Лекции - Особенности движения идеальной несжимаемой жидкости
Подождите немного. Документ загружается.
Г = dГ = wdl . (11.15
1
)
Знак циркуляции Г [м
2
/c] считается положительным, если выражение
(11.15) > 0 при таком обходе контура, когда опирающаяся ("натянутая") на
контур поверхность остается слева, рисунок11.6.
Рисунок 11.6 - К вопросу о циркуляции скорости w по замкнутому контуру l:
dl - элемент контура (элементарный вектор); w
l
- проекция вектора w
на направление касательной (направление dl) к контуру
Понятие циркуляции в гидродинамике аналогично понятию работы в
механике, только вместо вектора силы, используется вектор скорости w: работа
при перемещении по контуру равна циркуляции силы по этому контуру. Если
работа силы по замкнутому контуру равна нулю, сила консервативна
(потенциальна).
Оказывается, что подобно тому, как поток вектора через замкнутую
поверхность связан с интегралом по охватываемому этой поверхностью объему
(теорема Остроградского - Гаусса), интеграл по замкнутому контуру
(циркуляция по контуру) связан с интегралом по поверхности, опирающейся на
этот контур (теорема Стокса). Рассмотрим простейший пример.
Пусть контур в плоском потоке представляет собой прямоугольник со
сторонами dx, dy и площадью df
z
= dxdy. Вычислим ципкуляцию скорости
по этому элеметарному контуру. Она складывается из четырех частей:
11
dГ = w
x
dx + (w
y
+
w
x
y
dx)dy - (w
x
+
w
y
x
dy)dx -
- w
y
dy = (
w
x
y
-
w
y
x
) dxdy = 2
z
df
z
= dJ. (11.16)
Таким образом, циркуляция оказалась равной интенсивности вихревой
трубки, опирающейся на этот контур. Интенсивность же равна потоку вихря
через поверхность, натянутую на контур (см. (11.14)).
В более общем виде теорема Стокса гласит: циркуляция по
произвольному замкнутому контуру равна сумме интенсивностей вихревых
трубок, пронизывающих поверхность f, опирающуюся на этот контур:
Г = 2
df .
(11.17)
f
Сопоставляя (11.7) и (11.5), получим связь между интегралами по
поверхности и контуру:
Г = 2
df
=
wdl
= J.
(11.18)
f l
В безвихревом (потенциальном) течении циркуляция Г всюду равна
нулю. Отличие Г от нуля указывает на наличие вихрей.
11.4 Теорема Томсона (Кельвина)
Еще одно важное свойство циркуляции в идеальной жидкости
устанавливает терема Томсона (Кельвина):
Циркуляция по замкнутому жидкому контуру в идеальной
несжимамой жидкости, находящейся в поле потенциальных сил, не
меняется со временем.
Из теоремы Томсона следует, что в идеальной жидкости вихри не могут
возникнуть или исчезнуть: если в некоторый момент течение было
безвихревым, оно таковым будет и в дальнейшем.
12
11.5 Поле скоростей, индуцированное вихревой трубкой. Формула
Био - Савара
В некоторых случаях приходится определять поле скоростей движения
жидкости, вызванного вихревой трубкой, подобно тому, как определяется
вектор магнитного поля, индуцированного проводником с электрическим током
с помощью известной из теории электромагнетизма формулы Био - Савара.
Воспользуемся этой аналогией.
Изменение вектора скорости жидкости dw (аналога вектора магнитного
поля) в некоторой точке А жидкости, порожденное элементом dl одиночной
вихревой трубки с циркуляцией Г (аналога силы тока) определяется формулой
Био - Савара (см. рисунок 11.7):
dw = Г/4 [dl r]/r
3
,
(11.19)
где r - радиус - вектор, проведенный от элемента dl к точке А.
Для модуля dw dwсоответственно имеем:
dw = Г/4 (sin/r
2
) dl= Г/4h (sind),
(11.19
1
)
где h = rsin - кратчайшее расстояние точки А до направления dl; здесь
также учтено, что
sin = r (d/dl).
Скорость, вызванная в точке А всей прямолинейной вихревой трубкой,
определяется интегрированием этого выражения в пределах от
= 0 до = :
w = dw = Г/4h sind = Г/2h. (11.20)
0 0
13
Рисунок 11.7 - Иллюстрация к формуле Био - Савара
Это особый случай течения - циркуляционное безвихревое течение,
представляющее собой круговое течение, в котором скорость частиц жидкости
обратно пропорциональны расстоянию от оси вращения
w = const/r. (11.21)
Хотя траектории частиц - окружности, поток является безвихревым -
частицы деформируются, но не вращаются (рисунок 11.10). Особенностью
такого течения является то, что скорость по мере приближения к оси вращения
теоретически возрастает до бесконечности w 1/r, а градиент скорости (по
радиусу)
w
r
1
r
2
. Столь быстрый рост
w
r
при приближении к оси
вращения приводит для реальных жидкостей к очень большим вязким
напряжениям в центральной области вихря в соответствии с законом Ньютона
(см. главу 1) - ядре. Экспериментально это проявляется в том, что ядро
вращается как твердое тело с конечной угловой скоростью
я
; за пределами
ядра скоростей изменяется по закону (11.21), рисунок 11.11.
