Лекции - Механика

Подождите немного. Документ загружается.

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

Электронный учебник по физике

КГТУ-КХТИ. Кафедра физики. Поливанов*М.А., Старостина*И.А., Кондратьева*О.И., Казанцев*С.А.

Для перемещения по тексту электронного учебника можно использовать:

1- нажатие клавиш PgDn, PgUp,,  для перемещения по страницам и строкам;

2- нажатие левой клавиши «мыши» по выделенному тексту для перехода в требуемый раздел;

3- нажатие левой клавиши «мыши» по выделенному значку @ для перехода в оглавление.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

1. * Кинематика поступательного и вращательного движения

1.1. Система отсчета. Радиус-вектор материальной точки.

1.2. Кинематические характеристики и уравнения движения материальной точки

1.3. Частные случаи движения

1.4. Кинематические характеристики вращательного движения

1.5. Связь между линейными и угловыми кинематическими характеристиками

2. * Динамика поступательного движения

2.1. Масса тела, силовое поле, сила

2.2. Законы И.Ньютона

2.3. Закон сохранения импульса

2.4. Центр масс. Закон движения центра масс

2.5. Принцип реактивного движения. Уравнение движения тела с переменной массой

2.6. Энергия, работа, мощность

2.7. Кинетическая и потенциальная энергии

2.8. Связь потенциальной энергии тела и действующей на него консервативной силы

2.9. Закон сохранения и превращения энергии в механике

3. Динамика вращательного двихения

3.1. Основные характеристики динамики вращательного движения

3.2. Работа и кинетическая энергия при вращательном движении твердого тела

Основное уравнение вращательного движения вокруг неподвижной оси

4. * Колебательное движение

4.1. Основные характеристики гармонического колебания

4.2. Скорость и ускорение при гармоническом колебании

4.3. Гармонический осциллятор. Примеры гармонических осцилляторов

4.4. Затухающие колебания

4.5. Вынужденные колебания. Механический резонанс

5. Волновые процессы

5.1.Понятие о волнах. Виды волн.

5.2.Волновое уравнение. Уравнения и характеристики волн.

5.3. Энергия волны. Перенос энергии.

5.4.Принцип суперпозиции волн. Явление интерференции.

6. Элементы релятивисткой механики

6.1. Преобразования Галилея и механический принцип относительности

6.2. Постулаты специальной (частной) теории относительности

6.3. Преобразования Лоренца

6.4. Следствия преобразований Лоренца

6.5. Основной закон динамики релятивистской частицы

6.6. Взаимосвязь массы и энергии. Закон сохранения энергии в релятивистской механике

6.7. Общая теория относительности

ВВЕДЕНИЕ.@

Предмет физики. Греческое слово «physis» в переводе означает «природа», поэтому наука о природе,

наука, изучающая общие закономерности явлений природы, простейшие и вместе с тем наиболее общие

свойства материи называется физикой. Можно утверждать, что физика является фундаментом, на котором

строятся все естественные и прикладные науки.

Развитие физики и, в частности, механики было обусловлено потребностями мореплавания, военного

дела и строительства. К началу XVIII века был заложен фундамент физической науки. В основу физики в

средние века легли великие идеи Исаака Ньютона (1643-1727), Николая Коперника (1478-1543), Галилео

Галилея (1564-1642), Михаила Ломоносова (1711-1765). Начиная с конца XVIII в. развитие физики

сопровождается бурным прогрессом техники. Изучение тепловых процессов привело к созданию нового раз-

дела физики - термодинамики, а ее законы позволили конструировать тепловые машины. В конце XIX в. и в

начале ХХ в. появилось много новых открытий в области электричества и магнетизма. В физике выделяются

новые разделы: электродинамика, радиотехника, радиоэлектроника. Начиная со второй половины ХХ века,

физикой интенсивно изучались свойства атомов, атомных ядер, элементарных частиц, получили и научились

управлять атомной и ядерной энергией.

