Лекции по теории случайных процессов
Подождите немного. Документ загружается.
1
ЛЕКЦИЯ
по учебной дисциплине “Теория вероятностей и математическая статистика”
для студентов специальности «Организация и технология защиты информации»
Раздел 2.СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Лекция № 2.1. Основные понятия.
Учебные и воспитательные цели:
1. Дать основные понятия о случайных функциях и случайных процессах.
2. Знать основную классификацию случайных процессов.
3. Знать основные характеристики случайных процессов.
Время - 80 минут
Учебно-материальное обеспечение:
Лектор-2000
Распределение времени лекции:
Вступительная часть. - 5 мин
Учебные вопросы лекции:
1. Основные понятия теории случайных процессов
- 30 мин
2. Основные характеристики случайных функций
- 40 мин
Заключение - 3 мин.
Задание студентам для самостоятельной работы - 2 мин.
СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ
Вступительная часть
Товарищи студенты! Продолжаем изучать дисциплину “Теория вероятностей и
математическая статистика”, которую вы начали изучать в прошлом семестре. Давайте
вспомним основные понятия теории вероятностей.
Предмет теории вероятностей. Наблюдаемые нами события (явления) можно
подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.
Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет
осуществлена определенная совокупность условий S. Невозможным, называют событие,
которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S.
Например, событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии» заведомо не
произойдет, если будет осуществлена совокупность условий предыдущего примера.
Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S
может либр произойти, либо не произойти. Например, если брошена монета, то она
может упасть так, что сверху будет либо герб, либо надпись. Поэтому событие «при
бросании монеты выпал «герб» - случайное. Большое число однородных случайных
событий независимо от их конкретной природы подчиняется определенным
закономерностям, а именно вероятностным закономерностям. Установлением этих
закономерностей и занимается теория вероятностей.
Итак, предметом теории вероятностей является изучение вероятностных
закономерностей массовых однородных случайных событий.
Вероятность — одно из основных понятий теории вероятностей. Существует
несколько определений этого понятия. Вспомним определение, которое называют
классическим. Вероятностью события
А
называют отношение числа
благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных
2
несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность
события А определяется формулой
P(A)=m/n,
где m — число элементарных исходов, благоприятствующих А; n — число всех
возможных элементарных исходов испытания.
Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:
1. Вероятность достоверного события равна единице.
2. Вероятность невозможного события равна нулю.
3.
Вероятность случайного события есть положительное число
,
заключенное
между нулем и единицей
.
Большинство событий состоят в появлении того или иного числа. (Бросание
игральной кости). Случайной называют величину, которая в результате
испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и
зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Будем
обозначать случайные величины прописными буквами X, Y, Z, а их возможные
значения—соответствующими строчными буквами х, y, z.
Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает
отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число
возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или
бесконечным.
Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения
из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных
значений непрерывной случайной величины бесконечно.
На первый взгляд может показаться, что для задания дискретной случайной величины
достаточно перечислить все ее возможные значения. В действительности это не так:
случайные величины могут иметь одинаковые перечни возможных значений, а вероятности
их — различные. Поэтому для задания дискретной случайной величины недостаточно
перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие
между возможными значениями и их вероятностями. (Можно задать таблично,
аналитически, графически).
Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто
закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями.
Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину
суммарно; такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К
числу важных числовых характеристик относятся математическое ожидание, дисперсия,
среднее квадратическое отклонение, начальные и центральные моменты и др.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называют сумму
произведений всех ее возможных значений x
i
на их вероятности p
i
∑
∞
=
=
1
)(
i
ii
pxXM .
Легко указать такие случайные величины, которые имеют одинаковые
математические ожидания, но различные возможные значения. По этой причине наряду с
математическим ожиданием вводят и другие числовые характеристики. Так, например,
для того чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг
ее математического ожидания, пользуются, в частности, числовой характеристикой,
которую называют дисперсией.
Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое
ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D
(
X
)
= M
[
X—М
(
Х
)]
2
3
(Отклонением называют разность между случайной величиной и ее
математическим ожиданиям).
Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего
значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится
среднее квадратическое отклонение.
