Михайлова Т.В. Техническая термодинамика

Контрольная карточка 3.1

Укажите наиболее полный и правильный ответ

Вопрос Ответ

1. Какой процесс называется

политропным?

1. процесс, в котором происходит

изменение всех термодинамических

параметров (

p, υ, T);

2. процесс, в течение которого во

внутреннюю энергию превращается

одна и та же доля количества

внешнего тепла;

3. процесс, который происходит без

теплообмена с внешней средой.

2. Чему равен коэффициент

распределения тепла

ψ в политропном

процессе, если от ТРТ отводится 20

кДж тепла, а его внутренняя энергия

увеличивается на 2 кДж?

1. 10;

2. 0,1;

3. 0,2;

4. -10;

5. -0,1.

3. Чему равно изменение внутренней

энергии в процессе, если к ТРТ

подводится 5 кДж тепла, а коэффи-

циент распределения тепла

ψ=-2?

1. -0,4;

2. -10;

3. 10;

4. 2,5.

Уравнение политропного процесса в pυ- координатах

Тепло, сообщаемое газу в политропном процессе,

dq=сdТ. (3.4)

Согласно первому закону термодинамики имеем

dq=dh-υdp=c

p

dT-υdp;

dq=du+pdυ=c

υ

dT+pdυ;

dh=c

p

dT (см. (3.42)).

Учитывая (3.4), получаем cdT=c

p

dT-υdp; cdT=c

υ

dT+pdυ

или

(c-c

p

)dT=-υdp; (3.5)

(c-c

υ

)dT=pdυ. (3.6)

Разделив почленно (3.5) на (3.6), получим

υ

d

dp

pсс

сс

p

−=

−

.

Обозначим в последнем уравнении отношение

υ

cc

n

p

−

= , (3.7)

где n -показатель политропного процесса.

Следовательно, имеем

υ

d

dp

p

n ⋅−=

.

Разделив переменные, получим

υ

d

n

p

dp

−=

.

После интегрирования и подстановки пределов, имеем

n

p

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=−=

2

1

2

1

2

lnlnln

υ

.

Потенцируя, получим

n

p

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

2

1

2

υ

. (3.8)

Отсюда

const

2211

=

nn

pp

υ

; pυ

n

=const. (3.9)

Уравнение (3.9) и является уравнением политропного процесса.

Другие соотношения между параметрами состояния в политропном процессе

Напишем уравнение состояния для 1-й и 2-й точек процесса:

111

RTp

=

υ

;

222

RTp

=

υ

.

Отсюда

2

1

22

11

T

p

=

υ

.

Ранее было получено (3.8)

n

p

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

1

2

1

υ

.

Следовательно,

2

1

2

1

2

22

11

T

p

n

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

υ

,

т.е.

1

2

1

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

n

T

υ

. (3.10)

Аналогично

n

p

T

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

==

υ

,

т.е.

n

p

T

1

2

1

2

1

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

. (3.11)

Теплоемкость газа в политропном процессе

По определению имеем

dq

du

=

ψ

, отсюда

dT

c

du

dq

ψψ

υ

==

. (3.12)

Отношение

ψ

υ

c

называется теплоемкостью политропного процесса

ψ

υ

c

c =

, (3.13)

кроме того, из уравнения (3.7)

υ

cc

n

p

−

= ,

отсюда nc-nc

υ

=c-c

p

или nc-c=nc

υ

-c

p

.

Тогда

1−

−

=

n

кn

сс

υ

. (3.14)

Следовательно, теплоемкость идеального газа зависит от показателя

политропы.

Тепло q в политропном процессе может быть определено

q=cΔΤ. (3.15)

Используя соотношение (3.14), получаем:

()

12

1

TT

n

кn

cq −

−

=

υ

. (3.16)

Коэффициент распределения тепла в политропном процессе ψ так же

можно выразить как функцию от показателя политропы n.

Используя соотношения (3.13) и (3.14):

ψ

υ

c

c =

и

1−

−

=

n

кn

cc

υ

.

Следовательно,

кn

n

−

=

1

ψ

. (3.17)

Изменение внутренней энергии в политропном процессе может быть

определено

q

кn

n

qu

−

==Δ

1

ψ

. (3.18)

Работа расширения газа в политропном процессе определяется

следующим образом:

∫

=

2

1

υ

pdl .

Используя соотношения для политропного процесса (3.9):

nnn

ppp

2211

const

υ

=

;

n

p

υ

const

= ,

получаем

∫

=

2

1

const

υ

n

d

l

.

Интегрируя, подставляя пределы и значение const, получаем:

()

2211

1

υυ

pp

n

l −

−

= ; (3.19)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

11

2211

1

υ

υυ

p

n

p

l

; (3.20)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

1

211

1

T

n

p

l

υ

; (3.21)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

1

21

1

T

n

RT

l

; (3.22)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

−1

2

111

1

n

p

l

υ

υυ

; (3.23)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

−

n

p

n

p

l

1

211

1

υ

. (3.24)

Для произвольного количества m кг газа, участвующего в процессе,

работа расширения будет определяться:

m

l

L

=

. (3.25)

Уравнение политропного процесса в Ts- координатах

Теплота в политропном процессе может быть подсчитана dq=cdT или

dq=Tds, отсюда Tds=cdT или

T

dT

cds = . (3.26)

Интегрируя (3.26) для конечного участка процесса 1-2, получаем

1

2

12

ln

T

css =− , (3.27)

где

1−

−

=

n

кn

cc

υ

.

Уравнение (3.27) показывает, что в общем случае политропа в системе

координат Ts будет некоторой кривой линией, вид и положение которой

зависит от величины показателя политропы n.

