Манаков Н.Л., Некипелов А.А., Овсянников В.Д. Задачи по теоретической механике
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m ω
P, Q
q(t)
p = mωq ctg Q , P =
mωq
2
2 sin
2
Q
p =
√
2mωP cos Q, q =
r
2
mω
P sin Q p q
H =
p
2
2m
+
mω
2
q
2
2
H
0
(P, Q) = ωP
˙
Q = ω,
˙
P = 0.
Q = ω(t − t
0
), P = P
0
. q(t) =
r
2
mω
P
0
sin[ω(t −
t
0
)].
F
1
=
m
2
ω(t)q
2
ctg Q. P Q
ω(t)
q =
p
2P/(mω) sin Q, p =
√
2mωP cos Q
˙
Q = ω +
˙ω
2ω
sin 2Q,
˙
P = −P
˙ω
ω
cos 2Q
Q = a
11
q + a
12
p
P = a
21
q + a
22
p
H
0
(P, Q)
a
11
a
22
− a
12
a
21
= 1.
F(q, P)
p Q q P
p =
P − a
21
q
a
22
, Q =
q + a
12
P
a
22
,
F(q, P) =
1
2a
22
¡
a
12
P
2
+ 2Pq − a
21
q
2
¢
p Q P : p = a
11
P − a
21
Q
H =
p
2
2m
H
0
(P, Q) =
1
2m
(a
11
P − a
21
Q)
2
F
2
(x, y, z, P
ρ
, P
ϕ
, P
z
)
F
3
(p
x
, p
y
, p
z
, ρ, ϕ, z)
F
2
=
X
α
Q
α
(x, y, z)P
α
, α = ρ, ϕ, z, Q
ρ
= ρ, Q
ϕ
= ϕ, Q
z
= z;
F
3
= −
3
X
i=1
q
i
(ρ, ϕ, z)p
i
, q
1
= x, q
2
= y, q
3
= z.
F
2
= P
ρ
p
x
2
+ y
2
+ P
z
z + P
ϕ
arctg
x
y
F
3
= −p
x
ρ cos ϕ − p
y
ρ sin ϕ − p
z
z.
F
2
(ρ, ϕ, z, P
r
, P
θ
, P
ϕ
)
F
2
= P
r
p
ρ
2
+ z
2
+ P
θ
arctg
ρ
z
+ P
ϕ
ϕ.
Q
α
˙
Q
α
(q, p) =
X
β
∂Q
α
∂q
β
˙q
β
+
∂Q
α
∂p
β
˙p
β
˙p
β
˙
Q
α
=
X
β
∂Q
α
∂q
β
∂H
∂p
β
−
∂Q
α
∂p
β
∂H
∂q
β
.
∂H
∂p
β
=
X
γ
∂H
∂P
γ
∂P
γ
∂p
β
+
∂H
∂Q
γ
∂Q
γ
∂p
β
=
X
γ
˙
Q
γ
∂P
γ
∂p
β
−
˙
P
γ
∂Q
γ
∂p
β
,
∂H
∂q
β
=
X
γ
∂H
∂P
γ
∂P
γ
∂q
β
+
∂H
∂Q
γ
∂Q
γ
∂q
β
=
X
γ
˙
Q
γ
∂P
γ
∂q
β
−
˙
P
γ
∂Q
γ
∂q
β
.
Q P H = H(q, p)
H
0
= H
˙
Q
α
=
X
β
∂Q
α
∂q
β
X
γ
µ
˙
Q
γ
∂P
γ
∂p
β
−
˙
P
γ
∂Q
γ
∂p
β
¶
−
X
β
∂Q
α
∂p
β
X
γ
µ
˙
Q
γ
∂P
γ
∂q
β
−
˙
P
γ
∂Q
γ
∂q
β
¶
.
˙
Q
α
=
X
γ
{P
γ
, Q
α
}
p,q
˙
Q
γ
+
X
γ
{Q
α
, Q
γ
}
p,q
˙
P
γ
.
Q P
˙
Q
˙
P
Q P
{P
γ
,Q
α
}
p,q
= δ
γ,α
, {Q
α
,Q
γ
}
p,q
= 0.
