Лукьянова Г.С., Новиков А.И. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства
Подождите немного. Документ загружается.
Ответ:
∞−
3
1
; .
3.2. Неравенства с модулем
Решение неравенств вида
(
)
(
)
xgxf ≥ ,
(
)
(
)
xgxf ≤ ,
(
)
(
)
xgxf ≤ , где
(
)
xg ,
(
)
xf - рациональные функции, можно
выполнять, опираясь на определение модуля функции
()
(
)
(
)
() ()
<−
≥
=
.xf,xf
,xf,xf
xf
0
0
Так
() ()
(
)
() ()
()
() ()
≤−
<
≤
≥
⇔≤
.xgxf
,xf
;xgxf
,xf
xgxf
0
0
x
2
1
3
1
x
2
1
Рис. 3.4
Однако решения названных неравенств во многих случаях
удобнее выполнять, пользуясь альтернативными
равносильными формами, а именно:
() ()
(
)
(
)
() ()
−≤
≥
⇔≥
xgxf
,xgxf
xgxf
(3.7)
() ()
(
)
() ()
() ()
−≥
≤
≥
⇔≤
,xgxf
,xgxf
,xg
xgxf
0
(3.8)
Для строгих неравенств
(
)
(
)
xgxf > и
(
)
(
)
xgxf < в (3.7)
и (3.8) соответственно заменяются знаки нестрогих неравенств
на строгие.
Пример 3.5. Решить неравенство
213
2
+>+− xxx
.
Решение. Следуя (3.7), получаем
⇔
<+−
>−−
⇔
−−<+−
+>+−
⇔+>+−
032
014
213
213
213
2
2
2
2
2
xx
xx
xxx
xxx
xxx
(
)
(
)
∅∈
+∞+∪−∞−∈
.x
;;x 5252
Ответ:
(
)
(
)
∞++∪−∞− ;; 5252 .
Пример 3.6. Решить неравенство
(
)
(
)
3333
2
+<+++ xxxx
.
Решение. По аналогии с (3.8) записываем равносильную
систему неравенств
( )
( )
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
⇔
>+
+−>+++
+<+++
⇔+<+++
;x
,xxxx
,xxxx
xxxx
03
3333
3333
3333
2
2
2
(
)
(
)
( )
( )
( )( )
>++
>+
<++
⇔
>+
>+++
<+++
.xx
,x
,xx
,x
,xxx
,xxx
043
03
012
03
0433
0233
2
2
2
Неравенство
043
2
>++ xx
справедливо для любого
Rx
∈
. Решением системы неравенств
(
)
(
)
>+
<++
03
012
x
,xx
является интервал
(
)
12 −− ; .
Ответ:
(
)
12 −− ; .
Для решения рациональных неравенств с модулями полезно
использовать геометрический смысл модуля.
Неравенство rax ≤− означает, что расстояние
(
)
a,xρ от
точки
x
на числовой оси до точки
a
не должно превышать
числа
(
)
0≥rr , т.е.
(
)
ra,x ≤ρ (рис.3.5).
x
a
r
a
+
r
a
−
r
r
Рис. 3.5
Таким образом,
raxrarax +≤≤−⇔≤− (3.9)
или
[
]
ra;raxrax +−∈⇔≤− .
Соответственно, rax ≥− означает, что расстояние
(
)
a,xρ от точки
x
до точки
a
должно быть больше или равно
r
, т.е.
(
)
ra,x ≥ρ (рис.3.6).
При этом
+≥
−≤
⇔≥−
,rax
,rax
rax
(3.10)
т.е.
(
]
[
)
.;rara;x +∞+∪−∞−∈
Решением строгого неравенства rax <− ,
0
>
r
является
интервал
(
)
ra;ra +− , а неравенства rax >− - объединение
бесконечных промежутков
(
)
(
)
.;rara; +∞+∪−∞−
Пример 3.7. Решить систему неравенств
x
a
r
a
−
r
a
+
r
r
(
)
ax,
ρ
x
Рис. 3.6
≥+
<−
.x
,x
312
43
Решение. Будем решать каждое неравенство системы с
использованием геометрического смысла модуля разности
ax − , т.е. равносильных неравенств (3.9) и (3.10):
=+−≥
=−−≤
+<<−
⇔
≥+
<−
⇔
≥+
<−
,x
,x
;x
,x
,x
,x
,x
1
2
3
2
1
2
2
3
2
1
4343
2
3
2
1
43
312
43
откуда
(
)
(
]
[
)
(
)
∞+∪−∞−∩−∈ ;;;x 1271 или
[
)
71;x∈ .
Ответ:
[
)
71; .
