Манжосов В.К. Методические указания Лабораторные работы по сопротивлению материалов Часть 2
Подождите немного. Документ загружается.
11
вого сечения
теор
f
, угла
теор
β
и угла
теор
ϕ
. Теоретическое значение полного
перемещения
теор
f
от нагрузки
P
∆
определим по формуле (1.10)
теор
f
=
2
теор
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
теор
z
y
теор
z
f
f
f
. (1.23)
Учитывая, что из формул (1.9) для торцевого сечения (
lx =
) и из (1.11)
следует
α
sin
3
3
y
теор
z
EJ
lP
f
∆
=
,
теор
z
теор
y
f
f
=
α
α
sin
cos
z
y
J
J
, (1.24)
получим из (1.23)
α
sin
3
3
y
теор
EJ
lP
f
∆
=
α
2
2
1
ctg
J
J
z
y
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
y
EJ
lP
3
3
∆
=
αα
2
2
2
cossin
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
z
y
J
J
. (1.25)
Обозначим
αα
2
2
2
cossin
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
z
y
J
J
=
)(
α
k
. Значения
)(
α
k
для углов
0
0=
α
,
0
45=
α
,
0
90=
α
равны
0
0
)(
=
α
α
k
=
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
z
y
J
J
=
z
y
J
J
=
3
3
12
1
12
1
hb
bh
=
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
h
b
,
0
45
)(
=
α
α
k
=
02
2
02
45cos45sin
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
z
y
J
J
=
02
4
02
45cos45sin
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
h
b
,
0
90
)(
=
α
α
k
=
02
2
02
90cos90sin
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
z
y
J
J
= 1.
Теоретические значения углов
теор
β
и
теор
ϕ
определим из формул (1.14)
и (1.15) с учетом (1.24)
теор
β
=
)(
α
ctg
J
J
tgarc
z
y
,
теор
ϕ
=
0
90
–
теор
β
. (1.26)
Значения этих углов при
0
0=
α
,
0
45=
α
,
0
90=
α
равны:
0
0=
α
β
теор
=
)0(
0
ctg
J
J
tgarc
z
y
=
)( ∞
z
y
J
J
tgarc
=
0
90
,
0
0=
α
ϕ
теор
=
0
0
,
12
0
45=
α
β
теор
=
)45(
0
ctg
J
J
tgarc
z
y
=
)(
z
y
J
J
tgarc
,
0
45=
α
ϕ
теор
=
0
90
-
0
45=
α
β
теор
,
0
90=
α
β
теор
=
)90(
0
ctg
J
J
tgarc
z
y
=
0
0
,
0
90=
α
ϕ
теор
=
0
90
.
1.4. Бланк отчета
1.
Цель работы.
2.
Размеры стержня и геометрические характеристики поперечного сечения:
l
= (м),
b
= (м),
h
= (м),
12
3
bh
J
z
=
= (м
4
),
12
3
hb
J
z
=
= (м
4
) .
3.
Модуль упругости материала стержня
Е
= (Па).
4.
Теоретические значения полного перемещения
теор
f
центра тяжести тор-
цевого сечения от нагрузки
P
∆
, а также углы
теор
β
и
теор
ϕ
при
0
0=
α
,
0
45=
α
,
0
90=
α
равны:
при
0
0=
α
теор
f
y
EJ
lP
3
3
∆
=
0
0
)(
=
α
α
k
y
EJ
lP
3
3
∆
=
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
h
b
= (м),
0
0=
α
β
теор
=
)0(
0
ctg
J
J
tgarc
z
y
=
)( ∞
z
y
J
J
tgarc
=
0
90
,
0
0=
α
ϕ
теор
=
0
0
,
при
0
45=
α
теор
f
y
EJ
lP
3
3
∆
=
0
45
)(
=
α
α
k
y
EJ
lP
3
3
∆
=
02
4
02
45cos45sin
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
h
b
= (м),
0
45=
α
β
теор
=
)(
z
y
J
J
tgarc
= ,
0
45=
α
ϕ
теор
=
0
90
–
0
45=
α
β
теор
= ,
13
при
0
90=
α
теор
f
y
EJ
lP
3
3
∆
=
0
90
)(
=
α
α
k
=
y
EJ
lP
3
3
∆
=
= (м),
0
90=
α
β
теор
=
)90(
0
ctg
J
J
tgarc
z
y
=
0
0
,
0
90=
α
ϕ
теор
=
0
90
.
5.
