Лекции - Математическая логика

Подождите немного. Документ загружается.

281

ôåêòèâíûõ äîêàçàòåëüñòâ òåîðåì ñóùåñòâîâàíèÿ (ñì. § 2.10), à ïî-

òîìó íå ïðèçíàåòñÿ ìàòåìàòèêàìè, ñòîÿùèìè íà êîíñòðóêòèâíûõ

ïîçèöèÿõ.

Ñíà÷àëà ïðèâåäåì äâà ïðèìåðà.

S Ïðèìåð (Âàí Äàëåí, [16]).

Ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå è åãî äîêà-

çàòåëüñòâî.

ÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ. Ñóùåñòâóþò äâà èððàöèîíàëüíûõ ÷èñëà à è

b òàêèå, ÷òî ÷èñëî à

ðàöèîíàëüíî.

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì ðàçáîðîì ñëó-

÷àåâ. Ðàññìîòðèì ÷èñëî

. Åñëè ÷èñëî

ðàöèîíàëüíî, òî

äîñòàòî÷íî ïîëîæèòü à =

2, b =

. Åñëè ÷èñëî

èððàöè-

îíàëüíî, òî äîñòàòî÷íî ïîëîæèòü à =

è b =

. Òîãäà

()

= (

)

= 2, ò. å. à

– ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî. Òàêèì

îáðàçîì, ìû äîêàçàëè, ÷òî òðåáóåìûå à è b ñóùåñòâóþò â îáîèõ

ñëó÷àÿõ.



Ýòî êîðîòêîå äîêàçàòåëüñòâî îáëàäàåò íå î÷åíü ïðèÿòíîé îñî-

áåííîñòüþ: ïî çàâåðøåíèè åãî òàê è íå ïðîÿñíÿåòñÿ ñèòóàöèÿ –

÷åìó æå ðàâíû à è b. Èç ýòîãî äîêàçàòåëüñòâà íåâîçìîæíî èçâëå÷ü

èíôîðìàöèþ î òîì, êàêîé èìåííî èç óêàçàííûõ ñëó÷àåâ èìååò

ìåñòî. Ïðè÷èíà çàêëþ÷àåòñÿ â èñïîëüçîâàíèè ïðè ðàçáîðå ñëó÷àåâ

äèçúþíêòèâíîãî ïðåäëîæåíèÿ «

∈ Q èëè

∉ Q», èìåþ-

ùåãî ñòðóêòóðó çàêîíà èñêëþ÷åííîãî òðåòüåãî À ∨ ¬À. Èìåííî

áëàãîäàðÿ èñïîëüçîâàíèþ ýòîãî êëàññè÷åñêîãî çàêîíà, ïðèâåäåí-

íîå äîêàçàòåëüñòâî íîñèò íåýôôåêòèâíûé õàðàêòåð è ÿâëÿåòñÿ òè-

ïè÷íûì îáðàçöîì òàê íàçûâàåìîãî äîêàçàòåëüñòâà «÷èñòîãî ñóùå-

ñòâîâàíèÿ».

Çàìå÷àíèå. Íà ñàìîì äåëå òó æå òåîðåìó ìîæíî äîêàçàòü è ýô-

ôåêòèâíî, ïðåäúÿâèâ ñîîòâåòñòâóþùèå à è b. Äåéñòâèòåëüíî, â îáëà-

ñòè òåîðèè ÷èñåë ïîëó÷åí ðåçóëüòàò

, èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî

–

À. Î. Ãåëüôîíä è Ò. Øíàéäåð â 1934 ã. äîêàçàëè, ÷òî åñëè α – àëãåáðàè-

÷åñêîå ÷èñëî, íåðàâíîå 0 è 1, à β – àëãåáðàè÷åñêîå èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî, òî

– òðàíñöåíäåíòíîå ÷èñëî.

Сущность

критики закона

исключенного

третьего

282

òðàíñöåíäåíòíîå, à ñëåäîâàòåëüíî, èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî. Òàêèì

îáðàçîì, ìîæíî âïîëíå îïðåäåëåííî âçÿòü à =

è b =

Ïðèâåäåì åùå îäíó ïàðó òðåáóåìûõ ÷èñåë: à =

, b = log

Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî êàæäîå èç ýòèõ ÷èñåë èððàöèîíàëüíî. Ïðè

ýòîì à

log 4

log 2

= 2 – ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî.

Â ðàññìîòðåííîì ñëó÷àå, êðîìå êëàññè÷åñêîãî íåýôôåêòèâíî-

ãî äîêàçàòåëüñòâà, óäàåòñÿ íàéòè è ýôôåêòèâíîå äîêàçàòåëüñòâî.

Îäíàêî ýòî íå âñåãäà âîçìîæíî. 

Ïðèìåð (À. Ãåéòèíã, [3]).

Ðàññìîòðèì äâà ñèíòàêñè÷åñêè îäèíàêîâûõ îïðåäåëåíèÿ äâóõ

íàòóðàëüíûõ ÷èñåë k è l:

1) k åñòü íàèáîëüøåå ïðîñòîå ÷èñëî, òàêîå, ÷òî k – 1 òîæå

ïðîñòî; åñëè æå òàêîãî ÷èñëà íå ñóùåñòâóåò, òî k = 1.

2) l åñòü íàèáîëüøåå ïðîñòîå ÷èñëî, òàêîå, ÷òî l – 2 òàêæå

ïðîñòî; åñëè æå òàêîãî ÷èñëà íå ñóùåñòâóåò, òî l = 1.

ßñíî, ÷òî îïðåäåëåíèå 1 çàäàåò ÷èñëî k = 3, à îïðåäåëåíèå 2 íå

äàåò íàì çíà÷åíèå l, òàê êàê ïðîáëåìà áëèçíåöîâ

ïîêà íå ðåøåíà.

Ìàòåìàòèêè, ìûñëÿùèå êëàññè÷åñêè, ïðèíèìàþò îáà îïðåäå-

ëåíèÿ. Êîíñòðóêòèâíî ìûñëÿùèå ìàòåìàòèêè îïðåäåëåíèå 2 íå

ïðèíèìàþò. 