Большинство естественных наук имеют специальные физические разделы: астрофизика - в астрономии,

биофизика - в биологии, металлофизика - в металловедении, физическая химия - в химии. Связь физики с

другими науками взаимна: развиваясь с помощью физики, эти науки обогащают физику своими достижениями

и ставят перед нею новые задачи, разрешая которые физика развивается и совершенствуется сама.

Физика позволяет создавать приборы и вырабатывать методы исследования, необходимые для

успешного развития всех естественных и прикладных наук. Проектирование любого технологического

процесса требует знаний законов физики, чтобы правильно рассчитать оптимальные термодинамические

условия проведение процесса, получения максимального выхода продукта при минимуме затрат. Растущая

связь физики и техники обуславливает значительную роль курса физики в технологическом университете, как

фундаментальной базы для теоретической подготовки инженера-механика, инженера-технолога и др., без

которой их практическая деятельность невозможна.

Понятие материи и движения. Весь окружающий мир, вся природа представляет собой материю.

Материя - это вся объективная реальность, существующая независимо от нашего сознания.

Всовременной науке всё многообразие материи делят условно на следующие виды: физический вакуум,

физические поля, элементарные частицы, атомы и молекулы, макроскопические тела различных размеров,

планеты, звезды, галактики, системы галактик. Особый тип макроскопических тел - живая материя.

Неотъемлемым свойством материи и формой ее существования является движение. Движение

включает в себя все происходящие изменения и процессы, начиная от простого перемещения и кончая

мышлением. В мире нет материи без движения, нет движения без материи. Современная наука выделяет три

основные группы форм движения материи: в неорганической природе, в живой природе, в обществе. В каждой

из групп имеется множество форм движения, что обусловлено множеством видов материи. Все формы

движения связаны между собой. К первой группе относятся: пространственное перемещение; изменение полей;

процессы превращения элементарных частиц; тепловые процессы; звуковые колебания; изменения в

космических системах и др. Перечисленные формы движения изучает физика. Процессы взаимодействия и

движения атомов и молекул составляют химическую форму движения. Этот тип движения изучает химия.

Вторую и третью группы, включающие биологическую и социальную формы движений, изучают биология и

различные общественные науки

Механика - часть физики, изучающая закономерности механического движения и причины,

вызывающие или изменяющие это движение. Механическое движение - это изменение взаимного

расположения материальных точек, тел или их частей в пространстве с течением времени.

Механика, изучающая движение макроскопических тел со скоростями, значительно меньшими

скорости света в вакууме (с=310

м/с), называется классической механикой Галилея-Ньютона. Законы

движения макроскопических тел со скоростями, сравнимыми со скоростью света, изучаются релятивисткой

механикой, в основе которой лежит специальная теория относительности А.Эйнштейна.

Законы движения и взаимодействия микрочастиц (атомов, элементарных частиц), обладающих

двойственной природой (они обладают и свойствами частицы, и свойствами волны), описываются с помощью

квантовой механики, которая была разработана М.Планком, Э.Шредингером, В.Гейзенбергом, П.Дираком.

Квантовая механика делится на нерелятивистскую квантовую механику, изучающую движение микрочастиц со

скоростями, значительно меньшими скорости света и релятивистскую квантовую механику, изучающую

движение микрочастиц со скоростями, сравнимыми со скоростью света.

Механика делится на три раздела: статику, кинематику, динамику. Статика изучает законы равновесия

системы тел. Она подробно изучается в курсе теоретической механики. Поэтому в предлагаемом пособии этот

раздел мы опускаем.

1.*КИНЕМАТИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ. @

Кинематика изучает движение тел, не рассматривая причины, вызывающие это движение.

1.1. *Система отсчета. Радиус-вектор материальной точки. @

Простейшим примером механического движения является движение материальной точки. Матери-

альная точка – это модель реального тела, размерами которого в данной задаче можно пренебречь. Для

описания механического движения необходимо ввести тело отсчета и систему отсчета.