Пример 3.8. Решить неравенство
813 ≤−++ xx . (3.11)
Решение. Способ 1. Неравенство (3.11) можно переписать в
виде
(
)
(
)
813 ≤+− ;x;x ρρ , (3.12)
откуда следует, что сумма расстояний от точки
x
на числовой
прямой до точек
(
)
3− и 1 должна быть меньше или равна 8. Все
точки отрезка
[
]
13;− удовлетворяют этому неравенству, так как
(
)
(
)
413 =+− ;x;x ρρ для любого
[
]
13;x −∈ (см. пример 2.9,
способ 2).
Для всех
1
>
x
:
(
)
(
)
143 ++=− x;xρ ,
(
)
11 −= x;xρ (см.
рис.3.7). Поэтому неравенство (3.12) при
1
>
x
принимает вид
(
)
38124 ≤⇔≤−+ xx .
Аналогично находим, что все точки
[
)
35 −−∈ ;x также
удовлетворяют неравенству (3.12).
Окончательно получаем, что решением неравенства (3.11)
является отрезок
[
]
35;− (
[
]
[
)
[
]
(
]
31133535 ;;;; ∪−∪−−=− ).
Способ 2. Точки
3
−
=
x
и
1
=
x
разбивают числовую
прямую на три интервала, на каждом из которых модули 3+x
и 1−x раскрываются соответствующим образом (рис3.8).
Неравенство (3.11) будет равносильно совокупности
.x
;x
,x
;
,x
;x
,x
;xx
,x
;xx
,x
;xx
,x
35
3
1
84
13
5
3
813
1
813
13
813
3
≤≤−⇔
≤
≥
≤
<≤−
−≥
−<
⇔
≤−++
≥
≤−++
<≤−
≤−+−−
−<
(
)
1,x
ρ
(
)
3,
−
x
ρ
x
4
1
3
−
Рис. 3.7
Ответ:
[
]
35;− .
Пример 3.9. Решить неравенство
xxxx >−++−− 12123 .
Решение. Находим нули модулей, раскрываем модули
(рис.3.9) и рассматриваем совокупность неравенств,
равносильную исходному неравенству.
x
1
3
−
1
−
x
x
−
1
3
+
x
3
−
−
x
1
−
x
3
+
x
Рис. 3.8
>
∅∈
<≤−
−<
⇔
>
≥
<
<≤
<
<≤−
<
−<
⇔
>−+−−−
>
>−+−−−
<≤
>+−−−−
<≤−
>+−++−
−<
.x
,x
,x
,x
,x
,x
,x
,x
,x
,x
,x
,x
,xxxx
,x
,xxxx
,x
,xxxx
,x
,xxxx
,x
3
4
7
2
1
1
43
3
2
03
3
2
2
1
27
2
1
1
45
1
12123
3
2
12132
3
2
2
1
12132
2
1
1
12132
1
Отсюда
( )
.;;x;;;x
∞+∪
∞−∈⇔
∞+∪
−∪−∞−∈
3
4
7
2
3
4
7
2
11
Ответ:
∞+∪
∞− ;;
3
4
7
2
.
x
3
2
2
1
1
−
2
3
−
x
x
3
2
−
1
2
−
x
x
2
1
−
1
+
x
1
−
−
x
Рис. 3.9
Если в уравнении и неравенстве встречается модуль в
модуле, то сначала раскрывают внутренний модуль, а затем
внешний модуль.
Пример 3.10. Решить неравенство
31122 ≥−+−− xx .
Решение. Нуль модуля 1+x разбивает числовую прямую
на два промежутка, поэтому исходное неравенство равносильно
совокупности двух систем:
≥−−
−≥
≥+−−
−<
⇔
≥−−
−≥
≥−−−−
−<
.xx
,x
,xx
,x
,xx
,x
,xx
,x
322
1
3222
1
322
1
3222
1
Рассмотрим каждую систему совокупности отдельно.
I.
≥+−−
−<
.xx
,x
3222
1
Раскроем модули 2+x и 2−x (рис.3.11)
x
1
−
1
+
x
1
−
−
x
Рис. 3.10
С учетом неравенства
1
−
<
x
получим равносильные
совокупности
⇔
−<≤−
−<
⇔
−≤
−<≤−
≤
−<
⇔
≥−−+−
−<≤−
≥+++−
−<
,x
,x
,x
,x
,x
,x
,xx
,x
,xx
,x
12
2
3
1
12
3
2
3242
12
3242
2
(
)
11 −∞−∈⇔−<⇔ ;xx .
II.
≥−−
−≥
.xx
,x
322
1
С учетом рис.3.12 получаем равносильные совокупности
x
2
1
−
2
−
2
−
x
x
−
2
2
+
x
2
−
−
x
Рис. 3.11