Ðàññìîòðèì îáùèå ñîîáðàæåíèÿ, ïðèâåäøèå êðèòèêîâ çàêîíà

èñêëþ÷åííîãî òðåòüåãî A ∨ ¬A ê âûâîäó î íåïðàâîìåðíîñòè ïåðå-

íîñà ýòîãî çàêîíà, âîçíèêøåãî ïðè ðàññóæäåíèÿõ î êîíå÷íûõ ìíî-

æåñòâàõ, íà ìíîæåñòâà áåñêîíå÷íûå.

Çàêîí èñêëþ÷åííîãî òðåòüåãî óòâåðæäàåò, ÷òî äëÿ âñÿêîãî ïðåä-

ëîæåíèÿ

âåðíî

èëè íå-

Ïóñòü

P – îäíîìåñòíûé ïðåäèêàò íà ìíîæåñòâå Å òàêîé, ÷òî

äëÿ ëþáîãî õ èç Å ìîæíî ýôôåêòèâíî îïðåäåëèòü, îáëàäàåò ýëå-

ìåíò õ ñâîéñòâîì

P èëè íåò (ò. å. P – ðàçðåøèìûé ïðåäèêàò). Ðàñ-

ñìîòðèì òåïåðü â êà÷åñòâå

ïðåäëîæåíèå (Eõ) P(õ) ò.å. «Ñóùå-

ñòâóåò ýëåìåíò ìíîæåñòâà Å, îáëàäàþùèé ñâîéñòâîì

P». Òîãäà ¬

åñòü ïðåäëîæåíèå ¬(Eõ) P(õ). Ñîãëàñíî çàêîíó èñêëþ÷åííîãî òðå-

òüåãî, ïîëó÷àåì:

(

Eõ) P(õ) ∨ ¬(Eõ) P(õ).

Åñëè Å – êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, òî ìîæíî èññëåäîâàòü âñå åãî

Áëèçíåöû – äâà ïðîñòûõ ÷èñëà, ðàçíîñòü ìåæäó êîòîðûìè ðàâíà 2.

283

ýëåìåíòû, ïåðåáðàâ èõ ïî î÷åðåäè, è â ðåçóëüòàòå âûÿñíèòü,

(

Eõ) P(õ) èëè æå (õ) ¬P(õ). Ïîñêîëüêó Å êîíå÷íî, òî òàêîé ïåðåáîð,

â ïðèíöèïå, çàêîí÷èòñÿ. Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü ñ÷èòàòü, ÷òî çàêîí

èñêëþ÷åííîãî òðåòüåãî ñïðàâåäëèâ, åñëè Å – êîíå÷íîå ìíîæåñòâî.

Åñëè æå ìíîæåñòâî Å áåñêîíå÷íî, òî ïðîöåññ ïåðåáîðà ýëå-

ìåíòîâ Å äëÿ íàõîæäåíèÿ ýëåìåíòà ñ çàäàííûì ñâîéñòâîì ìîæåò

íèêîãäà íå çàêîí÷èòñÿ. Åñëè ïîâåçåò, òî ìîæíî íàòîëêíóòüñÿ íà

ýëåìåíò õ òàêîé, ÷òî

P(õ). Íî ïðîâåðêà ìîæåò ïðîäîëæàòüñÿ è íåî-

ãðàíè÷åííî äîëãî, òî ëè ïîòîìó, ÷òî äî èñêîìîãî ýëåìåíòà ìû åùå

íå äîøëè, òî ëè ïîòîìó, ÷òî åãî âîâñå íå ñóùåñòâóåò.

Â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ óäàåòñÿ äîêàçàòü ïðèâåäåíèåì ê íåëåïîñ-

òè, ÷òî ¬(

Eõ) P(õ). Îäíàêî íåò íèêàêèõ îñíîâàíèé óòâåðæäàòü, ÷òî

â îáùåì ñëó÷àå áóäåò îáîñíîâàíà êàêàÿ-òî îäíà èç ýòèõ äâóõ âîç-

ìîæíîñòåé. Èìåííî ïîýòîìó èíòóèöèîíèñòû ñ÷èòàþò, ÷òî äëÿ áåñ-

êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ íåò îñíîâàíèé ïðèçíàâàòü âñåãäà èñòèííûì

ïðåäëîæåíèå (

Eõ) P(õ) ∨ ¬(Eõ) P(õ).

S Ðàçíîãëàñèÿ ñðåäè ìàòåìàòèêîâ ïî ïîâîäó ëîãè÷åñêèõ çàêîíîâ

ñâèäåòåëüñòâîâàëè î íåîáõîäèìîñòè èçó÷åíèÿ ëîãè÷åñêèõ ñðåäñòâ,

èñïîëüçóåìûõ â ìàòåìàòèêå, è ïåðåñìîòðà ýòèõ ñðåäñòâ. Ýòè ðàç-

íîãëàñèÿ ñïîñîáñòâîâàëè ðàçâèòèþ èäåè íååäèíñòâåííîñòè ëîãèêè

êàê ñèñòåìû ëîãè÷åñêèõ ïðèíöèïîâ, ïðèâåäøåé â ðåçóëüòàòå ê ñî-

çäàíèþ íåêëàññè÷åñêèõ ëîãèê. Âàæíåéøåé èç íåêëàññè÷åñêèõ ëîãèê

ÿâëÿåòñÿ èíòóèöèîíèñòñêàÿ ëîãèêà.

S Ïîñëå òîãî êàê ñòàëî ÿñíî, ÷òî äëÿ ðåøåíèÿ íàçðåâøèõ ïðî-

áëåì è ðàçíîãëàñèé íåäîñòàòî÷íî èçáàâèòüñÿ îò èçâåñòíûõ ïàðà-

äîêñîâ (÷òî óäàëîñü â îïðåäåëåííîé ñòåïåíè ñäåëàòü ñ ïîìîùüþ

òåîðèè Öåðìåëî–Ôðåíêåëÿ), ìàòåìàòèêè ïðîäîëæàëè èñêàòü âû-

õîä èç ñîçäàâøåéñÿ ñèòóàöèè. Â ðåçóëüòàòå áûëè ïðåäëîæåíû ðàç-

ëè÷íûå ïóòè âûõîäà èç êðèçèñà.

Îñòàíîâèìñÿ íà äâóõ èç íèõ – íàèáîëåå çíà÷èòåëüíûõ, ñûãðàâ-

øèõ îïðåäåëÿþùóþ ðîëü â ðàçâèòèè ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè. Îäèí

èç ýòèõ ïóòåé áûë ïðåäëîæåí Ãèëüáåðòîì, à äðóãîé – Áðàóýðîì,

âîçãëàâèâøèì èíòóèöèîíèñòñêîå íàïðàâëåíèå â ìàòåìàòèêå.

