Лекции по теории случайных процессов
Подождите немного. Документ загружается.
11
()
(
)
() ()
21
21
21
,
,
tt
ttK
tt
xx
x
x
σσ
ρ
⋅
=
.
Учитывая, что
() ()
(
)
1111
,ttKtDt
xxx
==
σ
и
(
)
(
) ()
2222
,ttKtDt
xxx
==
σ
, получим
()
()
()
()
2211
21
21
,,
,
,
ttKttK
ttK
tt
xx
x
x
⋅
=
ρ
.
Нормированная корреляционная функция имеет те же свойства, что и
корреляционная функция, причем абсолютная величина нормированной корреляционной
функции не превышает единицы
()
1,
21
≤
tt
x
ρ
.
Вероятностный смысл нормированной корреляционной функции заключается в том,
что чем ближе модуль этой функции к 1, тем линейная связь между сечениями сильнее, и
наоборот, чем ближе модуль этой функции к 0, тем линейная связь между сечениями слабее.
Взаимной корреляционной функцией двух случайных функций X(t) и Y(t) называют
неслучайную функцию R
xy
(t
1
, t
2
) двух независимых аргументов t
1
и t
2
, значение которой при
каждой паре фиксированных значений аргументов равно корреляционному моменту сечений
обоих функций, соответствующих этим же фиксированным значениям аргументов:
()
[
]
)()(,
2121
tYtXMttR
xy
&&
=
.
Свойства взаимной корреляционной функции:
1.
При одновременной перестановке индексов и аргументов взаимная
корреляционная функция не изменяется: R
xy
(t
1
, t
2
)= R
yx
(t
2
, t
1
)
2.
Прибавление к случайным функциям X(t) и Y(t) неслучайных слагаемых,
соответственно ϕ(t) и ψ(t) не изменяет их взаимную корреляционную
функцию, т.е. если X
1
(t)= X (t)+ ϕ(t) и Y
1
(t)= Y(t)+ ψ(t), то R
xy
(t
1
, t
2
)= R
xy
(t
1
,
t
2
).
3.
При умножении случайных функций X(t) и Y(t) на неслучайные
множители соответственно ϕ(t) и ψ(t), взаимная корреляционная функция
умножается на произведение ϕ(t)⋅ψ(t), т.е. если X
1
(t)=X(t)⋅ ϕ(t) и Y
1
(t)=
Y(t)⋅ ψ(t), то R
xy
(t
1
, t
2
)= R
xy
(t
1
, t
2
)⋅ ϕ(t)⋅ψ(t).
4. Абсолютная величина взаимной корреляционной функции двух
случайных функций не превышает среднего геометрического их
дисперсий:
()
(
)
(
)
2121
, tDtDttR
yxxy
⋅≤
Нормированной взаимной корреляционной функцией двух случайных функций X(t) и
Y(t) называют неслучайную функцию двух независимых аргументов t
1
и t
2
:
()
(
)
()
()
(
)
() ()
21
21
2211
21
21
,
,,
,
,
tDtD
ttR
ttKttK
ttR
tt
yx
xy
yx
xy
y
x
⋅
=
⋅
=
ρ
Корреляционная функция суммы двух коррелированных случайных функций равна
сумме корреляционных функций слагаемых и взаимной корреляционной функции, которая
прибавляется дважды (с разным порядком следования аргументов), т.е., если Z(t)= X(t) + Y(t),
то
K
z
(t
1
, t
2
)= K
x
(t
1
, t
2
)+ K
y
(t
1
, t
2
)+ R
xy
(t
1
, t
2
)+ R
xy
(t
2
, t
1
).
Корреляционная функция случайной функции X(t) и некоррелированной с ней
случайной величины Y равна сумме корреляционных функций случайной функции и
дисперсии случайной величины, т.е., если Z(t)= X(t) + Y, то
K
z
(t
1
, t
2
)= K
x
(t
1
, t
2
)+D
y
.
12
ЛЕКЦИЯ
по учебной дисциплине “
Теория вероятностей и математическая статистика”
для студентов специальности «Организация и технология защиты информации»
Раздел 2.СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Лекция № 2.2. Стационарные случайные функции
Учебные и воспитательные цели:
1. Дать основные понятия о стационарных случайных функциях.
2.