Тело отсчета – это тело, условно принятое за неподвижное. Система отсчета – совокупность

системы координат и часов, связанных с телом отсчета. Для решения большинства физических задач

систему отсчета связывают либо с Солнцем, либо с Землей. Система отсчета, центр которой совмещен с

Солнцем, называется гелиоцентрической (гелиос - по-гречески Солнце). Система отсчета, центр которой

совмещен с Землей называется геоцентрической (геос - по-гречески Земля). Правильный выбор системы

координат часто упрощает решение поставленной физической задачи. Важнейшими пространственными

системами координат, применяемых в механике, являются

прямоугольная декартова и системы криволинейных координат

(цилиндрическая, сферическая, эллипсоидная и др.).

Пусть точка М движется в пространстве. На рис.1.1

представлены тело отсчета О и связанная с ним прямоугольная

декартова система координат. Вектор, соединяющий начало (тело)

отсчета с точкой М, есть радиус-вектор этой точки



. Из точки М

опустим перпендикуляры на ось OZ и плоскость ХОY. Из точки М’

проведем перпендикуляры к осям ОХ и OY. Векторы

zyx

r,r,r



на

координатных осях называются составляющими радиуса-вектора.

Пользуясь правилом сложения векторов можно получить

zyx

rrrr





Модули



есть проекции радиуса-вектора на

координатные оси. Проекция – всегда скалярная величина. Эти

проекции называются координатами материальной точки М – x, y, z .

Отсюда

xrr





yrr





zrr





Каждому вектору может быть сопоставлен единичный вектор (орт), имеющий то же направление, что и

сам вектор, но по модулю равный единице. Пусть

k,j,i



- орты координатных осей соответственно. Тогда

можно записать

irr





jrr





krr





или

krjrirr

zyx







При движении материальной точки ее координаты и радиус-вектор изменяются с течением времени. Поэтому в

общем случае можно записать:

     

tzz,tyy,txx 

или

 

trr





Это уравнение называется кинематическим уравнением движения материальной точки.

Непрерывная кривая, которую описывает точка при своем движении относительно системы координат,

называется траекторией.

1.2. Кинематические характеристики и уравнения поступательного движения. @

Кроме модели реального тела в виде материальной точки, в физике часто используется модель

абсолютно твердого тела. Тело считается абсолютно твердым, если в условиях рассматриваемой задачи оно не

деформируется, т.е. расстояние между любыми двумя произвольными точками сохраняется неизменным.

Движение материальной точки и твердого тела можно разложить на два вида движения - поступательное и

вращательное. Любой другой вид движения есть их комбинация.

Поступательное движение твердого тела - это такое движение, при

котором любая прямая, жестко связанная с телом, остается параллельной самой

себе (рис.2.1). Поступательное движение твердого тела будет прямолинейным,

если траектории всех его точек - параллельные прямые линии; криволинейным,

если траектории произвольной формы.

Пусть за время



материальная точка переместилась из положения А

в В по криволинейной траектории (рис.3.1). Расстояние, пройденное точкой

вдоль траектории за время



есть скалярная, положительная величина – путь

S

r,r



- радиусы-векторы точек А и В.

Вектор, соединяющий точки А и В, называется

вектором перемещения





rrr





В общем случае модуль вектора перемещения не равен пути (см.

рис.3.1)

 





. Лишь при прямолинейном движении

Sr  

. На малых временных интервалах, когда

0t 

, можно

с большой точностью считать, что

Sr  

Векторная физическая величина, характеризующая

изменение радиус-вектора с течением времени, называется скоростью.

Рис.2.1. Пример

поступательного

движения твердого

тела.

Рис.1.1. Радиус-вектор и его

состовляющие в декартовой

системе координат.

Рис.3.1. Путь и

перемещение точки.

