Лекции - Математическая логика

Подождите немного. Документ загружается.

181

2) À ≡ Â òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà À

ËÏ



Â è Â

ËÏ



À;

3) ∅

ËÏ



B òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ôîðìóëà Â îáùåçíà÷èìà;

4) åñëè Ã

ËÏ



B è âñå ôîðìóëû èç Ã îáùåçíà÷èìû, òî è ôîðìó-

ëà Â îáùåçíà÷èìà.

Çàìå÷àíèå 2. Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè À – çàìêíóòàÿ ôîðìóëà,

òî èç À ñåìàíòè÷åñêè ñëåäóåò B òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âî

âñÿêîé èíòåðïðåòàöèè M, â êîòîðîé èñòèííà ôîðìóëà À, ôîðìóëà

Â òàêæå èñòèííà: åñëè A – çàìêíóòàÿ ôîðìóëà, òî

ËÏ



B ↔ (M) (



À →



Â).

Çäåñü óñëîâèå çàìêíóòîñòè ôîðìóëû À ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì

äëÿ òîé ÷àñòè óòâåðæäåíèÿ, êîòîðàÿ ñîîòâåòñòâóåò îáðàòíîé ñòðåë-

êå ←. Äåéñòâèòåëüíî, äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü, íàïðèìåð, ôîðìó-

ëû À



P(õ) è Â



>õ P(õ). Î÷åâèäíî, âî âñÿêîé èíòåðïðåòàöèè, â

êîòîðîé èñòèííà ôîðìóëà P(õ), ôîðìóëà >õ P(õ) òàêæå èñòèííà,

îäíàêî P(õ)

ËÏ



>õ P(õ). 

Ñåìàíòè÷åñêîå ñëåäîâàíèå â ëîãèêå ïðåäèêàòîâ îáëàäàåò ñâîé-

ñòâàìè, àíàëîãè÷íûìè ñâîéñòâàì ñåìàíòè÷åñêîãî ñëåäîâàíèÿ â

ëîãèêå âûñêàçûâàíèé, êîòîðûå âïîñëåäñòâèè õàðàêòåðèçîâàëèñü êàê

ñîõðàíåíèå N-ïðàâèëàìè îòíîøåíèÿ ñåìàíòè÷åñêîãî ñëåäîâàíèÿ

(ñì. § 1.6). Äîêàçûâàþòñÿ ýòè ñâîéñòâà àíàëîãè÷íî òîìó, êàê äîêà-

çûâàëèñü ñîîòâåòñòâóþùèå ñâîéñòâà â ëîãèêå âûñêàçûâàíèé.

ÒÅÎÐÅÌÀ 1 (ñâîéñòâà ñåìàíòè÷åñêîãî ñëåäîâàíèÿ â ËÏ, ñâÿ-

çàííûå ñ ââåäåíèåì è óäàëåíèåì ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ñâÿçîê). Êà-

êîâû áû íè áûëè ôîðìóëû À, Â, Ñ è ìíîæåñòâî ôîðìóë Ã ÿçûêà

ëîãèêè ïðåäèêàòîâ, ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:

ÃèÃ

ÀÂ





; 2)

ÃèÃ

ÀÂ





;

ÃèëèÃ

ÀÂ

∨





; 4)

Ã, è Ã,

Ã,

AC BC

ÀÂ C

∨





;

Ã,

ÀÂ

⊃



; 6)

ÃèÃ

ÀÀB

⊃





;

Ã, è Ã,

ÀÂ À Â





; 8)

ÃèÃ

ÀÀ





; 9)

¬¬



182

Çàìå÷àíèå 3. Â äàëüíåéøåì ìû ñêàæåì, ÷òî äîêàçàííûå óòâåðæ-

äåíèÿ âûðàæàþò òîò ôàêò, ÷òî îòíîøåíèå ñåìàíòè÷åñêîãî ñëåäî-

âàíèÿ â ëîãèêå ïðåäèêàòîâ ñîõðàíÿåòñÿ ïðàâèëàìè ââåäåíèÿ è óäà-

ëåíèÿ ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ñâÿçîê (ñì. § 4.4).