Знать определения взаимной и нормированной взаимной корреляционной функции.
3.
Знать свойство эргодичнойсти случайной функции.
Время - 80 минут
Учебно-материальное обеспечение:
Лектор-2000
Распределение времени лекции:
Вступительная часть.
- 5 мин
Учебные вопросы лекции:
1.
Определение стационарной случайной функции
- 30 мин
2.
Эргодическое свойство стационарных случайных функций
- 40 мин
Заключение
- 3 мин.
Задание студентам для самостоятельной работы - 2 мин.
СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ
Вступительная часть
1. Определение стационарной случайной функции
Определение стационарной случайной функции
Среди случайных функций целесообразно выделить класс функций,
математические ожидания которых сохраняют одно и то же постоянное значение при
всех значениях аргумента t и корреляционные функции которых зависят только от
разности аргументов t
2
—t
1
. Ясно, что для таких функций начало отсчета аргумента может
быть выбрано произвольно. Такие случайные функции называют “стационарными в
широком смысле” в отличие от случайных функций, «стационарных в узком смысле»
(все характеристики этих функций не зависят от самих значений аргументов, но зависят
от их взаимного расположения на оси t).
Из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле;
обратное утверждение неверно.
Поскольку мы ограничиваемся корреляционной теорией, которая использует
только две характеристики (математическое ожидание и корреляционную функцию),
далее рассмотрим случайные функции, стационарные в широком смысле, причем будем
их называть просто стационарными.
Стационарной называют случайную функцию X(t), математическое ожидание
которой постоянно при всех значениях аргумента t и корреляционная функция которой
зависит только от разности аргументов t
2
—t
1
. Из этого определения следует, что:
1) корреляционная функция стационарной случайной функции есть функция
одного аргумента τ = t
2
—t
1
, т.е.
K
x
(t
1
, t
2
) = k
x
(t
2
-t
1
) = k(τ); (*)
2) дисперсия стационарной случайной функции постоянна при всех значениях
аргумента t и равна значению ее корреляционной функции в начале координат (τ = 0), т.
е.
13
D
x
(t) = К
х
(t, t) = k
x
(t-t) = k
x
(0).
Свойства корреляционной функции стационарной случайной функции
Свойство 1. Корреляционная функция стационарной случайной функции есть
четная функция:
k
x
(
τ
) = k
x
(-
τ
).
Доказательство. Корреляционная функция любой случайной функции при
перестановке аргументов не изменяется. В частности, для стационарной функции
k
x
(t
2
-t
1
) = k
x
(t
1
— t
2
). Положив
τ
= t
2
— t
1
, получим
k
x
(
τ
) = k
x
(-
τ
).
Свойство 2. Абсолютная величина корреляционной функции стационарной
случайной функции не превышает ее значения в начале координат:
|k
x
(
τ
)| = k
x
(0).
Нормированная корреляционная функция стационарной случайной функции
Кроме корреляционной функции для оценки степени зависимости сечений
стационарной случайной функции используют еще одну характеристику -
нормированную корреляционную функцию.
Ранее нормированная корреляционная функция была определена
()
()
() ()
21
21
21
,
,
tt
ttK
tt
xx
x
x
σσ
ρ
= (*)
В частности, для стационарной функции числитель и знаменатель этой дроби
имеют вид K
x
(t
1
, t
2
)=k
x
(τ),
()
(
)
(
)
0
xxx
ktDt ==
σ
.
Следовательно, для стационарной функции правая часть (*) равна k
x
(
τ
)/k
x
(0) и
является функцией одного аргумента τ; очевидно, и левая часть (*)—функция от τ.
Нормированной корреляционной функцией стационарной случайной функции
называют неслучайную функцию аргумента τ:
ρ
x
(τ)=k
x
(
τ
)/k
x
(0)
Абсолютная величина нормированной корреляционной функции стационарной случайной
функции не превышает единицы.
Стационарно связанные случайные функции
Стационарно связанными называют две случайные функции X(t) и Y(t), если их
взаимная корреляционная функция зависит только от разности аргументов τ=t
2
-t
1
R
xy
(t
1
, t
2
) = r
xy
(
τ
).
Взаимная корреляционная функция стационарно связанных случайных функций
обладает следующим свойством:
r
xy
(
τ
)=r
yx
(-
τ
).