Средним квадратическим отклонением случайной величины X называют квадратный
корень из дисперсии:
)()( XDX =
σ
Для задания непрерывных случайных величин вводят функции распределения
вероятностей случайной величины.
Функцией распределения называют функцию F (х), определяющую вероятность
того, что непрерывная случайная величина X в результате испытания примет значение,
меньшее х, т. е.
F(x) = P(X<x).
Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую
функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности
(иногда ее называют дифференциальной функцией).
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X
называют функцию f (x) — первую производную от функции распределения F(x):
f (x)= F
/
(x).
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные
значения которой принадлежат отрезку [a, b] называют определенный интеграл:
()
∫
=
b
a
dxxxfXM )(
Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое
ожидание квадрата ее отклонения:
() ()
[]
()
∫
−=
b
a
dxxfXMxXD
2
Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины
определяется также, как и для дискретной.
1. Основные понятия теории случайных процессов
Теорией случайных процессов называется математическая наука, изучающая
закономерности случайных явлений в динамике их развития.
Теория случайных процессов (в другой терминологии — теория случайных функций)
представляет собой сравнительно новый раздел теории вероятностей, особенно бурно
развивающийся в последние десятилетия в связи со все расширяющимся кругом его
практических приложений.
При изучении явлений окружающего мира мы часто сталкиваемся с процессами,
течение которых заранее предсказать в точности невозможно. Эта неопределенность
(непредсказуемость) вызвана влиянием случайных факторов, воздействующих на ход
процесса. Приведем несколько примеров таких процессов.
1. Напряжение в электросети, номинально постоянное и равное 220 В, фактически
меняется во времени, колеблется вокруг номинала под влиянием таких случайных факторов,
как количество и вид включенных в сеть приборов, моменты их включений и выключений и
т. д.
2. Население города (или области) меняется с течением времени случайным
(непредсказуемым) образом под влиянием таких факторов, как рождаемость, смертность,
миграция и т. д.
4
3. Уровень воды в реке (или в водохранилище) меняется во времени случайным
образом в зависимости от погоды, количества осадков, таяния снега, интенсивности
оросительных мероприятий и т. д.
4. Частица, совершающая броуновское движение в поле зрения микроскопа, меняет
свое положение случайным образом в результате соударений с молекулами жидкости.
5. Происходит полет космической ракеты, которую необходимо вывести в заданный
момент в заданную точку пространства с заданными направлением и абсолютным значением
вектора скорости. Фактическое движение ракеты не совпадает с расчетным из-за таких
случайных факторов, как турбулентность атмосферы, неоднородность горючего, ошибки в
отработке команд и т. д.
6. ЭВМ в ходе работы может случайным образом переходить из состояния в
состояние, например:
s
1
— работает исправно;
s
2
—имеется неисправность, но она не обнаружена;
s
з
— неисправность обнаружена, ведется поиск ее источника;
s
4
— ремонтируется и т. д.
Переходы из состояния в состояние происходят под действием случайных факторов,
таких как колебания напряжения в сети питания ЭВМ, выход из строя отдельных элементов,
момент обнаружения неисправностей, время их устранения и т. д.
Строго говоря, в природе не существует совершенно не случайных, в точности
детерминированных процессов, но есть процессы, на ход которых случайные факторы
влияют так слабо, что при изучении явления ими можно пренебречь (пример: процесс
обращения планет вокруг Солнца). Однако существуют и такие процессы, где случайность
играет основную роль (пример: вышерассмотренный процесс броуновского движения
частицы). Между двумя крайними случаями лежит целый спектр процессов, в которых
случайность играет большую или меньшую роль. Учитывать (или не учитывать) случайность
процесса зависит также и от того, какую практическую задачу мы решаем. Например, при
составлении расписания движения самолетов между двумя пунктами можно считать их
траектории прямолинейными, а движение — равномерным; те же допущения не подойдут,
если решается задача конструирования автопилота для управления полетом самолета.
Можно выделить два основных вида задач, решение которых требует
использования теории случайных функций (случайных процесов).