Çàìå÷àíèå 4. Ïîíÿòèå ñåìàíòè÷åñêîãî ñëåäîâàíèÿ â ëîãèêå ïðå-

äèêàòîâ ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ìàòåìàòè÷åñêèõ óòî÷íåíèé íåôîðìàëü-

íîãî ïîíÿòèÿ ëîãè÷åñêîãî ñëåäîâàíèÿ.



Ñåìàíòè÷åñêîå ñëåäîâàíèå â ëîãèêå ïðåäèêàòîâ èìååò òàêæå

ðÿä ñâîéñòâ, ñâÿçàííûõ ñ êâàíòîðàìè. Îíè ÿâëÿþòñÿ ñïåöèôè÷åñ-

êèìè äëÿ ËÏ è íå èìåþò àíàëîãîâ â ëîãèêå âûñêàçûâàíèé.

! ÒÅÎÐÅÌÀ 2 (ñâîéñòâà ñåìàíòè÷åñêîãî ñëåäîâàíèÿ â ËÏ, ñâÿçàí-

íûå ñ êâàíòîðàìè). Ïóñòü À(x), Ñ – ôîðìóëû ßËÏ; Ã – ìíîæåñòâî

ôîðìóë ßËÏ; t – òåðì, À(t) – ðåçóëüòàò ïîäñòàíîâêè òåðìà t â

ôîðìóëó À(x) âìåñòî õ. Òîãäà:

Ã()

xÀ x

Àt

∀



, ãäå òåðì t ÿâëÿåòñÿ À-õ-äîïóñòèìûì;

Ã()

Àt

xÀ x

∃



, ãäå òåðì t ÿâëÿåòñÿ À-õ-äîïóñòèìûì;

Ã()

Àx

õÀ x

∀



, ãäå õ íå âõîäèò ñâîáîäíî â ôîðìóëû èç Ã;

Ã, ( )

Àx Ñ

õÀ x Ñ

∃



, ãäå õ íå âõîäèò ñâîáîäíî â ôîðìóëû èç Ã è â Ñ.

Ïðåæäå ÷åì ïåðåéòè ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû, ñôîðìóëèðóåì

ëåììó. Íåôîðìàëüíûé ñìûñë ýòîé ëåììû çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî

åñëè òåðì t ÿâëÿåòñÿ À-õ-äîïóñòèìûì, òî, äëÿ òîãî ÷òîáû âû÷èñ-

ëèòü çíà÷åíèå ôîðìóëû À(t) â èíòåðïðåòàöèè M ñ îöåíêîé

v, íóæ-

íî ñíà÷àëà âû÷èñëèòü çíà÷åíèå v(t) ñàìîãî òåðìà t, à çàòåì ïîäñòà-

âèòü ýòî çíà÷åíèå â ïðåäëîæåíèå



(õ) âìåñòî õ, íàðÿäó ñî çíà÷å-

íèÿìè äðóãèõ ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ ôîðìóëû À, ïðåäïèñàííûìè

îöåíêîé v (ñð. ñ çàìå÷àíèåì 3 â êîíöå § 3.3):

|()|



(v(t)).

ËÅÌÌÀ. Êàêîâû áû íè áûëè ôîðìóëà À, òåðìû s è t ßËÏ

èíòåðïðåòàöèÿ M ñèãíàòóðû σ è îöåíêà

v, åñëè îöåíêà vR òàêîâà,

183

÷òî vR(x) = v(t), à âñå îñòàëüíûå ïåðåìåííûå ïðèíèìàþò òî æå

çíà÷åíèå, ÷òî è ïðè îöåíêå v, òî:

à) v(

()

) = vR(s);

á) åñëè òåðì t ÿâëÿåòñÿ À-õ-äîïóñòèìûì, òî

|( ) | | |

′

Äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ ï. (à) èíäóêöèåé ïî ïîñòðîåíèþ

òåðìà, à óòâåðæäåíèÿ ï. (á) èíäóêöèåé ïî ïîñòðîåíèþ ôîðìóëû

ßËÏ îñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ. Îòìåòèì, ÷òî òðåáîâàíèå â ï. (á)

À-õ-äîïóñòèìîñòè òåðìà t ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì.

