Манжосов В.К. Методические указания Лабораторные работы по сопротивлению материалов Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
21
=
σ
⋅
−
z
z
J
М
y, (9.1)
где
z
J – момент инерции относительно нейтральной оси z , y – координата
точки сечения, в которой определяется напряжение.
Рис. 9.2
Максимальные нормальные напряжения (рис. 9.2) возникают в точках
сечения, наиболее удаленных от нейтрального слоя и равны
Ζ
=
W
Μ
Ζ
мак
σ
, (9.2)
где W
z
– осевой момент сопротивления сечения.
Касательные напряжения в поперечном сечении определяются по фор-
муле Журавского
τ
=
zу
zy
Jb
SQ
⋅
⋅
*
, (9.3)
где S
*
z
– статический момент отсеченной части сечения относительно ней-
тральной оси;
b
у
– ширина сечения в месте горизонтального среза (горизон-
тальный срез проводится параллельно плоскости
XZ через точку сечения, в
которой определяется напряжение).
Распределение касательных напряжений по высоте прямоугольного сечения показано на рис. 9.2.
Сравнение теоретического и экспериментального значений напряжений проводится для двухопорной балки
(рис. 9.3) в сечениях 1 – 1 и 2 – 2. Максимальное теоретическое значение напряжения в сечениях 1 – 1 и 2 – 2
равно
22
max
σ
=
z
z
W
M
=
6
2
2
bh
c
P ⋅
=
2
3
bh
Pc
. (9.4)
Экспериментальные значения
max
σ
в сечениях 1 – 1 и 2 – 2 определяют-
ся электротензометрическим методом.
Рис. 9.3
Если
T
Δ приращение показаний датчиков от нагрузки P , то
max
σ
=
⋅
σ
γ
T
Δ
, (9.5)
где
σ
γ
– коэффициент тензочувствительности по напряжениям.
Для повышения точности эксперимента проводится несколько нагруже-
ний образца с постоянным шагом по нагрузке
P
Δ
и определяется
max
σ
от дей-
ствия
PΔ . Формула (9.5) принимает вид
max
σ
=
⋅
σ
γ
ср
T
Δ
, (9.6)
где
ср
TΔ – среднее приращение показаний тензодатчиков от нагрузки
P
Δ . Так
при трех ступенях нагружения
ср
TΔ =
6
T
21
∑
∑
Δ+Δ T
,
23
где
1
TΔ ,
2
TΔ – приращения показаний первого и второго датчиков.
9.4. Постановка опыта
На балку наклеиваются два тензодатчика (рис. 9.3). С помощью прибора
ИД-70 снимаются показания датчиков без нагрузки. Проводится три
нагружения балки сосредоточенной силой, которую создает сила тяжести гру-
за массой в 1 кг, 2 кг, 3 кг. Сила тяжести приложена в середине пролета бал-
ки, шагом по нагрузке
P
Δ = 9,81 Н. На каждом шаге нагружения снимаются
показания тензодатчиков. Показания тензодатчиков заносятся в таблицу.
9.5. Бланк отчета
1. Цель работы.
2.
Схема двухопорной балки.
3.
Размеры и геометрические характеристики балки: l = (м) , b= (м),
h=
(м), с= (м), ==
12
3
bh
J
z
(м
4
), W
z
=
6
2
bh
=
(м
3
).
4. Теоретическое значение
max
σ
в сечениях 1 – 1 и 2 – 2 от нагрузки
P
Δ
=
теор
max
σ
z
z
W
M
=
6
2
2
bh
c
P
⋅
Δ
=
2
3
bh
cP
⋅
Δ
= (МПа) .
5. Коэффициент тензочувствительности по напряжениям
σ
γ
= (МПа/ед. шкалы).
6. Таблица результатов опыта
Масса
груза, кг
Сила,
Р(Н)
)
H
(PΔ
Т
1
1
T
Δ
Т
1
2
TΔ
0 0 -
1 9,8 9,8
2 19,6 9,8
3 29,4 9,8
7.
Среднее приращение показаний тензодатчиков при трех ступенях нагруже-
ния
ср
TΔ =
6
2
∑
∑
Δ+Δ TT
1
= .
8. Экспериментальное значение
max
σ
в сечениях 1 – 1 и 2 – 2 от нагрузки
P
Δ
эксп
max
σ
=
⋅
σ
γ
ср
T
Δ
= (МПа).
24
9. Сопоставление теоретического и экспериментального значений напряжений
σ
Δ
=
100
max
maxmax
⋅
−
теор
эксптеор
σ
σσ
% = (%) .
9.6. Контрольные вопросы
1. Какой вид деформации балки называется поперечным изгибом ?
2.
Как определяются нормальные напряжения в поперечном сечении при из-
гибе балки ?
3.
Как определяются касательные напряжения в поперечном сечении при из-
гибе балки ?
