Лекции - Особенности движения идеальной несжимаемой жидкости
Подождите немного. Документ загружается.
Г л а в а 11
Особенности движения идеальной несжимаемой жидкости
11.1 Особенности движения жидкой частицы
В кинематике абсолютно твердого тела, представляющего простейший
пример сплошной среды, для описания общего случая движения пользуются
разложением на две составляющие: поступательную вместе с произвольно
выбранной точкой - "полюсом" и вращательную вокруг мгновенной оси,
проведенной через полюс.
Движение жидкости значительно сложнее, поскольку частица жидкости
кроме указанных перемещений может деформироваться. Исследуем
составляющие движения жидкой частицы сначала для плоского движения в
плоскости [x, y], обозначив составляющие вектора скорости полюса М
о
через
w
ox
, w
oy
(для плоского течения w
oz
= 0). Чтобы выделить составляющие
движения, разложим проекции скорости близкой к полюсу точки М в ряд,
ограничившись малыми первого порядка
w
x
= w
ox
+
w
x
x
o
(x - x
o
) +
w
y
x
o
(y - y
o
);
w
y
= w
oy
+
w
x
y
o
(x- x
o
) +
w
y
y
o
(y - y
o
). (11.1)
Используя тождества
w
y
x
=
1
2
(
w
y
x
+
w
x
y
) +
1
2
(
w
y
x
-
w
x
y
),
w
x
y
=
1
2
(
w
x
y
+
w
y
x
) +
1
2
(
w
x
y
-
w
y
x
),
выражения (11.1) для проекций w
x
и w
y
можно представить в виде:
w
x
= w
ox
-
z
y + S
xx
x + S
xy
y,
w
y
= w
oy
+
z
x + S
yx
x + S
yy
y, (11.2)
где
z
=
1
2
(
w
x
y
-
w
y
x
) - (11.3)
угловая скорость вращения
z
частицы в плоскости [x, y], а индекс z
означает, что вектор имеет проекцию на ось z; x =(x-x
o
); y = (y -
y
o
).
S
xx
=
w
x
x
, S
yy
=
w
y
y
,
S
xy
= S
yx
=
1
2
(
w
y
x
+
w
x
y
).
}
(11.4)
- величины, определяющие деформацию жидкой частицы.
Для большей наглядности рассмотрим жидкую частицу в форме квадрата
с полюсом M
о
(см. рисунок 11.1), которая за время t переместилась в
положение с полюсом М
1
о
, приняв форму ромба.
Вращение жидкого квадрата вокруг полюса Мо обусловлено вращением
ребер М
о
М
1
и М
о
М
2
:
м
о
м
1
=
w
oy
w
y
x
x w x
w
y
x
oy
;
м
о
м
2
=
w
ox
w
x
y
y w y
w
x
y
ox
;
2
Рисунок 11.1 - Движение жидкой частицы ("квадрата")
Угловая скорость считается положительной, если вращение происходит
против часовой стрелки. В данном случае
м
о
м
1
> 0;
м
o
м
2
< 0.
По предложению Гельмгольца за угловую скорость жидкой частицы
принимается средняя величина угловой скорости ребер w
м
о
м
1
и w
м
o
м
2
с учетом
знаков:
z
=
1
2
(
w
x
y
-
w
y
x
),
что совпадает с вышеприведенной величиной (11.3).
Деформация жидкой частицы может быть двоякого рода.
Во-первых, это деформация растяжения - сжатия, характеризующая
удлинение или сжатие сторон исходной квадратной частицы. Такое удлинение
определяется изменениями соответствующих компонент скорости по
одноименным осям (см. первые два равенства (11.4)):
S
xx
=
w
x
x
, S
yy
=
w
y
y
.
3
Во - вторых, возможна деформация скоса ребер квадратной частицы, т. е.