Òåïåðü ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 2.

Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ ï. 1 â

ñèëó òðàíçèòèâíîñòè îòíîøåíèÿ



äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ñëåäóþ-

ùåå óòâåðæäåíèå:

1') >õÀ

ËÏ



À(t), ãäå òåðì t ÿâëÿåòñÿ À-õ-äîïóñòèìûì.

Ïóñòü σ = σ(>õ À, À(t)), à M – ïðîèçâîëüíàÿ èíòåðïðåòàöèÿ

ñèãíàòóðû σ ñ îöåíêîé v , òàêàÿ, ÷òî

∀

= È. Ðàññìîòðèì îöåíêó

vR, êîòîðàÿ îòëè÷àåòñÿ îò îöåíêè v, âîçìîæíî, ëèøü çíà÷åíèåì õ, à

vR(x) = v(t). Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ çíà÷åíèÿ ôîðìóëû ßËÏ â M ïðè

îöåíêå v,

′

= È. Êðîìå òîãî, â ñèëó ëåììû,

()

|||

′

Ñëåäîâàòåëüíî,

|( ) |

= È, ò. å.

|()|

= È.

Óòâåðæäåíèå ï. 2 ìîæíî äîêàçàòü àíàëîãè÷íî.

Äîêàæåì óòâåðæäåíèå ï. 3. Äîïóñòèì, ÷òî õ íå âõîäèò ñâîáîä-

íî íè â îäíó ôîðìóëó èç Ã è Ã



À. Äîêàæåì, ÷òî Ã



>õ À. Ïóñòü

σ = σ(Ã,>õ À), à M – ïðîèçâîëüíàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ñèãíàòóðû σ ñ

îöåíêîé v, òàêàÿ, ÷òî âñå ôîðìóëû èç Ã ïðèíèìàþò çíà÷åíèå È

(çàïèøåì ýòî òàê:

= È). Äîêàæåì, ÷òî

∀

= È. Ðàñ-

ñìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ îöåíêó vR, êîòîðàÿ îòëè÷àåòñÿ îò v, âîç-

ìîæíî, òîëüêî ëèøü çíà÷åíèåì õ, è äîêàæåì, ÷òî

′

= È. Ïî-

ñêîëüêó õ íå âõîäèò ñâîáîäíî â ôîðìóëû èç Ã, òî

′

= È. Êðîìå òîãî, èìååì Ã



À. Ñëåäîâàòåëüíî,

′

= È, ÷òî è

òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.

Äîêàæåì óòâåðæäåíèå ï. 4. Äîïóñòèì, ÷òî Ã, À



Ñ, ïðè÷åì õ íå

âõîäèò ñâîáîäíî â ôîðìóëû èç Ã è â Ñ. Äîêàæåì, ÷òî Ã, ∃õ À



Ñ.

Ïóñòü σ = σ(Ã, ∃õ À, Ñ), à M – ïðîèçâîëüíàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ñèã-

íàòóðû σ ñ îöåíêîé

v, òàêàÿ, ÷òî âñå ôîðìóëû èç Ã è ôîðìóëà ∃õ À

184

ïðèíèìàþò çíà÷åíèå È (

= È è

∃

= È). Äîêàæåì, ÷òî

= È. Ïîñêîëüêó

∃

= È, òî, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ,

′

= È äëÿ íåêîòîðîé îöåíêè vR, îòëè÷àþùåéñÿ îò v òîëüêî

ëèøü, ìîæåò áûòü, çíà÷åíèåì õ. Òàê êàê õ íå âõîäèò ñâîáîäíî â

ôîðìóëû èç Ã, òî

′

= È. Èòàê, Ã, À



Ñ,

′

= È

′

= È. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

′

= È. Ïîñêîëüêó õ íå

âõîäèò ñâîáîäíî â ôîðìóëó Ñ, òî

′

. Òàêèì îáðàçîì,

= È, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. 

Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîé èíòåðïðåòàöèè M îòíîøåíèå



òàê-

æå îáëàäàåò ðàññìîòðåííûìè â ýòîì ïàðàãðàôå ñâîéñòâàìè.

§ 3.7. Ïðèëîæåíèå ëîãèêè

ïðåäèêàòîâ ê èññëåäîâàíèþ

ìàòåìàòè÷åñêèõ ðàññóæäåíèé

Äëÿ êàæäîãî, êòî èçó÷àåò ìàòåìàòèêó, âàæíî

óìåòü ðàñïîçíàâàòü ïðàâèëüíûå è íåïðàâèëüíûå ðàññóæäåíèÿ

Ïðèçíàíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî ðàññóæäåíèÿ ïðàâèëüíûì èëè íå-

ïðàâèëüíûì çàâèñèò òîëüêî îò åãî ôîðìû, à âîâñå íå îò ñîäåðæà-

íèÿ. Åñëè âñå ïðåäëîæåíèÿ, ó÷àñòâóþùèå â ðàññóæäåíèè, çàïèñàòü

â âèäå ôîðìóë ÿçûêà ïåðâîãî ïîðÿäêà ïîäõîäÿùåé ñèãíàòóðû, òî

áóäåò âûÿâëåíà ôîðìà íå òîëüêî îòäåëüíûõ ïðåäëîæåíèé, íî è

ôîðìà ðàññóæäåíèÿ â öåëîì, òî÷íåå ñõåìà, ïî êîòîðîé ïðîâåäåíî

ðàññóæäåíèå.

Âñÿêîå ðàññóæäåíèå ñîñòîèò èç ýëåìåíòàðíûõ, îäíîøàãîâûõ

ðàññóæäåíèé (óìîçàêëþ÷åíèé). Äàëåå áóäåì ãîâîðèòü èìåííî î ïðî-

ñòåéøèõ, îäíîøàãîâûõ ðàññóæäåíèÿõ, èç êîòîðûõ ñîñòàâëåíî âñÿ-

êîå áîëåå ñëîæíîå ìíîãîøàãîâîå ðàññóæäåíèå. Åñëè ðàññóæäåíèå

èìååò âèä «èç

, …, A

ñëåäóåò A», òî åãî ôîðìó ìîæíî èçîáðàçèòü

Íåêîòîðûå ïîíÿòèÿ, èñïîëüçóåìûå â ýòîì ïàðàãðàôå, íå ÿâëÿþòñÿ ìàòå-

ìàòè÷åñêèìè, à ïîòîìó íåëüçÿ ðàññ÷èòûâàòü íà èõ òî÷íîå îïðåäåëåíèå.

185

ñõåìîé

...

, ãäå À

, …,

, À – ôîðìóëû, îòðàæàþùèå ëîãè÷åñ-

êóþ ñòðóêòóðó ïðåäëîæåíèé

, …, A

, A. Ñõåìó

...

åñòåñòâåí-

íî ñ÷èòàòü ïðàâèëüíîé, åñëè âñÿêîå ðàññóæäåíèå âèäà «èç

, …, A

ñëåäóåò A», ïîñòðîåííîå ïî ýòîé ñõåìå è èìåþùåå èñòèííûå ïîñûë-

êè

, …, A

, èìååò èñòèííîå çàêëþ÷åíèå

A. Äðóãèìè ñëîâàìè, ïðà-

âèëüíàÿ ñõåìà äîëæíà ãàðàíòèðîâàòü èñòèííîñòü çàêëþ÷åíèÿ ïðè èñ-

òèííîñòè ïîñûëîê äëÿ âñÿêîãî ðàññóæäåíèÿ ïî ýòîé ñõåìå. Ñõåìó

ðàññóæäåíèÿ åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü íåïðàâèëüíîé, åñëè ñóùåñòâóåò ðàñ-