Прямая задача (анализ): заданы параметры некоторого устройства и его
вероятностные характеристики (математические ожидания, корреляционные функции,
законы распределения) поступающей на его «вход» функции (сигнала, процесса);
требуется определить характеристики на «выходе» устройства (по ним судят о
«качестве» работы устройства).
Обратная задача (синтез): заданы вероятностные характеристики «входной» и
«выходной» функций; требуется спроектировать оптимальное устройство (найти его
параметры), осуществляющее преобразование заданной входной функции в такую
выходную функцию, которая имеет заданные характеристики. Решение этой задачи
требует кроме аппарата случайных функций привлечений и других дисциплин.
Определение случайной функции. Случайной функцией называют функцию
неслучайного аргумента t, которая при каждом фиксированием значении аргумента
является случайной величиной. Случайные функции аргумента t обозначают
прописными буквами X (t), Y (t) и т. д.
Например, если U — случайная величина, то функция X(t) = t
2
U—случайная.
Действительно, при каждом фиксированном значении аргумента эта функция являете
5
случайной величиной: при t
1
= 2 получим случайную величину X
1
= 4U, при t
2
=1,5—
случайную величин Х
2
= 2,25 U и т.д.
Для краткости дальнейшего изложения введем понятие сечения.
Сечением случайной функции называют случайную величину, соответствующую
фиксированному значению аргумента случайной функции. Например, для случайной
функции X(t) = t
2
U, приведенной выше, при значениях, аргумента t
1
= 2 и t
2
= 1,5 были
получены соответственно случайные величины
X
1
= 4U и Х
2
= 2,25 U, которые и являются сечениями заданной случайной функции.
Итак, случайную функцию можно рассматривать как совокупность случайных
величин {X(t)}, зависящих от параметра t. Возможно и другое истолкование случайной
функции, если ввести понятие ее реализации.
Реализацией (траекторией, выборочной функцией) случайной функции X (t)
называют неслучайную функцию аргумента t, равной которой может оказаться случайная
функция в результате испытания.
Таким образом, если в опыте наблюдают случайную функцию, то в
действительности наблюдают одну из возможных ее реализаций; очевидно, при
повторении опыта будет наблюдаться другая реализация.
Реализации функции X (t) обозначают строчными буквами x
t
(t), x
z
(t) и т. д., где
индекс указывает номер испытания. Например, если X(t) = U sin t, где U —непрерывная
случайная величина, которая в первом испытании приняла возможное значение u
1
= 3, а
во втором испытании u
2
= 4,6, то реализациями X (t) являются соответственно
неслучайные функции х
1
(t) = 3 sin t и х
2
(t) = 4,6 sin t.
Итак, случайную функцию можно рассматривать как совокупность ее возможных
реализаций.
Случайным (стохастическим) процессом называют случайную функцию
аргумента t, который истолковывается как время. Например, если самолет должен лететь
с заданной постоянной скоростью, то в действительности вследствие воздействия
случайных факторов (колебание температуры, изменение силы ветра и др.), учесть
влияние которых заранее нельзя, скорость изменяется. В этом примере скорость самолета
— случайная функция от непрерывно изменяющегося аргумента (времени), т. е. скорость
есть случайный процесс.
Заметим, что если аргумент случайной функции изменяется дискретно, то
соответствующие ему значения случайной функции (случайные величины) образуют
случайную последовательность.
Аргументом случайной функции может быть не только время. Например, если
измеряется диаметр ткацкой нити вдоль ее длины, то вследствие воздействия случайных
факторов диаметр нити изменяется. В этом примере диаметр —случайная функция от
непрерывно изменяющегося аргумента (длины нити).
Очевидно, задать случайную функцию аналитически (формулой), вообще говоря,
невозможно. В частных случаях, если вид случайной функции известен, а определяющие
ее параметры — случайные величины, задать ее аналитически можно. Например,
случайными являются функции:
X(t) — sin Ωt, где Ω —случайная величина,
X(t) — U sin t, где U —случайная величина,
X(t) = U sin Ωt, где Ω и U—случайные величины.
Случайный процесс X(t) называется процессом с дискретным временем, если
система, в которой он протекает, может менять свои состояния только в моменты t
1
, t
2
,...
t
j
, ..., число которых конечно или счетно. Множество T является дискретным.