Это равенство следует из свойства 1 взаимной корреляционной функции (при
одновременной перестановке индексов и аргументов взаимная корреляционная функция
не изменяется):
r
xy
(t
2
—t
1
) = r
yx
(t
1
—t
2
), или r
xy
(
τ
)=r
yx
(-
τ
).
Геометрически свойство можно истолковать так: график кривой r
yx
(-
τ
)
симметричен графику кривой r
ху
(
τ
) относительно оси ординат.
Заметим, что если каждая из двух случайных функций стационарна, то отсюда еще
нельзя заключить, что их взаимная корреляционная функция зависит только от разности
аргументов.
Стационарно связанными называют две стационарные случайные функции X(t) и
Y(t), взаимная корреляционная функция которых зависит только от разности аргументов
τ
= t
2
—t
1
.
Корреляционная функция производной стационарной случайной функции
14
Теорема. Корреляционная функция производной Х'(t) = x
&
дифференцируемой
стационарной случайной функции X(t) равна второй производной от ее корреляционной
функции, взятой со знаком минус:
(
)
(
)
τ
τ
xx
kk
′
′
−
=
&
Взаимная корреляционная функция стационарной случайной функции и ее
производной
Теорема. Взаимная корреляционная функция дифференцируемой стационарной
случайной функции X(t) и ее производной X' (t) = x
&
равна первой производной от
корреляционной функции k
x
(
τ
), взятой со своим (противоположным) знаком, если индекс
x
&
стоит на втором (первом) по порядку месте:
()
(
)
(
)
(
)
; ;
//
ττττ
xxxxxx
krkr −==
&&
Предполагается, что τ = t
2
-t
1
.
Корреляционная функция интеграла от стационарной случайной функции
Теорема. Корреляционная функция интеграла
() ()
∫
=
t
dssXtY
0
от
стационарной случайной функции равна
( ) ( ) () ( ) () ( ) ()
∫∫∫
−+−−−−=
−
1212
0
1
00
12221
,
t
xx
ttt
xy
dktdkttdktttK
τττττττττ
2. Эргодическое свойство стационарных случайных функций
Среди стационарных случайных функций можно выделить класс функций, оценка
характеристик которых путем усреднения множества реализаций равносильна усреднению
по времени только одной реализации достаточно большой длительности.
Стационарную случайную функцию X(t) называют эргодической, если ее
характеристики, найденные усреднением множества реализаций, совпадают с
соответствующими характеристиками, полученными усреднением по времени одной
реализации x(t), которая наблюдалась на интервале (0, Т) достаточно большой
длительности.
Достаточное условие эргодичности стационарной случайной функции X(t)
относительно математического ожидания состоит в том, что ее корреляционная
функция k
x
(
τ
) при
τ
→ ∞ стремится к нулю:
(
)
0lim
=
∞→
τ
τ
x
k
Достаточное условие эргодичности стационарной случайной функции X(t)
относительно корреляционной функции состоит в том, что корреляционная функция k
y
(
τ
)
при
τ
→ ∞ стремится к нулю:
(
)
0lim
=
∞→
τ
τ
y
k ,
где Y(t, τ)=
() ( )
τ
+tXtX
&&
.
В качестве оценки математического ожидания эргодической стационарной
случайной функции X (t) по наблюдавшейся на интервале (0, Т) реализации x(t)
принимают среднее по времени ее значение:
()
∫
=
T
x
dttx
T
m
0
*
1
.
15
ЛЕКЦИЯ
по учебной дисциплине “
Теория вероятностей и математическая статистика”
для студентов специальности «Организация и технология защиты информации»
Раздел 2.СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Лекция № 2.3. Спектральные характеристики
стационарных случайных функций
Учебные и воспитательные цели:
1. Дать основные понятия о представлении стационарных случайных функций в виде
гармонических колебаний со случайной амплитудой и случайной фазой.
2.
Знать определение и свойства дельта - функции.
3.
Знать определение и свойства белого шума.
Время - 80 минут
Учебно-материальное обеспечение:
Лектор-2000
Распределение времени лекции:
Вступительная часть.
- 5 мин
Учебные вопросы лекции:
1.
Представление стационарных случайных функций в виде
гармонических колебаний со случайной амплитудой и случайной
фазой
- 30 мин
2.
