Лобасова М.С. Тепломассообмен
Подождите немного. Документ загружается.
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 4. Теплопроводность цилиндрической стенки без внутренних источников тепла
Тепломассообмен. Курс лекций 41
Обозначим выражение
2
11 1 2 2
1
11 1
ln
2
l
k
d
ddd
,
с учетом которого уравнение (4.8) запишем как
ж1 ж2
().
ll
qkt t
Величина k
l
называется линейным коэффициентом теплопередачи. Она
характеризует интенсивность передачи тепла от одной подвижной среды к
другой через разделяющую их стенку. Значение k
l
численно равно количест-
ву тепла, которое проходит через стенку трубы длиной один метр в единицу
времени от одной жидкой среды к другой при разности температур между
ними в один градус.
Величина
ll
kR /1 , обратная коэффициенту теплопередачи, называется
линейным термическим сопротивлением
теплопередачи:
2
11 1 2 2
111 1
ln
2
l
l
d
R
kd d d
. (4.9)
Отдельные составляющие полного термического сопротивления
представляют
1
11
1
l
R
d
и
2
22
1
l
R
d
– линейные тепловые сопротив-
ления теплоотдачи на соответствующих поверхностях;
2
c
1
1
ln
2
l
d
R
d
линейное тепловое сопротивление теплопроводности стенки.
В отличие от термических сопротивлений теплоотдачи для плоской
стенки здесь термические сопротивления теплоотдачи зависят не только от
коэффициента теплоотдачи, но и от диаметра стенки.
Если тепловой поток через цилиндрическую стенку отнести к внутрен-
ней или наружной поверхности стенки, то получим плотность теплового по-
тока, отнесенную к единице соответствующей поверхности трубы:
)
(
2
1
1
1
ж
ж
l
l
t
t
d
k
ld
Q
q
2 ж1 ж2
22
().
l
k
Q
qtt
dl d
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 4. Теплопроводность цилиндрической стенки без внутренних источников тепла
Тепломассообмен. Курс лекций 42
Обозначим
1
1
l
k
k
d
и
2
2
l
k
k
d
, тогда
11 2 2l
kdkdk
, следова-
тельно,
11ж1 ж2
()qkt t
и
22ж1 ж2
()qkt t
.
Температуры поверхностей цилиндра:
c1 ж 1
11
1
l
q
tt
d
,
c2 ж 2
22
1
l
q
tt
d
.
В случае теплопередачи через многослойную цилиндрическую стенку
линейная плотность теплового потока определяется как
ж 1 ж 2
1
1
11 2 1
()
11 1
ln
2
l
n
i
i
ii n
tt
q
d
ddd
или
ж 1 ж 2
()
ll
qkt t
.
Величина
l
R
называется полным термическим сопротивлением тепло-
передачи многослойной цилиндрической стенки и равна:
1
1
11 2 1
11 1 1
ln .
2
n
i
l
i
liin
d
R
kd d d
Температуры стенок
1
c( 1) ж 1
1
11
11
ln .
2
m
li
m
i
ii
qd
tt
dd
Р
Р
а
а
с
с
ч
ч
е
е
т
т
т
т
е
е
п
п
л
л
о
о
п
п
е
е
р
р
е
е
д
д
а
а
ч
ч
и
и
в
в
т
т
о
о
н
н
к
к
и
и
х
х
ц
ц
и
и
л
л
и
и
н
н
д
д
р
р
и
и
ч
ч
е
е
с
с
к
к
и
и
х
х
с
с
т
т
е
е
н
н
к
к
а
а
х
х
На практике часто встречаются цилиндры, толщина стенок которых
мала по сравнению с диаметром [9
]. В этом случае при расчетах можно поль-
зоваться упрощенными формулами. Для получения таких формул поступим
следующим образом. Величину ln(d
2
/d
1
) разложим в ряд:
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 4. Теплопроводность цилиндрической стенки без внутренних источников тепла
Тепломассообмен. Курс лекций 43
...1
2
1
1ln
2
1
2
1
2
1
2
d
d
d
d
d
d
Если отношение диаметров стремится к единице, то такой ряд стано-
вится быстросходящимся, и с достаточной точностью можно ограничиться
первым членом ряда:
22 21
11 2 1
2
ln 1
dd dd
dd d d
,
где – толщина цилиндрической стенки.
Подставив значение ln(d
2
/d
1
) в уравнение (4.8), получим с учетом того,
что
21
dd
:
1
11
112212
11
.