6
Примеры процессов с дискретным временем: 1) процесс работы ЭВМ, которая
может менять свои состояния в моменты t
1
, t
2
,... t
j
, ..., определяемые тактом работы
машины; 2) процесс работы технического устройства, которое осматривается в моменты
t
1
, t
2
, … и переводится в результате осмотра из одной категории в другую; 3) процесс
обстрела цели а моменты t
1
, t
2
, … , в ходе которого цель может менять свои состояния (не
повреждена, частично выведена из строя, перестала функционировать, полностью
разрушена и т. п.). Если рассматривается одномерный случайный процесс X(t) с
дискретным временем (моменты t
1
, t
2
, … ). то его сечения в эти моменты образуют
последовательность случайных величин: X(t
1
), X(t
2
),... В качестве аргумента
последовательности может быть выбран номер значения момента перехода: Х(1), Х(2),...
Случайный процесс X(t) называется процессом с непрерывным временем, если
переходы системы из состояния в состояние могут происходить в любой момент t
наблюдаемого периода τ.
Для процесса с непрерывным временем множество Т моментов, когда система
меняет свое состояние, несчетно (они непрерывно заполняют рассматриваемый участок
оси абсцисс). Примеры случайных процессов с непрерывным временем: 1) X(t)— число
отказов технического устройства от начала работы до момента t; 2) броуновское
движение частицы в поле зрения микроскопа; 3) число N(t) заболевших в данном городе
в ходе развития эпидемии к моменту t.
Одномерный случайный процесс X(t) называется процессом с непрерывными
состояниями, если его сечение в любой момент t представляет собой не дискретную, а
непрерывную (или смешанную) случайную величину и, значит, множество ее значений Ξ
(кси) несчетно. Аналогично, многомерный (векторный) случайный процесс называется
процессом с непрерывными состояниями, если при любом t множество возможных
значений случайного вектора, определяющего состояние системы S, в которой протекает
процесс, несчетно. Примеры с. п. с непрерывными состояниями: 1) напряжение U(t)
питания ЭВМ в момент t; 2) давление газа P(t) в заданном резервуаре в момент t; 3)
координаты частицы, совершающей броуновское движение X(t), Y(t), в момент t
(двумерный случайный процесс с непрерывными состояниями); 4) параметры,
характеризующие в момент t состояние космической ракеты, выводимой на орбиту
(многомерный случайный процесс с непрерывными состояниями).
Случайный процесс, протекающий в системе S, называется процессом с
дискретными состояниями, если в любой момент времени t множество его состояний 3
конечно или счетно; другими словами, если его сечение в любой момент t
характеризуется дискретной случайной величиной X(t) (в многомерном случае —
несколькими дискретными случайными величинами). Разумеется, все случайные
процессы с «качественными» состояниями относятся к категории процессов с
дискретными состояниями; сечение такого процесса представляет собой случайное
событие — аналог дискретной случайной величины.
Таким образом, в зависимости от характера множества Т значений аргумента t, в
которые возможны переходы системы из состояния в состояние, а также множества Ξ
самих состояний все случайные процессы можно разделить на четыре класса:
1а. Процессы с дискретными состояниями и дискретным временем.
16. Процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем.
2а. Процессы с непрерывными состояниями и дискретным временем.
26. Процессы с непрерывными состояниями и непрерывным временем.
Корреляционная теория случайных функций
Как известно, при фиксированном значении аргумента случайная функция
является случайной величиной. Для задания этой величины достаточно задать закон ее
7
распределения, в частности одномерную плотность вероятности. Например, случайную
величину X
1
=X(t
1
) можно задать плотностью вероятности f (х
1
); в теории случайных
функций ее обозначают через f
1
(x
1
; t
1
); здесь индекс 1 при f указывает, что плотность
вероятности одномерная, t
1
— фиксированное значение аргумента t, х
1
— возможное
значение случайной величины X
1
=X(t
1
). Аналогично, через f
1
(x
2
; t
2
), f
1
(x
3
; t
3
) и т. д.
