классической
экологии?
4. Какие цели преследуются при составлении математических моделей в экологии?
5. В чем выражается специфика биологических систем в отличие от рассмотренных ранее
физических и механических систем?
6. Что понимают под конкуренцией в биологии? внутривидовой конкуренцией?
межвидовой конкуренцией? Каковы источники конкуренции, и как конкуренция учитывается в
приведенных моделях?
7. Какие результаты могут быть получены с помощью простейшей модели роста
численности популяции с дискретным размножением? Как изменятся эти результаты, если учесть
интенсивность конкуренции?
8. Как построить фазовую диаграмму динамики численности популяции с дискретным
размножением?
9. Составьте программу, позволяющую получить все четыре способа изменения
численности популяции в модели (7.63).
10. Составьте программу, помогающую построить фазовую диаграмму в модели (7.63).
11. Как выводится логистическое уравнение? Каково аналитическое решение этого
уравнения? Как в нем учитывается внутривидовая конкуренция?
12. По какому принципу записывается модель межвидовой конкуренции?
13. Какие результаты могут быть получены с помощью модели межвидовой конкуренции?
14. Какие факторы необходимо учесть при разработке модели системы «хищник -жертва»?
656
15. Какие результаты могут быть получены с помощью модели «хищник-жертва»?
16. Является ли использование стохастических моделей в исследовании эволюции
популяций отражением закономерностей реального мира? В какой мере случайность проявляется
в биологических процессах?
17. Получите самостоятельно все результаты, которые приведены в примерах динамики
численности популяций с непрерывным размножением и в системе «хищник-жертва», разработав
компьютерные программы.
18. Разработайте модель межвидовой конкуренции для трех популяций. Исследуйте ее с
помощью компьютерного моделирования.
19. Предусмотрите в модели «хищник-жертва» случайные внешние воздействия,
приводящие к изменению численности популяций.
20. Имеется популяция с непрерывным размножением. В течение некоторого времени через
равные промежутки часть особей изымается из популяции (собирается «урожай»). При последнем
сборе все особи изымаются. Составьте такой план сбора урожая, чтобы суммарный урожай был
максимальным. После очередного сбора популяция не должна вымирать. Разработайте
соответствующую моделирующую программу.
§5. ГЛОБАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ РАЗВИТИЯ ЧЕЛОВЕЧЕСТВА
«Для человеческого ума недоступна совокупность причин
явлений. Но потребность отыскивать причины вложена в душу
человека. И человеческий ум, не вникнувши в бесчисленность и
сложность условий явлений, из которых каждое отдельно может
представляться причиною, хватается за первое, самое понятное
сближение и говорит: вот причина».
Л. Н. Толстой. Война и мир, т.4, ч,2.
Рассмотренные выше модели представляли собой математические образы отдельных
процессов и явлений. Каждая из них интересна по-своему, важна для конкретной науки или вида
деятельности. Но все это по своей общечеловеческой важности уступает самому значимому для
нас всех вопросу: каково ближайшее будущее человечества как вида в целом? Как будет
развиваться мир в обозримом будущем?
Подчеркнем, что речь идет не о политических или экономических прогнозах для какой-то
конкретной страны или общества - такие прогнозы, во-первых, в стабильных ситуациях
тривиальны, а в нестабильных - мало что значат, а во-вторых, представляют собой интерес, в
основном, для жителей этой страны или территории. Речь идет именно о человечестве в целом -
какое у него (у нас всех, живущих на Земле) будущее?
Люди в текущей жизни имеют много конкретных проблем и мало склонны к таким общим
размышлениям. Жизнь отдельного человека слишком коротка, и еще век-другой назад глобальные
изменения в мире на протяжении жизни одного человека были не очень заметны - даже если он
жил в достаточно бурную эпоху. Но в XX веке темпы событий ускорились так, как этого никогда
не было в истории человечества, и мы стали все чаще слышать предсказания грядущих
глобальных катастроф - гибель природы из-за промышленных загрязнений, невесть откуда
взявшиеся «озоновые дыры» в защищающей нас от космических излучений стратосфере,
истощение средств воспроизведения кислорода из-за массовой вырубки лесов и т.д. Хотя часть
этих страхов нагнетается шарлатанами или заинтересованными в запугивании людей деятелями
без каких-либо серьезных обоснований, это не означает отсутствия проблемы - наоборот, она
более чем реальна. Даже не столь катастрофические события - например, истощение природных
ископаемых - может привести к совершенно радикальным переменам в образе жизни
человечества, и при этом, в первую очередь, в странах, которые сегодня являются наиболее
промышленно развитыми.
Будущее человечества определяется столь огромным количеством процессов, частично им
контролируемых, частично нет, и эти процессы столь взаимосвязаны и имеют столь
противоречивые последствия, что лишь математическое моделирование их во всей разумной
совокупности, реализуемое на современных компьютерах, может дать качественно верный
прогноз. При этом замечательно высказанная великим русским писателем мысль, вынесенная в
657
эпиграф, никогда не должна забываться. Как бы велико ни было неизбежное огрубление
реальности при таком моделировании, остаются столько обобщенных факторов «первого ранга»,
что проследить их неизбежную интерференцию не под силу даже самому могучему уму.