Скорость характеризует изменение



как по численному значению, так и по направлению. Различают сред-

нюю и мгновенную скорости. Средняя скорость



- это скорость за данный промежуток времени на данном

участке траектории. Она равна отношению вектора перемещения





за время



к этому промежутку

времени







. Мгновенная скорость



- это скорость в данный момент времени, в данном месте

траектории. Она определяется как предел, к которому стремится



при



0.

Отсюдаследует

lim















Математически, вектор мгновенной скорости равен первой производной от радиуса-вектора по времени.

Таким образом





. Вектор



направлен вдоль вектора





, вектор



направлен по касательной к

траектории в данной точке.

Векторная физическая величина, характеризующая изменение вектора скорости с течением

времени называется ускорением



. Различают среднее и мгновенное ускорения. Среднее ускорение



равно отношению изменения вектора скорости за время t к этому промежутку времени







Мгновенное ускорение



, т.е. ускорение в данный момент времени находится как предел



при t 0.

Отсюда

lim

alim











Вектор ускорения в данный момент времени определяется как первая производная от вектора

скорости по времени или вторая производная от радиуса-вектора по времени.

Поскольку скорость величина векторная, она может изменяться как по величине, так и по направлению.

Изменение вектора скорости





можно представить в виде суммы двух

слагаемых векторов











т.е.















, где







изменение скорости по величине,





- изменение скорости по направлению за

промежуток времени t. Поэтому вводят две составляющие ускорения:





тангенциальное или касательное ускорение,



- нормальное ускорение. Полное

ускорение

nτ

aaa





, где





- характеризует изменение скорости только

по величине, а



- характеризует изменение скорости только по

направлению. На основании вышеизложенного можно записать мгновенное

ускорение

lim

lima

0t0t0t



















lim

limaa

0t0t0t

























Тангенциальное ускорение



численно равно первой производной от скорости по времени и

направлено по касательной к траектории в данной точке. Вот почему





называется еще касательным

ускорением.

Учитывая, что

limaa









, можно геометрическими построениями и расчетами получить



. Вектор



перпендикулярен траектории в данной точке (направлен по радиусу кривизны

траектории к центру), отсюда его название – центростремительное ускорение. Полное ускорение численно

равно

aaa































Вектор



является диагональю прямоугольника со сторонами





(рис.4.1).

1. 3. Частные случаи движения.@

Рис. 4.1. Нормальное,

тангенцальное и полное

ускорения.

1. Равномерное прямолинейное движение:

constv 



;

0a 





;





;

0a 



Уравнение движения:

tvrr







или

tvxx



;

tvyy



;

tvzz



2. Прямолинейное равнопеременное движение:

const

aa 







;

tavv







При равноускоренном движении а0, при равнозамедленном а0. Уравнение движения:

tvrr







или

tvxx

x00



,

tvyy

y00



,

tvzz

z00



Уравнение пути, пройденного точкой при равнопеременном движении, можно получить при интегрировании

формулы

atvv



по времени от 0 до t.

 





000

tvSdtatvvdtS

3. Прямолинейное переменное движение:

 

tfa



4.*Равномерное криволинейное движение:





(t)a

f

5.* Равномерное движение по окружности:





,

consta



,

constv 

constv 



. Этот вид

движения следует рассмотреть подробнее.

1. 4. Кинематические характеристики вращательного движения. @

Вращательным называется такое движение, при котором все точки тела движутся по

окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

Пусть точка или абсолютно твердое тело за время t,

вращаясь вокруг неподвижной оси ОО’, перешло из

положения 1 в 2, повернувшись на угол . Скалярная

величина  есть угловой путь (рис.5.1). Элементарные

(бесконечно малые) повороты можно рассматривать как

векторы. Модуль такого вектора равен углу поворота d, а

направление определяется по правилу правого винта: если винт

вращать в направлении движения точки по окружности, то

поступательное движение его острия указывает направление вектора





. Такие вектора, направление которых связывается с

направлением вращения, называются псевдовекторами.