§ 6.3. Ïðîãðàììà Ãèëüáåðòà§ 6.3. Ïðîãðàììà Ãèëüáåðòà

§ 6.3. Ïðîãðàììà Ãèëüáåðòà

îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêèîáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè

îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè

Ãèëüáåðò ïðåêðàñíî îñîçíàâàë âñþ ñëîæíîñòü

ñèòóàöèè, âîçíèêøåé â îñíîâàíèÿõ ìàòåìàòèêè «áëàãîäàðÿ» êàí-

òîðîâîé òåîðèè ìíîæåñòâ. Òåì íå ìåíåå â 1925 ãîäó îí ïèñàë:

284

«Íèêòî íå ìîæåò èçãíàòü íàñ èç ìàòåìàòè÷åñêîãî ðàÿ, ñîçäàííîãî

äëÿ íàñ Êàíòîðîì» [4]. Ãèëüáåðò õîòåë ñîõðàíèòü êëàññè÷åñêóþ

ìàòåìàòèêó âìåñòå ñ êàíòîðîâîé òåîðèåé ìíîæåñòâ, íàéäÿ ñðåä-

ñòâà îáåçîðóæèòü êðèòèêîâ êëàññè÷åñêèõ ïðèíöèïîâ.

S Ãèëüáåðò ñ÷èòàë, ÷òî:

– íåäîïóñòèìî îòêàçûâàòüñÿ îò òàêèõ êëàññè÷åñêèõ ïðèíöè-

ïîâ, êàê àáñòðàêöèÿ àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè, è ëîãè÷åñêèõ çà-

êîíîâ èñêëþ÷åííîãî òðåòüåãî è ñíÿòèÿ äâîéíîãî îòðèöàíèÿ;

– íåîáõîäèìî ïîëó÷èòü îáîñíîâàíèå íåïðîòèâîðå÷èâîñòè ìà-

òåìàòèêè, òî÷íåå, íåïðîòèâîðå÷èâîñòè îñíîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ

òåîðèé;

– îáîñíîâàíèå íåïðîòèâîðå÷èâîñòè ìàòåìàòèêè äîëæíî èñïîëü-

çîâàòü òîëüêî íàäåæíûå ñðåäñòâà, íå âûçûâàâøèå ñîìíåíèé (è èìåòü

õàðàêòåð ìàòåìàòè÷åñêîãî äîêàçàòåëüñòâà).

Èäåÿ «ñïàñåíèÿ» êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòèêè ðàçðàáàòûâàëàñü

Ãèëüáåðòîì íà÷èíàÿ ñ 1904 ãîäà è âûëèëàñü â öåëóþ ïðîãðàììó.

S Îñíîâíàÿ çàäà÷à çàêëþ÷àëàñü â ñëåäóþùåì: äëÿ äîêàçàòåëüñòâà

íåïðîòèâîðå÷èâîñòè ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè (ò. å. íåâîçìîæíîñòè

äîêàçàòü íåêîòîðîå óòâåðæäåíèå

A è åãî îòðèöàíèå ¬A) íåîáõîäè-

ìî äàòü ìàòåìàòè÷åñêîå óòî÷íåíèå ïîíÿòèÿì ìàòåìàòè÷åñêîãî äî-

êàçàòåëüñòâà è ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè.

Òàêîå óòî÷íåíèå ìîæíî îñóùåñòâèòü ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ôîð-

ìàëèçàöèè. Èäåÿ ôîðìàëèçàöèè ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé èãðàëà ôóí-

äàìåíòàëüíóþ ðîëü â ïðîãðàììå Ãèëüáåðòà îáîñíîâàíèÿ ìàòåìà-

òèêè.

Â îñíîâå ìåòîäà ôîðìàëèçàöèè ëåæèò ñëåäóþ-

ùåå âàæíåéøåå îáñòîÿòåëüñòâî. Êàêîé-ëèáî

òåêñò ìîæåò áûòü ïðèçíàí äîêàçàòåëüñòâîì â íå-

êîòîðîé íåôîðìàëüíîé òåîðèè â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà

êàæäîå ñîñòàâëÿþùåå åãî ïðåäëîæåíèå, çà èñêëþ÷åíèåì àêñèîì,

ðàíåå äîêàçàííûõ òåîðåì è ïðîìåæóòî÷íûõ äîïóùåíèé, ÿâëÿåòñÿ

ñëåäñòâèåì ïðåäøåñòâóþùèõ ïðåäëîæåíèé ïî êàêèì-ëèáî ïðàâè-

ëàì ëîãèêè (áîëåå òðàäèöèîííî: êàæäîå ïðåäëîæåíèå, ñîñòàâëÿþ-

ùåå äîêàçàòåëüñòâî, ÿâëÿåòñÿ àêñèîìîé, èëè ðàíåå äîêàçàííîé òå-

îðåìîé, èëè ïðîìåæóòî÷íûì äîïóùåíèåì, èëè ñëåäñòâèåì ïðåä-

øåñòâóþùèõ ïðåäëîæåíèé ïî êàêèì-ëèáî ïðàâèëàì ëîãèêè). Ñî-

îòâåòñòâóåò èëè íåò óìîçàêëþ÷åíèå ïðàâèëàì ëîãèêè, çàâèñèò èñ-

êëþ÷èòåëüíî îò åãî ôîðìû, à âîâñå íå îò åãî ñîäåðæàíèÿ. Äðóãèìè

ñëîâàìè, ïðàâèëüíîñòü èëè îøèáî÷íîñòü ìàòåìàòè÷åñêîãî ðàññóæ-

äåíèÿ íå çàâèñèò îò åãî ñîäåðæàíèÿ, à öåëèêîì è ïîëíîñòüþ îïðå-

äåëÿåòñÿ åãî ôîðìîé. Ïîýòîìó ïðè èçó÷åíèè ðàññóæäåíèé èõ ôîð-

Метод

формализации

285

ìà îòäåëÿåòñÿ îò ñîäåðæàíèÿ è ñòàíîâèòñÿ îáúåêòîì ñïåöèàëüíîãî

èçó÷åíèÿ. Ïðè ýòîì èñïîëüçóþòñÿ ñïåöèàëüíûå ôîðìàëüíûå ëîãè-

÷åñêèå ÿçûêè è ñòðîÿòñÿ ôîðìàëüíûå ëîãè÷åñêèå ñèñòåìû.