12 1 1
2
k
dd
dd
(4.10)
Следовательно, если стенка трубы тонкая, то при практических расче-
тах можно пользоваться формулой
ж1 ж 2
()
x
Qkdlt t
, где k взят согласно
формуле (4.10
), т.е. как для плоской стенки. При этом если d
2
/d
1
< 2, то по-
грешность расчетов не превышает 4 %. Для многих технических расчетов та-
кая ошибка вполне допустима. Таким образом, для инженерных расчетов, ес-
ли d
2
/d
1
< 1,8, пользуются формулой (4.10).
Ошибку можно уменьшить, если в качестве расчетной поверхности в
уравнении (4.10
) брать поверхность, со стороны которой коэффициент теп-
лоотдачи меньше: если
1
>>
2
, то d
х
= d
2
; если
2
>>
1
, то d
х
= d
1
; если
12
, то d
х
= 0,5 (d
1
+ d
2
).
К
К
р
р
и
и
т
т
и
и
ч
ч
е
е
с
с
к
к
и
и
й
й
д
д
и
и
а
а
м
м
е
е
т
т
р
р
ц
ц
и
и
л
л
и
и
н
н
д
д
р
р
и
и
ч
ч
е
е
с
с
к
к
о
о
й
й
с
с
т
т
е
е
н
н
к
к
и
и
Рассмотрим влияние изменения наружного диаметра
d
2
на термическое
сопротивление однородной цилиндрической стенки (уравнение (4.9
)). При
постоянных значениях
1
,
2
, и d
1
полное термическое сопротивление теп-
лопередачи цилиндрической стенки будет зависеть только от внешнего диа-
метра. При этих условиях термическое сопротивление теплоотдачи на внут-
ренней поверхности цилиндра
1
11
1
const.
l
R
d
Термическое сопротивление
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 4. Теплопроводность цилиндрической стенки без внутренних источников тепла
Тепломассообмен. Курс лекций 44
теплопроводности
2
c
1
1
ln
2
l
d
R
d
с увеличением
d
2
будет увеличиваться, а терми-
ческое сопротивление теплоотда-
чи на наружной поверхности ци-
линдра
2
22
1
l
R
d
будет
уменьшаться. Очевидно, что пол-
ное термическое сопротивление
будет определяться характером
изменения термических сопротив-
лений теплопроводности и теплоотдачи от наружной поверхности (рис. 4.4
).
Для того чтобы выяснить, как будет изменяться полное термическое
сопротивление при увеличении толщины цилиндрической стенки, исследуем
ее как функцию внешнего диаметра, для чего возьмем производную от выра-
жения (4.9
) и приравняем ее к нулю:
2
2222
()
11
0.
() 2
l
dR
dd d d
Значение d
2
из последнего выражения соответствует экстремуму, а
именно минимуму функции. Таким образом, при значении диаметра
22
2/d термическое сопротивление теплопередачи будет минимальным.
Значение внешнего диаметра трубы, соответствующего минимальному
полному термическому сопротивлению теплопередачи в цилиндрической
стенке, называется критическим диаметром и рассчитывается по формуле
кр 2
2/ .d
При d
2
< d
кр
с увеличением d
2
полное термическое сопротивление теп-
лопередачи падает, так как увеличение наружной поверхности оказывает на
термическое сопротивление большее влияние, чем увеличение толщины
стенки. При d
2
> d
кр
с увеличением d
2
термическое сопротивление теплопе-
редачи возрастает, что указывает на
доминирующее влияние толщины
стенки.
Изложенные соображения не-
обходимо учитывать при выборе теп-
ловой изоляции различных цилинд-
рических аппаратов и трубопроводов.
Рассмотрим критический диа-
метр изоляции, наложенной на трубу
Рис. 4.5
Рис. 4.4
d
3эф
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 4. Теплопроводность цилиндрической стенки без внутренних источников тепла
Тепломассообмен. Курс лекций 45
(рис. 4.5). Термическое сопротивление теплопередачи для такой трубы
3
2
11 c 1 из 223
11 1 1 1
ln ln
22
l
l
d
d
R
kd d d d
.
Из уравнения /
ll
qtR следует, что линейная плотность теплового
потока при увеличении внешнего диаметра изоляции d
3
сначала будет воз-
растать и при достижении d
3
= d
кр.из
будет иметь максимум. При дальнейшем
увеличении внешнего диаметра изоляции тепловой поток будет падать
(рис. 4.5
).