заострение или затупление исходных углов. Такая деформация (последнее
выражение (11.4)) определяется поперечной изменчивостью скоростей течения
или средним арифметическим из угловых скоростей (встречного или
противоположного) вращения ребер
м
о
м
1
и
м
o
м
2
относительно оси z,
перпендикулярной плоскости x,y (см. рисунок 11.1):
S
xy
= S
yx
=
1
2
(
w
y
x
+
w
x
y
).
Изложенное составляет содержание теоремы Гельмгольца: скорость
жидкой частицы w складывается из скорости движения полюса w
o
, скорости
вращательного движения w
вр
вокруг оси, проходящей через полюс - это так
называемая квазитвердая составляющая движения, и скорости w
деф
деформационного движения , состоящего в свою очередь из линейной
деформации растяжения-сжатия и угловой деформации скашивания ребер
частицы:
w = w
o
+ w
вр
+ w
деф
= w
кт
+ w
деф
. (11.5)
Здесь квазитвердая составляющая ("кт") в проекциях на оси координат:
w
кт
x
= w
ox
-
z
y,
w
кт
y
= w
oy
+
z
x. (11.6)
Деформационная ("деф") составляющая - специфическая для жидкости:
w
деф
x
= S
xx
x + S
xy
y,
w
деф
y
= S
yy
y + S
xy
x. (11.7)
Теорема Гельмгольца справедлива и для пространственного движения.
При этом появляются новые члены, характеризующие вращение
x
=
1
2
(
w
y
z
-
w
z
y
),
4
y
=
1
2
(
w
z
x
-
w
x
z
),
z
=
1
2
(
w
x
y
-
w
y
x
),
и деформации
S
xx
=
w
x
x
, S
yy
=
w
y
y
, S
zz
=
w
z
z
,
S
xy
= S
yx
=
1
2
(
w
y
x
+
w
x
y
),
S
xz
= S
zx
=
1
2
(
w
z
x
+
w
x
z
),
S
yz
= S
zy
=
1
2
(
w
z
y
+
w
y
z
).
Совокупность этих величин образует тензор скоростей деформации
S
S
xx
; S
xy
; S
xz
S
yz
; S
yy
; S
yz
S
zy
; S
zy
: S
zz
(S
i k
);
i = 1,2, 3 (11.8)
k = 1,2,3,
который обладает симметрией S
ik
= S
ki
относительно главной диагонали (из
верхнего левого в правый нижний угол). Благодаря симметрии, тензор
скоростей деформаций определяется шестью (а не девятью) компонентами S
ik
.
Вектор скорости вращательного движения можно представить как
векторное произведение
w
вр
= [ r]
j k
x y z
x y z
; ;
; ; ;
; ; ;
i (
y
z -
z
y) +
+ j (
z
x -
x
z) + k (
x
y -
y
x). (11.9)
Для частного случая вращения в плоскости [x,y], когда z = 0;
5
x
=
y
= 0, получим
w
вр.х
= -
z
y;
w
вр.y
=
z
x, (11.9
!
)
что совпадает с вычисленным ранее.
Для вычисления вектора скорости деформационного движения удобно
ввести функцию (потенциал деформационной скорости):
F =
1
2
(S
xx
x
2
+ S
yy
y
2
+ S
zz
z
2
) + S
xy
xy +
+ S
xz
xz + S
yz
yz. (11.10)
Градиент этой функции равен вектору скорости деформационной
составляющей движения
w
деф
= grad F F i
F
x
+ j
F
y
+ k
F
z
. (11.11)
В частном случае плоского движения (z = 0; S
zz
= S
xz
= S
yz
= 0)
получим:
w
деф.х
=
F
x
= S
xx
x + S
xy
y;
w
деф.y
=
F
y
= S
yy
y + S
xy
x, (11.11
1
)
что совпадает с ранее вычисленными значениями.
Итак, скорость движения жидкой частицы складывается из скорости
полюса w
o
, скорости вращательного движения вокруг мгновенной оси,
проходящей через полюс w
вр
= ( r) и скорости деформации
w
деф
= grad F (рисунок 11.2).