обозначают одномерные плотности вероятности сечений X
2
=X(t
2
), X
3
=X(t
3
) и т. д.
Одномерную плотность вероятности любого сечения обозначают через f
1
(x; t),
подразумевая, что аргумент t принимает все допустимые значения. Например, если
случайная функция X (t) распределена нормально с параметрами m
x
(t) = 4,
σ
x
(t) = 3, то
()
()
()
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
−=
2
2
1
32
4
exp
23
1
;
t
tx
t
txf
π
Хотя функция f
1
(x; t), полностью характеризует каждое отдельно взятое сечение,
нельзя сказать, что она полностью описывает и саму случайную функцию. (Исключением
является случай, когда любой набор сечений образует систему независимых случайных
величин.) Например, зная лишь одномерную функцию распределения сечения,
невозможно выполнять над случайной функцией операции, требующие совместного
рассмотрения совокупности сечений.
В простейшем случае совместно рассматривают два сечения: X
1
=X(t
1
) и X
2
=X(t
2
).,
т.е. изучают систему двух случайных величин (X
1
, Х
2
). Известно, что эту систему можно
задать двумерным законом распределения, в частности двумерной плотностью
вероятности f
2
(x; t).
Хотя двумерный закон распределения описывает случайную функцию более
полно, чем одномерный (по известному двумерному можно найти одномерный закон), он
не характеризует случайную функцию исчерпывающим образом (исключением являются
случаи, когда случайная функция распределена нормально или представляет собой
марковский случайный процесс).
Аналогично обстоит дело и при переходе к трехмерным, четырехмерным
распределениям и т. д. Поскольку такой способ изучения случайных функций является,
вообще говоря, громоздким, часто идут по другому пути, не требующему знания
многомерных законов распределения, а именно изучают моменты, причем
ограничиваются моментами первых двух порядков.
Корреляционной теорией случайных функций называют теорию, основанную на
изучении моментов первого и второго порядка. Эта теория оказывается достаточной для
решения многих задач практики.
В отличие от случайных величин, для которых моменты являются числами и
поэтому их называют числовыми характеристиками, моменты случайной функции
являются неслучайными функциями (их называют характеристиками случайной
функции).
Далее рассмотрим следующие характеристики случайной функции:
математическое ожидание (начальный момент первого порядка), дисперсия
(центральный момент второго порядка), корреляционная функция (корреляционный
момент).
2. Основные характеристики случайных функций
Математическое ожидание случайной функции
Рассмотрим случайную функцию X(t). При фиксированном значении аргумента,
например при t = t
lt
получим сечение — случайную величину X(t
1
) с математическим
ожиданием М[X(t
1
)]. (Полагаем, что математическое ожидание любого сечения
8
существует.) Таким образом, каждое фиксированное значение аргумента определяет
сечение — случайную величину, а каждой случайной величине соответствует ее
математическое ожидание. Отсюда следует, что каждому фиксированному значению
аргумента t соответствует определенное математическое ожидание; это означает, что
математическое ожидание случайной функции есть функция (неслучайная) от аргумента
t; ее обозначают через m
x
(t). В частном случае функция m
x
(t) может сохранять постоянное
значение при всех допустимых значениях аргумента. Дадим теперь определение
математического ожидания.
Математическим ожиданием случайной функции X(t) называют неслучайную
функцию m
x
(t), значение которой при каждом фиксированном значении аргумента t
равно математическому ожиданию сечения, соответствующего этому же
фиксированному значению аргумента:
m
x
(t) = М[X(t
1
)].
Геометрически математическое ожидание случайной функции можно истолковать
как «среднюю кривую», около которой расположены другие кривые—реализации; при
фиксированном значении аргумента математическое ожидание есть среднее значение
сечения («средняя ордината»), вокруг которого расположены его возможные значения
(ординаты).
Свойства математического ожидания случайной функции:
з
Используя свойства математического ожидании случайной величины, легко
получить свойства математического ожидания случайной функции.
Свойство 1. Математическое ожидание неслучайной функции ϕ(t) равно самой
неслучайной функции:
M[ϕ(t)] = ϕ(t).