Выбрав какой-либо теплоизоляционный материал для покрытия ци-
линдрической поверхности, прежде всего нужно рассчитать критический
диаметр изоляции
кр. из из 2
2/d . Если ока-
жется, что величина d
кр.из
больше наружного
диаметра трубы d
2
, то применение выбран-
ного материала в качестве тепловой изоля-
ции в области d
2
< d
3
< d
кр.из
приведет к тому,
что при увеличении толщины изоляции бу-
дет наблюдаться увеличение потерь тепла.
Только при d
3
= d
эф
потери тепла вновь ста-
нут такими же, как для первоначального, не-
изолированного трубопровода (рис. 4.6
).
Следовательно, некоторый слой тепло-
вой изоляции не будет оправдывать своего
назначения. Таким образом, для эффектив-
ной работы тепловой изоляции необходимо,
чтобы
2кр.из
dd
.
К
К
о
о
н
н
т
т
р
р
о
о
л
л
ь
ь
н
н
ы
ы
е
е
в
в
о
о
п
п
р
р
о
о
с
с
ы
ы
1. Запишите дифференциальное уравнение теплопроводности без внут-
ренних источников тепла для цилиндрической стенки и его решение.
2. Запишите расчетные формулы и единицы измерения следующих фи-
зических величин: линейная плотность теплового потока, линейные термиче-
ские сопротивления теплоотдачи, теплопередачи и теплопроводности много-
слойной цилиндрической стенки, линейный коэффициент теплопередачи.
3. Запишите выражение и схематически изобразите распр
еделение тем-
пературы в однородной и многослойной цилиндрических стенках при задан-
ных температурах поверхностей.
Рис. 4.6
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 4. Теплопроводность цилиндрической стенки без внутренних источников тепла
Тепломассообмен. Курс лекций 46
4. Запишите выражение для линейной плотности теплового потока в
случае многослойной цилиндрической стенки, состоящей из
n однородных
слоев, при заданных температурах ее поверхностей, а также в процессе теп-
лопередачи.
5. Дайте определение и запишите выражение для эквивалентного ко-
эффициента теплопроводности многослойной цилиндрической стенки.
6. В каком случае теплопередача в цилиндрической стенке может рас-
считываться по формулам для плоской стенки? Каким образом в этом случае
можно уменьшить ошибку при вычислении поверхности нагрева?
7. Запишите выражение для определения температуры в плоскости со-
прикосновения произвольных слоев многослой
ной цилиндрической стенки.
8. Дайте определение и запишите расчетную формулу для вычисления
критического диаметра изоляции.
9. Поясните, в каком случае тепловой поток через цилиндрическую
стенку будет возрастать при наложении изоляции.
10. В каких случаях увеличение теплового потока при наложении изо-
ляции играет полож
ительную роль?
Л
Л
е
е
к
к
ц
ц
и
и
я
я
5
5
.
.
Т
Т
е
е
п
п
л
л
о
о
п
п
р
р
о
о
в
в
о
о
д
д
н
н
о
о
с
с
т
т
ь
ь
ц
ц
и
и
л
л
и
и
н
н
д
д
р
р
и
и
ч
ч
е
е
с
с
к
к
о
о
й
й
с
с
т
т
е
е
н
н
к
к
и
и
п
п
р
р
и
и
н
н
а
а
л
л
и
и
ч
ч
и
и
и
и
в
в
н
н
у
у
т
т
р
р
е
е
н
н
н
н
и
и
х
х
и
и
с
с
т
т
о
о
ч
ч
н
н
и
и
к
к
о
о
в
в
т
т
е
е
п
п
л
л
а
а
Температурное поле в цилиндрической стенке при наличии внутренних
источников тепла. Теплопроводность однородного цилиндрического стерж-
ня при наличии тепловыделений. Теплопроводность цилиндрической стенки с
внутренними источниками тепла: тепло отводится только через внутрен-
нюю поверхность, тепло отводится только через наружную поверхность,
тепло отводится через обе поверхности.
