Медведев Г.А. Математические модели финансовых рисков. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

104

()

()()

PtT R E

Rs x x ds

,,, exppss=--+-

() ()

xdWsS

()

as t--

()

as t--

()

as t--

()

as t--

()

uR t-

()

uae R

exp

Заметим, что эквивалентной формой решения (22) является следующая:

где

s . Она сводится к виду (33) только тогда, когда х = s

, т. е. ко-

гда Х

= s

RС

, Х

= s

pС

. Левая часть равенства (33) является текущей реальной

ценой облигации, которая равна ожидаемой стоимости реальной выручки

1/С(Т) , дисконтированной при реальной процентной ставке. Из равенства (29)

раздела 1.2 мы видим, что это всегда справедливо и в детерминированном слу-

чае. Однако из равенства (33) следует, что в рассматриваемом варианте оно яв-

ляется решением только тогда, когда цены облигации определяются при усло-

вии одинаковых реальных ставок доходностей.

Пример. Для большей ясности теоретического анализа, можно рассмот-

реть пример, подобный тому, который использовался в детерминированном

случае в разделе 1.2. Пусть динамика для R и p задается уравнениями

dR(t) = - а(R - R*) dt + s

1/2

(t) (34)

dp(t) = - с(p - p*) dt + s

1/2

(t) . (35)

Этот тип диффузионных процессов представлен нами в разделе 2.2, где было

показано, что R(t) ³ 0 , если аR* ³ 0. Среднее и дисперсия R(s) для s ³ t рав-

ны

Е[R(s)] = R* + (R(t) - R*)

(36)

Vаr[R(s)] =

(1 - )[R* (1 - ) + 2R(t) ]. (37)

Среднее и дисперсия находятся из преобразования Лапласа плотности вероят-

ностей процесса R(t) , которое было найдено Феллером (1951) в виде

L(t,и) º Е[

] =

105

()

dC t

Сравнив формулу (36) с формулой (32) раздела 1.2, мы увидим, что условное

среднее R(s) при фиксированном R(t) ведет себя точно таким же образом, как

процесс R(s) в примере для детерминированного случая. Однако неопределен-

ность добавляет случайную компоненту, условная дисперсия которой ограни-

чена и с увеличением (s - t) стремится к s

R*/2а . Заметим, что при этом ко-

эффициент вариации, т.е. отношение стандартного отклонения к условному

среднему, с увеличением (s - t) от нуля до бесконечности увеличивается мо-

нотонно от нуля до величины s

/(2аR*)

1/2

. Поэтому процесс (34) ведет себя

вначале подобно случайному блужданию, «превращаясь» затем с течением

времени в стационарный процесс. В частности, вероятность того, что R(t)

превысит некоторое заданное значение реальной процентной ставки

, может

быть сделана сколь угодно малой, если

выбирается достаточно большой. В

отличие от этого, если бы R(t) вела себя как случайное блуждание, тогда она

превысила бы с вероятностью единица любое сколь угодно большое значение

Подобная интерпретация может быть дана и в случае процесса p(t). Сле-

дует заметить, что p(t) ограничена снизу, принимая лишь неотрицательные

значения, следовательно, пример является справедливым только для экономи-

ки, где руководство денежно-кредитной системой ограничивает свою инфляци-

онную политику. Из соображений удобства примем, что s

= 0. Предположим

также, что динамика уровня потребительских цен описывается уравнением

= p(t) dt + s

1/2

(t) , (38)

так что s

(R,p) = s

1/2

. Из этого видно, что неопределенность мгновенного

изменения уровня потребительских цен увеличивается с ростом предвидимой

инфляции. Поэтому имеется значительно больше неопределенности, когда ин-

весторы предвидят высокий рост инфляции, чем в том случае, когда прогнози-

руется ее слабый рост. Отсюда также видно, что r принимает неотрицательные

значения, если s

£ 1,

r(t) = R(t) + p(t)(1 - s

) . (39)

Начиная с этого места, будем считать, что s

£ 1.

Наконец, предположим, что цены риска f

и f

являются увеличиваю-

щимися функциями соответственно R и p

(R,p,t) = f

1/2

и f

(R,p,t) = f

1/2

. (40)

Из этого следует, что значения членов, отрегулированных риском,

(R,p) = f

R и Х

(R,p) = f

106

()

´-

exp R

()

¶t

()

имеют тот же самый порядок, что и члены дрейфа a

= - а(R - R*) и a

= -

с(p - p*) , для любых значений R и p соответственно. Таким образом, риско-

вое регулирование является ни незначительным, ни доминирующим.

