Медведев Г.А. Математические модели финансовых рисков. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

(

)

()

(

)

()

TtP

££

= t

()

¶t

ms l

trt trt trt

=+´

,,,

() ()() ()() ()()

trttrttrttr

,,,

lsm

´--=

Это означает, что цена облигации любого срока погашения определяется так,

чтобы одна и та же пропорция некоторой определенной комбинации долго-

срочной облигации и безрискового актива (т. е. портфель Q) в настоящее вре-

мя могла бы быть куплена за стоимость облигации, которая, как ожидается,

будет куплена в дату погашения за стоимость погашения

Эквивалентно уравнение (2.18) устанавливает, что цена любой облигации,

измеренная в единицах стоимости такого портфеля Q , следует мартингалу

Таким образом, если настоящая цена облигации является определенной

долей стоимости портфеля Q, то ожидается, что будущая стоимость облигации

останется той же самой долей стоимости этого портфеля.

При эмпирической проверке модели, так же как и для применения резуль-

татов на практике, необходимо знать параметры m

, s

процесса краткосроч-

ной ставки и рыночную цену риска l. Две вышеупомянутые величины могут

быть получены путем статистического анализа (наблюдаемого) процесса r(t).

Хотя рыночная цена риска может быть найдена из определяющего ее равенства

(2.13), желательно иметь более прямые средства наблюдения l эмпирически.

Может быть использовано следующее равенство:

. (2.19)

Как только параметры m

и s

становятся известными, l могла бы быть то-

гда определена по наклону кривой доходности при t = 0. Равенство (2.19) мо-

жет быть доказано путем взятия второй производной выражения (2.17) по Т

(по правилу дифференцирования Ито) и подстановки Т = t. Это дает

, (2.20)

и из (2.1)

()

¶t

Tt=

. (2.21)

Из сравнения (2.20) и (2.21) следует равенство (2.19).

ПРОЦЕСС ОРНШТЕЙНА - УЛЕНБЕКА

КАК МОДЕЛЬ КРАТКОСРОЧНОЙ СТАВКИ

Пример 1. Чтобы проиллюстрировать общую модель временной структуры

процентной ставки, получим теперь ее в явной форме в ситуации, характери-

зуемой следующими предположениями. Во-первых, считаем, что рыночная це-

на риска l(t, r) является константой, l(t, r) = l , не зависимой от текущего

времени и величины краткосрочной ставки. Во-вторых, краткосрочная ставка

r(t) следует так называемому процессу Орнштейна - Уленбека:

dr = a (g - r) dt + r dW, (2.22)

где a > 0 . Это соответствует выбору m

(t,r) = a (g - r) , s

(t,r) = r в уравнении

(2.5). Такое описание процесса спот ставки было предложено Мертоном (1971).

Процесс Орнштейна - Уленбека с a > 0 иногда называется эластичным

случайным блужданием. Он является марковским процессом с нормально рас-

пределенными приращениями. В отличие от случайного блуждания (винеров-

ский процесс), которое является неустойчивым процессом и дисперсия которо-

го с увеличением времени неограниченно увеличивается, процесс Орнштейна -

Уленбека имеет стационарное распределени. Мгновенный дрейф a(g - r)

представляет собой силу, которая притягивает процесс к установившемуся

среднему g с величиной, пропорциональной отклонению процесса от средне-

го. Стохастическая составляющая, которая имеет постоянную мгновенную дис-

персию r

, вынуждает процесс флуктуировать около уровня g неупорядочен-

ным, но непрерывным образом. Условное ожидание и дисперсия процесса при

фиксированном текущем значении r(t) соответственно равны

r(Т) = g + (r(t) – g ) exp{-a (Т – t)}, t £ Т , (2.23)

Var

r(Т) = (r

/2a)(1 – exp{-2a (Т – t)}), t £ Т . (2.24)

Этот пример не предполагает, что процесс, задаваемый уравнением (2.22),

представляет собой наилучшее описание поведения реальной краткосрочной

ставки. Но когда эмпирические результаты о характере процесса спот ставки

отсутствуют, такой пример является полезным.