S Ñóòü ìåòîäà ôîðìàëèçàöèè çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì.

Âî-ïåðâûõ, äëÿ êàæäîé íåôîðìàëüíîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè

ìîæåò áûòü ïîñòðîåí äîñòàòî÷íî áîãàòûé ïî ñâîèì âûðàçèòåëü-

íûì âîçìîæíîñòÿì ôîðìàëüíûé ÿçûê, ïîçâîëÿþùèé çàïèñàòü â

âèäå ôîðìóëû ýòîãî ÿçûêà ëþáîå ïðåäëîæåíèå ðàññìàòðèâàåìîé

íåôîðìàëüíîé òåîðèè (â ÷àñòíîñòè, àêñèîìû ýòîé òåîðèè).

Âî-âòîðûõ, ëîãè÷åñêèé àïïàðàò, ëîãè÷åñêèå ñðåäñòâà, èñïîëü-

çóåìûå â ìàòåìàòè÷åñêèõ äîêàçàòåëüñòâàõ, ìîãóò áûòü òî÷íî îïè-

ñàíû ñ ïîìîùüþ ôîðìàëüíûõ ëîãè÷åñêèõ ñèñòåì (èñ÷èñëåíèé) ñ

òî÷íî óêàçàííûì ïåðå÷íåì ëîãè÷åñêèõ àêñèîì, êîòîðûå ïðåäñòàâ-

ëÿþò ñîáîé ôîðìóëû ôîðìàëüíîãî ëîãè÷åñêîãî ÿçûêà, è ëîãè÷åñ-

êèõ ïðàâèë âûâîäà. Êàê ïîçæå ïîêàçàë Ãåíöåí, ìîæíî ñòðîèòü

ëîãè÷åñêèå ñèñòåìû òîëüêî ñ ïîìîùüþ ïðàâèë âûâîäà.

Â ðåçóëüòàòå êàæäîé íåôîðìàëüíîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ñòà-

âèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðàÿ ôîðìàëüíàÿ òåîðèÿ Ò, êîòîðàÿ ÿâ-

ëÿåòñÿ ôîðìàëèçàöèåé äàííîé íåôîðìàëüíîé òåîðèè. Âñÿêîå ïðåä-

ëîæåíèå íà ÿçûêå íåôîðìàëüíîé òåîðèè ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

ôîðìóëû íà ôîðìàëüíîì ÿçûêå ß

, è îáðàòíî, âñÿêàÿ ôîðìóëà ß

ìîæåò áûòü «ïåðåâåäåíà» íà íåôîðìàëüíûé ÿçûê. Ñîäåðæàòåëü-

íûì äîêàçàòåëüñòâàì â íåôîðìàëüíîé òåîðèè ñîîòâåòñòâóþò ôîð-

ìàëüíûå âûâîäû (ôîðìàëüíûå äîêàçàòåëüñòâà) â òåîðèè Ò, êîòî-

ðûå ñëóæàò ôîðìàëèçàöèåé ýòèõ ñîäåðæàòåëüíûõ (íåôîðìàëüíûõ)

äîêàçàòåëüñòâ. Ïðè÷åì âûâîäû â òåîðèè Ò è ñàìà òåîðèÿ Ò ÿâëÿ-

þòñÿ òî÷íî îïðåäåëåííûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè îáúåêòàìè.

S Èòàê, òåõíè÷åñêàÿ ñòîðîíà ìåòîäà ôîðìàëèçàöèè çàêëþ÷àåòñÿ

â ñëåäóþùåì: äëÿ ôîðìàëèçàöèè ñîäåðæàòåëüíîé ìàòåìàòè÷åñêîé

òåîðèè:

1) ñòðîÿò ôîðìàëüíûé ÿçûê ß

, íà êîòîðîì â âèäå ôîðìóë ìî-

ãóò áûòü çàïèñàíû ïðåäëîæåíèÿ òåîðèè, â ÷àñòíîñòè àêñèîìû

òåîðèè;

2) òî÷íî îïèñûâàþò ñ ïîìîùüþ ß

ëîãè÷åñêèå ñðåäñòâà â âèäå

ëîãè÷åñêèõ àêñèîì (ñïåöèàëüíîãî âèäà ôîðìóë ß

) è/èëè ïðàâèë

âûâîäà;

3) áëàãîäàðÿ ïîñòðîåííîé (çàäàííîé) òàêèì îáðàçîì ôîðìàëü-

íîé òåîðèè äîêàçàòåëüñòâà íåôîðìàëüíîé òåîðèè ïðåâðàùàþòñÿ â

ôîðìàëüíûå âûâîäû â Ò.

S Çàìå÷àíèå. Ä. Ãèëüáåðò èñïîëüçîâàë òàêîé òèï ôîðìàëèçàöèè,

ïðè êîòîðîì ëîãè÷åñêèå ñðåäñòâà îïèñûâàëèñü ñ ïîìîùüþ ëîãè-

286

÷åñêèõ àêñèîì, îäíîãî ïðîïîçèöèîíàëüíîãî ïðàâèëà âûâîäà modus

ponens (⊃ó) è äâóõ êâàíòîðíûõ ïðàâèë. Ôîðìàëüíûå âûâîäû â ýòèõ

ñèñòåìàõ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôîðìóë, óäîâ-

ëåòâîðÿþùèå îïðåäåëåííûì óñëîâèÿì, – ëèíåéíûå âûâîäû. Òà-

êèå èñ÷èñëåíèÿ è ñîîòâåòñòâóþùèé òèï ôîðìàëèçàöèè ïðèíÿòî

íàçûâàòü ãèëüáåðòîâñêèìè (ñì. § 2.13 è 4.6). Ïîçæå Ãåíöåíîì áûë

ïðåäëîæåí äðóãîé òèï ôîðìàëèçàöèè, ïî ñóùåñòâó áîëåå åñòåñòâåí-

íûé è ëó÷øå îòðàæàþùèé ñòðóêòóðó îáû÷íûõ íåôîðìàëüíûõ äî-

êàçàòåëüñòâ. Ïðè òàêîì òèïå ôîðìàëèçàöèè âñå ëîãè÷åñêèå ñðåä-

ñòâà çàäàþòñÿ òîëüêî ñ ïîìîùüþ ïðàâèë âûâîäà (ïðàâèë çàêëþ÷å-

íèÿ), à ôîðìàëüíûå âûâîäû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé äåðåâüÿ ôîðìóë,