Примерами подобных течений являются круговые течения - атмосферные
вихри (смерчи), водовороты и т. п. Возрастание величины скорости таких
течений с приближением к оси вращения приводит к понижению давления.
Поэтому свободная поверхность капельных жидкостей принимает
14
воронкообразную форму (слив воды из ванны). Атмосферный смерч создает
разрежение, способное поднять вверх весьма тяжелые предметы, столб воды со
свободной поверхности водоема и т. д.
В так называемых циклонных камерах подобное движения создается
посредством тангенциального подвода газа (рисунок 11.12). Выход газа
осуществляется через отверстия в торцевых стенках камеры вблизи ее оси.
Понижение давления у оси циклонной камеры позволяет использовать ее для
всасывания и сепарации тяжелых частиц под действием центробежных сил.
Рисунок 11.8 - Течение вязкой жидкости между движущейся (со скоростью w
o
)
и неподвижными стенками (течение Куэтта); частицы жидкости вращаются
в одну сторону; течение вихревое
Рисунок 11.9 - Течение вязкой жидкости по цилиндрической трубе
15
Рисунок 11.10 - Движение с деформацией жидкой частицы при безвихревом
циркуляционном течении
Рисунок 11.11 - Эпюры скоростей вне и внутри ядра вихря циркуляционного течения
Рисунок 11.12 - Схемы циклонной камеры с тангенциальным подводом
Наличие вихревых движений в плоском потоке устанавливается
экспериментом: в поток вводятся опилки или поплавки со стрелками -
16
индикаторами *
)
, размер которых мал по сравнению с радиусом кривизны
линий тока. Если введенные тела сохраняют ориентацию в пространстве -
течение безвихревое; в противном случае вихревое (рисунок 11.2 а), б)).
Необходимо отметить, что вихревое течение может быть и при
прямолинейных траекториях частиц. Например, если частицы движутся
параллельно оси x, причем скорости изменяются по закону
w = w
x
= w
o
y
h
(0 y h) (рисунок 11.8),
где h - расстояние между параллельными стенками, одна из которых движется
со скоростью w
o
. В этом случае
2
z
= rot w =
w
x
y
-
w
y
x
= - w
o
/h 0.
Опилки (или поплавки), помещенные в такой поток, будут вращаться по
часовой стрелке с постоянной угловой скоростью.
____________________
*
)
Плотность вещества опилок не должна существенно отличаться от плотности
жидкости.
Течение вязкой жидкости в трубах постоянного сечения - также
вихревые, причем угловая скорость вращения частиц возрастает по мере
приближения к стенкам, рисунок 11.9.
Важным случаем движения жидкости является безвихревое течение
(рисунок 11.2), во всех точках которого
2 = rot w = 0.*
)
(11.22)
Важность изучения безвихревых течений обусловлена тем, что при
обтекании тел с плавными обводами, вращение частиц наблюдается только в
тонкой пристеночной области и за телом. В остальном потоке движение
осуществляется практически без вращения частиц. Такие течения характерны
17
при обтекании современных самолетов, кораблей , проточных частей
турбомашин, крыловых профилей и т. п. Особенно важное значение имеет
теория безвихревых течений для решения задач о распределении давлений по
поверхности обтекаемых тел.
В частном случае плоского течения (в плоскости (x, y) это означает
2
z
= rot w =
w
x
y
-
w
y
x
= 0
или
w
x
y
=
w
y
x
. (11.22
1
)
Если обратиться к рисунку 11.1, то угловая скорость ребра MoM
1
будет
м
о
м
1
=
w
x
y
положительной (ребро М
о
М
1
вращается против
____________________
*
)
Полученные выше уравнения движения Л. Эйлера можно преобразовать к виду, в
котором удается выделить вихревые и безвихревые (потенциальные) слагаемые. Такое
преобразование было выполнено И.С. Громека и Г. Ламбом. Более подробные сведения по
этому поводу можно найти в специальной литературе. См., например,
Л. Г. Лойцянский . Механика жидкости и газа . - М.: Наука, 1978. - стр.89.
часовой стрелки); а
м
о
м
2
=
w
y
x
- отрицательна (ребро М
о
М
2
вращается по
часовой стрелке).
Средняя угловая скорость биссектрисы исходного прямого угла в случае
безвихревого движения равна нулю; частица перемещается без вращения,
несмотря на деформационное движение. В этом случае опилки или поплавки
будут перемещаться вместе с потоком, оставаясь параллельными самим себе.
Следующая глава посвящена рассмотрению безвихревых
(потенцииальных) течений идеальной несжимаемой жидкости.
18