Цены облигаций для этого примера находятся путем подстановки выраже-

ний (34), (35), (39) и (40) в равенство (31) и решения получающегося урав-

нения в частных производных, что приводит к выражению

Р(t,R,p) =

, (41)

где t = Т - t является сроком до погашения, а другие обозначения, введенные

для получения более простой формулы для цены, зависят от параметров урав-

нения следующим образом:

e = [(а + s

)

+ 2s

]

1/2

> 0,

g = - 0,5 (а + s

) + 0,5 e > 0 ,

h = g + (а + s

) > 0 ,

и = 2аR*/s

> 0,

q = [(с + s

)

+ 2s

(1 - s

)]

1/2

> 0,

l = - 0,5 (с + s

) + 0,5 q > 0 ,

m = l + (с + s

) > 0 ,

v = 2сp*/s

> 0.

Цены облигаций являются функциями, уменьшающимися и выпуклыми по

обеим переменным R и p . Мгновенная форвардная ставка принимает поло-

жительные значения

f(t,R,p) = -

= аR*

+ R

107

()

()()

¶t

tp tp

fr yr

,, ,,

+ сp* + p(1 - s

) > 0 . (42)

Форвардные процентные ставки стремятся к следующему предельному значе-

нию при t ® ¥ :

f(¥,R,p) = аR*/h + сp*/m .

Предельные форвардные ставки f(¥,R,p) в зависимости от значений параметров

могут быть или больше, чем Е[r(¥)] = R* + (1 - s

) p* , или меньше этого зна-

чения; они равны Е[r(¥)] только тогда, когда

= - и f

= .

Кривая доходности для этого примера находится подстановкой выражения (41)

в формулу, определяющую ставку доходности у(t,R,p) (например, в (3) раздела

1.2), что дает следующий результат

у(t,R,p) = и

> 0 . (43)

Легко проверить, что

у(¥,R,p) = иg + vl º у* > 0 (44)

у(0,R,p) = R + p(1 - s

) = r . (45)

Как и в примере детерминированного случая (см. выражение (35) раздела 1.2),

кривая доходности (43) в стохастическом случае принимает различные формы:

увеличивается, уменьшается или имеет горб. Это можно видеть, исследуя про-

изводную

. (46)

108

> 0

R *

> 0

¶p

> 0

¶p

> 0

Более того, как и в детерминированном случае, для всех t > 0

, , , .

При этом опять увеличение по R и p не гарантирует, что когда ¶у/¶R ¹ ¶у/¶p,

доходность будет увеличиваться при разных темпах роста R и p .

Из-за сепарабельности процессов R и p (что означает некоррелирован-

ность R и p и взаимную независимость их дрейфа и дисперсии), которые

предполагались соотношениями (34) и (35), имеется две составляющих кривых

доходности, одна для R и другая для p , так же как и в детерминированном

случае. Опять имеется две временных структуры. Первая является временной

структурой реальной ставки возмещения капитала, а вторая - временной струк-

турой возможных издержек при хранении денег (или возмещения от хранения

материальных товаров).

109

3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДИСКРЕТНОГО ВРЕМЕНИ

3.1 АВТОРЕГРЕССИОННЫЕ МОДЕЛИ

И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Как следует из предыдущих разделов, для описания процессов изменения

различного рода процентных ставок в основном используются стохастические

дифференциальные уравнения. Решения таких уравнений оказываются марков-

скими диффузионными процессами. В тех случаях, когда модели этих процес-

сов являются линейными и однородными по времени, то есть дрейф и вола-

тильность явно не зависят от времени, наблюдения таких процессов в дискрет-

ные моменты времени порождают временные ряды, которые описываются ав-

торегрессионными моделями первого порядка. В настоящем разделе рассмот-

рены вопросы построения таких авторегрессионных моделей. Поскольку эта

проблема представляет интерес не только для анализа процентных ставок, мы

будем вести речь о финансовых данных вообще, включая и процентные ставки.

Наблюдаемые временные ряды финансовых данных X

, X

, ... , X

могут

рассматриваться как выборочные траектории случайных процессов. Однако все

реальные процессы в природе и обществе изменяются в непрерывном времени,

какими бы математическими моделями они ну были представлены. Процессы,

описывающие конъюнктуру финансового рынка, не являются исключением.