Т
Т
е
е
м
м
п
п
е
е
р
р
а
а
т
т
у
у
р
р
н
н
о
о
е
е
п
п
о
о
л
л
е
е
в
в
ц
ц
и
и
л
л
и
и
н
н
д
д
р
р
и
и
ч
ч
е
е
с
с
к
к
о
о
й
й
с
с
т
т
е
е
н
н
к
к
е
е
п
п
р
р
и
и
н
н
а
а
л
л
и
и
ч
ч
и
и
и
и
в
в
н
н
у
у
т
т
р
р
е
е
н
н
н
н
и
и
х
х
и
и
с
с
т
т
о
о
ч
ч
н
н
и
и
к
к
о
о
в
в
т
т
е
е
п
п
л
л
а
а
Дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрической
системе координат при изменении температуры только от радиуса имеет вид
2
2
1
0.
v
q
dt dt
dr r dr
(5.1)
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 5. Теплопроводность цилиндрической стенки при наличиивнутренних источников тепла
Тепломассообмен. Курс лекций 47
Это уравнение, как и в предыдущем случае (см. уравнение 4.1), реша-
ется введением новой переменной
2
12
ln
4
v
qr
tCrC
. (5.2)
Значения постоянных интегрирования, а соответственно, зависимость
температуры от радиуса будут определяться граничными условиями кон-
кретной задачи.
Т
Т
е
е
п
п
л
л
о
о
п
п
р
р
о
о
в
в
о
о
д
д
н
н
о
о
с
с
т
т
ь
ь
о
о
д
д
н
н
о
о
р
р
о
о
д
д
н
н
о
о
г
г
о
о
ц
ц
и
и
л
л
и
и
н
н
д
д
р
р
и
и
ч
ч
е
е
с
с
к
к
о
о
г
г
о
о
с
с
т
т
е
е
р
р
ж
ж
н
н
я
я
п
п
р
р
и
и
н
н
а
а
л
л
и
и
ч
ч
и
и
и
и
т
т
е
е
п
п
л
л
о
о
в
в
ы
ы
д
д
е
е
л
л
е
е
н
н
и
и
й
й
Рассмотрим круглый цилиндр (рис. 5.1), радиус которого r
0
мал по
сравнению с длиной цилиндра. При этих условиях температура будет изме-
няться только вдоль радиуса. Внутренние источники тепла q
v
= const равно-
мерно распределены по объему тела, коэффициент теплопроводности равен
. Заданы постоянная температура окружающей среды t
ж
и постоянный по
всей поверхности коэффициент теплоотдачи . При этих условиях темпера-
тура на поверхности цилиндра одинаковая. Как и для пластины, задача будет
одномерной и симметричной. Температуры на оси цилиндрического стержня
t
0
и на его поверхности t
с
неизвестны. Кроме этих температур, необходимо
найти распределение температуры в стержне и количество тепла, отданного
им в окружающую среду.
Граничные условия запишем в следующем виде:
а) условие симметрии в центре стержня: при
r = 0
0/
0
r
drdt
;
б) теплоотдача с поверхности: при
r = r
0
0
c ж
/()
rr
dt dr t t
.
Постоянные интегрирования
С
1
и С
2
можно определить, если в уравнение (5.2
)
подставить граничные условия (5.3
). Тогда
получаем распределение температуры внутри
цилиндрического стержня:
22
0
ж 0
()
24
vv
qr q
tr t r r
.
Плотность теплового потока с поверх-
ности цилиндрического стержня
0
c ж
() .
2
v
qr
qtt
(5.3)
Рис. 5.1
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 5. Теплопроводность цилиндрической стенки при наличиивнутренних источников тепла
Тепломассообмен. Курс лекций 48
Т
Т
е
е
п
п
л
л
о
о
п
п
р
р
о
о
в
в
о
о
д
д
н
н
о
о
с
с
т
т
ь
ь
ц
ц
и
и
л
л
и
и
н
н
д
д
р
р
и
и
ч
ч
е
е
с
с
к
к
о
о
й
й
с
с
т
т
е
е
н
н
к
к
и
и
с
с
в
в
н
н
у
у
т
т
р
р
е
е
н
н
н
н
и
и
м
м
и
и
и
и
с
с
т
т
о
о
ч
ч
н
н
и
и
к
к
а
а
м
м
и
и
т
т
е
е
п
п
л
л
а
а
Рассмотрим однородную цилиндрическую стенку (трубу) с внутренним
диаметром d
1
и наружным диаметром d
2
(рис. 5.2) с постоянным коэффици-
ентом теплопроводности . Внутренние источники тепла q
v
= const равно-
мерно распределены по объему тела. Заданы постоянные температуры под-
вижных сред t
ж1
и t
ж2
, а также постоянные значения коэффициентов теплоот-
дачи
1
и
2
на внутренней и наружной поверхностях трубы. Необходимо
найти распределение температуры в цилиндрической стенке, температуры ее
поверхностей t
с1
и t
с2
и тепловой поток через нее.