ñóæäåíèå ïî ýòîé ñõåìå, âñå ïîñûëêè êîòîðîãî èñòèííû, à çàêëþ÷å-

íèå ëîæíî. Òîãäà, ÷òîáû äîêàçàòü, ÷òî äàííîå ðàññóæäåíèå íåïðà-

âèëüíî, äîñòàòî÷íî ïðèâåñòè ïðèìåð ðàññóæäåíèÿ ïî òîé æå ñõåìå

(òîé æå ôîðìû), ïîñûëêè êîòîðîãî èñòèííû, à çàêëþ÷åíèå ëîæíî.

Ïîíÿòèå ïðàâèëüíîé ñõåìû ðàññóæäåíèé, à çíà÷èò, è ïðàâèëü-

íîãî ðàññóæäåíèÿ, êàê ðàññóæäåíèÿ ïî ïðàâèëüíîé ñõåìå, ìîæíî

óòî÷íèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.

Áóäåì íàçûâàòü ïðÿìîå ðàññóæäåíèå ïî ñõåìå

...

ïðàâèëü-

íûì

, åñëè èç ôîðìóë À

, …, À

ñåìàíòè÷åñêè ñëåäóåò ôîðìóëà À:

, …, À

ËÏ



À.

Ðàññóæäåíèå ìîæåò èìåòü áîëåå ñëîæíûé âèä: «åñëè èç Â

ñëå-

äóåò À

, …, èç Â

ñëåäóåò A

, òî âåðíî À» (òàê íàçûâàåìîå êîñâåííîå

ðàññóæäåíèå). Ê òàêèì ðàññóæäåíèÿì îòíîñÿòñÿ, íàïðèìåð, ðàñ-

ñóæäåíèÿ ïðèâåäåíèåì ê íåëåïîñòè è ðàçáîðîì ñëó÷àåâ.

×òîáû ó÷åñòü è òàêîãî òèïà ðàññóæäåíèÿ, ââåäåííîå âûøå ïî-

íÿòèå ïðÿìîãî ïðàâèëüíîãî ðàññóæäåíèÿ ìîæíî îáîáùèòü ñëåäó-

þùèì îáðàçîì.

Ðàññóæäåíèå áóäåì íàçûâàòü ïðàâèëüíûì

, åñëè ñõåìà, ïî êî-

òîðîé îíî ïðîâåäåíî, ñîõðàíÿåò îòíîøåíèå ñåìàíòè÷åñêîãî

ñëåäîâàíèÿ â ËÏ

ËÏ



Òî÷íåå áûëî áû ñêàçàòü «ïðàâèëüíûì ñ ïîçèöèé êëàññè÷åñêîé ëîãèêè».

Ìîæíî ïîäîéòè ê óòî÷íåíèþ ïîíÿòèÿ ïðàâèëüíîãî ðàññóæäåíèÿ, ïîëüçó-

ÿñü èñêëþ÷èòåëüíî ñèíòàêñè÷åñêèìè ñðåäñòâàìè. À èìåííî, ìîæíî ñ÷èòàòü

óìîçàêëþ÷åíèå ïðàâèëüíûì, åñëè åãî ôîðìà ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîìó äîïóñ-

òèìîìó ïðàâèëó çàêëþ÷åíèÿ â ïðåäèêàòíîé ñèñòåìå åñòåñòâåííîãî âûâîäà (ñì.

§ 4.4). Òàêîå óòî÷íåíèå ýêâèâàëåíòíî ïðåäëîæåííîìó.

Ñîõðàíåíèå ñõåìîé çàêëþ÷åíèÿ îòíîøåíèÿ



â ËÏ áóäåò ââåäåíî àíà-

ëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî â ËÂ (ñì. äàëåå § 4.4).

