Лекции - Модели и методы АПР
Подождите немного. Документ загружается.
стационарное (т. е. описывает статические состояния), то дискретизация и
алгебраизация преобразует ДУЧП в систему алгебраических уравнений, в общем
случае нелинейных (ветвь 2 на рис. 1). Если ДУЧП нестационарное (т. е.
описывает изменяющиеся во времени и пространстве поля переменных), то
дискретизацию и алгебраизацию можно представить состоящей из двух этапов:
1) устранение производных по пространственным координатам (ветвь
3), результат - система ОДУ;
2) устранение производных по времени (ветвь 4).
Для числового решения ОДУ при заданных начальных условиях (задача
Коши) разработано большое количество численных методов, причем многие из
эффективных методов получили развитие под влиянием потребностей
автоматизированного проектирования. Специфика алгебраизации производных по
времени и обусловливает целесообразность выделения для ветви 4 специальных
средств математического и программного обеспечения, отличных от таких же
средств для ветвей 2 и 3.
Сведение задачи решения алгебраических уравнений к последовательности
элементарных операций может быть либо непосредственным (ветвь 5), например,
на основе методов простых итераций или релаксации, либо через посредство
предварительной линеаризации уравнений (ветвь 6), Что составляет сущность
метода Ньютона. Решение, системы линейных алгебраических уравнений в этом
случае (ветвь 7) выполняется с помощью прямых методов, например метода
Гаусса.
Ветви 8 на рис. 1 соответствует преобразование исходного описания задачи,
относящегося к макроуровню, в систему ОДУ с известными начальными
условиями. Если это система нелинейных ОДУ, то дальнейшие преобразования
происходят по охарактеризованным выше ветвям 4, 6, 7 или 4, 5; если же система
линейных ОДУ, то целесообразен непосредственный переход к системе линейных
алгебраических уравнений (ветвь 9).
Для анализа объектов на метауровне применяют либо переход к системе
ОДУ (ветвь 10), либо переход к системам логических уравнений, моделям
массового обслуживания или аналитическим моделям, отображающим
упрощенно технико-экономические показатели объекта (ветвь 11). Сведение этих
форм моделей в последовательность элементарных вычислительных операций
(ветвь 12) не вызывает затруднений.
Сказанное показывает важное значение, отводимое в математическом
обеспечении САПР численным методам решения систем ОДУ, нелинейных и
линейных алгебраических уравнений. Из рис. 1 также видно, что такие системы
уравнений приходится решать при проектировании объектов на микро- и
макроуровнях, а часто и на метауровне. От эффективности этих методов
существенно зависит общая эффективность выполнения проектных процедур
функционального проектирования.
Постановка задачи анализа объектов с распределенными параметрами.
Постановка задачи. Математические модели на микроуровне, называемым
распределенными, представлены дифференциальными уравнениями в частных
производных вместе с краевыми условиями. Проектирование многих технических
объектов связано с необходимостью анализа непрерывных физических процессов,
математическим описанием которых являются дифференциальные уравнения в
частных производных. Примером тому служат современные летательные
аппараты, при проектировании и расчете которых широко используется анализ
подобных моделей.
Рассмотрим примеры уравнений, составляющих основу моделей объектов на
микроуровне. Первая важная задача проектирования летательного аппарата -
определение прочности узлов и элементов конструкции при различных видах
нагружения. Поэтому исследование напряженного состояния деталей
конструкции и связанные с ним расчеты на прочность относятся к наиболее
ответственным в самолетостроении.
Напряженное состояние деталей конструкции в зависимости от геометрии
исследуемого узла, вида приложенной нагрузки и свойств материала описывается
дифференциальными уравнениями различного вида. Любое из этих уравнений
может быть получено из общего квазигармонического уравнения
0
Q
z
K
zy
K
yx
K
x
zyx
(1.1),
где х, у, z - пространственные координаты;
- искомая непрерывная функция; К
х
,
К
у
, K
z
- коэффициенты; Q - внешнее воздействие.
В двухмерном случае при К
х
=К
у
=1 уравнение (1.1) сводится к уравнению,
описывающему напряженное состояние, возникающее в поперечном сечении
упругого однородного стержня под воздействием крутящего момента М:
02
2
2
2
2
E
yx
, (1.2)
где Е - модуль сдвига материала стержня;
- угол закручивания на единицу
длины, а функция
- функция, связанная с напряжениями сдвига
x
и
y
уравнениями
y
x
;
x
y
(1.3)
В (1.2) в явном виде не входит крутящий момент, связанный с искомой функцией
напряжения
уравнением
S
dSM
2
, где S - площадь рассматриваемого
сечения.