Такие модели, получившие название глобальных (всеохватывающих), начали возникать в
70-х годах нашего века. Наиболее известны модели МИР-1, МИР-2, МИР-3, сформулированные и
изученные группой сотрудников Массачусетского технологического института (США) под
руководством Д.Х.Медоуз и Д.Форрестера. Работы были начаты по поручению «Римского клуба»
- международной неправительственной группы выдающихся государственных деятелей, ученых,
бизнесменов. Результаты в свое время произвели в западном мире сенсацию, ибо большинство
сценариев возможного развития событий вели к результатам, которые можно назвать концом
света (разумеется, с точки зрения человечества). Вместе с тем авторы не раз подчеркивали, что
речь идет не о заведомо предопределенном будущем, а о выборе путей развития человечества,
среди которых есть и ведущие к стабильности.
Что является причиной возможной нестабильности? - Характерной чертой жизни
человечества в эпоху после начала промышленной революции стал быстрый -часто
экспоненциально быстрый - рост многих показателей. Период удвоения численности населения
Земли составляет примерно 40 лет (наличие такого постоянного периода - характерная черта
экспоненциального роста). Биологи и экологи хорошо знают, что экспоненциальное наращивание
численности популяции чаще всего кончается катастрофой - истощаются источники,
поддерживающие ее существование. С точки зрения существования вида это не трагедия (кроме
уникальных случаев, когда данный вид весь сводится к одной популяции). Однако, в наше время
человечество израсходовало почти все ресурсы для экстенсивного роста и распространения
«вширь». Объем промышленного производства в XX веке также растет практически
экспоненциально с годовым темпом прироста в среднем 3,3%. Это приводит к истощению
природных ресурсов - полезных ископаемых, чистой воды, чистого воздуха. Содержание в
атмосфере одного из устойчивых соединений углерода (диоксида) в результате сжигания
органического топлива и истощения лесов возросло с начала века на треть; потенциально это
ведет к глобальному потеплению на Земле с самыми катастрофическими последствиями. Чем
больше людей, тем больше необходимо продуктов питания, и мировой объем вносимых
минеральных удобрений растет экспоненциально с периодом удвоения около 15 лет. Ясно и без
всякого моделирования, что подобная жизнь с безудержным ростом всего и вся не может длиться
долго — а ныне «долго» сопоставимо со сроком жизни двух-трех поколений.
В то же время для глобальных процессов характерно то, что каждый отдельно взятый
процесс нельзя однозначно назвать «хорошим» или «плохим» с точки зрения влияния на судьбу
человечества. Увеличение производства удобрений ведет к увеличению производства продуктов
питания - «хорошо», но оно же ведет к уменьшению запасов чистой пресной воды, которую
портят удобрения, попадающие через почву с дождями в реки и подземные источники, ведет к
необходимости увеличения производства энергии для добычи удобрений и связанному с этим
химическому и тепловому загрязнения почвы и атмосферы и т.д. - «плохо». Взвесить последствия
всего этого на развитие человечества можно лишь при комплексном учете всех факторов разом.
В чем же заключаются возможности избежать катастрофических последствий для развития
человечества? Были сформулированы следующие три правила, соблюдение которых необходимо
для глобальной устойчивости (прийти к ней необходимо после прекращения нынешних процессов
неконтролируемою роста).
1.Для возобновимых ресурсов (лес, вода, рыба и т.д.) темпы потребления не должны
превышать темпов естественного восстановления.
2. Для невозобновимых ресурсов (уголь, нефть, руды и т.д.) темпы потребления не должны
превышать темпов их замены на возобновимые (развитие солнечной и ветровой энергетики,
посадка лесов и т.д.) и темпов развития новых технологий для обеспечения смены ресурсов для
того, чтобы после исчезновения, к примеру, нефти был обеспечен приток энергии от нового
ресурса.
3. Для загрязняющих веществ предельная интенсивность выбросов не должна превышать
темпов, с которыми эти вещества перерабатываются или теряют вредные для окружающей среды
свойства.
В настоящее время человечество отнюдь не руководствуется этими правилами (хотя и есть
658
соответствующие попытки - например, соглашения о квотах на рыбную ловлю). Если в прошлые
века это не представляло опасности для вида в целом, то в наши дни ситуация изменилась.
Достаточно сказать, что если бы при сегодняшней численности населения Земли каждый человек
потреблял бы столько энергии и других ресурсов, сколько их сегодня потребляет в среднем
гражданин США (при существующих технологиях), это привело бы к немедленной вселенской
катастрофе.