˙
P
α
.
Q, P, H
0
D =
∂(Q, P)
∂(q, p)
=
∂(Q, P)
∂(q, P)
∂(q, p)
∂(q, P)
,
∂(Q, P)
∂(q, P)
=
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
∂Q
1
∂q
1
. . .
∂Q
1
∂q
s
0 . . . 0
∂Q
s
∂q
1
. . .
∂Q
s
∂q
s
0 . . . 0
∂P
1
∂q
1
. . .
∂P
1
∂q
s
1 . . . 0
∂P
s
∂q
1
. . .
∂P
s
∂q
s
0 . . . 1
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
,
∂(q, p)
∂(q, P)
=
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
1 . . . 0
∂q
1
∂P
1
. . .
∂q
1
∂P
s
0 . . . 1
∂q
s
∂P
1
. . .
∂q
s
∂P
s
0 . . . 0
∂p
1
∂P
1
. . .
∂p
1
∂P
s
0 . . . 0
∂p
s
∂P
1
. . .
∂p
s
∂P
s
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
.
∂(Q, P)
∂(q, P)
=
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
∂Q
1
∂q
1
. . .
∂Q
1
∂q
s
∂Q
s
∂q
1
. . .
∂Q
s
∂q
s
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
,
∂(q, p)
∂(q, P)
=
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
∂p
1
∂P
1
. . .
∂p
1
∂P
s
∂p
s
∂P
1
. . .
∂p
s
∂P
s
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
.
F(q, P, t)
∂Q
α
∂q
β
=
∂
∂q
β
µ
∂F
∂P
α
¶
=
∂
2
F
∂q
β
∂P
α
=
∂
∂P
α
µ
∂F
∂q
β
¶
=
∂p
β
∂P
α
,
D = 1.
{q
α
P
β
}
H
0
F(q, P)
H
0
=
∂F
∂t
+ H = 0.
H = H(p, q, t) p
α
F
p
α
=
∂F
∂q
α
.
H(p, q, t) p
α
∂F
∂q
α
F(q, t)
∂F
∂t
+ H
µ
∂F
∂q
α
, q
β
, t
¶
= 0.
s
γ
α
P
α
F q P t
Q
α
F
∂F
∂P
α
= Q
α
, α = 1, . . . , s.
H
0
= 0 ⇒
˙
Q
α
= 0 ⇒ Q
α
= const
P
α
Q
α
t
q
α
q
α
= q
α
(t, P
α
, Q
α
).
p
α
= p
α
(t, P
α
, Q
α
),
2s
P
a
, Q
α
p
0
≡ p(t = t
0
) q
0
≡ q(t = t
0
)
S = S(q, t)
∂S(q, t)
∂t
+ H
µ
∂S
∂q
α
, q
α
, t
¶
= 0
(H 6= H(t))
S(q, t) = S
0
(q) − Et
H
µ
∂S
0
∂q
α
, q
α
¶
= E.
q
1
S
0
(q
1
, . . . , q
s
) = γ
1
q
1
+ S
(1)
0
(q
2
, . . . , q
s
),
γ
1
q
1
∂S
0
∂q
1
H
ϕ
1
µ
q
1
,
∂S
0
∂q
1
¶
S
0
(q
1
, . . . , q
s
) = S
1
(q
1
) + S
0
0
(q
2
, . . . , q
s
),
S
1
S
0
0
ϕ
1
µ
q
1
,
∂S
1
∂q
1
¶
= α
1
α
1
H
µ
q
2
,
∂S
0
0
∂q
2
, . . . , q
s
,
∂S
0
0
∂q
s
, α
1
¶
= E
S
0
0
(s − 1)
ω
H(x, p) =
p
2
2m
+
mω
2
2
x
2
.
1
2m
µ
∂S
∂x
¶
2
+
mω
2
2
x
2
+
∂S
∂t
= 0.
S = −Et + S
0
(x).
S
0
1
2m
µ
∂S
0
∂x
¶
2
+
mω
2
2
x
2
− E = 0 ,
S = −Et +
Z
p
2mE −(mωx)
2
dx.