Быстрота вращения характеризуется вектором угловой

скорости





, направленной вдоль оси вращения как и





Средняя угловая скорость







. Мгновенная угловая

скорость

lim















. Изменение





со

временем определяет вектор углового ускорения





. Среднее угловое ускорение







. Мгновенное

угловое ускорение

ωd

lim











;







. При вращении тела вокруг неподвижной оси изменение

вектора





обусловлено только изменением его численного значения. Поэтому





направлен вдоль оси

вращения. Если вращение ускоренное, то направления









совпадают (0); если замедленное – то они

противоположны (0). При равнопеременном движении точки по окружности (=const)



εt

tω



, где 

– начальный угол поворота, 

– начальная угловая скорость.

1.*5.* Связь между линейными и угловыми кинематическими характеристиками. @



0



0

Рис.5.1. Угловые путь, скорость

и ускорение

Пусть за малый промежуток времени dt материальная

точка повернулась относительно оси вращения на малый угол d

(рис.6.1). По ранее приведенной формуле линейная скорость

v 

. При малых углах поворота перемещение dr можно

считать равным произведению радиуса вращения r на угол

поворота d, т.е.

rddr

. Отсюда





=r. В

векторном виде связь линейной скорости



и угловой





можно представить с помощью векторного произведения













 r ωv





)

r,ω

ωrsin(v







. При вращении

вокруг неподвижной оси угол между векторами





равен



, следовательно

ωrv 

. Отсюда можно получить еще одно

выражение для тангенцального ускорения

 

rε

dω

rωr

a 

. Учитывая направление, связь

тангенциального и углового ускорений можно записать в векторном виде













 rε



, а также для

rω

222



или

rωa





. Знак «минус» в формуле обусловлен противоположной

направленностью векторов



Если вращение равномерное, то

const



, и его можно характеризовать периодом вращения Т. Т –

время одного полного оборота точки (тела) вокруг оси.

2



;







;

T 

;

n2

n – число оборотов в единицу времени, частота вращения. При равномерном вращении



rnπ4aa



2.*ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ. @

Динамика – это раздел механики, который изучает движение совместно с причинами,

вызывающими или изменяющими это движение. В основе динамики лежат три закона Ньютона,

сформулированные им в 1687 г.

Масса тела, силовое поле, сила. @

Масса тела (материальной точки) – скалярная физическая величина, одна из основных

характеристик материи. Она определяет ее инерционные (инертная масса) и гравитационные

(гравитационная масса) свойства. Доказано, что инертная и гравитационная масса равны.

Поле физическое или силовое поле – есть форма существования материи, посредством которой

осуществляются взаимодействия между макроскопическими телами или частицами, входящими в состав

вещества. К физическим полям относятся гравитационное, электромагнитное, поле ядерных сил. Источниками

полей служат незаряженные и заряженные тела, постоянные магниты, контуры с током, ядра атомов и т.д.

Причиной изменения движения тел является силовое воздействие. Сила



- векторная физическая

величина, являющаяся мерой воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате чего

тело либо приобретает ускорение, либо деформируется. Взаимодействие тел возможно как при

соприкосновении, так и на расстоянии, благодаря силовым полям. В каждый момент времени сила

характеризуется числовым значением, направлением в пространстве и точкой приложения. Силы, связанные с

перечисленными выше физическими полями, являются первичными, их называют фундаментальными силами.

Имеется также множество вторичных сил, которые являются комбинацией фундаментальных сил (в основном –

электромагнитные). Например, это силы межатомного и межмолекулярного взаимодействия, силы трения, силы

деформации и др.

d

Рис.6.1. Связь углового и

линейного пути

Гравитационное поле – это поле сил взаимодействия (притяжения) тел, имеющих массу. И. Ньютон

установил, что для материальных точек формула величины силы гравитации имеет вид

GF 

гр

, где

G- гравитационная постоянная, m

и m

– массы взаимодействующих точек, r- расстояние между ними.