Поэтому полезно установить наиболее точное соответствие между математиче-

скими моделями временных рядов (как процессов дискретного времени) и сто-

хастическими процессами непрерывного времени, которые их порождают.

Наиболее популярными математическими моделями стохастических процессов

в непрерывном времени являются стохастические дифференциальные уравне-

ния, которые могут быть записаны как

dx = m(x,t) dt + q(x,t) dW(t) ,

где m(x,t) и q(x,t) - непрерывно дифференцируемые детерминированные функ-

циями своих аргументов; W(t) - стандартный винеровский процесс. В этих ус-

ловиях стохастический процесс x(t) является марковским процессом. Для на-

ших целей достаточно рассмотреть наиболее простой случай линейных стохас-

тических дифференциальных уравнений, когда

dx = (a(t) x + b(t)) dt + c(t) dW(t), (1)

где a(t) , b(t) и c(t) являются непрерывно дифференцируемыми функциями. За-

метим, что стохастический процесс x(t) в этих уравнениях может быть как ска-

лярным, так и векторным процессом. Поэтому для рассмотрения мы выберем

более общий случай векторного процесса x(t). В этом случае a(t) и c(t) явля-

110

() ()() ()() ()

xt Ut sxs Utvbvdv st

=+ +

,, ,x

() ()

atxt=

( )() () ( )

Utvcvc vU tvdv

() ()()() ()

st U tvcvc vU tvdv

,, ,=

()()

Utvbvdv

()()

Utvbvdv

, =

ются матричными функциями соответствующих размеров, а b(t) - вектор та-

кой же размерности, как и x(t). Решение уравнения для этого случая может

быть записано в виде:

(2)

где x(s) - заданный начальный вектор процесса в момент времени s ; U(t,s) -

фундаментальная матрица решений (ФМР) однородной детерминированной

системы

с начальным условием x(s) в момент времени s , x(s,t) - случайный вектор с

нулевым средним и корреляционной матрицей

Удобно преобразовать это решение к другому более удобному виду. Для этого

введем некоторые новые обозначения. Поскольку корреляционная матрица яв-

ляется положительно определенной матрицей, можно ввести другую положи-

тельно определенную матрицу s(s,t) при помощи равенства

Обозначим также

z(t) =

, Z(t) = x(t) - z(t) . (3)

Так как матрица U(t,s) имеет свойство факторизации U(t,s) = U(t,v)U(v,s) для

любых t, s и v, можно написать для любого произвольного u (смысл парамет-

ра u обсудим ниже)

z(t) - U(t,s) z(s) .

111

() ()

UtU tdt

() ()

U t v bdv U s bds

-¥

òò

Используя новые обозначения, решение (2) системы (1) можно представить в

виде

Z(t) = U(t,s) Z(s) + s(s,t) V(t) , (4)

где V(t) - нормально распределенный вектор, который имеет следующие ма-

тематические ожидания:

E{V(t)} = 0, E{V(t) V

(t)} = I , E{V(t) V

(s)} = 0 , для всех t ¹ s ,

а I является единичной матрицей.

Решение уравнения (2) в виде (4) похоже на многомерную авторегрессию с

переменными коэффициентами. Сделаем это подобие более очевидным. Для

этого рассмотрим частный случай матрицы с постоянными коэффициентами в

уравнении (2). То есть будем считать, что a(t) , b(t) и c(t) не зависят от времени

t . В этом случае фундаментальная матрица решений является фкнкцией только

от одной переменной, U(t,s) = U(t - s) , что влечет s(s,t) = s( t - s) .

Предположим, что значения процесса, определяемого уравнением (2), дос-

тупны наблюдению только в дискретные моменты времени из некоторого под-

множества. Пусть этим подмножеством моментов наблюдения является {t

| i =

1, 2, ... ; t

i+1

- t

= h для любых i} . Будем обозначать Z(t

) = Z

, V(t

) = V

. То-

гда равенство (4) может быть переписано в виде

= U(h) Z

k-1

+ s(h) V

, (5)

то есть в виде многомерной (векторной) авторегрессии. Заметим, что когда

матрица U(h) является невырожденной и E{V

} = 0 для любых k, из выражения

(5) следует, что E{Z

} = 0. Возвращаясь к первоначальным обозначениям x(t)

= z(t) + Z(t) и используя обозначение x(t

) = X

, мы видим, что это эквивалент-

но равенству

E{Z

} = E{X

} - z(t

) = 0 или E{X

} = z(t

) .