óäîâëåòâîðÿþùèå îïðåäåëåííûì ÷åòêî îïèñàííûì óñëîâèÿì, –

äåðåâüÿ âûâîäà. Òàêèå èñ÷èñëåíèÿ è òàêîé òèï ôîðìàëèçàöèè íà-

çûâàþò ãåíöåíîâñêèìè. Ãèëüáåðò íå ñòàâèë ïåðåä ñîáîé öåëü äîñòè-

æåíèÿ åñòåñòâåííîñòè ïðè ôîðìàëèçàöèè òåîðèè. Ãëàâíûì äëÿ íåãî

áûëî ìàòåìàòè÷åñêè òî÷íî îïèñàòü ìàòåìàòè÷åñêèå äîêàçàòåëüñòâà

è òåîðèè.



Â ðåçóëüòàòå ôîðìàëèçàöèè êàæäîé çàäà÷å îáîñíîâàíèÿ íå-

ïðîòèâîðå÷èâîñòè êîíêðåòíîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ñòàâèòñÿ â

ñîîòâåòñòâèå òî÷íàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ çàäà÷à: äîêàçàòü íåïðîòèâî-

ðå÷èâîñòü ôîðìàëüíîé òåîðèè Ò, ôîðìàëèçóþùåé äàííóþ íåôîð-

ìàëüíóþ òåîðèþ, ò. å. äîêàçàòü íåâîçìîæíîñòü äâóõ âûâîäîâ â Ò,

îäèí èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ âûâîäîì íåêîòîðîé ôîðìóëû À, à äðó-

ãîé – âûâîäîì ôîðìóëû ¬À. Îáúåêòû ýòîé çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêè

òî÷íî îïèñàíû, ò. å. ÿâëÿþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèìè îáúåêòàìè.

Ôàêòè÷åñêè, ïðîòèâîðå÷èâîñòü èëè íåïðîòèâîðå÷èâîñòü òåî-

ðèè çàâèñèò èñêëþ÷èòåëüíî îò ñèíòàêñè÷åñêîãî ñòðîåíèÿ ïðåäëî-

æåíèé, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ åå àêñèîìàìè, à âîâñå íå îò èõ ìàòåìà-

òè÷åñêîãî ñîäåðæàíèÿ.

Îñòàíîâèìñÿ åùå íà îäíîì âàæíîì îáñòîÿòåëüñòâå â ïðîãðàì-

ìå Ãèëüáåðòà.

S Ñóùåñòâåííóþ ðîëü â ãèëüáåðòîâñêîé ïðî-

ãðàììå èãðàëè òðåáîâàíèÿ ê òåì ñðåäñòâàì, êî-

òîðûå äîïóñêàëèñü äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ ïðè äî-

êàçàòåëüñòâå íåïðîòèâîðå÷èâîñòè òåîðèé.

Äîêàçàòåëüñòâà íåïðîòèâîðå÷èâîñòè èçó÷àåìûõ òåîðèé äîëæ-

íû óäîâëåòâîðÿòü îïðåäåëåííûì òðåáîâàíèÿì: íåëüçÿ èñïîëüçî-

âàòü òå îáúåêòû, óòâåðæäåíèÿ, ñðåäñòâà è ïðèíöèïû, êîòîðûå ïîä-

âåðãàëèñü êðèòèêå (âî èçáåæàíèå ïîðî÷íîãî êðóãà).

Âî-ïåðâûõ, îáúåêòû äîêàçàòåëüñòâà äîëæíû áûòü ïîòåíöèàëü-

íî îáîçðèìûìè (ôîðìóëû ß

è âûâîäû â Ò, ÿâëÿÿñü ãðàôè÷åñêèìè

Финитная

установка

Гильберта

287

îáúåêòàìè, óäîâëåòâîðÿþò ýòîìó óñëîâèþ). Âî-âòîðûõ, â ðàññóæ-

äåíèÿõ íå äîëæíû èñïîëüçîâàòüñÿ òàêèå ïðèíöèïû, êàê àáñòðàê-

öèÿ àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè, àêñèîìà âûáîðà, íåîãðàíè÷åííûé

ïðèíöèï ñâåðòûâàíèÿ, ëîãè÷åñêèå çàêîíû èñêëþ÷åííîãî òðåòüåãî,

ñíÿòèÿ äâîéíîãî îòðèöàíèÿ è ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà îò ïðîòèâíîãî.

Ýòè òðåáîâàíèÿ íàçûâàþò ôèíèòèçìîì èëè ôèíèòíîé óñòàíîâ-

êîé ïðîãðàììû Ãèëüáåðòà.

Ôîðìàëüíûå òåîðèè, íåïðîòèâîðå÷èâîñòü êîòîðûõ íóæíî äî-

êàçàòü, ñòàíîâÿòñÿ îáúåêòàìè èçó÷åíèÿ îáëàñòè ìàòåìàòèêè, êîòî-

ðóþ Ãèëüáåðò íàçâàë ìåòàìàòåìàòèêîé èëè òåîðèåé äîêàçàòåëüñòâ.

Èìåííî ñ ðàçðàáîòêîé òåîðèè äîêàçàòåëüñòâ, ïðåäïðèíÿòîé Ãèëü-

áåðòîì â íà÷àëå ÕÕ âåêà, ñâÿçàíî ñòàíîâëåíèå ìàòåìàòè÷åñêîé

ëîãèêè êàê ñàìîñòîÿòåëüíîé ìàòåìàòè÷åñêîé äèñöèïëèíû. Ñëåäó-

åò, ïðàâäà, îòìåòèòü, ÷òî ïîñòðîåíèå ôîðìàëüíîãî ëîãè÷åñêîãî

ÿçûêà íà÷àëîñü åùå äî Ãèëüáåðòà. Îñîáóþ ðîëü â ýòîì ñûãðàëè

ðàáîòû Ã. Ôðåãå

, Á. Ðàññåëà, Äæ. Ïåàíî, Äå Ìîðãàíà, Äæ. Áóëÿ.

S Âîïðîñû, ñâÿçàííûå ñ íåïðîòèâîðå÷èâîñòüþ

òåîðèé, ðàññìàòðèâàëèñü è äî Ãèëüáåðòà. Îäíà-

êî èñïîëüçîâàâøèéñÿ äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåïðî-

òèâîðå÷èâîñòè ìåòîä ìîäåëåé â äàííîì ñëó÷àå

îêàçàëñÿ íåíàäåæíûì. ×àñòî ïðåäëàãàåìàÿ ìî-

äåëü îïèðàëàñü íà òàêèå ðàçäåëû òåîðèè ìíîæåñòâ, êîòîðûå ïðåä-

ïîëàãàëè àáñòðàêöèþ àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè, íàäåæíîñòü êî-

òîðîé êàê ðàç è âûçûâàëà ñîìíåíèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî íåïðîòèâîðå-

÷èâîñòè òåîðèè ìåòîäîì ïîñòðîåíèÿ åå ìîäåëè ÿâëÿåòñÿ îòíîñè-

òåëüíûì. Òåîðèÿ, äëÿ êîòîðîé ïîñòðîåíà ìîäåëü, íåïðîòèâîðå÷è-

âà, åñëè íåïðîòèâîðå÷èâà òà òåîðèÿ, â ðàìêàõ êîòîðîé ïîñòðîåíà

ìîäåëü. Ìîäåëü Êëåéíà (1871) íååâêëèäîâîé ãåîìåòðèè Ëîáà÷åâñ-

êîãî ñâîäèò âîïðîñ î íåïðîòèâîðå÷èâîñòè ãåîìåòðèè Ëîáà÷åâñêî-

ãî ê âîïðîñó î íåïðîòèâîðå÷èâîñòè åâêëèäîâîé ãåîìåòðèè. Íåïðî-

òèâîðå÷èâîñòü åâêëèäîâîé ãåîìåòðèè ìîæíî ñâåñòè ê íåïðîòèâî-

ðå÷èâîñòè òåîðèè äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Êàæäûé ðàç âîïðîñ ñâî-

äèòñÿ ê äîêàçàòåëüñòâó íåïðîòèâîðå÷èâîñòè òîé òåîðèè, ñðåäñòâà-

ìè êîòîðîé ñòðîèòñÿ ìîäåëü. Êàê äîêàçàòü íåïðîòèâîðå÷èâîñòü òå-

îðèè äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë è àðèôìåòèêè? Ãèëüáåðò èñêàë ïðÿ-

ìîé ïóòü äîêàçàòåëüñòâà íåïðîòèâîðå÷èâîñòè ýòèõ òåîðèé.

О доказательствах

непротиворечивости

методом построения

модели

Ã. Ôðåãå ïðåäëîæèë â 1879 ã. àêñèîìàòè÷åñêèå ëîãè÷åñêèå èñ÷èñëåíèÿ.

Òàêèå èñ÷èñëåíèÿ ïðèíÿòî íàçûâàòü ãèëüáåðòîâñêèìè ïîòîìó, ÷òî îíè ïîëó-

÷èëè øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå èìåííî áëàãîäàðÿ Ä. Ãèëáåðòó, ïîçæå èñ-

ïîëüçîâàâøåìó ýòè èñ÷èñëåíèÿ â ñâîèõ êíèãàõ è â ïðîãðàììå îáîñíîâàíèÿ

ìàòåìàòèêè.

288

Äîêàçàòåëüñòâî íåïðîòèâîðå÷èâîñòè àðèôìåòè-

êè (íàòóðàëüíûõ ÷èñåë) ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç îñ-

íîâíûõ çàäà÷, ïîñêîëüêó åå ìîæíî ðàññìàòðè-

âàòü â êà÷åñòâå îñíîâû êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòè-

êè, áëàãîäàðÿ òàê íàçûâàåìîé àðèôìåòèçàöèè

àíàëèçà è òåîðèè ôóíêöèé.

Â 1931 ãîäó àâñòðèéñêèé ìàòåìàòèê Êóðò Ã¸äåëü (1906–1978)

äîêàçàë òåîðåìó, êîòîðàÿ íàíåñëà óäàð ïî ïðîãðàììå Ãèëüáåðòà.

Ñîãëàñíî ýòîé òåîðåìå, åñëè ôîðìàëüíàÿ àðèôìåòèêà íåïðîòèâî-

ðå÷èâà, òî äîêàçàòü åå íåïðîòèâîðå÷èâîñòü íåâîçìîæíî, åñëè

ïîëüçîâàòüñÿ ëèøü ñðåäñòâàìè, ôîðìàëèçóåìûìè â ýòîé òåîðèè (è

êîòîðûå åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü ôèíèòíûìè). Àíàëîãè÷íîå óòâåðæ-

äåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîé, äîñòàòî÷íî áîãàòîé òåîðèè, ñîäåð-

æàùåé àðèôìåòèêó.

Ðîëü ðåçóëüòàòîâ Ã¸äåëÿ â ñóäüáå ïðîãðàììû Ãèëüáåðòà òàêîâà:

îíè ñâèäåòåëüñòâóþò î òîì, ÷òî ïðîãðàììà Ãèëüáåðòà â ïðèíöèïå

íåâûïîëíèìà â ñâîåì öåíòðàëüíîì ïóíêòå. Îäíàêî âàæíåéøóþ

ðîëü â ìàòåìàòèêå èãðàåò ãèëüáåðòîâñêèé ìåòîä ôîðìàëèçàöèè, ñ

ïîìîùüþ êîòîðîãî áûë ïîëó÷åí ðÿä âàæíûõ ðåçóëüòàòîâ î íåçàâè-

ñèìîñòè, â ÷àñòíîñòè î íåçàâèñèìîñòè àêñèîìû âûáîðà (ñì. § 5.7).

Ïîçæå â 1936 ãîäó Ã. Ãåíöåíó âñå æå óäàëîñü äîêàçàòü íåïðîòè-

âîðå÷èâîñòü àðèôìåòèêè (èñïîëüçóÿ ïðè ýòîì äåðåâüÿ âûâîäà),

ïðàâäà, ñðåäñòâàìè, âûõîäÿùèìè çà ðàìêè ñðåäñòâ, ôîðìàëèçóå-

ìûõ â àðèôìåòèêå, è íå ÿâëÿþùèìèñÿ ôèíèòíûìè.

Ñîâðåìåííûå ñïåöèàëèñòû â îáëàñòè ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè

ïûòàþòñÿ ïåðåñìîòðåòü òðåáîâàíèÿ ê ôèíèòíîñòè äîêàçàòåëüñòâà

íåïðîòèâîðå÷èâîñòè, à èìåííî, ñìÿã÷èòü èõ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû

ïðèçíàòü íàäåæíûìè íåêîòîðûå ñóùåñòâóþùèå äîêàçàòåëüñòâà

íåïðîòèâîðå÷èâîñòè àðèôìåòèêè.

§ 6.4. Èíòóèöèîíèçì.§ 6.4. Èíòóèöèîíèçì.

§ 6.4. Èíòóèöèîíèçì.

ÊîíñòðóêòèâèçìÊîíñòðóêòèâèçì

Êîíñòðóêòèâèçì

Îñîáåííî íåïðèìèðèìî è ïîñëåäîâàòåëüíî êðè-

òèêîâàë êëàññè÷åñêèé òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûé ïîäõîä ãîëëàíä-

ñêèé ìàòåìàòèê Ë. Ý. ß. Áðàóýð (1881–1966). Ïîçæå ê ýòîé êðèòè-

êå ïðèñîåäèíèëñÿ Ã. Âåéëü («Î ôèëîñîôèè ìàòåìàòèêè», 1934).

Íàðÿäó ñ ýòîé êðèòèêîé Áðàóýð ïðåäëîæèë ñîáñòâåííóþ ïðîãðàì-

ìó âûõîäà èç êðèçèñà è êîíöåïöèþ ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòèêè, ÷òî

ïîëîæèëî íà÷àëî ðàçâèòèþ íàïðàâëåíèÿ, íàçâàííîãî èíòóèöèîíèç-

ìîì.

Судьба

программы

Гильберта

289

Ãîâîðÿ îá èíòóèöèîíèçìå, ìû îñòàíîâèìñÿ òîëüêî íà îïèñà-

íèè ïîçèöèé åãî ñòîðîííèêîâ ïî ïîâîäó òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåí-

íûõ è ëîãè÷åñêèõ ïðèíöèïîâ, êîòîðûå áûëè ïîäâåðãíóòû êðèòèêå

ñî ñòîðîíû ÷àñòè ìàòåìàòèêîâ.

S Â îñíîâó êîíöåïöèè Áðàóýðà è åãî ñòîðîííèêîâ áûëè ïîëîæå-

íû ñëåäóþùèå ïðèíöèïû:

– îòêàç îò àáñòðàêöèè àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè;

– ýôôåêòèâíîå ïîíèìàíèå äèçúþíêöèè è óòâåðæäåíèé î ñó-

ùåñòâîâàíèè;

– îòêàç îò ëîãè÷åñêèõ çàêîíîâ èñêëþ÷åííîãî òðåòüåãî è ñíÿ-

òèÿ äâîéíîãî îòðèöàíèÿ êàê îò óíèâåðñàëüíûõ çàêîíîâ.

Îñîáûé àêöåíò äåëàëñÿ íà òîì, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêèå óìñòâåí-

íûå ïîñòðîåíèÿ äîëæíû áûòü èíòóèòèâíî ïîíÿòíûìè è âåñòè ê

èíòóèòèâíî ÿñíûì ðåçóëüòàòàì.

Âàæíåéøèé ïóíêò êðèòèêè êëàññè÷åñêîé ëîãèêè ñî ñòîðîíû

Áðàóýðà, åãî ñòîðîííèêîâ è ïîñëåäîâàòåëåé êàñàëñÿ çàêîíà èñêëþ-

÷åííîãî òðåòüåãî. Ñóùíîñòü ýòîé êðèòèêè áûëà èçëîæåíà â § 6.2.

Ñ ðàçâèòèåì èíòóèöèîíèñòñêîãî íàïðàâëåíèÿ â ìàòåìàòèêå

âîçíèêëà çàäà÷à ðàçðàáîòêè îñîáîé èíòóèöèîíèñòñêîé ëîãèêè.

Áîëüøóþ ðîëü â ðàñïðîñòðàíåíèè èäåé Áðàóýðà ñûãðàë åãî ó÷åíèê

è ïîñëåäîâàòåëü ãîëëàíäñêèé ìàòåìàòèê À. Ãåéòèíã (1898–1980).

Ãåéòèíã ðåøèë çàäà÷ó ôîðìàëèçàöèè èíòóèöèîíèñòñêîé ëîãèêè.

Èìåííî îí ñîçäàë â 20-õ ãîäàõ ÕÕ âåêà èíòóèöèîíèñòñêîå èñ÷èñ-

ëåíèå, èçâåñòíîå êàê èñ÷èñëåíèå Ãåéòèíãà

. Îí ïðîäåìîíñòðèðî-

âàë, ÷òî èíòóèöèîíèñòñêàÿ ëîãèêà èìååò ñòàòóñ, íåçàâèñèìûé îò

èíòóèöèîíèñòñêîé ôèëîñîôèè è âïîëíå ïîíÿòíûé êëàññè÷åñêîìó

ìàòåìàòèêó.

Èíòóèöèîíèñòñêàÿ êðèòèêà ïðèâëåêëà âíèìàíèå ê âîïðîñó

êîíñòðóêòèâíîñòè â ìàòåìàòèêå.

Â îïðåäåëåííîì ñìûñëå ðàçâèòèåì èäåé èíòóèöèîíèñòñêîãî

íàïðàâëåíèÿ â ìàòåìàòèêå ÿâèëîñü êîíñòðóêòèâíîå íàïðàâëåíèå,

êîòîðîå âîçãëàâèë îäèí èç êðóïíåéøèõ îòå÷åñòâåííûõ ìàòåìàòè-

êîâ, ëîãèê À. À. Ìàðêîâ (1903–1979). Ýòî íàïðàâëåíèå âîçíèêëî

ïðèáëèçèòåëüíî íà òîé æå êðèòè÷åñêîé áàçå, ÷òî è èíòóèöèîíèñòñ-

êîå íàïðàâëåíèå. Îäíàêî êîíñòðóêòèâèñòû íå ðàçäåëÿþò ôèëîñîô-

ñêèå âçãëÿäû è íå ïðèíèìàþò íåêîòîðûå òåîðèè èíòóèöèîíèñòîâ.

S Êîíñòðóêòèâíîå íàïðàâëåíèå â ìàòåìàòèêå ìîæåò áûòü îõàðàê-

òåðèçîâàíî ñëåäóþùèìè îñíîâíûìè ÷åðòàìè (ñì. [7], [9]):

Èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé Ãåéòèíãà – ýòî èñ÷èñëåíèå ãèëüáåðòîâñêîãî

òèïà, ðàâíîîáúåìíîå ñèñòåìå åñòåñòâåííîãî âûâîäà N

. Îíî ðàññìîòðåíî â

§ 2.13.

290

1) â êà÷åñòâå îáúåêòîâ èçó÷åíèÿ âûñòóïàþò êîíñòðóêòèâíûå

îáúåêòû (äîñòàòî÷íî îãðàíè÷èòüñÿ îñíîâíûì òèïîì êîíñòðóêòèâ-

íûõ îáúåêòîâ – ñëîâàìè â òîì èëè èíîì àëôàâèòå) è êîíñòðóêòèâ-

íûå ïðîöåññû, ïðè îáðàùåíèè ñ êîòîðûìè äîïóñêàåòñÿ àáñòðàê-

öèÿ ïîòåíöèàëüíîé îñóùåñòâèìîñòè, íî ïîëíîñòüþ èñêëþ÷àåòñÿ

àáñòðàêöèÿ àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè;

2) èíòóèòèâíûå ïîíÿòèÿ «ýôôåêòèâíîñòè», «âû÷èñëèìîñòè»

è ò. ï. ñâÿçûâàþòñÿ ñ òî÷íûì ïîíÿòèåì àëãîðèôìà;

3) èñïîëüçóåòñÿ êîíñòðóêòèâíîå ïîíèìàíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ

ñóæäåíèé, ó÷èòûâàþùåå ñïåöèôèêó êîíñòðóêòèâíûõ îáúåêòîâ.

Â ðàìêàõ êîíñòðóêòèâíîãî íàïðàâëåíèÿ ïîëó÷èëè ðàçâèòèå

ðàçëè÷íûå îáëàñòè ìàòåìàòèêè, ñîñòàâèâøèå òàê íàçûâàåìóþ êîí-

ñòðóêòèâíóþ ìàòåìàòèêó. Íàïðèìåð, â êîíñòðóêòèâíîì àíàëèçå

ïîñòðîåíû çíà÷èòåëüíûå ôðàãìåíòû àíàëèçà â ðàìêàõ êîíñòðóê-

òèâíîé êîíöåïöèè [7].

Èíòóèöèîíèñòñêàÿ ëîãèêà, âîçíèêøàÿ â ðåçóëüòàòå ïðîáëåì

îñíîâàíèé ìàòåìàòèêè, ñ ðàçâèòèåì êîìïüþòåðîâ ïîëó÷èëà ïðè-

ìåíåíèå â òåîðåòè÷åñêîì ïðîãðàììèðîâàíèè (computer science). Èí-

òóèöèîíèñòñêàÿ ëîãèêà êîäèôèöèðóåò êîíñòðóêòèâíûå óìåíèÿ è

ñïîñîáíîñòè ÷åëîâåêà, ÷òî è îáúÿñíÿåò åå ïðèìåíåíèå â ïîñòðî-

åíèè ñëîæíûõ êîìïüþòåðíûõ ïðîãðàìì.

Ðàçíîãëàñèÿ ñðåäè ìàòåìàòèêîâ ïî ïîâîäó ëîãè-

÷åñêèõ çàêîíîâ ñâèäåòåëüñòâîâàëè î íåîáõîäè-

ìîñòè èçó÷åíèÿ ëîãè÷åñêèõ ñðåäñòâ, èñïîëüçóå-

ìûõ â ìàòåìàòèêå, è ïåðåñìîòðà ýòèõ ñðåäñòâ.

Ýòè ðàçíîãëàñèÿ ñïîñîáñòâîâàëè ðàçâèòèþ èäåè íååäèíñòâåííîñòè

ëîãèêè êàê ñèñòåìû ëîãè÷åñêèõ ïðèíöèïîâ, ïðèâåäøåé â ðåçóëüòà-

òå ê ñîçäàíèþ íåêëàññè÷åñêîé ëîãèêè.

Ðàñõîæäåíèÿ âî âçãëÿäàõ íà ëîãè÷åñêèå ñðåäñòâà, èñïîëüçóå-

ìûå â ìàòåìàòèêå, ñîõðàíÿþòñÿ è äî ñèõ ïîð è ïðîÿâëÿþòñÿ â

ñóùåñòâîâàíèè äâóõ îñíîâíûõ òèïîâ ìûøëåíèÿ â ìàòåìàòèêå –

êëàññè÷åñêîãî è êîíñòðóêòèâíîãî (íåêëàññè÷åñêîãî). Òîëüêî â íà-

ñòîÿùåå âðåìÿ áûëàÿ êîíôðîíòàöèÿ ìåæäó ïðåäñòàâèòåëÿìè ýòèõ

äâóõ òèïîâ ìûøëåíèÿ ïåðåðîñëà â ìèðíîå ñîñóùåñòâîâàíèå. Êàæ-

äîå èç ñóùåñòâóþùèõ íàïðàâëåíèé îáîãàòèëî íàóêó íîâûìè êîí-

öåïöèÿìè è ðåçóëüòàòàìè. Âçàèìîäåéñòâèå ýòèõ íàïðàâëåíèé ïî-

çâîëèëî ÷åòêî âûäåëèòü èõ ìåòîäîëîãè÷åñêèå ðàçëè÷èÿ. Êàæäûé,

êòî çàíèìàåòñÿ ìàòåìàòèêîé â íàñòîÿùåå âðåìÿ (áóäü òî ó÷åíûé-

ìàòåìàòèê èëè ïðåïîäàâàòåëü-ìàòåìàòèê), èìååò âîçìîæíîñòü îñîç-

íàâàòü, êàêèìè ëîãè÷åñêèìè ñðåäñòâàìè îí ïîëüçóåòñÿ â äàííûé

ìîìåíò – ýôôåêòèâíûìè èëè ÷èñòî ýêçèñòåíöèîíàëüíûìè. Çíà-

÷åíèå òàêîé âîçìîæíîñòè òðóäíî ïåðåîöåíèòü.

Два основных типа

мышления

в математике