Спектральное разложение стационарной случайной функции - 40 мин
Заключение
- 3 мин.
Задание студентам для самостоятельной работы - 2 мин.
СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ
1. Представление стационарных случайных функций в виде гармонических
колебаний со случайной амплитудой и случайной функцией
Рассмотрим случайную функцию
tVtUtZ
ω
ω
sincos)(
+
=
(1)
где
ω
- постоянное действительное число, U,V – некоррелированные сл.в. с
математическим ожиданием равным 0 и одинаковыми дисперсиями DDD
vu
=
= .
Преобразуем правую часть (1)
)sincos()( tVt
V
U
VtZ
ωω
+=
Положим
ϕ
tg
V
U
= и выполнив элементарные выкладки, получим:
)sin()(
22
ϕω
++= tVUtZ
где
V
U
arctg=
ϕ
, отсюда следует, что случайную функцию (1) можно истолковать как
гармоническое колебание со случайной амплитудой.
22
VU +
и случайной фазой
V
U
arctgt +
ω
и частотой
0
ω
.
Заметим, что по допущению 0
=
=
vu
mm , поэтому U и V центрированные случайные
выражения UU =
o
, VV =
o
. Легко убедиться, что 0)(
=
tm
z
.
Следовательно Z(t) центрированная случайная функция )()( tZtZ =
&
.
16
Покажем, что tVtUtZ
ω
ω
sincos)(
+
= - стационарная случайная функция.
Действительно,
0)( =tm
z
, то есть постоянно при всех значениях аргумента.
Найдем коррелированную функцию, приняв, что )()( tZtZ =
&
[
]
[]
[
]
)sincos)(sincos()()()()(),(
2211212121
tVtUtVtUMtZtZMtZtZMttK
z
ωωωω
++===
&&
Учитывая, что по условию
DVMUM == )()(
22
&&
, а так как
UU =
&
,
VV =
&
, то
DVMUM == )()(
22
.
Следовательно, величины U и V некоррелированные, поэтому их корреляционный
момент
0)()( === UVMVUMM
uv
&&
. Выполнив элементарные выкладки, получим:
)(cos),(
1221
tttDttK
z
−
=
ω
Итак, корреляционная функция случайной функции Z(t) зависит только разности
аргументов, а ее математическое ожидание постоянно. Следовательно Z(t) - стационарная
случайная функция.
1.
Рассмотрим случайную функцию X(t), которая является суммой конечного
числа слагаемых вида (1)
[]
∑
=
+=
n
i
iiii
tVtUtX
1
sincos)(
ωω
(2)
где U
i
и V
i
не коррелированны, их математическое ожидание равно 0, дисперсии величин с
одинаковыми индексами равными между собой
iii
DVDUD
=
=
)()(.
Заметим, что X(t) – центрированная функция, то есть X(t)= (t)X
&
. Действительно,
математическое ожидание каждого слагаемого (2) равно нулю, следовательно,
математическое ожидание )(tm
x
этой суммы также равно 0, значит )()()()( txtmtxtx
x
=
−=
&
.
Докажем, что функция X(t) вида (2) – стационарная. Действительно 0)(
=
tm
x
, при
всех значениях аргумента, то есть постоянно.
Кроме того, слагаемые суммы (2) попарно не коррелированны, потому к.ф. этой
суммы равна сумме к.ф. слагаемых. Выше доказано, что к.ф. каждого слагаемого (2) зависит
только от разности аргументов t
2
-t
1
. Следовательно, к.ф. суммы (2) также зависит только от
разности аргумента.
)(cos),(
12
1
21
ttDttK
i
n
i
ix
−=
∑
=
ω
или
∑
=
=
n
i
iix
DK
1
cos)(
τωτ
(3)
где
12
tt −=
τ
.
Таким образом, случайная функция X(t) вида (2) есть стационарная функция.
Принимая во внимание, что
)sin()(
22
iiiii
tVUtX
ϕω
++=
где
i
i
i
V
U
arctg=
ϕ
, заключаем, что сумму (2) можно представить в виде
)sin()(
22
1
iiii
n
i
i
tVUtX
ϕω
++=
∑
=
.
Итак, если случайная функция X(t) может быть представлена в виде суммы
гармонических различных частот со случайными амплитудами и случайными фазами, то X(t)
- стационарная функция.