Модель WORLD-3 (МИР-3). Модель состоит из пяти секторов:
• стойкие загрязнения;
• невозобновимые ресурсы;
• население;
•сельское хозяйство (производство продуктов питания, плодородие земель, освоение
земель);
• экономика (промышленное производство, производство услуг, рабочие места).
Исходными являются первичные взаимосвязи, такие как
• численность населения и запасы промышленного капитала;
• численность населения и площадь возделываемых земель;
• площадь возделываемых земель и объем промышленного капитала;
• численность населения и капитал сектора услуг;
• капитал сектора услуг и промышленный капитал и т.д.
В каждом секторе прослеживаются все первичные взаимосвязи и выражаются
математическими соотношениями. По мере необходимости учитываются процессы материального
и информационного запаздывания, так как реакция, скажем, численности населения на улучшение
питания является не мгновенной, а запаздывающей. Это типично для большинства
рассматриваемых процессов.
Модель WORLD-3 по приведенной в начале главы классификации носит черты
дескриптивные и оптимизационные. Ее основное назначение - представить возможные пути
достижения экономикой (в широком смысле термина) такой численности населения планеты,
которая может поддерживаться окружающей средой неопределенно долгое время. Она не
предсказывает нечто отдельное для России или Египта, не решает никаких локальных вопросов.
Модель исходит из того, что на Земле существует глобальное сообщество.
Динамика численности населения - интегральная характеристика, которая вбирает в себя
все факторы. Чисто умозрительно возможны два типа устойчивых динамик (непрерывный рост и
«сигмоидное» приближение к равновесию) и три типа неустойчивых, связанных с выходом за
пределы допустимого (колебания с последующим выходом на стационар, хаотические колебания
и коллапс, т.е. исчезновение вида). Непрерывный рост представляется совершенно
нереалистическим, последняя из неустойчивых динамик - трагедией для человечества, а за
резкими колебаниями, как нетрудно догадаться, стоят войны, эпидемии, голод-то, что мы и без
всяких моделей видим в реальности.
Типичные для модели WORLD взаимосвязи, находящие выражения математическими
средствами (дифференциальными и «обычными» уравнениями) приведены на рис. 7.51. Он
демонстрирует связи между численностью населения, промышленным капиталом, площадью
возделываемых земель и загрязнением окружающей среды. Каждая стрелка на рисунке указывает
наличие причинной связи, которая может быть непосредственной или запаздывающей,
положительной или отрицательной.
Понятия положительной и отрицательной обратной связи взяты из теории автоматического
регулирования (раздела кибернетики). Причинно-следственная связь между двумя элементами
называется отрицательной, если изменение одного элемента передается второму, возвращается от
него к первому и изменяет его в направлении, противоположном первоначальному (подавляет), и
положительной, если это изменение, возвращаясь к первому, усиливает его. Если элементов не
два, а больше, то говорят о контуре обратной связи, через которую сигнал проходит по кругу,
возвращаясь к источнику и влияя на него.
Некоторый набор таких рисунков графически исчерпывает модель WORLD. Однако, за
каждой стрелкой - первичные взаимосвязи, за каждой из них - уравнения, в которые входит ряд
параметров. Фактически именно значения этих параметров и определяют результаты решения,
поэтому к их анализу привлекаются как многочисленные узкие специалисты, так и многие
659
эмпирические (статистические) данные, собранные в десятках справочников, отчетов ООН и
отдельных государств. Количество взаимосвязанных переменных в модели WORLD-3 равно 225,
параметров - еще больше.
Рис. 7.51. Контуры обратных связей численности населения, капитала, сельскохозяйственного
производства и загрязнения окружающей среды
Результаты глобального моделирования. Опубликованные «сценарии» развития
человечества, следующие из моделей WORLD, охватывают промежуток времени от 1900 до 2100
гг. Первые 90 лет, уже прошедшие, позволяют «настраивать» модель, понять степень ее
достоверности.
Первый из сценариев основан на гипотезе, что все будет развиваться без серьезных
изменений, глобальных политических катаклизмов, без особых усилий по сохранению ресурсов и
уменьшению загрязнения окружающей среды. Весьма печальные результаты такого развития
иллюстрирует рис. 7.52 (заимствовано из того же источника).
Разумеется, временные шкалы здесь весьма расплывчаты. Что будет, если на Земле
обнаружатся и окажутся доступными (например, в океанах) дополнительные залежи нефти и газа,
других ресурсов? Моделирование безжалостно утверждает, что это не изменит качественно
характер эволюции, а лишь сдвинет вправо точки экстремумов кривых.
Вместе с тем модель WORLD позволяет нащупать пути регулируемого развития, которое
ведет к плавному («сигмоидному») поведению основных переменных. Этот путь связан с
самоограничениями и переходом на усовершенствованные промышленные и
сельскохозяйственные технологии. Иллюстрацией тому является рис. 7.53.
Итак, математическое компьютерное моделирование вторгается даже в такую сверхзадачу,
как самосохранение человека как вида.
660