Свойство 2. Неслучайный множитель ϕ(t) можно выносить за знак
математического ожидания:
M[ϕ(t) X(t)] = ϕ(t) M[X(t)] =ϕ(t) т
х
(t).
Свойство 3. Математическое ожидание суммы двух случайных функций равно
сумме математических ожиданий слагаемых:
M[X(t) + Y(t)] = m
x
(t) + m
y
(t).
Следствие. Для того чтобы найти математическое ожидание суммы случайной и
неслучайной функций, достаточно к математическому ожиданию случайной функции
прибавить неслучайную функцию:
M[X(t) + ϕ(t)] = m
x
(t) + ϕ(t).
M[Y(t) X(t)] = M[Y(t)] M [X(t) ] +K
xy
;
Пример. Найти математическое ожидание случайной функции X(t) = U cos t, где U —
случайная величина, причем M(U)=2.
Решение. Найдем математическое ожидание, учитывая, что неслучайный множитель
cos t можно вынести за знак математического ожидания:
М [X (t)] = М [U cos t] = cos tM (U) = 2 cos t. Итак, искомое математическое ожидание
m
x
(t)=3 cos t.
Дисперсия случайной функции
Рассмотрим случайную функцию X (t). При фиксированном значении аргумента,
например при t = t
l
,
получим сечение — случайную величину X (t
l
) с дисперсией D[X
(t
l
)]≥0 (предполагается, что дисперсия любого сечения существует). Таким образом,
каждое фиксированное значение аргумента определяет сечение — случайную величину, а
каждой случайной величине соответствует ее дисперсия. Отсюда следует, что каждому
фиксированному значению аргумента t соответствует определенная дисперсия; это означает,
9
что дисперсия случайной функции есть функция (неслучайная, причем неотрицательная) от
аргумента t; ее обозначают через D
x
(t). В частном случае D
x
(t) может сохранять постоянное
значение при всех допустимых значениях аргумента. Дадим теперь определение дисперсии.
Дисперсией случайной функции X(t) называют неслучайную неотрицательную
функцию D
x
(t), значение которой при каждом фиксированном значении аргумента t равно
дисперсии сечения, соответствующего этому же фиксированному значению аргумента:
D
x
(t) = D[X(t)].
Дисперсия характеризует степень рассеяния возможных реализаций (кривых) вокруг
математического ожидания случайной функции («средней кривой»). При фиксированном
значении аргумента дисперсия характеризует степень рассеяния возможных значений
(ординат) сечения вокруг математического ожидания сечения («средней ординаты»).
Часто вместо дисперсии рассматривают среднее квадратическое отклонение
случайной функции, которое определяют по аналогии со средним квадратическим
отклонением случайной величины.
Средним квадратическим отклонением случайной функции называют квадратный
корень из дисперсии:
)()( tDt
xx
=
σ
Свойства дисперсии случайной функции
Используя свойства дисперсии случайной величины, легко получить свойства
дисперсии случайной функции.
Свойство 1. Дисперсия неслучайной функции ϕ(t) равна нулю:
D[ϕ(t)] = 0.
Свойство 2. Дисперсия суммы случайной функций X (t) и неслучайной функции ϕ(t)
равна дисперсии случайной функции:
D[X(t)+ϕ(t)]= D
x
(t).
Свойство 3. Дисперсия произведения случайной функции X (t) на неслучайную
функцию ϕ(t) равна произведению квадрата неслучайного множителя на дисперсию
случайной функции:
D[X(t)ϕ(t)]= ϕ
2
(t) D
x
(t).
D[Y(t) X(t)] = D[Y(t) ] D[X(t)]+m
x
2
D[Y(t) ] +m
y
2
D[X(t) ];
Пример. Найти дисперсию случайной функции X(t) = Usin t, где U — случайная
величина, причем D(U) = 6.
Решение. Найдем дисперсию, приняв во внимание, что неслучайный множитель sin t
можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат:
D [X (t)] = D[U sin t] = sin
2
tD (U) =6 sin
2
t. Итак, искомая дисперсия D[X(t)]=6sin
2
t.