При таких предположениях решение уравнения временной структуры

(2.14), удовлетворяющее (2.15), или, другими словами, представление (2.17),

имеет вид

()

()()

()

PtTr e y r T t y e

Tt Tt

,, exp= - ¥- - - ¥- -

-- --

()

y ¥= + -g

()()

()

tT rt e, =+ -

()

tT e, =-

() ()()

trt, ¥= ¥= +

()

¥=

() () () ()()

()

0,1

³-=-+-¥-+¥=

tTeeytryTty t

atat

()

-¥

, (2.25)

где t £ Т и

. (2.26)

Среднее m

(t, Т) и стандартное отклонение s

(t, Т) мгновенной доходности

облигации, погашаемой в дату Т, равны

(

из уравнений (2.8) и (2.9)

)

, t £ Т.

Оказывается, чем дольше срок облигации, тем больше дисперсия мгновенной

ставки доходности, а ожидаемая доходность превышает краткосрочную ставку

на величину, пропорциональную стандартному отклонению. Для очень долго-

срочных облигаций (т. е. при Т ® ¥ ) среднее значение и стандартное откло-

нение стремятся к пределам

Тогда временная структура процентных ставок вычисляется при помощи вы-

ражений (2.16) и (2.25). Она принимает вид

. (2.27)

Заметим, что доходность на очень долгосрочную облигацию, когда Т ® ¥, рав-

на у(¥), что делает понятным обозначение (2.26).

Кривые доходности, задаваемые формулой (2.27), начинаются при теку-

щем уровне r(t) краткосрочной ставки для Т = t и достигают общей асимпто-

ты у(¥) при Т ® ¥ . Для значений r(t), меньших или равных

кривая доходности монотонно увеличивается. Для значений r(t), больших, чем

()

+¥

()

+¥

эта величина, но меньших, чем , кривая имеет экстремум. Когда

r(t) равно

или больше этой величины, кривая доходности моно-

тонно уменьшается.

Выражение (2.27) вместе с уравнением процесса краткосрочной ставки

(2.22) полностью характеризует поведение процентной ставки при частных

предположениях этого примера. Оно определяет как взаимоотношение ставок

различных сроков погашения в заданный момент времени t, так и поведение

процентных ставок и цен облигаций во времени. Взаимоотношение между

ставками у(t, Т

) , у(t, Т

) для двух произвольных сроков погашения может

быть определено путем исключения r(t) из равенства (2.27), записанного для

Т = Т

и Т = Т

. Кроме того, (2.27) описывает поведение ставки у(t, Т) для за-

данного срока погашения во времени. Поскольку r(t) нормально распределено

в силу свойств процесса Орнштейна-Уленбека и у(t, Т) является линейной

функцией r(t), отсюда следует, что у(t, Т) распределено также нормально.

Среднее и дисперсия у(t, Т) при заданном у(t, Т) , t £ t , получаются из выра-

жения (2.27) путем использования формул (2.23) и (2.24). Вычисления являют-

ся элементарными и здесь не приводятся. Заметим только, что уравнение (2.22)

влечет следующее: дискретный ряд ставок

= у(пТ,Т) , п = 0, 1, 2, ...

образует нормальный линейный процесс авторегрессии первого порядка вида

= с + а(у

п-1

– с) + e

(2.28)

с независимыми возмущениями e

. Процесс (2.28) является дискретным эла-

стичным случайным блужданием, флуктуирующим около своего среднего с.

Параметры с, а и s

= Еe

могут быть определены через g, a, r и l. В част-

ности, константа а характеризующая степень, в которой следующий член в

последовательности {у

} является коррелированным с текущим значением,

дается равенством а = exp(–aT ).

Выражение (2.27) может быть также использовано для установления пове-

дения цен облигаций. Цена Р(t,Т) , t £ Т , распределена логарифмически нор-

мально с параметрами распределения, вычисляемыми с использованием выра-

жений (2.1), (2.23), (2.24) и (2.27).

Разность между форвардными ставками и ожидаемыми краткосрочными

ставками, рассматриваемая как функция срока, обычно называется премией ли-

квидности (liquidity premium)

(хотя некоторые авторы считают, что более под-

ходящим названием было бы премия срока (term premium)

). Используя выра-

() ( ) ( ) ( )

()

.0,1

³-=-

+-¥=-=

tTeeyTrETtF

gtp

atat

111

ln ln

жения (2.3) и (2.23), премию ликвидности, вытекающую из временной структу-

ры (2.27), можно получить в виде

(2.29)

Премия ликвидности (2.29) является гладкой функцией t. Она похожа по

форме на кривые, используемые некоторыми авторами при аппроксимации

наблюдаемых оценок премий ликвидности. Ее значениями для t = 0 и t = ¥

являются соответственно p(0) = 0 и p(¥) = у(¥) – g . Последнее оказывается

разностью между доходностью на очень долгосрочную облигацию и устано-

вившимся средним значением краткосрочной ставки. Если l ³ r /a, p(t) явля-

ется монотонно увеличивающейся функцией срока t. Для 0 < l < r /a кривая

p(t) имеет максимум l

/ 2, встречающийся при

Если рыночная цена риска l £ 0, тогда p(t) является монотонно уменьшаю-

щейся функцией.