Вторая важная задача проектирования летательного аппарата - изучение его
аэродинамических свойств. Решение этой задачи связано с исследованием
процессов обтекания газом поверхностей произвольной формы. Наиболее
общими уравнениями, описывающими этот процесс, являются уравнения Навье-
Стокса, которые в декартовой системе координат имеют вид:
2
2
2
2
2
2
1
z
u
y
u
x
u
x
p
F
z
u
y
u
v
x
u
u
t
u
x
;
2
2
2
2
2
2
1
z
v
y
v
x
v
y
p
F
z
v
y
v
v
x
v
u
t
v
y
; (1.4)
2
2
2
2
2
2
1
zyx
z
p
F
zy
v
x
u
t
z
где и,
v
,
- проекции вектора скорости; F
х
, F
y
, F
z
- проекции вектора силы на
оси координат;
- плотность; р - давление;
/
(
- коэффициент вязкости).
Примечание. Система уравнений (1.4) незамкнутая, для решения ее следует доопределить
с помощью уравнения неразрывности, которое в декартовой системе координат имеет вид:
0
zy
v
x
u
t
, (1.5)
0
zy
v
x
u
, где t - время.
Третья задача проектирования летательных аппаратов - расчет тепловых
режимов работы деталей и узлов конструкции. Одним из основных аспектов
задачи является определение температурных полей, имеющих место в
конструкциях.
Примечание. Знание температурных полей необходимо для вычисления количества
теплоты, подводимой к телу или отводимой от него. Кроме того, температурные поля влияют
на распределение напряжений в конструкциях. Это обстоятельство особенно важно учитывать
при проектировании вращающихся элементов летательных аппаратов.
Температурное поле в сплошной среде описывается уравнением
теплопроводности. Последнее может быть получено из уравнения (1.1), если под
функцией
понимать температуру Т, а под коэффициентом К - коэффициент
теплопроводности
. В двухмерном случае при условии, что коэффициенты
теплопроводности
x
и
y
по соответствующим направлениям не зависят от
координат, стационарное уравнение теплопроводности имеет вид
0
2
2
2
2
Q
y
T
x
T
yx
, (1.6)
где Q - источник теплоты внутри тела, который считается положительным, если
теплота подводится к телу.
Сформулированные выше задачи - типичные для многих областей техники.
Так, задачу исследования механических напряжений, возникающих в
конструкциях, необходимо решать при проектировании мостов, арок, опор
электропередачи и т. д. Рост быстроходности и удельной мощности тепловых
двигателей вызывает необходимость более тщательного, чем ранее, исследования
проблем механической прочности и тепловых режимов работы их деталей.
Аналогичные проблемы возникают в автомобиле- и турбиностроении.
Проектирование дамб, плотин, дренажных и оросительных каналов невозможно
без тщательного анализа течения грунтовых вод. Последняя задача является
частным случаем сформулированной выше задачи о течении жидкостей и газов. В
градостроительстве при проектировании системы водоснабжения городов
необходим анализ течения грунтовых вод.
Анализ течения жидкого или газообразного теплоносителя на основе
уравнений Навье-Стокса проводится при проектировании ядерных реакторов.
Кроме того, особо важная роль при проектировании ядерных установок отводится
расчету тепловыделяющей системы, математической моделью (ММ) которой
является нестационарное уравнение теплопроводности. В этом случае в
уравнении (1.6) дополнительно появляется член, описывающий изменение
искомого температурного поля во времени. При анализе тепловых процессов в
тепловыделяющих элементах (ТВЭЛах), например в высокотемпературных
газоохлаждаемых реакторах, уравнение теплопроводности удобнее записывать в
сферических координатах в виде
r
T
r
r
T
R
t
T
С
p
2
2
2
(1.7)
где С
р
- удельная теплоемкость материала ТВЭЛов; R - удельная ядерная
мощность.
Краевые условия.
Уравнения (1.2), (1.4), (1.6), (1.7) имеют множество решений. Для получения
единственного решения необходимо задавать краевые условия (сведения об
искомых непрерывных функциях на границах рассматриваемых областей -
граничные условия, а в случае нестационарных задач - значения этих же функций
в начальный момент времени - начальные условия). Исходное дифференциальное
уравнение в частных производных вместе с краевыми условиями носит название
дифференциальной краевой задачи и представляет собой ММ исследуемого
объекта.
Граничные условия в краевых задачах могут задаваться различными
способами. На границе рассматриваемой области можно задать:
1. значение искомой функции;
2. значения производных по пространственным координатам от искомой
функции;
3. уравнение баланса потоков.
