Лухтура Ф.И. Таблицы газодинамических функций
Подождите немного. Документ загружается.
11
где h
страт
– высота стратосферы, м;
Т
0страт
, ρ
0страт
= р
0страт
/(RТ
0страт
), р
0страт
– соответственно тер-
модинамическая температура Кельвина, плотность воздуха и
давление на высоте h = 11000 м (Т
0страт
= 216,5 К, р
0страт
= 169,6
мм рт. ст.);
R – газовая постоянная для воздуха (R = 287,14 Дж/(кг⋅К)).
При задании высоты h однозначно задаются параметры
воздуха Т, р, ρ. На рис.1 представлены функции безразмерных
давления р/р
0ст
, температуры Т/Т
0ст
и плотности ρ/ρ
0ст
воздуха в
атмосфере по высоте над уровнем моря.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
050001000015000200002500030000
Высота над уровнем моря
H
, м
Отношение P/P
0
,T/T
0,
ρ
/
ρ
0
T /T
0
ρ
/
ρ
0
P
/P
0
Рис.1 – Графики функций Р/Р
0ст
, Т/Т
0ст
, ρ/ρ
0ст
= f(Н).
Все последующие таблицы относятся в основном к адиабатиче-
ским течениям совершенных газов: для трехатомных (и более) с
показателями изоэнтропы k = 1,3 (таблица 4 и 7); для двухатом-
12
ных газов - k = 1,4 (таблица 5 и 8); для одноатомных газов - k =
1,67 (таблица 6 и 9). Таблица 10 представляет постоянные коэф-
фициенты, часто встречающиеся в формулах для расчета газо-
динамических функций.
Таблицы 4÷6 описывают одномерные до- и сверхзвуковые
течения. Аргументом в таблицах является приведенная скорость
λ. В последнем столбце даны значения числа Маха М, в котором
масштабом служит местная скорость звука в движущемся пото-
ке. Аргументом в таблицах 7÷9 является число М. В последнем
столбце даны значения λ, в котором масштабом служит крити-
ческая скорость звука
0
1
2
RT
k
k
w
+
=
∗
. (1)
Между числами М и λ имеется связь
2
2
1
2
1
λ
λ
−
−
+
=
kk
M и
2
1
1
1
2
M
k
k
k
M
+
−
+
+
=λ . (2)
Величина λ может принимать значение от λ = 0 до
1
1
−
+
=
k
k
max
λ , соответствующей максимальной скорости w
max
при истечении в пустоту, т.е. при р = 0, Т = 0.
Число М есть отношение скорости газа к местной скорости
звука
kRT
w
a
w
M == . (3)
Число Маха может принимать любые значения от 0 до ∞
(при Т = 0). На рис.2 представлена функция М от приведенной
скорости λ.
13
Под безразмерной скоростью Λ понимают отношение ско-
рости газа к максимальной скорости истечения
1
1
1
2
1
1
0
+
−
=
−
=
−
+
==Λ
∗
k
k
RT
k
k
w
k
k
w
w
w
w
max
λ . (4)
Величина Λ может принимать значения от 0 до 1 (при w =
w
max
).
Все три безразмерные скорости являются критериями подо-
бия газовых потоков и характеризуют степень преобразования
тепловой энергии (энтальпии) в кинетическую энергию.
1.1 Газодинамические функции
(
)
λ
τ
,
(
)
λ
π
,
(
)
λ
ε
,
характеризующие термодинамическое состояние газа
Функция τ(λ) получена путем преобразования уравнения
Бернулли в форме уравнения теплосодержания (энтальпии) и
0
2
4
6
8
10
12
14
16
00,511,522,53
Приведенная скорость
λ
Число Маха М
к=1,3
к=1,4
к=1,67
Рис.2 – График функции М
=
f(
λ
)
14
представляет собой отношение температуры движущегося газа к
температуре адиабатно заторможенного потока газа:
()
2
0
1
1
1 λλτ
+
−
−==
k
k
T
T
(5)
При изменении λ от 0 до максимального значения функция τ(λ)
убывает от 1 до 0. В критическом сечении при λ = 1
()
1
2
0
1
+
===
∗
∗
=
kT
T
ττ λ (6)
График функции τ(λ) для различных значений k представлен на
рис.3. С уменьшением k от 1,67 до 1,3 значения функции τ(λ)
возрастают.