E
∂S
∂E
= β,
−t +
Z
m dx
p
2mE −(mωx)
2
= β.
x =
r
2E
mω
2
sin[ω(t + β)].
x
p =
∂S
∂x
=
√
2mE cos[ω(t + β)].
z
H =
1
2m
¡
p
2
x
+ p
2
y
+ p
2
z
¢
+ mgz,
∂S
∂t
+
1
2m
"
µ
∂S
∂x
¶
2
+
µ
∂S
∂y
¶
2
+
µ
∂S
∂z
¶
2
#
+ mgz = 0;
x
y
S = −E
0
t + γ
1
x + γ
2
y + W (z).
γ
1
=
∂S
∂x
= p
x
= const γ
2
= p
y
= const
W
1
2m
"
p
2
x
+ p
2
y
+
µ
∂W
∂z
¶
2
#
+ mgz = E
0
,
W = −
1
3m
2
g
£
2m(E
0
− mgz) − p
2
x
− p
2
y
¤
3/2
.
∂S
∂γ
1
= const = β
1
= x +
p
x
m
2
g
q
2m(E
0
− mgz) − p
2
x
− p
2
y
,
∂S
∂γ
2
= const = β
2
= y +
p
y
m
2
g
q
2m(E
0
− mgz) − p
2
x
− p
2
y
,
∂S
∂E
0
= const = β
3
= −t −
1
mg
q
2m(E
0
− mgz) − p
2
x
− p
2
y
.
p
z
p
z
=
∂S
∂z
=
q
2m(E
0
− mgz) − p
2
x
− p
2
y
.
l
S = −Et +
Z
p
2ml
2
(E + mgl cos ϕ) dϕ
t − t
0
=
1
2
Z
s
2ml
2
E + mgl cos ϕ
dϕ
α
x y
y
S = +p
0y
y +
1
3m
2
g sin α
¡
2mE −p
2
0y
+ 2m
2
gx sin α
¢
3/2
U = a(r) +
b(θ)
r
2
H =
1
2m
Ã
p
2
r
+
p
2
θ
r
2
+
p
2
ϕ
r
2
sin
2
θ
!
+ a(r) +
b(θ)
r
2
.
S
0
1
2m
µ
∂S
0
∂r
¶
2
+ a(r) +
1
2mr
2
"
µ
∂S
0
∂θ
¶
2
+ 2mb(θ)
#
+
1
2mr
2
sin
2
θ
µ
∂S
0
∂ϕ
¶
2
= E.
ϕ p
ϕ
= const
H
H = ϕ
1
(r, p
r
) = E.
ϕ
1
(r, p
r
) =
1
2m
p
2
r
+ a(r) +
1
2mr
2
ϕ
2
(θ, p
θ
).
ϕ
2
(θ, p
θ
) = p
2
θ
+ 2mb(θ) +
p
2
ϕ
sin
2
θ
= β = const.
r θ
S
0
S
0
= p
ϕ
ϕ + S
1
(r) + S
2
(θ)
§
e
a
Z a
U(r) =
e
r
3
(a · r).
S = −Et+p
ϕ
ϕ+
Z
Ã
β − 2mea cos θ −
p
2
ϕ
sin
2
θ
!
1/2
dθ+
Z
µ
2mE −
β
r
2
¶
1/2
dr.
∂S
∂p
ϕ
= ϕ −
Z
p
ϕ
sin
2
θ
Ã
β − 2mea cos θ −
p
2
ϕ
sin
2
θ
!
−1/2
dθ = ϕ
0
;
∂S
∂β
=
1
2
Z
Ã
β − 2mea cos θ −
p
2
ϕ
sin
2
θ
!
−1/2
dθ −
1
2
Z
1
r
2
µ
2mE −
β
r
2
¶
−1/2
dr = B.
t v = v(r, t)
ρ = ρ(r, t) p = p(r, t)
∂ρ
∂t
+ div ρv = 0,
∂v
∂t
+ (v∇)v = −
1
ρ
grad p + g,
g
v
n
|
S
= 0, v
n
v S
s
ds
dt
= 0,
∂s
∂t
+ v∇s = 0.