В случаях а-в говорят о граничных условиях первого, второго и третьего рода
соответственно.
Для уравнений теплопроводности (1.6) и (1.7) чаще задают граничные
условия первого и третьего рода. Другими словами, на границе с
рассматриваемой областью задаются либо температура Т(х)=Т(с), либо условия
теплообмена с внешней средой. При этом если на границе области имеет место
конвективный теплообмен, то граничное условие третьего рода записывается в
виде
0
*
TT
y
T
x
T
yx
(1.8)
где
- коэффициент теплообмена, в общем случае являющийся функцией
температуры;
*
T
— температура окружающей, среды.
Если на границе задан поток
q
теплоты, то граничное условие
0
q
y
T
x
T
yx
(1.9)
где поток
q
считается положительным, если теплота отводится от
рассматриваемого объекта.
Поток
q
теплоты и конвективный теплообмен не могут задаваться
одновременно на одном и том же участке границы. В частном случае, когда
граница теплоизолирована, т. е. конвективный теплообмен отсутствует и поток
теплоты равен нулю, имеет место граничное условие второго рода:
0
x
T
и
0
y
T
Граничные условия для уравнений Навье-Стокса также могут быть весьма
разнообразными. Например, в задаче об обтекании вязкой жидкостью или газом
поверхности произвольной формы обычно задаются граничные условия первого
рода, причем на границе необходимо задавать значения компонент вектора
скорости, плотность и давление.
Приближенные модели объектов на микроуровне.
Точное решение краевых задач удается получить лишь для немногих частных
случаев. Поэтому общий способ их решения, в том числе и в САПР, заключается
в использовании различных приближенных моделей. В настоящее время наиболее
широкое распространение получили модели на основе интегральных уравнений и
модели на основе метода сеток.
Основная идея построений модели на основе интегральных уравнений
заключается в переходе от исходного дифференциального уравнения в частных
производных к эквивалентному интегральному уравнению, подлежащему
дальнейшим преобразованиям.
Сущность метода сеток состоит в аппроксимации искомой непрерывной
функции совокупностью приближенных значений, рассчитанных в некоторых
точках области - узлах. Совокупность узлов, соединенных определенным
образом, образует сетку. Сетка, в свою очередь, является дискретной моделью
области определения искомой функции.
Применение метода сеток позволяет свести дифференциальную краевую
задачу к системе нелинейных в общем случае алгебраических уравнений
относительно неизвестных узловых значений функций.
В общем случае алгоритм метода сеток состоит из трех этапов.
Этап 1. Построение сетки в заданной области (дискретизация задачи).
Этап 2. Получение системы алгебраических уравнений относительно узловых
значений (алгебраизация задачи).
Этап 3. Решение полученной системы алгебраических уравнений.
Наиболее часто в составе САПР используются два метода сеток:
1) метод конечных элементов (МКЭ);
2) метод конечных разностей (МКР).
Эти методы отличаются друг от друга на этапах 1 и 2 алгоритма. На этапе 3
методы практически идентичны.
Метод конечных разностей.
В САПР решение дифференциальных или интегро-дифференциальных
уравнений с частными производными выполняется численными методами. Эти
методы основаны на дискретизации независимых переменных - их представлении
конечным множеством значений в выбранных узловых точках исследуемого
пространства. Эти точки рассматриваются как узлы некоторой сетки, поэтому
используемые в САПР методы - это сеточные методы.
Среди сеточных методов наибольшее распространение получили два метода:
метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ). Обычно
выполняют дискретизацию пространственных независимых переменных, т. е.
используют пространственную сетку. В этом случае результатом дискретизации
является СОДУ для задачи нестационарной или система алгебраических
уравнений для стационарной.
Метод конечных разностей исторически начал развиваться раньше МКЭ и
является старейшим методом решения краевых задач.
Алгоритм МКР состоит из этапов, традиционных для метода сеток:
Этап 1. Построение сетки в заданной области. В МКР используется сетка,
задаваемая конечным множеством узлов. В узлах сетки определяются
приближенные значения
h
искомой функции
. Совокупность силовых
значений
h
называют сеточной функцией.
Этап 2. Замена дифференциального оператора
du
d
L
в исходном
дифференциальном уравнении известным аналогом L
h
, построенным по одной из
схем рассмотренных ниже. При этом непрерывная функция
аппроксимируется
сеточной функцией
h
.
Этап 3. Решение полученной системы алгебраических уравнений.