17
3. Спектральное разложение стационарной случайной функции
Спектральным разложением стационарной случайной функции называют
представление этой функции в виде суммы гармонических колебаний
различных частот со случайными амплитудами и случайными фазами.
(Показать, что слагаемые суммы (2) попарно не коррелированны, то есть
0)(
21
21
=ttR
xx
).
Дискретный спектр стационарной случайной функции
.
2 варианта:
1 вариант.
Частоты - произвольные числа, количество их конечно.
Пусть стационарная случайная функция X(t) может быть представлена в
виде спектрального разложения
[]
∑∑
==
+==
n
i
n
i
iiiii
tVtUtXtX
11
sincos)()(
ωω
(4)
причем, сохраняются допущения
0
=
x
m , D=const.
Найдем дисперсию одной гармоники X
i
(t), учитывая, что следующие
величины U
i
и V
i
не коррелированны и
iii
DVDUD
=
=
)()( :
[][ ]
[
]
[
][]
[
]
iiii
iiiiiiiiiiii
DDtt
VtDUtDtVDtUDtVtUDtXD
=+=
=+=+=+=
)sin(cos
sincossincossincos)(
22
22
ωω
ωωωωωω
ита
к
[
]
ii
DtXD
=
)( (5)
Найдем теперь дисперсную стационарной случайной функции X(t), принимая
во внимание, что слагаемое X
i
(t) некоррелированно поэтому дисперсия их
суммы равна сумме дисперсии слагаемых.
[] [ ]
∑∑
==
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
n
i
i
n
i
i
tXDtXDtXD
11
)()()(,
используя (5) получим
[]
∑
=
=
n
i
i
DtXD
1
)(.
Итак дисперсия стационарной случайной функции которая может быть
представлена в виде суммы конечного числа гармоник с произвольными
частотами, равные сумме дисперсий ее гармоник.
Дискретным спектром
стационарной случайной функции вида (4)
называется совокупность дисперсий всех составляющих ее гармоник.
Заметим, так как каждой
i
ω
можно поставить в соответствие D
i
то спектр
можно изобразить графически. На горизонтальной оси откладываем
i
ω
, а в
качестве ординаты (спектральных линий) строят дисперсии D
i
. Этот
дисперсионный спектр называют линейчатым.
18
2 вариант.
Равностоящие частоты, множество их бесконечно (счетно).
Рассмотрим спектральное разложение в виде
[]
∑
∞
=
+=
1
sincos)(
i
iiii
tVtUtX
ωω
,
в котором число частот бесконечно (счетно), они равноотстоящие, причем
разность любых двух «соседних» частот
...)2,1(,
1
==−=Δ
+
i
Т
ii
π
ωωω
где Т – действительное положительное число.
Таким образом
Т
i
Т
Т
i
π
ω
π
ω
π
ω
== ;
2
;
21
.
Напишем к.ф. (см. (3)) рассматриваемой стационарной случайной
функции X(t).
∑
∞
=
=
1
cos)(
i
ix
Т
i
DK
τ
π
τ
(6)
При
0=
τ
, учитывая, что
xx
DK
=
)0( , получили
∑
∞
=
=
1i
ix
DD (7)
Итак, дисперсия стационарной случайной функции которая может
быть представлена в виде суммы бесконечного (счетного) множества
гармоник с равноотстоящими частотами, равна сумме дисперсий слагаемых
гармоник.
Соотношение (6) можно рассматривать как разложение к.ф. в ряд
Фурье по косинусам. Из (6) видно, что
)(
τ
x
K - периодическая функция с
периодом 2 Т, поэтому коэффициент Фурье
ττ
π
τ
d
Т
i
KS
Т
D
x
Т
Т
i
cos)(
1
−
= ,
или учитывая, что
Т
i
π
ω
= и подынтегральная функция – четная
ττω
dTKS
Т
D
ix
Т
i
cos)(
2
0
=
Если каждой частоте
Т
i
i
π
ω
=
(Т= 1, 2 …) ставить в соответствие
дисперсию D
i
, то получим, как и в случае конечного числа произвольных
частот, дискретный линейчатый спектр, причем число спектральных линий
(ординат D
i
) бесконечно (счетно) и они равноотстоящие.