2.2. ОДНОФАКТОРНЫЕ МОДЕЛИ КРАТКОСРОЧНЫХ

СТАВОК

УСЛОВИЕ ОТСУТСТВИЯ АРБИТРАЖА

Арбитражем называют возможность получения безрисковой прибыли.

Чтобы описать это конкретно, рассмотрим две инвестиционные возможности А

и В с текущими ценами, обозначаемыми А

и В

. Предположим, что инвесторы

не получают никаких выплат в течение инвестиционного срока до времени ис-

течения Т, т. е. в интервале (t,Т), и пусть А

и В

обозначают рыночные стои-

мости А и В в момент времени Т. Эти значения являются неизвестными в

момент t, но предположим, что можно считать достоверным, что при любых

обстоятельствах В

будет превышать А

. Если цена В

меньше, чем А

, арбит-

раж мог бы быть реализован следующим образом: инвестор мог бы продать А

в момент t, получив А

, одновременно принимая обязательство заплатить А

момент Т; так как В

меньше, чем А

, инвестор может купить В, заплатив В

из

полученных им А

за продажу А, и иметь положительное сальдо А

- В

. Это

является арбитражем, поскольку инвестор имеет реальную прибыль А

- В

> 0

в момент времени t и достоверное превышение доходов над расходами В

> А

в будущий момент времени Т. Таким образом, для рынка, в котором отсутству-

ет арбитраж, мы должны предположить, что два актива с идентичными пото-

ками платежей в будущем должны иметь одинаковую текущую цену на рынке.

Такое предположение называется законом одной цены.

()

dP t T

PtT

PtT t

PtT

PtT t

PtT

dW t

Приведем пример определения цены, исключающего арбитраж.

Рассмотрим рынок ценных бумаг со следующими ценными бумагами. Ценная

бумага А обеспечивает выплату $8 через год от настоящего времени, рыночная

цена равна $7,54. По ценной бумаге В выплачивается $8 через два года от

настоящего времени, ее рыночная цена равна $6,98. Ценная бумага С

предусматривает выплату $108 через три года от настоящего времени,

рыночная цена равна $85,73. Таким образом, рыночная цена портфеля,

состоящего из этих трех ценных бумаг, равна $7,54 + 6,98 + 85,73 = $100,25. В

настоящее время на рынке вводится новая ценная бумага D, которая

подразумевает три платежа: $8 через один год, $8 через два года и $108 через

три года от настоящего времени. Какой должна быть стоимость ценной бумаги

D на равновесном рынке? Она будет равна $100,25.

Идея, выраженная в этом примере, заключается в том, что на равновесном

рынке две ценные бумаги (или портфеля), которые обеспечивают одинаковые

платежи, должны иметь одинаковую цену. Интуитивно ясно, что такое

определение цены исключает арбитраж.

В этом разделе мы рассмотрим сначала торговлю двумя свободными от

неуплаты дисконтированными облигациями с различными сроками погашения.

Для исключения арбитражных возможностей портфель, состоящий из этих двух

облигаций, в каждый момент времени должен зарабатывать тот же самый

доход, что и безрисковый актив. Затем нам предстоит получить общее условие

отсутствия арбитража при определении цен облигаций, которое требует, чтобы

превышение ожидаемой доходности облигации над краткосрочной процентной

ставкой, деленное на волатильность доходности облигации, не зависело от даты

погашения облигации.

Чтобы продемонстрировать это математически для каждого Т ³ 0, мы

предположим, что цена {Р(t, Т), t £ Т} свободной от неуплаты дисконтируемой

облигации, погашаемой в момент Т, является процессом Ито:

dР(t, Т) = m

(Р(t, Т), t) + s

(Р(t, Т), t) dW(t)

(индекс Т подчеркивает зависимость дрейфа и волатильности от даты

погашения облигации Т ). Разделим это равенство на цену облигации Р(t, Т):

()

PtT t

PtT

()

PtT t

PtT

()

() () ()

dP t T

PtT

tdt tdWt

=+ms

()

PtT,

()

PtS,

()

() () ()

PtT

PtS

PtS t t

(

)

()

(

)

()

StP

StdP

TtP

TtdP

StdP

StP

TtdP

TtP

В полученном равенстве левая часть равна мгновенной ставке доходности

облигации. Для простоты мы используем символы m

(t) и s

(t) для

обозначения соответственно

и и получим

, (2.30)

т. е. m

(t) и s

(t) являются соответственно дрейфом и волатильностью

мгновенной ставки доходности облигации.