При кажущейся простоте алгоритма МКР его практическая реализация
наталкивается на ряд трудностей. Для выяснения их природы целесообразно
рассмотреть основные этапы МКР более подробно.
Построение сетки в заданной области.
В МКР пользуются, как правило, регулярные сетки, шаг которых либо
постоянен, либо меняется по несложному закону. Ниже на рис. 1 приведен
пример построения сеток в МКР.
Рис. 1. Примеры построения сеток в МКР.
Для одномерных областей построение сеток мало чем отличается от
аналогичной процедуры в МКР. Отрезок длиной L разбивается на N частей (рис.
1, а). Расстояние между двумя соседними узлами называется шагом сетки
1
iii
xxh
при i=1, 2, ..., N. При регулярной сетке шаг
i
h
- постоянная величина,
равная 1/(N-1), где N - количество узлов сетки.
Для двухмерной области подход к построению сетки существенно
отличается от аналогичной процедуры в МКР. Пусть в качестве области
изменения функции задан прямоугольник (рис. 1, б). Оси х и у разбиваются на
отрезки, которые являются шагами сетки по соответствующим направлениям.
Через точки деления проводятся прямые, параллельные осям координат.
Совокупность точек пересечения (узлов) этих прямых и образует сетку в заданной
двухмерной области. Соседними узлами такой сетки называются узлы, расстояния
между которыми равно шагу сетки по одной из осей.
Способ построения сетки не меняется и в том случае, если задана область
произвольной формы (рис. 1, в). Узлы сетки, попавшие внутрь области,
называются внутренними узлами. Точки пересечения прямых, образующих сетку,
с границей области называются граничными узлами.
Даже в случае постоянных шагов сетки по осям х и у в области имеются
граничные узлы, отстоящие от ближайших к ним внутренних узлов на расстояние,
меньшее шага по соответствующему направлению. Поэтому для двухмерной
области произвольной формы сетка в общем случае всегда является
нерегулярной, причем особенности геометрии учитываются только в
околограничных узлах.
Замена дифференциального оператора разностным аналогом.
Эту процедуру легко проиллюстрировать на следующем простом примере.
Пусть непрерывная функция
x
, определенная на отрезке (рис. 1, а),
описывается дифференциальным уравнением
0
A
dx
d
(1)
где А - константа; задано также граничное условие
10
и при дискретизации
области была построена сетка с постоянным шагом h.
Заменим дифференциальный оператор
dx
d
L
разностным:
h
xhx
L
h
(2)
Где
h
L
- правая разностная производная.
Подставив (2) в (1), получим разностное уравнение
0/ xAhxhx
(3)
Умножив (3) на h и полагая последовательность х=0, h, 2h, …, перейдем к системе
алгебраических уравнений:
011
..........................................
;012
;001
NhAhNh
hAhh
Ahh
(4)
Решая (4) относительно сеточной функции, найдем таблицу значений,
аппроксимирующую решение краевой задачи (1). При уменьшении шага h сетка
становится все «гуще», а таблица значений сеточной функции - все подробнее.
При неограниченном стремлении шага к нулю можно было бы получить значение
искомой функции в каждой точке области. Но, в реальных случаях степень
приближения к точному решению ограничивается рядом факторов, важнейшим из
которых является размерность результирующей системы уравнений (4).
Для аппроксимации дифференциального оператора разностным кроме (2)
часто пользуются выражением:
h
hxx
L
h
(5)
Где
h
L
- левая разностная производная.
Кроме того, для аппроксимации
L
, можно воспользоваться любой линейной
комбинацией (2)-(5), т.е.
hhh
LLL
1
Где
- любая вещественная константа.
При
5,0
дифференциальный оператор
L
аппроксимируется
центральной разностной производной.
h
hxhx
L
h
2
0
(6)
Подставив (6) в (1), получим другой разностный аналог краевой задачи (1):
0
)2(
xAh
hxhx
.
Удобным геометрическим изображением схем построения разностных
производных являются шаблоны.
На рис. 2 приведены шаблоны, соответствующие правой (рис. 2, а), левой
(рис.2, б) и центральной (рис. 2, в) разностным производным.
Рис. 2. Примеры шаблонов в одномерной области, соответствующих разностным производным:
а – правой, б – левой, в – центральной.
При переходе от дифференциальной краевой задачи к разностной
необходимо также аппроксимировать граничные условия. В рассмотренном
примере (1) граничные условия при использовании (2) можно аппроксимировать
точно:
10
h
(7)
Совокупность разностного уравнения и разностных краевых условий
называется разностной схемой краевой задачи.
