МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 8. Бесконечный цилиндр, шар. Определение количества теплоты тела конечных размеров
Тепломассообмен. Курс лекций 76
Если рассматривать охлаждение цилиндра при условии Bi 0
(прак-
тически Bi < 0,1), то при разложении функций
0
()J
и
1
()J
в степенные ря-
ды они становятся настолько быстросходящимися, что можно ограничиться
первыми членами ряда, и тогда
2
= 2Bi. Кроме того, коэффициенты всех
членов ряда бесконечной суммы равны нулю, кроме первого, который равен
единице, тогда безразмерная избыточная температура
2
01 0 1
/exp( Fo)Jrr .
На оси цилиндра (R = 0)
2
ц 1
exp( Fo), и на поверхности цилиндра
(R = 1)
2
п 01 1
exp( Fo)J .
Так как
2Bi 0 , то
1
() 1J
, и отношение температур на оси и
поверхности цилиндра тоже стремится к единице. Следовательно, темпера-
тура распределена равномерно и не зависит от радиуса цилиндра. Задача ста-
новится внешней, и протекание процесса определяется условиями охлажде-
ния на поверхности цилиндра.
Если число Фурье превышает 0,25, то ряд становится настолько быст-
росходящимся, что ошибка не превышает 1%, если распределение темпер
а-
туры ограничить первым членом ряда:
2
11
01 1
22
101 11
2()
( ) exp( Fo)
() ()
J
JR
JJ
.
Для центра и поверхности цилиндра (R = 0 и R = 1 соответственно) два
первых множителя зависят только от числа Bi, поэтому решение может быть
представлено в виде
2
ц 01
(Bi)exp( Fo)N ,
2
п 01
(Bi)exp( Fo)P .
Функции N
0
(Bi) и P
0
(Bi) могут быть рассчитаны заранее и представле-
ны в таблицах в зависимости от числа Bi, а безразмерные избыточные темпе-
ратуры для центра и поверхности цилиндра построены в виде номограмм.
Рассмотрим шар, радиус которого
r
0
. На поверхности шара заданы гра-
ничные условия третьего рода: коэффициент теплоотдачи = const, постоян-