Электромагнитное поле – это поле сил взаимодействия (притяжения или отталкивания) тел, имеющих

электрический заряд. Формулы этих сил будут рассмотрены при изучении электрических и магнитных явлений.

Ядерное поле – это поле сил взаимодействия элементарных частиц, из которых состоят атомы и

молекулы. Эти силы действуют только на очень малых расстояниях, их свойства рассматриваются при

изучении ядер атомов.

2.2. Законы И.Ньютона. @

Классическая динамика базируется на трех законах Ньютона.

Первый закон Ньютона: Если на материальную точку не действуют силы или приложенные

силы взаимноуравновешены (т.е. суммарная или результирующая сила равна нулю), то материальная

точка будет находиться в состоянии покоя (



=0) или равномерного прямолинейного движения (



=const).

Понятия движения и покоя относительны и зависят от выбора системы отсчета. Свойство тела

сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью. Первый

закон Ньютона называют законом инерции. Система отсчета, в которой он выполняется, считается инер-

циальной. Экспериментально установлено, что гелиоцентрическую систему отсчета можно считать

инерциальной, а геоцентрическая, строго говоря, неинерциальна. Однако, для решения многих простых задач и

ее считают инерциальной.

Второй закон Ньютона.Скорость изменения импульса движущейся материальной точки (тела)

равна действующей на нее силе:





Векторная физическая величина равная произведению массы точки на вектор скорости

называется импульсом (количеством движения) точки

vmp





. Последнюю формулу можно записать в

виде

pddtF





, где

dtF



- элементарный импульс силы, действующий на точку (тело),



- изменение

импульса точки (тела). Если на точку (тело) действует постоянная сила

constF 



, то из предыдущей

формулы имеем

 

constF

vmd





. Умножим обе части равенства на dt

 

dtFvmd





интегрируя обе части равенства, получим





dtF)vd(m



tF)t(tF)vvm(

1212





Изменение импульса тела под действием постоянной силы равно произведению этой силы на время ее

действия или импульсу силы.

Кроме общей формулировки II закона Ньютона часто используют формулировку для случая, когда

масса не меняется со временем. Учитывая, что





, второй закон Ньютона можно записать в виде:

 

mvm





или





Ускорение, приобретаемое телом с постоянной массой под действием силы, прямо

пропорционально этой силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе тела.

С математической точки зрения первый закон Ньютона представляет частный случай второго закона

Ньютона, так как если результирующая сила равна нулю

рез

=0, то



=0,



=0 и



v const

(либо



=0). Причиной того, что I закон выделен в особый закон, является то, что на первый взгляд он противоречит

некоторым наблюдениям. Например, движущийся автомобиль при выключении мотора останавливается, а не

продолжает двигаться с постоянной скоростью. Это объясняется наличием еще двух сил: сопротивление

воздуха и трение автомобильных шин о поверхность дороги. Они-то и сообщают автомобилю отрицательное

ускорение, вследствие которого он останавливается.

Большое значение в механике имеет принцип независимости действия сил: Если на точку (тело) действует

одновременно несколько сил, то каждая из них сообщает точке свое ускорение, независимо от других сил.

Результирующее ускорение равно векторной сумме ускорений. Для n действующих сил, это записывается в

следующем виде

рез

















FF...FFF

рез



Результирующая сила

рез



равна векторной сумме сил, действующих на тело. В этом

заключается принцип суперпозиции или принцип независимости действия сил.

Рассмотрим конкретные примеры расчета ускорения тел.

Пример: Пусть тело малых размеров (материальная точка) массой m падает вниз около поверхности Земли.

Если не учитывать силы трения о воздух, которая очень мала, ускоренное движение тела происходит под

действием одной силы – силы гравитационного взаимодействия (притяжения) с Землей. Учитывая конкретный

вид силы притяжения

GF 

гр

, запишем второй закон Ньютона и получим формулу для ускорения

свободно падающего тела



, где М

- масса Земли, R

– радиус Земли. Это ускорение называют

ускорением свободного падения на поверхности Земли, его обозначают g и оно

равно примерно 9.8 м /c

. Используя это понятие, силу притяжения на

поверхности Земли записывают в виде F

гр

= mg, эту силу называют силой тяжести

и она определяется с помощью покоящихся пружинных весов.