186

S Òàêèì îáðàçîì, äëÿ òîãî ÷òîáû âûÿñíèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè ðàññóæ-

äåíèå ïðàâèëüíûì, äîñòàòî÷íî:

1) ñîñòàâèòü ñõåìó, ïî êîòîðîé ïðîâåäåíî ðàññóæäåíèå (ôîð-

ìàëèçîâàòü ðàññóæäåíèå, çàïèñàâ ñîñòàâëÿþùèå åãî ïðåäëîæåíèÿ

â âèäå ôîðìóë ßËÏ), è

2) ïðîâåðèòü, ñîõðàíÿåò ëè ýòà ñõåìà îòíîøåíèå ñåìàíòè÷åñ-

êîãî ñëåäîâàíèÿ â ëîãèêå ïðåäèêàòîâ.

Çàìåòèì, ÷òî äëÿ âûÿñíåíèÿ, ñîõðàíÿåò ëè ïðÿìàÿ ñõåìà

...

îòíîøåíèå ñåìàíòè÷åñêîãî ñëåäîâàíèÿ, äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü,

âûïîëíÿåòñÿ ëè ñëåäóþùåå óñëîâèå: À

, …, À

ËÏ



À. Äëÿ äîêàçà-

òåëüñòâà òîãî, ÷òî ýòî óñëîâèå íå âûïîëíÿåòñÿ, äîñòàòî÷íî ïðèâå-

ñòè ïðèìåð èíòåðïðåòàöèè ñ îöåíêîé, â êîòîðîé êàæäàÿ èç ôîð-

ìóë À

, …, À

ïðèíèìàåò çíà÷åíèå È, à ôîðìóëà À ïðèíèìàåò çíà-

÷åíèå Ë. Òàêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ äàåò ïðèìåð ðàññóæäåíèÿ ïî ýòîé

æå ñõåìå, ïîñûëêè êîòîðîãî èñòèííû, à çàêëþ÷åíèå ëîæíî.

Ðàññìîòðèì ïðèìåðû. Âûÿñíèì, ÿâëÿþòñÿ ëè ïðàâèëüíûìè

ñëåäóþùèå ðàññóæäåíèÿ, ïðèìåíÿÿ ñðåäñòâà ëîãèêè ïðåäèêàòîâ.

Ïðèìåð. Âñÿêîå ÷èñëî, äåëÿùååñÿ íà 9, äåëèòñÿ íà 3; 18 äå-

ëèòñÿ íà 3. Ñëåäîâàòåëüíî, 18 äåëèòñÿ íà 9.

Çàïèøåì ïðåäëîæåíèÿ, ñîñòàâëÿþùèå ýòî ðàññóæäåíèå, â âèäå

ôîðìóë. Äëÿ ýòîãî èñïîëüçóåì ÿçûê, ñèãíàòóðà êîòîðîãî ñîäåðæèò

äâóìåñòíûé ïðåäèêàòíûé ñèìâîë D è ñèìâîëû êîíñòàíò: a, b, c.

Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñõåìó, ïî êîòîðîé ïðîâåäåíî ðàññóæäåíèå:

((,) (,)) (,)

(, )

xDxa Dxb Dcb

Dca

∀⊃

Òåïåðü âûÿñíèì, ñîõðàíÿåò ëè ýòà ñõåìà îòíîøåíèå ñåìàíòè-

÷åñêîãî ñëåäîâàíèÿ. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî âûÿñíèòü, èìååò ëè ìå-

ñòî ñåìàíòè÷åñêîå ñëåäîâàíèå

( ( , ) ( , )),

xDxa Dxb

∀⊃

D(c, b)



D(c, a).