Будем полагать, что длина трубы велика по сравнению с толщиной
стенки. Тогда потерями тепла с торцов трубы можно пренебречь. Дифферен-
циальное уравнение (5.1
) и его решение (5.2) будут теми же, изменятся гра-
ничные условия и, соответственно, постоянные интегрирования. Граничные
условия будут различными для разных случаев отвода тепла.
Если тепло отводится только через наружную поверхность
(рис. 5.2, а
), то граничные условия будут следующими:
при
r = r
1
1
/0
rr
dt dr
; при r = r
2
2
2c2ж2
/()
rr
dt dr t t
.
Из этих граничных условий определим постоянные интегрирования
С
1
и
С
2
в уравнении (5.2) и получим распределение температуры в цилиндриче-
ской стенке:
222
2
22
11
ж 2
22 222
() 1 1 2ln
24
vv
qr qr
rrrr
tr t
rrrr
.
Температура наружной поверхности цилиндрической стенки
Рис. 5.2
в б а
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 5. Теплопроводность цилиндрической стенки при наличиивнутренних источников тепла
Тепломассообмен. Курс лекций 49
2
2
1
с22ж2
22
() 1
2
v
qr
r
ttrt
r
.
Окончательно, с учетом температуры наружной поверхности
22
2
2
1
c2
222
() 1 2ln
4
v
qr
rrr
tr t
rrr
. (5.4)
Температура внутренней поверхности цилиндрической стенки
22
2
2
112
c1 1 c2
222
() 1 2ln
4
v
qr
rrr
ttrt
rrr
.
Падение температуры в стенке определим из выражения
22
2
2
112
c1 c2
222
12ln
4
v
qr
rrr
tt
rrr
.
Удельный тепловой поток с единицы теплоотдающей поверхности
2
2
1
2c22
2
() 1
2
v
qr
r
qtt
r
.
Если тепло отводится только через внутреннюю поверхность
(рис. 5.2, б
), то граничные условия запишем следующим образом. При r = r
2
2
/0
rr
dt dr
; при r = r
1
1
1c1ж1
/()
rr
dt dr t t
.
Аналогично предыдущему случаю из этих условий определяются соот-
ветствующие постоянные интегрирования, и после подстановки их в уравне-
ние (5.2
) получаем распределение температуры в цилиндрической стенке при
отводе тепла только через внутреннюю поверхность:
222
2
12
21
ж1
11 1 2 2
() 1 2ln
24
vv
qr qr
rrrr
tr t
rrrr
.
Температура внутренней поверхности
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 5. Теплопроводность цилиндрической стенки при наличиивнутренних источников тепла
Тепломассообмен. Курс лекций 50
2
1
2
c1 1 ж1
11
() 1
2
v
qr
r
ttrrt
r
.
Окончательно, с учетом температуры внутренней поверхности
22
2
2
1
c1
12 2
() 2ln
4
v
qr
rr r
tr t
rr r
. (5.5)
Тогда температура наружной поверхности будет определяться как
2
2
2
21
c2 2 c1
12
() 2ln 1
4
v
qr
rr
ttrrt
rr
.
Перепад температур в цилиндрической стенке
2
2
2
21
c2 c1
12
2ln 1
4
v
qr
rr
tt
rr
.
Удельный тепловой поток с единицы теплоотдающей поверхности
2
1
2
1c1 ж1
1
() 1
2
v
qr
r
qtt
r
.
В случае, если тепло отдается окружающей среде как с внутренней,
так и с внешней поверхностей, должен существовать максимум температур
внутри стенки (рис. 5.2, в
). Изотермическая поверхность с r = r
0
, соответст-
вующая максимальной температуре t
0
, разделяет цилиндрическую стенку на
два слоя. Во внутреннем слое тепло передается внутрь трубы, во внешнем –
наружу. Максимальное значение температуры соответствует условию
dt/dr = 0 и, следовательно, q = 0. Таким образом, для решения данной задачи
можно использовать уже полученные выше соотношения (5.4
) и (5.5), в кото-
рых следует заменить на r
0
внутренний и наружный радиусы соответственно:
22
2
внеш
20
c2
222
() 1 2ln
4
v
qr r r r
trt
rrr
, (5.6)