Пример: Пусть на упругом тросе поднимают груз массой m (Рис.2.1). На него

действуют две силы: сила тяжести



- сила натяжения троса. Если они

равны по величине, то тело будет находиться в покое (Iзакон Ньютона). Чтобы

тело поднималось с ускорением



, необходимо чтобы сила натяжения троса

была больше силы тяжести. Тогда следуя принципу суперпозиции сил можно за-

писать

gmTam





В проекциях на выбранную ось y уравнение примет вид

ma T mg 

. Отсюда

T mg





Третий закон Ньютона. При взаимодействии две материальные

точки действуют друг на друга с силами, равными по абсолютной величине

и направленными в противоположные стороны вдоль прямой,

соединяющей эти точки

2112





Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам),всегдадействуют парами

и являются силами одной природы. Закон справедлив для описания взаимодействия

покоящихся тел, а также в случае контактных взаимодействий.

Пример: Пусть тело массой m лежит на горизонтальной поверхности.

Тело действует на нее с силой





, направленной вертикально вниз. Поверхность же

действует на тело с силой



(реакция опоры), равной по модулю силе





. На тело

также действует сила тяжести



. Так как тело находится в покое то, очевидно,



= -



и все эти силы равны по модулю (рис.2.2.).

2. 3.* Закон сохранения импульса. @

Рассмотрим общий случай - систему n взаимодействующих материальных точек (тел).

На каждое тело действуют внутренние и внешние силы. Силы взаимодействия между

телами системы называются внутренними, а силы, которые действуют со стороны тел,

не входящих в рассматриваемую систему, называются внешними. Массы точек - m

, ..., m

, скорости их движения - v

, v

,...,v

. Пусть

n11312

f,...,f,f



- внутренние

силы, действующие на первую точку со стороны второй, третьей и т.д.

F,...,F,F



- внешние силы,

действующие на первую, вторую и т.д. материальные точки (рис.2.3.).

Так как внутренние силы являются силами взаимодействия между телами, то они должны подчиняться

третьему закону Ньютона





Рис.2.1. Груз, под-

вешенный на упругом

тросе.

Рис.2.2. Тело,

покоящееся на

горизонтальной

плоскости.

Запишем II закон Ньютона для каждого из n тел:

 

1n1131211

Ff...ffvm









 

2n2232122

Ff...ffvm









. . . . . .

 

1nn,2n1n

Ff...ffvm











Если просуммировать эти уравнения по всем телам и учесть, что при двойном суммировании внутренних сил,

согласно третьему закону Ньютона

f 



, то получаем





, где















Если система замкнутая, т.е. на нее не действуют внешние силы, то

0F 







, т.е.

constp 



Это выражение является законом сохранения импульса. Суммарный импульс замкнутой

системы точек (тел) не меняется с течением времени.

Закон сохранения импульса находит широкое применение в природе и технике. Примером может служить

явление отдачи ружья при выстреле пули. Выстрел производится в горизонтальном направлении (рис.2.4).

Систему ружье-пуля можно считать изолированной системой и к ней применим закон сохранения импульса:

constvMvm





, m и v – масса и скорость пули, M и v

– массаи скорость ружья. В начальный момент

времени (до выстрела) система

покоилась (v=v

=0),

следовательно константа в

уравнении равна нулю. Отсюда,

соотношение скоростей v и v

после выстрела, можно

рассчитать из равенства

0vMvm







Т.к. mM, то v>>v

; знак «минус» указывает на противоположную направленность скоростей. Эксперименты

доказывают, что закон сохранения импульса выполняется и для замкнутых систем микрочастиц, т.е. в

квантовой механике. Таким образом, закон сохранения импульса универсален и является фундаментальным

законом природы.