В нашем примере уравнения (3) и (7) являются разностной схемой краевой задачи
(1).
Кажущаяся простота построения разностной схемы в рассмотренном
примере обманчива. В реальных задачах при построении разностных схем
возникают проблемы. При исследовании разностных схем даже простых
линейных задач часто выясняется, что разностная схема дает решение, не
сходящееся при измельчении сетки к точному решению дифференциальной
задачи. Поэтому построение сходящейся разностной схемы – центральный и
наиболее сложный вопрос МКР.
Понятие сходимости разностной схемы тесно связано с понятиями точности
и устойчивости.
Пусть точное значение непрерывной функции в узле с координатой x=x
h
равно
h
, а полученное значение точной функции в том же узле
hn
. Если
погрешность
nhnn
стремится к нулю при стремлении к нулю шага h и имеет
k-й порядок относительного шага, то принято говорить, что разностная схема
имеет k-й порядок точности в n-м узле.
Аналогично для определения порядка аппроксимации вычисляют
погрешность между точным
n
L
и приближенным
hn
L
значениями производной в
n-м узле:
hnnh
LL
При этом порядок погрешности
n
относительно шага впадает с порядком
аппроксимации дифференциального
L
разностным
h
L
оператором в n-м узле.
Для определения порядка точности многих практических разностных схем
достаточно определить порядок аппроксимации дифференциального оператора
разности, так как порядки точности и аппроксимации для них совпадают. Однако
разностная схема, для которой такое подтверждение может быть доказано,
должна обладать еще одним важным свойством - устойчивостью.
Устойчивая разностная схема - схема, в которой не происходит
наращивания малых ошибок округления, допущенных на начальных стадиях
решения.
Для многих краевых задач сходимость разностной схемы является
следствием аппроксимации ею краевой задачи и устойчивости. При этом порядок
сходимости относительно шага совпадает с порядком аппроксимации.
Для гладких неразрывных функций хорошо развит математический аппарат
изучения аппроксимации и доказательства устойчивости разностных схем.
Необходимость исследования сходимости впервые построенной разностной
схемы обусловливает тот факт, что основу программных реализаций в САПР
составляют вполне конкретные, хорошо изученные для определенных задач
разностные схемы.
Метод конечных элементов.
В настоящее время метод конечных элементов (МКЭ) является одним из
наиболее популярных методов решения краевых задач в САПР. В
математическом отношении метод относится к группе вариационно-разностных.
Строгое доказательство таких важных свойств, как устойчивость, сходимость и
точность метода, проводится в соответствующих разделах математики и часто
представляет собой непростую проблему.
К основным преимуществам МКЭ относят доступность и простоту его
понимания и применимость метода для задач с произвольной формой области
решения, возможность создания на основе метода высококачественных
универсальных программ для ЭВМ.
В МКЭ исходная область определения функции разбивается с помощью
сетки, в общем случае неравномерной, на отдельные подобласти - конечные
элементы. Искомая непрерывная функция аппроксимируется кусочно-
непрерывной, определенной на множестве конечных элементов. Аппроксимация
может задаваться произвольным образом, чаще всего для этих целей
используются полиномы, которые подбираются так, чтобы обеспечить
непрерывность искомой функции в узлах на границах элементов.
Для двухмерных областей наиболее часто используются элементы в форме
треугольников и четырехугольников. При этом элементы могут иметь как прямо-,
так и криволинейные границы, что позволяет с достаточной степенью точности
аппроксимировать границу любой формы.
Для трехмерных областей наиболее употребимы элементы в форме тетраэдра
и параллелепипеда, которые также могут иметь прямолинейные и криволинейные
границы.
Пример использования МКЭ для расчета одномерного температурного поля в
однородном стержне. Пусть имеется стержень длиной L и площадью поперечного сечения S
(рис. 1).
Рис. 1. Однородный стержень, находящийся под воздействием теплового потока
Один конец стержня жестко закреплен, и к нему подводится тепловой поток q заданной
интенсивности. На свободном конце стержня происходит конвективный теплообмен с внешней
средой. Известны коэффициент теплообмена
и температура окружающей среды Т
*
. Вдоль
боковой поверхности стержень теплоизолирован.
Температурное поле в стержне описывается уравнением теплопроводности, которое в
одномерном приближении имеет вид
0
2
2
dx
Td
x
(1)
Краевые условия определяются уравнениями:
0q
dx
dT
x
при х=0; (2 а)
0
*
TT
dx
dT
x
при x=L. (2 б)
Искомое температурное поле является непрерывной функцией координаты х (рис. 2, а).