Теперь рассмотрим портфель, состоящий из количества

свободных от неуплаты дисконтируемых облигаций с датой погашения Т и

количества

облигаций с датой погашения S . Тогда стоимость этого

портфеля, обозначаемая через V , будет равна

, (2.31)

и инфинитезимальное приращение стоимости портфеля равно

Подставляя сюда выражения dР/Р для Т = Т и Т = S, получаемые из уравнения

(2.30), мы увидим, что стохастические слагаемые будут взаимно уничтожаться,

что приведет к уравнению для приращений стоимости портфеля в

детерминированной форме:

dV = s

(t) (m

(t)dt – s

(t)dW(t)) – s

(t) (m

(t)dt – s

(t)dW(t)) =

= [s

(t) m

(t)dt – s

(t) m

(t)dt] dt . (2.32)

При отсутствии арбитража безрисковый портфель должен зарабатывать

проценты согласно краткосрочной ставке r = r(t) :

() ()

()

() ()

()

trt

() ()

()

trt

rt t

= ,

()

dP t T

PtT

dV = r(t) V dt.

Из соотношений (2.31) и (2.32) следует, что

(t) m

(t)dt – s

(t) m

(t) = r(t) [s

(t) – s

(t)],

или

и поскольку левая часть равенства является независимой от S, а правая часть -

независимой от Т, оба эти выражения должны быть функцией, не зависящей ни

от Т ни от S. Мы обозначим эту функцию через l(r, t) и получим

для t £ Т.

l(r, t) называется рыночной ценой риска (market price of risk), или премией за

рыночный риск (market risk premium). Это означает, что при отсутствии

арбитражных возможностей существует функция l(r, t), такая, что

(t) = r(t) + l(r(t),t) s

(t). (2.33)

Это равенство называется (локальным) условием отсутствия арбитража.

Подставляя (2.33) в (2.30), мы получим уравнение для цен облигаций на

рынке, свободном от арбитража, или безарбитражную характеризацию

временной структуры в терминах цен облигаций:

[r(t) + l(r(t),t) s

(t)]dt – s

(t) dW(t) , (2.34)

которая показывает, как условие отсутствия арбитража ограничивает вид

дрейфа m

(t) , когда процесс цены облигации подчиняется уравнению (2.30).

Заметим, что вышеприведенные аргументы не используют свойство облигации

при погашении (т. е. Р(Т, Т) = 1). Таким образом, равенства (2.33) и (2.34)

выполняются для любой ценной бумаги или портфеля, цены которых

подчиняются уравнению (2.30).

Теперь рассмотрим общий случай, когда на рынке торгуют ценными

бумагами с n датами погашения Т

, j = 1, ... , n. Пусть инвестор имеет

некоторую сумму S(t), которую он может потратить на покупку ценных бумаг

на этом рынке, и тратит сумму S

= N

Р(t,Т

) на покупку N

ценных бумаг с

датой погашения Т

, поэтому

()

St S N PtT

åå

()

(

)

()

åå

TtP

TtdP

STtdPN

()

() ()

()

Stdt tdWt

ms-

()

() ()

åå

S t dt S t dW t

()

(

)

(

)

()

åå

Stdt

()

dtt

Приращение стоимости портфеля этих ценных бумаг за инфинитезимальный

интервал времени определяется равенством

dS(t) =

что с учетом уравнения (2.30) приводит к соотношению

dS(t) =

где m

(j)

(t) и s

(j)

(t) являются дрейфом и волатильностью доходности ценной

бумаги с датой погашения Т

, j = 1, ... , n. Для получения безрискового дохода

необходимо, чтобы сумма в скобках в стохастическом слагаемом была равна

нулю, т. е. для получения безрисковой прибыли нужно таким образом

распределять имеющуюся сумму S(t), чтобы выполнялось равенство

Не нарушая общности, предположим, что s

(n)

(t) ¹ 0 , поэтому

Такой выбор S

обеспечивает безрисковое получение прибыли, равное

dS(t)