2. 4.* Центр масс. Закон движения центра масс. @

Центр масс (или центр инерции) системы материальных точек (тел) есть некоторая точка в

пространстве С, положение которой характеризует распределение масс системы. Ее радиус-вектор

равен :







, где n – число точек (тел) системы, m

, m

…m

– их массы;

n21

r...r,r



- их

радиусы-векторы; m – общая масса системы. Скорость центра масс

Рис.2.3. Силы взаимодействия в системе n материальных точек.

Рис.2.4. Применение закона сохранения импульса к стрельбе из ружья.









. Так как

iii

vmр





рр









- импульс всей системы, то

vmр





или импульс системы



равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

По II закону Ньютона

n21

F...FF

рd







. Отсюда

n21

F...FF







, т.е. центр масс системы

движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на нее действует сила, равная

геометрической сумме всех внешних сил, действующих на тела системы. Это есть закон движения центра масс.

Если система замкнута, то

0F...FF

n21









const

v 



Следовательно центр масс замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно, либо остается

неподвижным. Например, молоток вращается, а его центр масс движется прямолинейно и равномерно (рис.2.5).

Рис.2.5. Свободно летящий молоток. Его центр инерции помечен крестиком.

2. 5.**Принцип реактивного движения. Уравнение движения тела с переменной массой. @

Особый интерес представляет применение закона сохранения импульса к явлению «непрерывной

отдачи», происходящему в реактивном двигателе (ракете). Если рассматривать ракету и выбрасываемые ею

продукты сгорания как единую механическую систему, то для получения уравнения ее движения можно

применить закон сохранения импульса. Эта идея была высказана в 1881 г. Н.И.Кибальчичем и развита в трудах

К.Э.Циолковского. Уравнение движения тела с переменной массой было выведено в 1897г. И.В.Мещерским.

При выводе уравнения необходимо учитывать, что в процессе движения ракеты изменяется ее масса,

т.к. удаляются продукты сгорания. Пусть в момент времени t масса ракеты – m и ее скорость -



. Через

интервал времени dt масса ее уменьшится на dm и станет равной m-dm, а скорость будет равна

vdv





Образовавшиеся продукты сгорания топлива за время dt приобрели импульс

 

uvdm





, где



- скорость

истечения газа относительно ракеты. Изменение импульса всей системы (ракета + продукты сгорания) за время

dt равно

    

vmudmvdmvddmvmd

vdmvmvmuvdmvdvdmmрd











Так как

vddm





- пренебрежимо малая величина, поэтому после сокращений получим

dmuvmdрd







Полагая, что на ракету в далеком космосе не действуют внешние силы, то из закона сохранения импульса

следует, что

0dmuvmdрd 





Разделим обе части равенства на dt и после простых преобразований получим

uam





Выражение в правой части равенства

















имеет размерность силы и называется реактивной силой



Таким образом уравнение динамики движения ракеты в космосе можно записать в виде:

Fam





Интегрируя обе части этого равенства, получим



 Cln(m)u

. Постоянную интегрирования

С находим из начальных условий : в момент времени t=0 скорость ракеты v=0 и масса m=m

, тогда

)ln(muC

















lnu)mln(u)mln(uv

Эта формула называется формулой Циолковского. Скорость ракеты v будет тем больше, чем больше масса

ракеты и скорость истечения продуктов сгорания топлива.

Если на систему действуют внешние силы



, то

dtFрd





и аналогичным образом плучается

уравнение И.В.Мещерского в виде :

FFam







2.6. Энергия, работа, мощность. @

Одного понятия импульса оказалось недостаточно для характеристики движения. Например, два

снаряда с массами m

=1кг, m

=10кг и скоростями v

=10м/c, v

=1м/c имеют одинаковые импульс р=10кгм/с, но

их разрушающее действие для преграды будет совершенно разное (у первого в 10 раз больше).