Таблица результатов опыта
Угол
α
,
град
Сила
Р,
Н
Приращение
силы
P
∆
,
Н
Вертикальное
перемещение
B
f ,
3
10
−
м
Приращение
B
f
∆
,
3
10
−
м
Горизонталь-
ное переме-
щение.
Г
f
,
3
10
−
м
Приращение
Г
f
∆
,
3
10
−
м
0 - 0 - 0 -
0
0
0 - 0 - 0 -
0
45
0 - 0 - 0 -
0
90
6.
Экспериментальные значения полного перемещения
эксп
f
центра тяжести
торцевого сечения от нагрузки
P
∆
, а также углы
эксп
β
и
эксп
ϕ
при
0
0=
α
,
0
45=
α
,
0
90=
α
равны:
при
0
0=
α
CРB
f
)(
∆
=
3
∑
∆
B
f
= (м),
CРГ
f
)(
∆
=
3
∑
∆
Г
f
= (м),
эксп
f
=
22
)()(
СРГСРB
ff ∆+∆
= (м),
эксп
z
f
=
CРГ
f )(∆
0
0cos
+
CРB
f )(
∆
0
0sin
= (м),
эксп
y
f
=
CРB
f )(∆
0
0cos
–
CРГ
f )(
∆
0
0sin
= (м),
эксп
β
=
эксп
z
эксп
y
f
f
tgarc
= ,
эксп
ϕ
=
0
90
–
эксп
β
= ,
14
при
0
45=
α
CРB
f )(∆
=
3
∑
∆
B
f
= (м),
CРГ
f )(
∆
=
3
∑
∆
Г
f
= (м),
эксп
f
=
22
)()(
СРГСРB
ff ∆+∆
= (м),
эксп
z
f
=
CРГ
f )(∆
0
45cos
+
CРB
f )(
∆
0
45sin
= (м),
эксп
y
f
=
CРB
f )(∆
0
45cos
-
CРГ
f )(
∆
0
45sin
= (м),
эксп
β
=
эксп
z
эксп
y
f
f
tgarc
= ,
эксп
ϕ
=
0
90
–
эксп
β
= ,
при
0
90=
α
CРB
f )(∆
=
3
∑
∆
B
f
= (м),
CРГ
f )(
∆
=
3
∑
∆
Г
f
= (м),
эксп
f
=
22
)()(
СРГСРB
ff ∆+∆
= (м),
эксп
z
f
=
CРГ
f )(∆
0
90cos
+
CРB
f )(
∆
0
90sin
= (м),
эксп
y
f
=
CРB
f )(∆
0
90cos
-
CРГ
f )(
∆
0
90sin
= (м),
эксп
β
=
эксп
z
эксп
y
f
f
tgarc
= ,
эксп
ϕ
=
0
90
–
эксп
β
= .
7. Расхождение теоретических и экспериментальных значений полного пере-
мещения
f
центра тяжести торцевого сечения от нагрузки
P
∆
, а также
углов
β
и
ϕ
при
0
0=
α
,
0
45=
α
,
0
90=
α
:
при
0
0=
α
теор
эксптеор
f
ff −
100 % = % ,
теор
эксптеор
β
ββ
−
100 % = % ,
теор
эксптеор
β
ββ
−
100 % = % ,
при
0
45=
α
теор
эксптеор
f
ff −
100 % = % ,
теор
эксптеор
β
ββ
−
100 % = % ,
теор
эксптеор
β
ββ
−
100 % = % ,
15
при
0
90=
α
теор
эксптеор
f
ff −
100 % = % ,
теор
эксптеор
β
ββ
−
100 % = % ,
теор
эксптеор
β
ββ
−
100 % = % .
1.5. Контрольные вопросы
1.
Что такое косой изгиб?
2.
Какие силовые факторы действуют в поперечном сечении стержня при ко-
сом изгибе?
3.
По какой формуле определяются нормальные напряжения при косом изги-
бе стержня?
4.
Что такое нулевая линия в поперечном сечении и каким свойством она об-
ладает?
5.
В каких точках поперечного сечения возникают максимальные по модулю
нормальные напряжения?
6.
Как определяются перемещения точек оси стержня при косом изгибе?
7.
Возникает ли деформация косого изгиба, если осевые моменты инерции
поперечных сечений относительно главных центральных осей равны меж-
ду собой
zy
JJ =
?
8.
Чем объясняется расхождение теоретических и экспериментальных ре-
зультатов при проведении опытов?
9.
Чему равен угол между направлением полного перемещения центра тяже-
сти поперечного сечения и нулевой линией при косом изгибе?
1.6. Библиографический список
1.
Феодосьев В. И. Сопротивление материалов / В. И. Феодосьев. – М.: Нау-
ка, 1986. – 512 с.
2.
Дарков А. В. Сопротивление материалов / А. В. Дарков, Г. С. Шпиро. –
М.: Высшая школа, 1989. – 624 с.
3.
Грибов А. П. Сопротивление материалов: сборник лабораторных работ /
А. П. Грибов, А. М. Стахорский, С. В. Черная. – Ульяновск: УлПИ, 1989. –
68 с.
4.
Манжосов В. К. Лабораторные работы по сопротивлению материалов.
Часть 2 / В. К. Манжосов. – Ульяновск: УлГТУ, 2004. – 32 с.
5.
Манжосов В. К. Расчет стержней при сложном нагружении. Косой изгиб:
методические указания / В. К. Манжосов. – Ульяновск: УлГТУ, 1999. –
40 с.
6.
Манжосов В. К. Расчет стержня при косом изгибе: методические указания
/ В. К. Манжосов. – Ульяновск: УлГТУ, 2004. – 48 с.
16
2. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 12
«ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ВНЕЦЕНТРЕННОМ
РАСТЯЖЕНИИ»
2.1. Цель работы
Экспериментальная проверка расчетных формул сопротивления материа-
лов при внецентренном растяжении бруса.
2.2. Основные теоретические положения
Внецентренным растяжением или сжатием называется такой вид дефор-
мации бруса, при котором в его поперечных сечениях действуют изгибающие
моменты
y
M
,
z
M
и продольная сила N (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Внутренние силовые факторы в поперечном
сечении бруса при внецентренном растяжении
Деформация внецентренного растяжения возникает, если линия действия
внешней продольной силы Р не проходит через центр тяжести поперечного се-
чения.
Пусть
z
,
y
− главные центральные оси инерции поперечного се-
чения стержня. Внутренние силовые факторы во всех поперечных сечениях
стержня одинаковы и равны
N = P
х
,
pхy
zPМ
⋅
=
,
pхz
yPM
⋅
−
=
, (2.1)
где
pp
zy ,
− координаты полюса силы (точки пересечения линии действия си-
лы P с плоскостью поперечного сечения стержня); Р
х
− проекция силы P на
продольную ось х (для схемы на рис. 2.1 проекция силы Р
х
= Р).
17
Нормальные напряжения в точках поперечного сечения стержня при вне-
центренном растяжении-сжатии определяются как
y
J
M
z
J
M
A
N
z
z
y
y
−+=
σ
, (2.2)
где
A
− площадь поперечного сечения;
zy
JJ ,
− осевые моменты инерции сече-
ния.
Формула (2.2) выражает принцип суперпозиции, в соответствии с кото-
рым складываются напряжения от силовых факторов N ,
z
M
,
y
M
. Подставляя
(2.1) в (2.2) , получим
y
J
zP
z
J
zP
A
P
z
p
y
p
⋅
+
⋅
+=
σ
. (2.3)
В поперечном сечении найдем множество точек, для которых
0=
σ
y
J
zP
z
J
zP
A
P
z
p
y
p
⋅
+
⋅
+=0
. (2.4)
Это множество определяет прямую линию, которая называется нулевой лини-
ей сечения.
Уравнение (2.4) можно записать в виде уравнения прямой линии в отрез-
ках
1=+
zy
a
z
a
y
, (2.5)
где
p
z
y
y
i
a
2
−=
,
p
y
z
z
i
a
2
−=
− отрезки, отсекаемые нулевой линией n − n на
осях координат (рис. 2.1);
A
J
i
y
y
=
,
A
J
i
z
z
=
− радиусы инерции сечения от-
носительно координатных осей.
Нулевая линия n − n делит сечение на зону растяжения и зону сжатия.
Рассмотрим внецентренное растяжение стального бруса прямоугольного
поперечного сечения (рис. 2.2) . Координаты точки приложения силы P равны
ez
p
=
,
0=
p
y
, где e − расстояние от оси х до линии действия силы P (эксцен-
триситет силы P) .
Формула (2.3) для определения напряжений принимает вид
z
J
eP
A
P
y
⋅
+=
σ
. (2.6)
18
Рис. 2.2. Схема нагружения опытного образца с тензометрическими датчиками 1 и 2
Отрезки, отсекаемые нулевой линией n − n на осях координат, по форму-
лам (2.6) равны
−∞=−=
0
2
z
y
i
a
,
e
i
a
y
z
=
.