Математическое ожидание и дисперсия характеризуют случайную функцию далеко не
полно. Можно привести примеры двух случайных функций, которые имеют одинаковые
математические ожидания и дисперсии, но поведение которых различно. Зная лишь эти две
характеристики, в частности, ничего нельзя сказать о степени зависимости двух сечений. Для
оценки этой зависимости вводят новую характеристику — корреляционную функцию. Далее
покажем, что, зная корреляционную функцию, можно найти и дисперсию; поэтому знать
закон распределения для отыскания дисперсии нет необходимости. Уже это обстоятельство
указывает на целесообразность введения корреляционной функции.
Прежде чем перейти к дальнейшему изложению, введем понятие центрированной
случайной функции по аналогии с понятием центрированной случайной величины
(центрированной случайной величиной называют разность между случайной величиной и ее
математическим ожиданием: Х = Х—т
х
).
10
Центрированной случайной функцией называют разность между случайной
функцией и ее математическим ожиданием:
X
&
(t) = X(t)-m
x
(t).
Корреляционная функция случайной функции
Рассмотрим случайную функцию X (t). При двух фиксированных значениях
аргумента, например при t = t
1
и t = t
2
получим два сечения — систему двух случайных
величин X (t
t
) и X (t
2
) с корреляционным моментом
(
)
(
)
[
]
21
tXtXM
&&
, где
X
&
(t
1
) = X(t
1
)-m
x
(t
1
),
X
&
(t
2
) = X(t
2
)-m
x
(t
2
).
Таким образом, каждая пара чисел t
1
и t
2
определяет систему двух случайных
величин, а каждой такой системе соответствует ее корреляционный момент. Отсюда
следует, что каждой паре фиксированных значений t
1
и t
2
, соответствует определенный
корреляционный момент; это означает, что корреляционный момент случайной функции
есть функция (неслучайная) двух независимых аргументов t
1
и t
2
; ее обозначают через
K
х
(t
1
, t
2
). В частном случае значения обоих аргументов могут быть равны между собой.
Приведем теперь определение корреляционной функции.
Корреляционной функцией случайной функции X(t) называют неслучайную
функцию K
х
(t
1
, t
2
) двух независимых аргументов t
1
и t
2
, значение которой при каждой
паре фиксированных значений аргументов равно корреляционному моменту сечений,
соответствующих этим же фиксированным значениям аргументов:
K
х
(t
1
, t
2
) =
(
)
(
)
[
]
21
tXtXM
&&
.
При равных между собой значениях аргументов t
1
и t
2
= t корреляционная функция
случайной функции равна дисперсии этой функции: K
х
(t
1
, t
2
) = D
x
(t).
Таким образом, достаточно знать корреляционную функцию, чтобы найти
дисперсию случайной функции.
Свойства корреляционной функции
Свойство 1. При перестановке аргументов корреляционная функция не
изменяется (свойство симметрии.):
K
х
(t
1
, t
2
)= K
х
(t
2
, t
1
).
Замечание 1. Прибавление к случайной функции X(t) неслучайного слагаемого ϕ(t) не
изменяет ее центрированной функции.
Свойство 2. Прибавление к случайной функции X (t) неслучайного слагаемого ϕ(t)
не изменяет ее корреляционной функции:
Если Y(t)= X(t)+ ϕ(t), то K
y
(t
1
, t
2
)= K
х
(t
1
, t
2
).
Свойство 3. При умножении случайной функции X (t) на неслучайный множитель
ϕ(t) ее корреляционная функция умножается на произведение ϕ(t
1
) ϕ(t
2
):
если Y(t)= X(t) ϕ(t), то K
y
(t
1
, t
2
)= K
х
(t
1
, t
2
) ϕ(t
1
) ϕ(t
2
).
Свойство 4. Абсолютная величина корреляционной функции не превышает
среднего геометрического дисперсий соответствующих сечений:
(
)
(
)
(
)
2121
, tDtDttK
xxx
≤
Нормированной корреляционной функцией случайной функции X(t), называют
неслучайную функцию двух независимых переменных t
1
и t
2
, значения которой при каждой
паре фиксированных значений аргументов равно коэффициенту корреляции сечений,
соответствующих этим же фиксированным значениям аргументов: