4. Предварительное описание и интерпретация проблемы.
После выяснения необходимых данных, теоретических предпосылок,
типа решения и цели проблемы открывается возможность более точного
описания, формулировки и истолкования проблемы с помощью
разработанных в науке понятий и суждений. На этом этапе должна
быть выяснена специфика связи между данными, на которых
основывается проблема, и теми теоретическими допущениями и
гипотезами, которые выдвигаются для ее решения.
Необходимой предпосылкой такого анализа служит выявление всех
тех факторов, которые могут оказаться существенными для решения
данной проблемы. Этот этап в разработке проблемы в известной мере
подводит некоторый итог всей той предварительной работы, которая
была предпринята для того, чтобы ясно сформулировать и четко
поставить саму проблему. Естественным его завершением является
ответ на вопрос о принципиальной возможности решения проблемы. В
формальных науках, т.е. прежде всего в математике и формальной
логике, нередко удается найти или разработать специальные методы и
средства для решения проблем и проверки правильности их решения.
Такие методы, которые приводят от некоторых исходных данных к
определенным результатам, основываются на четко сформулированном
правиле осуществления операций и обладают массовым характером,
получили название алгоритмов. Общепонятность алгоритма, его
результативность и возможность применения для решения целого
класса однотипных проблем или задач делает его весьма ценным
средством исследования не только чисто математических проблем, но
и проблем, допускающих достаточно четкое математическое выражение.
По сути дела, все те задачи и проблемы математики, которые могут
быть решены по единому правилу или общей схеме, принадлежат к
числу алгоритмических.
Интерес к таким проблемам значительно усилился после
возникновения современной вычислительной математики и кибернетики,
так как именно алгоритмически разрешимые проблемы можно
запрограммировать и тем самым решить с помощью электронно-
вычислительной машины. Что касается доказательств существования и
несуществования алгоритма, то они принадлежат к творческим
проблемам, имеющим большое общенаучное и методологическое
значение. Огромная масса исследовательских проблем не поддается
алгоритмизации и, следовательно, не может быть передана машине,
хотя использование таких машин может во многом облегчить
трудоемкую задачу обработки многочисленных эмпирических данных.
Когда же говорят о неразрешимости какой-либо проблемы, то под
этим подразумевают, что для данной проблемы существует
доказательство ее неразрешимости с помощью некоторых точно
указанных средств. В истории науки не раз бывало, что проблема, не
поддававшаяся решению с помощью известных средств, находила
довольно быстрое решение посредством новых, более совершенных
средств. Так, знаменитая задача о трисекции угла, которую античные
математики не смогли решить с помощью циркуля и линейки, была
довольно просто решена с помощью арифметических методов.
Многие важные проблемы современной математики, которые нельзя
решить с помощью финитных методов, разрешаются посредством
трансфинитных методов. Все это говорит о том, что даже в
«формальных науках» разрешимость проблемы должна пониматься в