Политропный процесс является обобщающим, из соотношений которого

вытекают как частные случаи уравнения основных термодинамических

процессов, (изохорного, изобарного, изотермического и адиабатного).

Определение показателя политропы n по диаграмме pυ

Изобразим политропный процесс pυ

n

=const в координатах pυ (рис. 3.2).

Рис. 3.2

Определим по диаграмме значение площадей a12b и с12d. Эти площади

будут соответственно равны:

()

∫

−

===

2

1

2211

1

12

υ

υυυ

pp

n

pdlba ;

()

∫

−

===

1

2

2211

1

'

12

p

pp

n

dpldc

υυυ

.

Сравнивая l и l´, получим, что l´=nl, отсюда

baпл

dcпл

l

n

12.

'

== . (3.28)

Контрольная карточка 3.2

Укажите наиболее полный и правильный ответ

Вопрос Ответ

1. Чему равна теплоемкость политропного

процесса?

1.

c=c

υ

;

2.

c=c

p

;

3.

ψ

υ

с

c =

;

4.

1−

−

=

n

кn

cc

υ

.

2. Укажите правильное соотношение между

коэффициентами распределения тепла

ψ в

данных процессах.

1.

ψ

(a)

>ψ

(c)

;

2.

ψ

(б)

>ψ

(c)

;

3.

ψ

(a)

<ψ

(б)

.

3. В каком из указанных процессов наибольшее

количество подведенного тепла

q? (к=1,4).

1. а;

2. b;

3. c.

3.2. Изохорный процесс

Изохорным процессом называется процесс сообщения или отнятия тепла

от газа при постоянном объеме (V=const).

В координатной плоскости pυ графиком изохорного процесса будет

вертикаль 1-2 (рис. 3.3).

Для того чтобы изохорный процесс был равновесным и

термодинамически обратимым, будем полагать, что источник тепла состоит из

бесконечно большого числа элементарных источников, при этом температура

каждого из них отличается от температуры газа в каждый данный момент

процесса на величину dT. Тогда в точке 1 температура источника будет T

1

+dT,

а в точке 2 - T

2

+dT, и процесс будет термодинамически обратимым на любой

точке.

Рис. 3.3

Для изохорного процесса

111

RTp

=

υ

;

212

RTp

=

υ

.

Отсюда получаем

2

1

2

1

T

p

=

. (3.29)

Давление газа в изохорном процессе пропорционально абсолютной

температуре. В изохорном процессе υ=const, dυ=0, значит,

∫

==

2

1

0

υ

pdl ,

0

=

υ

l

. (3.30)

Уравнение первого закона термодинамики для изохорного процесса

имеет вид

(

)

12

TTcuq

−

=

Δ

=

υυ

. (3.31)

Отсюда видно, что все тепло, подводимое к газу в изохорном процессе,

идет на увеличение его внутренней энергии.

Коэффициент распределения тепла в изохорном процессе

1=

Δ

=

Δ

=

Tc

q

u

υ

ψ

, .1

=

ψ

(3.32)

Теплоемкость в изохорном процессе с=с

υ

.

Показатель политропы в изохорном процессе будет равен

±∞=

−

=

−

=

υυ

υ

cc

n

pp

; ±∞

=

n . (3.33)

Уравнение политропы для случая υ=const. Воспользуемся соотношением

n

p

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

1

2

1

υ

;

n

p

1

2

1

2

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

υ

при 1

1

2

1

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

±∞=

n

p

n

.

Отсюда

1

2

=

υ

; const

12

=

υ

; cons

t

=

υ

. (3.34)

Уравнение (3.34) называется уравнением изохорного процесса в pυ-

координатах.

Для вывода уравнения изохорного процесса в координатной плоскости

Тs используем соотношение (2.57):

1

2

1

2

12

lnln

υ

R

T

csss +=−=Δ ,

т.к. процесс изохорный υ=const, то 0ln

1

2

=

υ

, следовательно,

1

2

12

ln

T

css

υ

=− . (3.35)

Уравнение (3.35) называется уравнением изохоры в Ts- координатах

(рис. 3.4).

На рис. 3.5 представлена схема распределения энергии в изохорном

процессе.

Рис. 3.4 Рис. 3.5

Контрольная карточка 3.3

Укажите наиболее полный и правильный ответ

Вопрос Ответ

1. Какой термодинамический

процесс называется изохорным

процессом?

1. термодинамический процесс с определен-

ным законом распределения энергии;

2. термодинамический процесс, протекаю-

щий при постоянном объеме;

3. термодинамический процесс, протекаю-

щий без подвода тепла;

4. термодинамический процесс, протекаю-

щий при постоянной температуре.

2. Укажите соотношение пара-

метров для изохорного

процесса.

1.

2

1

2

1

T

=

υ

;

2.

n

p

T

1

2

1

2

1

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

;

3.

2

1

2

1

T

p

=

;

4.

n

p

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

1

2

1

υ

.

3. Какая из схем соответствует

изохорному процессу с

подводом тепла?

4. Какое из указанных уравне-

ний соответствует уравнению

первого закона термодинамики

для изохорного процесса?

1.

q=Δu+l;

2.

q=l;

3.

q=Δu;

4.

q=с

υ

ΔT+р(υ

2

-υ

1

).

5. Как изменится температура в

изохорном процессе, если в

результате совершения этого

процесса

р

2

>р

1

?

1.

T

1

=T

2

;

2.

T

1

>T

2

;

3.

T

1

<T

2

.

3.3. Изобарный процесс

Изобарным процессом называется процесс сообщения или отнятия тепла

от газа при постоянном давлении р=const.

Михайлова Т.В. Техническая термодинамика

Подождите немного. Документ загружается.