6
а) Движение частиц без вращения деформации
(безвихревое поступательное);
б) Движение частицы с вращением
(вихревое) без деформации;
в) Движение частицы с деформацией
(деформационное);
г) Движение с вращением и
деформацией частицы
Рисунок 11.2 - Особенности движения жидкой частицы
11.2 Исходные сведения о вихревом движении жидкости
В отличие от твердого тела, при вращении которого все точки имеют
одинаковую угловую скорость
тв.т
.
, при движении жидкости различные ее
частицы могут вращаться с различными угловыми скоростями. Поэтому
анализируя поток жидкости, приходится говорить о поле угловых скоростей
(x, y, z, t).
Однако, вместо угловой скорости в гидрогазодинамике используется в
два раза больший (по модулю) вектор - вихрь или ротор скорости
7
2 = rot w [ w]
j k
w w w
x y z
; ;
; ; ;
; ; ;
x y z
i (
w
y
z
-
w
z
y
) + j (
w
z
x
-
w
x
z
) + k (
w
x
y
-
w
y
x
). (11.12)
В соответствии с этим, обычно говорят о поле вихря скорости rotw.
Рассмотрим основные свойства векторного вихревого поля.
Подобно тому, как при рассмотрении поля скоростей движущейся
жидкости использовалось понятие линии тока, в каждой точке вектор скорости
w направлен по касательной, для вектора угловой скорости (или вектора rot
w 2) линии тока называются вихревыми линиями (рисунок 11.3). Их
дифференциальное уравнение. очевидно, можно написать по аналогии с (2.3):
dx
=
dy
=
dz
X
y z
.
(11.13)
Вихревая линия играет роль криволинейной оси вращения частиц
жидкости.
8
Рисунок 11.3 - Вихревая линия - линия тока вектора ( 1/2 rot w)
Рисунок 11.4 Вихревая трубка - трубка тока вектора
Трубка тока для вектора называется вихревой трубкой, рисунок 11.4.
Нормальное (живое) сечение вихревой трубки df перпендикулярно вектору ,
который считается постоянным в этом сечении.
Поток вектора rotw 2 через элементарное сечение трубки df
называется интенсивностью J элементарной вихревой трубки:
dJ = 2 df rotw df (11.14)
Для вихревой трубки конечных размеров, для которой по сечению не
может считаться постоянной, соответственно
J = dJ = 2 df = 2
cр
f , (11.14
1
)
f f
где
ср
- средняя угловая скорость по сечению f вихревой трубки.
Нетрудно видеть, что аналогом интенсивности для трубки тока
векторного поля скоростей w был объемный расход Q, математически также
представляющий собой поток вектора w через поверхность:
dQ = wdf и Q = wdf.
f
Аналогом уравнения неразрывности (сохранения расхода) для трубки
тока (3.9) и (3.10), является тот факт, что интенсивность вихревой трубки
(поток вектора через ее сечение) не изменяется вдоль всей трубки (вторая
теорема Гельмгольца).
9
Отсюда следует известный опытный факт: вихревые трубки не могут
заканчиваться внутри жидкости: они либо образуют замкнутые кольца, либо
опираются на стенки сосуда или свободные поверхности, рисунок 11.5.
Рисунок 11.5 - Вихревые трубки в сосуде с жидкостью
11.3 Циркуляция скорости. Теорема Стокса
Вихрь скорости, как и угловая скорость, не поддается непосредственному
измерению. Нельзя непосредственно мерить и интенсивность вихревой трубки.
Более наглядное определение интенсивности вихревой трубки связано с
понятием циркуляции скорости (поэтому вновь обратимся к анализу векторного
поля скорости w, а не
1/2 rot w.
Выделим в движущейся жидкости произвольный контур l, в некоторой
точке которого вектор скорости равен w, а его проекция на касательную к
контуру w
l
, рисунок 11.6.
Произведение этой проекции на длину элемента контура называется
элементарной циркуляцией dГ:
dГ = w
l
dl wdl wcos (w; dl) dl. (11.15)
Циркуляцией по всему замкнутому контуру l называется интеграл
10