Положение нулевой линии n − n в сечении показано на рис. 2.2. Чтобы
построить эпюру распределения нормальных напряжений в сечении, нужно
определить нормальные напряжения в двух точках. Например, при
z =
2
b
и z = –
2
b
(для точек сечения, равноудаленных от оси y , напряжения не из-
меняются). По формуле (2.6) получаем
при z =
2
b
,
2
max
b
J
eP
A
P
y
⋅
+=
σ
,
при z = –
2
b
,
2
min
b
J
eP
A
P
y
⋅
−=
σ
.
2.3. Оборудование
Работа выполняется на испытательной машине УМ-5 . Испытание прово-
дится на стальном образце прямоугольного сечения с двумя проушинами (рис.
2.2). Для экспериментального определения напряжений на поверхность образ-
ца наклеиваются тензодатчики. Показания тензодатчиков снимаются с помо-
щью прибора ИД-70.
19
Экспериментальные значения напряжений
max
σ
,
min
σ
определяются с по-
мощью тензодатчиков 1 и 2, которые наклеиваются на поверхность образца
(рис. 2.2). Для экспериментального определения напряжений проводится не-
сколько нагружений образца с постоянным шагом по нагрузке
P
∆
.
Экспериментальные значения напряжений от нагрузки
P
∆
равны
()
σ
γ
σ
⋅
∆Τ=
.
1max
ср
,
(
)
σ
γ
σ
⋅
∆
Τ
=
.
2min
ср
,
()
n
ср
∑
∆Τ
=∆Τ
1
.
1
,
()
n
ср
∑
∆Τ
=∆Τ
2
.
2
;
где
σ
γ
− коэффициент тензочувствительности по напряжениям; n − число сту-
пеней нагружения образца;
21
,
∆
Τ∆Τ
− приращения показаний тензодатчиков
от нагрузки
P
∆
.
2.4. Постановка опыта
Проводится три нагружения образца с постоянным шагом по нагрузке
P
∆
.
На каждом шаге нагружения, а также без нагрузки, записываются показания
тензодатчиков
1
T
,
2
T
. Результаты опыта заносятся в таблицу.
2.5. Бланк отчета
1. Размеры и геометрические характеристики поперечного сечения
b = (м), h = (м), e = (м), А = bh = (м
2
),
==
12
3
bh
J
z
(м
4
),
==
12
3
hb
J
y
(м
4
).
2. Модуль упругости стали E = (МПа).
3. Теоретические значения напряжений от нагрузки
P
∆
2
max
b
J
eP
A
P
y
⋅
+=
σ
= (МПа),
2
min
b
J
eP
A
P
y
⋅
−=
σ
= (МПа).
4. Таблица наблюдений
Сила
P
, Н
Приращение
силы
P∆
, Н
Показания
1-го тензо-
датчика
1
T
Приращение
показаний 1-
го тензодат-
чика
1
T
∆
Показания
2-го тензо-
датчика
2
T
Приращение
показаний 2-
го тензодат-
чика
2
T∆
0 – – –
20
5. Средние значения приращений показаний тензометрических датчиков от на-
грузки
P∆
()
3
1
.
1
∑
∆Τ
=∆Τ
ср
= ,
()
3
2
.
2
∑
∆Τ
=∆Τ
ср
= .
6. Коэффициент тензочувствительности по напряжениям
=
σ
γ
(МПа).
7. Экспериментальные значения напряжений от нагрузки
()
σ
γ
σ
⋅
∆Τ=
.
1max
ср
= (МПа),
()
σ
γ
σ
⋅
∆Τ=
.
2min
ср
= (МПа).
8. Различие теоретических и экспериментальных значений напряжений в про-
центах
.
max
σ
∆
=
()
(
)
()
100
.
max
.
max
.
max
⋅
−
теор
эксптеор
σ
σσ
% = %,
min
σ
∆
=
()
(
)
()
100
.
min
.
min
.
min
⋅
−
теор
эксптеор
σ
σσ
% = %.
2.6. Контрольные вопросы
1. Какой вид деформации бруса называется внецентренным растяжением или
сжатием?
2. По какой формуле определяются напряжения в поперечном сечении при
внецентренном растяжении или сжатии?
3. Каким свойством обладает нулевая линия сечения?
4. Как записывается уравнение нулевой линии?
5. Чем объясняется расхождение между теоретическими и экспериментальны-
ми значениями напряжений при внецентренном растяжении
?
6. Чему равно напряжение в центре тяжести поперечного сечения при внецен-
тренном растяжении или сжатии?
7. Чему должен быть равен эксцентриситет растягивающей силы, чтобы во
всем поперечном сечении возникали нормальные напряжения одного
знака?