4.
Что такое нейтральный слой и нейтральная ось и как они расположены ?
5.
Как определяются геометрические характеристики поперечного сечения и
какую они имеют размерность ?
6.
В каких точках поперечного сечения возникают при изгибе максимальные
нормальные напряжения?
7.
В каких точках поперечного сечения возникают при изгибе максимальные
касательные напряжения?
8.
Как определяются напряжения электротензометрическим методом?
9.
Чем объясняется расхождение теоретического и экспериментального зна-
чений нормальных напряжений?
9.7. Библиографический список
15. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов / В. И. Феодосьев. – М.:
Высшая школа, 1989. – 624 с.
16. Дарков А. В. Сопротивление материалов / А. В. Дарков, Г. С. Шпиро. –
М.: Высшая школа, 1989. – 624 с.
17. Александров А. В. Сопротивление материалов / А. В. Александров,
В. Д. Потапов, Б. П. Державин. – М.: Высшая школа, 1995. – 540 с.
18. Грибов А. П. Сопротивление материалов: сборник лабораторных работ
/ А. П. Грибов, А. М. Стахорский, С. В. Черная. – Ульяновск: УлПИ, 1989.
– 68 с.
19. Манжосов В. К. Лабораторные работы по сопротивлению материалов.
Часть 1 / В. К. Манжосов. – Ульяновск: УлГТУ, 2004. – 28 с.
20. Манжосов В. К. Расчет стержней при поперечном изгибе: методические
указания / В. К. Манжосов. – Ульяновск: УлГТУ, 1996. – 84 с.
21. Манжосов В. К. Расчет стержней при поперечном изгибе: методические
указания / В. К. Манжосов. – Ульяновск: УлГТУ, 2001. – 30 с.
22. Манжосов В. К. Сопротивление материалов. Основные положения и
примеры решения заданий. Часть 1: учебное пособие / В. К. Манжосов,
О. Д. Новикова. – Ульяновск: УлГТУ, 2004. – 136 с.
25
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10
«ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИ ИЗГИБЕ БАЛКИ»
10.1. Цель работы
Опытное определение прогибов балки и сравнение их с теоретическими
значениями.
10.2. Оборудование
Работа проводится на специальной установке, схема которой приведена
на рис. 10.1. Установка состоит из шарнирно-закрепленной балки (1), гирево-
го подвеса (2), основания (3), двух шарнирных опор (4) и набора грузов.
Для измерения прогибов применяется индикатор часового типа (5). Индика-
тор имеет две шкалы: малую с ценой деления 1 мм и большую – с ценой де-
ления 0,01 мм.
Рис. 10.1
10.3. Основные теоретические положения
Рассмотрим деформацию балки прямоугольного поперечного сечения,
закрепленную на двух шарнирных опорах, на которую действует сосредото-
ченная сила P (рис. 10.2).
26
Рис. 10.2
При деформации точки оси балки получают вертикальные перемещения
(прогибы), а поперечные сечения поворачиваются на некоторые углы.
Пусть С произвольная точка оси балки. Прогиб точки С обозначим через
v
, а угол поворота сечения , проходящего через точку С оси балки, как
θ
.
В теории изгиба балок прогибы считаются малыми по сравнению с дли-
ной балки, а квадраты углов поворота малыми по сравнению с единицей.
Прогибы и углы поворота сечений связаны зависимостью
(
)
x
θ
=
x
xv
∂
∂
)(
. (10.1)
Между кривизной оси изогнутой балки, жесткостью и изгибающим мо-
ментом существует зависимость
z
z
EJ
М
=
ρ
1
, (10.2)
где
ρ
1
– кривизна изогнутой оси балки,
z
M – изгибающий момент,
z
EJ – из-
гибная жесткость поперечного сечения.
Формула (10.2) получена в предположении выполнения гипотезы пло-
ских сечений и
справедливости закона Гука при растяжении.
По гипотезе плоских сечений: поперечные сечения, плоские до деформа-
ции, остаются плоскими и после деформации.
Из зависимости (10.2) с использованием исходных гипотез и выражения
для кривизны изогнутой оси балки выводится дифференциальное уравнение
упругой линии
2
2
x
v
∂
∂
=
z
z
EJ
M
. (10.3)
Результат интегрирования дифференциального уравнения для балки
(рис. 10.3), нагруженной различными видами нагрузок, можно представить в
виде универсального уравнения упругой линии.
v
EJ
=
0
vEJ
+
xEJ
0
θ
!4
)(
!4
)(
!3
)(
!2
)(
4432
dxqcxqbxPaxМ −
+
−
−
−
+
−
+
. (10.4)
I II III IY Y
27
В уравнении (10.4)
0
v и
0
θ
– прогиб и угол поворота в начале коорди-
нат (начальные параметры). Чтобы получить аналитическое уравнение
упругой линии на каком-либо участке, в универсальном уравнении нужно со-
хранить члены, стоящие слева от вертикальной черты с номером этого участ-
ка. Начальные параметры
0
v и
0
θ
определяются из граничных условий.