Функция ε(λ) получена путем преобразования уравнения
Бернулли и уравнения адиабатного процесса и равна отноше-
нию плотности ρ движущегося газа к плотности ρ
0
адиабатно
заторможенного газа в том же сечении
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
00,511,522,53
Приведенная скорость
λ
Приведенная температура
к=1,3
к=1,4
к=1,67
Рис.3 – График функции
τ
=
f(
λ
)
15
()
1
1
1
1
2
0
1
1
1
−
−
=
+
−
−==
k
k
k
k
τλ
ρ
ρ
λε (7)
При изменении λ от 0 до максимального значения функция ε(λ)
изменяется от 1 до 0. В критическом сечении при λ = 1
()
1
1
1
2
0
1
−
+
===
∗
∗
=
k
kρ
ρ
εελ (8)
График функции ε(λ) для различных значений k представлен на
рис.4. Кривая ε(λ) имеет точку перегиба, координаты которой
зависят от величины k,
k
k
−
+
=
3
1
пер
λ ,
1
1
3
24
пер
−
−
−
=
k
k
k
ε . (9)
Функция π(λ) получена аналогично ε(λ) и представляет со-
бой отношение давления р движущегося газа к давлению р
0
адиабатно заторможенного газа в том же сечении
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
00,511,522,5
Приведенная скорость
λ
Приведенная плотность
к=1,3
к=1,4
к=1,67
Рис.4 – График функции
ε
=
f(
λ
)
16
() ()()
λελτλλπ ⋅=
+
−
−==
−1
2
0
1
1
1
k
k
k
k
p
p
. (10)
При изменении λ от 0 до максимального значения функция π(λ)
изменяется от 1 до 0. В критическом сечении при λ = 1
()
1
1
2
0
1
−
+
===
∗
∗
=
k
k
kp
p
ππλ . (11)
График функции π(λ) для различных значений показателя адиа-
баты k представлен на рис.5. С ростом k функция π(λ) уменьша-
ется при всех значениях λ.
Важнейшим примером применения функции π(λ) является
определение скорости потока газа по измеренным (или извест-
ным) р и р
0
()()
TaMwM
p
p
⋅=→→→
0
λπ (12)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
00,511,522,5
Приведенная скорость
λ
Приведенное давление
к=1,3
к=1,4
к=1,67
Рис.5 – График функции
π
=
f(
λ
)
17
(
)
0
Tww
∗
⋅
=
→
λ
λ
Функцию τ(λ) можно использовать для определения охлаж-
дения газа при адиабатическом ускорении или нагревания при
адиабатическом полном торможении. Например,
()()()
0
0
TT
p
p
⋅=→→→ λτλτλπ (13)
()
λτ
T
T =
0
1.2 Функции
(
)
λ
q и
(
)
λ
y , характеризующие поток массы
Функция
(
)
λ
q называется приведенной плотностью потока
массы (или приведенной плотностью тока) и представляет собой
отношение плотности тока ρw в произвольном сечении F к кри-
тической плотности тока ρ
∗
w
∗
(в критическом сечении F
∗
) и мо-
жет быть получена путем преобразования уравнения сохранения
массы
()
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
−−
+
−
−
+
===
∗
∗∗
kk
k
kk
F
F
w
w
q λλ
ρ
ρ
λ , (14)
Функция
(
)
λ
q может выражаться и через число М
()
)1(2
1
)1(2
1
2
2
1
1
2
1
−
+
−
+
−
−
+
+
=
k
k
k
k
M
k
M
k
Mq , (15)
и изменяется от
()
0
0
=
=λ
q до
(
)
0
=
max
q
λ
. Максимальное значе-
ние функция получает при λ = 1:
()
(
)
∗=
=
=
λ
λ
qq 1
1
(16)
Характер изменения функции таков, что она имеет два
равных значения при двух различных значениях аргумента λ - в
до- и сверхкритической области.