19
Непрерывный спектр стационарной случайной функции.
Среди стационарных случайных функций есть такие функции, к.ф.
которых нельзя представить в виде
∑
=
τωτ
iix
DK cos)(
(D
i
>0), где число
слагаемых конечно или счетно.
Спектр этих функций не дискретный, а непрерывный. Для рассмотрения
стационарных случайных функций с непрерывным спектром необходимо
ввести понятия спектральной плотности.
Пусть в варианте 2
Т
π
ω
=Δ
∞
→
Т
, тогда 0→
Δ
ω
. Ясно, что при этом
частота изменяется непрерывно, (поэтому обозначим ее через
ω
без индекса)
соседние ординаты спектра сближаются и в пределе вместо дискретного
спектра получим непрерывный
спектр, то есть каждой частоте
ω
(
)
0≥
ω
соответствует ордината, которую обозначим через
)(
ω
∗
x
S . Хотя отрицательные
частоты физического смысла не имеют, для упрощения вычислений
целесообразно рассматривать функцию, частоты которой изменяется на
интервале
()
∞∞− , и которая имеет вдвое меньшие ординаты:
2/)()(
ωω
x
x
SS
∗
=
Спектральной плотностью стационарной случайной функции
X(t)
называют функцию
)(
ω
x
S , которая связана с к.ф. )(
τ
x
K взаимно обратными
преобразованиями Фурье.
ττ
π
ω
ωτ
deKS
i
xx
∫
∞
∞−
−
= )(
2
1
)( (8)
ωωτ
ωτ
deSK
i
xx
∫
∞
∞−
= )()(
(9)
Эти формулы называются формулами Винера - Хинчина. В
действительной форме они представляют собой взаимно обратные косинус
преобразования Фурье:
()
τωττ
π
ω
dkS
xx
∫
∞
=
0
cos
1
)( (10)
ωωτωτ
dSK
xx
∫
∞
=
0
cos)(2)(
(11)
Важное значение спектральной плотности состоит в том, что, зная ее,
можно найти к.ф., и обратно.
Спектральная плотность – четная функция:
)()(
ω
ω
xx
SS
=
−
20
Выясним вероятность смысла функции )(
ω
x
S . Положим
0
=
τ
в
соответствии (2) и учитывая, что
xx
DK
=
)0( )(
ω
x
S - четная функция, получим:
ωωωω
dSdSD
xxx
∫∫
∞
∞−
∞
== )()(2
0
Видим, что дисперсия стационарной случайной функции X(t)
представляет собой «сумму» элементарных дисперсий
ω
ω
ω
ω
Δ
= )()(
xx
SdS ,
каждая элементарная дисперсия соответствует частичному интервалу частот
ω
Δ . В частности частичному интервалу
ав
ω
ω
ω
−
=
Δ
соответствует дисперсия
()
∫
=
b
a
dSD
xx
ω
ω
ωω
.
По теореме о среднем
)()()(
cxсxавx
SSD
ω
ω
ω
ω
ω
Δ
=
−
=
где
вса
ω
ω
ω
<
<
.
Отсюда
ω
ω
Δ
=
/)(
xсx
DS .
Из чего заключаем
а) величину
)(
сx
S
ω
можно истолковать как среднюю плотность дисперсии
на частном интервале
ω
Δ , содержащим частоту
c
ω
.
б) при
0→Δ
ω
естественно считать, что )(
сx
S
ω
- плотность дисперсии в
точке
c
ω
. Поскольку никаких ограничений на
c
ω
не наложено, полученный
результат справедлив для любой частоты.
Итак, спектральная плотность описывает распределение дисперсий
стационарной случайной функции по непрерывно изменяющейся частоте.
Спектральная плотность – неотрицательная функция
0)( ≥
ω
x
S .
Дельта – функция.
Дельта – функция
)(t
δ
является примером обобщенности функции.
Дельта – функцию определяют тем условием, что она ставит в
соответствие всякой непрерывной функции
)(tf ее значение при t=0:
)0()()( fdttftS =
∞
∞−
δ
.
Правую часть равенства можно представить в виде предела:
dttftdttf
∫∫
∞
∞−
→
−
→
= )()(lim)(
2
1
lim
00
ε
ε
ε
ε
ε
δ
ε
Е>0