Если матрица

существует, тогда стохастический процесс {Z

}

является стационарным. В этом случае уместно рассмотреть смысл функции

z(t), определяемой равенством (3). Как видно, интеграл z(t) при нижнем преде-

ле интегрирования u = - ¥ дает среднее значение стационарного процесса в

виде

z(t) =

= m

112

()

() () () ()

()

ytT y rt y b b T t,,=¥+ -¥ + =-³t

В других случаях нижний предел интегрирования u может рассматриваться

как начальный момент развития процесса, тогда функция z(t) может рассмат-

риваться, как ожидаемое значение процесса при установлении его к среднему

значению, которым может быть тренд стохастического процесса.

Таким образом, для стационарного процесса соотношение (5) можно пере-

писать в первоначальных обозначениях как

= m + U(h)( X

k-1

- m) + s(h) V

. (6)

Когда размерность модели n равна 1, все установленные выше соотношения

становятся скалярными, так же как и все члены уравнений авторегрессионных

моделей (5) и (6).

Пример 1. В частном случае модели Васичека, рассмотренном в разделе

2.1, краткосрочная процентная ставка r(t) следует однородному по времени

процессу Орнштейна - Уленбека

dr = a(g - r) dt + r

W(t).

Для этого процесса U(t,s) = ехр{ - a (t

- s)} , t ³ s , так что решение стохастиче-

ского уравнения в форме (2) выражается в виде

r(t) = r(s) е

-a (t-s)

+ g (1 - е

-a (t-s)

) + x(s, t) ,

где случайная величина x(s, t) имеет нулевое среднее и дисперсию

. Таким образом, определяя множество моментов наблюдения

как {t

| i = 1, 2, ... ; t

i+1

- t

= h для любых i} и R

= r(t

) , получаем авторегрес-

сионную модель (6) для процесса краткосрочной процентной ставки в виде

= m + U(h)(R

k-1

- m) + s (h) V

где m = g , U(h) = ехр{-ah} , s (h) =

и {V

} - независимые

стандартные нормально распределенные случайные величины. Мгновенная

ставка доходности в этом частном случае является линейно связанной с кратко-

срочной процентной ставкой соотношением (см. формулу (29) раздела 2.1)

где для краткости обозначено b(t) = (at)

-1

(1 - е

-at

). Используя это соотноше-

ние и правило дифференцирования Ито, мы получим, что ставка доходности с

113

()

b ,

(

)

()

фиксированным сроком до погашения t , как и краткосрочная процентная

ставка, следует процессу Орнштейна - Уленбека

dу = a (и(t) - у) dt + v(t) dW(t) ,

где a - параметр, совпадающий с аналогичным параметром уравнения кратко-

срочной процентной ставки, а

и(t) = у(¥) + (g - у(¥)) b(t) +

v(t) = r b(t) .

Так что решение (2) уравнения для ставки доходности получается аналогично

решению для краткосрочной процентной ставки

у(t, t+t) = у(s,s+t) е

-a (t-s)

+ и(t) (1 - е

-a (t-s)

) + x(s, t) ,

где для этого уравнения случайная величина x(s, t) имеет нулевое среднее и

дисперсию

. Наконец, для того же множества моментов

наблюдений, что и для краткосрочной процентной ставки, с учетом обозначе-

ния Y

= у(t

, t

+t) получаем авторегрессионную модель (6) процесса ставки

доходности для фиксированного срока до погашения t в виде

= m + U(h)(Y

k-1

- m) + s (h) V

где m = и(t) , U(h) = ехр{-ah} , s (h) =

и {V

} - незави-

симые стандартные нормально распределенные случайные величины.

До сих пор мы говорили о том, как получить стохастическую модель для

наблюдений стохастического процесса в дискретные моменты времени, если

задано стохастическое дифференциальное уравнение. Но иногда представляет

интерес и обратная задача: построить стохастическое дифференциальное урав-

нение по наблюдаемому временному ряду, если в качестве его математической

модели выбрана авторегрессионная модель. Для возникновения такой задачи

имеется два обстоятельства. Во-первых, чтобы получить общие адекватные ма-

тематические результаты, удобнее использовать уравнение для непрерывного

времени, поскольку любой процесс, как мы отмечали выше, всегда развивается

в непрерывном времени и применение дискретного времени связано только с

тем, что моменты наблюдений составляют конечное (или счетное) множество.

Во-вторых, решения уравнений в непрерывном времени часто имеют более

простую и изящную структуру и более удобны при теоретическом анализе. При

построении стохастического дифференциального уравнения используются те