Кривая имеет точку перегиба, лежащую в области сверх-
критических скоростей. Координаты точки перегиба:
3
пер
=λ ,
()
1
1
23
пер
−
−=
k
kq . (17)
18
График функции для различных значений k представлен на
рис.6. В области дозвуковых и небольших сверхзвуковых скоро-
стей влияние k на
(
)
λ
q незначительно. Заметное влияние на-
блюдается лишь начиная с λ = 1,5.
Поскольку функция π(λ) может являться функцией двух ар-
гументов: λ и М, то при решении многих практических задач
полезно просчитать
(
)
π
qq
=
, используя для установления этой
связи прямо таблицы 4÷9.
Важнейшим приложением функции
(
)
λ
q является расчет
расхода газа через параметры торможения по формуле
()
λq
RT
Fp
Km
0
0
= , (18)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
00,511,522,53
Приведенная скорость
λ
Приведенный расход q
к=1,3
к=1,4
к=1,67
Рис.6 – График функции
π
=
f(
λ
)
19
где
1
1
1
2
−
+
+
=
k
k
k
kK . Значения К для различных показателей
адиабаты газов приводятся в табл. 10. Функция
(
)
λ
q должна
быть взята по параметрам сечения с площадью F. Так, если F –
площадь выходного сечения сопла, то значение
(
)
λ
q можно оп-
ределять из табл.4÷9 по величине
()
1
2
0
1
1
1
−
+
−
−==
k
k
a
a
a
k
k
p
p
λλπ ,
где р
а
– давление во внешней среде, куда происходит истечение
газа. Сказанное справедливо при докритическом истечении
()
1
1
2
0
−
+
==≥
∗
∗
k
k
kp
p
a
πλπ и при сверхкритическом истечении
(
)
∗
≤
π
λ
π
a
на расчетном режиме, когда давление в потоке на
выходе из сопла равно давлению во внешней среде (р
вых
= р
а
).
Критические значения τ(λ), π(λ), ε(λ),
(
)
λ
q также содержатся в
строке таблиц ГДФ с λ = 1.
Некоторых комментариев требует применение функций
(
)
λ
q и
(
)
λ
π
. Как отмечено выше, необходимо иметь в виду, что
функция
(
)
q
λ
- двухзначная, т.е. заданному значению
(
)
λ
q со-
ответствуют два значения приведенной скорости λ
дозв
< 1 и
λ
сверхзв
> 1 и соответственно два значения π(λ): π(λ
дозв
) и
π(λ
сверхзв
). В отличие от дозвуковых течений, где величина
(
)
λ
q
определяется полным перепадом давления
a
p
p
0
0
=Π или вели-
чиной
()
0
дозв
р
р
а
=λπ , при непрерывным течении, наоборот, при-
веденное давление
(
)
сверхзв
λ
π
определяется величиной
()
F
F
q
∗
=λ . Вычисляя расход газа, когда в горле сопла (мини-
мальном сечении) достигнута скорость звука, необходимо в вы-
ражении (18) положить F = F
min
и
(
)
1
=
λ
q .
20
Скорость сверхзвукового потока можно определять по схе-
ме (12) в том случае, если давление торможения известно или
измеряется до ускорения газа (например, в камере, откуда газ
истекает) при изоэнтропном течении, или известно в выходном
сечении при адиабатном течении с потерями. В случае измере-
ния полного давления (давления торможения) трубкой полного
напора (трубкой Пито), перед которой возникает прямой скачок
уплотнения, то для нахождения скорости следует использовать
зависимости для определения полного давления перед скачком
или соответствующие диаграммы и таблицы ГДФ, например [].
Функция
(
)
λ
y , также как и
(
)
λ
q , может быть получена из
уравнения сохранения массы. Обратная ее величина характери-
зует изменение статического импульса pF в сечении изоэнтроп-
ного потока в зависимости от скорости:
()
()
()
λπ
λ
λ
λ
λ
q
k
k
k
pF
Fp
y
k
=
+
−
−
+
==
−
∗
2
0
1
1
1
2
1
1
1
. (19)
0
10
20
30
40
50
00,511,522,53
Приведенная скорость
λ
Функция y
к=1,3
к=1,4
к=1,67
Рис.7 – График функции y
=
f(
λ
)