Рис. 10.3
Определим методом начальных параметров прогиб середины пролета
балки, изображённой на рис.10.1.
Из уравнений равновесия балки реакции в опорах А и В равны
R
A
= R
B
=
2
P
.
Универсальное уравнение (10.4) принимает вид
v
EJ
=
0
vEJ
+
xEJ
0
θ
+ R
!3
3
x
A
!3
)
2
(
3
l
x
P
−
−
. (10.5)
I II
Граничные условия: при x = 0 y = 0 , при x = l y = 0. Из граничных ус-
ловий
0
vEJ
= 0,
0
θ
EJ
=
1248
22
PlPl
− = –
48
3
2
Pl
.
Прогиб середины пролета по уравнению (10.5) равен
v
EJ
= –
48
3
2
Pl
2
l
+
2
P
48
3
l
= –
48
3
Pl
.
28
Для определения опытного значения прогиба балки в середине пролета
проводятся три нагружения с постоянным шагом по нагрузке
ΔΡ . Прогиб от
нагрузки
ΔΡ равен
3
.
∑
Δ
=
y
v
эксп
,
где
vΔ
– приращение показаний индикатора на каждом шаге нагружения.
10.4. Постановка опыта
Вращением подвижной шкалы большая стрелка индикатора устанавли-
вается на нуль и записывается показание малой стрелки. Проводится три на-
гружения балки грузами массой 1 кг, 2 кг, 3 кг, которые создают силу тяжести
с шагом по нагрузке
ΔΡ = 9,81 Н. На каждом шаге нагружения снимаются
показания индикатора.
10.5. Бланк отчета
1. Размеры и необходимые геометрические характеристики балки:
l = (м), b = (м), h = (м),
==
12
3
bh
J
z
(м
4
).
2. Модуль упругости стали, из которой изготовлена балка,
Е = (МПа).
3. Таблица результатов опыта
Р(Н)
)(HPΔ
v
(м)
v
Δ
(м)
0 - 0
9,81 9,81
19,62 9,81
29,43 9,81
4.
Экспериментальное значение прогиба в середине пролета от нагрузки
P
Δ
3
.
∑
Δ
=
v
v
эксп
= (м).
5.
Теоретическое значение прогиба в середине пролета от нагрузки
z
теор
EJ
l
v
48
3
.
ΔΡ
=
= (м).
29
6. Сравнение теоретического и экспериментального значений прогиба
.
..
теор
эксптеор
v
vv −
100 % =
10.6. Контрольные вопросы
1. Какие перемещения получают точки оси балки при изгибе?
2.
Какая зависимость между прогибами и углами поворота сечений?
3.
При каких прогибах и углах поворота справедлива теория изгиба балок?
4.
Какие гипотезы приняты в теории изгиба балок?
5.
Как записывается дифференциальное уравнение упругой линии?
6.
Как записывается универсальное уравнение упругой линии?
7.
Что такое начальные параметры и из каких условий они определяются?
8.
Почему при экспериментальном определении прогиба проводится несколь-
ко нагружений?
9.
Чем объясняется расхождение между теоретическим и экспериментальным
значениями прогиба?
10.7. Библиографический список
23. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов / В. И. Феодосьев. – М.:
Высшая школа, 1989. – 624 с.
24. Дарков А. В. Сопротивление материалов/ А. В. Дарков, Г. С. Шпиро. –
М.: Высшая школа, 1989. – 624 с.
25. Александров А. В. Сопротивление материалов / А. В. Александров,
В. Д. Потапов, Б. П. Державин. – М.: Высшая школа, 1995. – 540 с.
26. Грибов А. П. Сопротивление материалов: сборник лабораторных работ
/ А. П. Грибов, А. М. Стахорский, С. В. Черная. – Ульяновск: УлПИ, 1989.
– 68 с.
27. Манжосов В. К. Лабораторные работы по сопротивлению материалов.
Часть 1 / В. К. Манжосов. – Ульяновск: УлГТУ, 2004. – 28 с.
28. Манжосов В. К. Расчет стержней при поперечном изгибе: методические
указания / В. К. Манжосов. – Ульяновск: УлГТУ, 1996. – 84 с.
29. Манжосов В. К. Расчет стержней при поперечном изгибе: методические
указания / В. К. Манжосов. – Ульяновск: УлГТУ, 2001. – 30 с.
30. Манжосов В. К. Сопротивление материалов. Основные положения и
примеры решения заданий. Часть 1: учебное пособие / В. К. Манжосов,
О. Д. Новикова. – Ульяновск: УлГТУ, 2004. – 136 с.