Îïóñòèì îïèñàíèå ïðîöåññà èññëåäîâàíèÿ. Îòâåò äîëæåí áûòü

îòðèöàòåëüíûì. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü èí-

òåðïðåòàöèþ ñ ïîëåì N, â êîòîðîé



– ýòî îòíîøåíèå äåëèìî-

ñòè,



= 9,



= 3,



= 12. Â ýòîé èíòåðïðåòàöèè îáå ïîñûëêè

ïðèíèìàþò çíà÷åíèå È («âñÿêîå ÷èñëî, äåëÿùååñÿ íà 9, äåëèòñÿ

íà 3», «12 äåëèòñÿ íà 3»), à çàêëþ÷åíèå («12 äåëèòñÿ íà 9») ïðè-

íèìàåò çíà÷åíèå Ë. Òàêèì îáðàçîì, ðàññóæäåíèå ÿâëÿåòñÿ íå-

ïðàâèëüíûì, õîòÿ âñå òðè âûñêàçûâàíèÿ, ñîñòàâëÿþùèå åãî, èñ-

òèííû. 

187

Ïðèìåð. Ãðàôèê âñÿêîé ÷åòíîé ôóíêöèè ñèììåòðè÷åí îò-

íîñèòåëüíî îñè îðäèíàò; äàííàÿ ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé. Ñëå-

äîâàòåëüíî, ãðàôèê äàííîé ôóíêöèè íåñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëü-

íî îñè îðäèíàò.

Ñîñòàâèì ñõåìó, ïî êîòîðîé ïðîâåäåíî ðàññóæäåíèå, çàïèñàâ

ñîñòàâëÿþùèå åãî ïðåäëîæåíèÿ â âèäå ôîðìóë ïîäõîäÿùåé ñèã-

íàòóðû:

(() ()) ()

()

xPx Qx Pa

∀⊃¬

Ýòà ñõåìà íå ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíîé, ïîñêîëüêó ìîæíî ïîäîáðàòü

ðàññóæäåíèå ïî òîé æå ñõåìå, ïîñûëêè êîòîðîãî èñòèííû, à çàê-

ëþ÷åíèå ëîæíî. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì èíòåðïðåòàöèþ, ïî-

ëåì êîòîðîé ñëóæèò ìíîæåñòâî ôóíêöèé òèïà R → R,



åñòü ñâîé-

ñòâî ôóíêöèè áûòü äèôôåðåíöèðóåìîé â òî÷êå íîëü,



åñòü ñâîé-

ñòâî ôóíêöèè áûòü íåïðåðûâíîé â òî÷êå íîëü, à



åñòü ôóíêöèÿ f

òàêàÿ, ÷òî äëÿ âñÿêîãî õ èç R: f(õ) = | õ |. 

Ïðèìåð. Ãðàôèê âñÿêîé ÷åòíîé ôóíêöèè ñèììåòðè÷åí îò-

íîñèòåëüíî îñè îðäèíàò; ãðàôèê äàííîé ôóíêöèè íåñèììåòðè÷åí

îòíîñèòåëüíî îñè îðäèíàò. Ñëåäîâàòåëüíî, äàííàÿ ôóíêöèÿ íå ÿâ-

ëÿåòñÿ ÷åòíîé.

Ðàññóæäåíèå ïîñòðîåíî ïî ñëåäóþùåé ñõåìå:

(() ()) ()

()

xPx Qx Qa

∀⊃¬

Ýòà ñõåìà ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíîé, ïîñêîëüêó, êàê ëåãêî ïîêàçàòü,

(() ()), ()

xPx Qx Qa

∀⊃¬



()

. 

ÓÏÐÀÆÍÅÍÈÅ

Âûÿñíèòå, ÿâëÿþòñÿ ëè ñëåäóþùèå ðàññóæäåíèÿ ïðàâèëüíûìè:

1. Âñå ðîìáû −− ïàðàëëåëîãðàììû; íåêîòîðûå ÷åòûðåõóãîëü-

íèêè íå ÿâëÿþòñÿ ðîìáàìè. Ñëåäîâàòåëüíî, íåêîòîðûå ÷åòûðåõ-

óãîëüíèêè íå ÿâëÿþòñÿ ïàðàëëåëîãðàììàìè.

2. Ãðàôèê âñÿêîé ÷åòíîé ôóíêöèè ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî

îñè îðäèíàò; ãðàôèê äàííîé ôóíêöèè ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî

îñè îðäèíàò. Ñëåäîâàòåëüíî, äàííàÿ ôóíêöèÿ ÷åòíàÿ.

3. Âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà ðàöèîíàëüíû; íåêîòîðûå äåéñòâè-

òåëüíûå ÷èñëà íå ÿâëÿþòñÿ íàòóðàëüíûìè. Ñëåäîâàòåëüíî, íåêî-

òîðûå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà íå ÿâëÿþòñÿ ðàöèîíàëüíûìè.

188

§ 3.8. Ïðîáëåìà îáùåçíà÷èìîñòè§ 3.8. Ïðîáëåìà îáùåçíà÷èìîñòè

§ 3.8. Ïðîáëåìà îáùåçíà÷èìîñòè

äëÿ ëîãèêè ïðåäèêàòîâäëÿ ëîãèêè ïðåäèêàòîâ

äëÿ ëîãèêè ïðåäèêàòîâ

Ìû óæå îòìå÷àëè ñâÿçü ìåæäó òàâòîëîãèÿìè è

îáùåçíà÷èìûìè ôîðìóëàìè. Ïîñêîëüêó è òå è äðóãèå ÿâëÿþòñÿ â

èçâåñòíîì ñìûñëå çàêîíàìè ëîãèêè, î÷åíü âàæíî óìåòü ðàñïîçíà-

âàòü íå òîëüêî òàâòîëîãèè, íî è îáùåçíà÷èìûå ôîðìóëû. Îäíàêî

ïðîáëåìó ðàñïîçíàâàíèÿ îáùåçíà÷èìûõ ôîðìóë ßËÏ íåëüçÿ ðå-

øèòü òàê æå ïðîñòî, êàê è çàäà÷ó ðàñïîçíàâàíèÿ òàâòîëîãèé â ëî-

ãèêå âûñêàçûâàíèé.

Ôóíäàìåíòàëüíûì ðåçóëüòàòîì, äîêàçàòåëüñòâî

êîòîðîãî èñïîëüçóåò ñðåäñòâà òåîðèè àëãîðèò-

ìîâ, ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà, äîêàçàííàÿ â

1936 ãîäó àìåðèêàíñêèì ëîãèêîì À. ×¸ð÷åì

. Â ýòîé òåîðåìå ãî-

âîðèòñÿ î òîì, ÷òî íåâîçìîæåí îáùèé ìåòîä, ïîçâîëÿþùèé ïî

âñÿêîé ïðåäèêàòíîé ôîðìóëå ðàñïîçíàòü, ÿâëÿåòñÿ îíà îáùåçíà-

÷èìîé èëè íåò.

ßçûê ïåðâîãî ïîðÿäêà, êîòîðûé ñîäåðæèò âñå ïðåäèêàòíûå

ñèìâîëû, íî íå ñîäåðæèò ôóíêöèîíàëüíûõ ñèìâîëîâ è ïðåäìåò-

íûõ êîíñòàíò, íàçûâàþò ÿçûêîì ÷èñòîé ëîãèêè ïðåäèêàòîâ. Ñàì

ßËÏ, ïîñêîëüêó îí ñîäåðæèò âñå ïðåäèêàòíûå ñèìâîëû, âñå ôóí-

êöèîíàëüíûå ñèìâîëû è âñå ïðåäìåòíûå êîíñòàíòû, íàçûâàþò òàêæå

ÿçûêîì íàñûùåííîé ëîãèêè ïðåäèêàòîâ.

! ÒÅÎÐÅÌÀ (×¸ð÷)

. Íå ñóùåñòâóåò àëãîðèòìà, ïîçâîëÿþùåãî

ïî ëþáîé ôîðìóëå ÿçûêà ÷èñòîé ëîãèêè ïðåäèêàòîâ âûÿñíèòü, ÿâ-

ëÿåòñÿ ëè îíà îáùåçíà÷èìîé.

! ÑËÅÄÑÒÂÈÅ. Íå ñóùåñòâóåò àëãîðèòìà, ïîçâîëÿþùåãî ïî ëþ-

áîé ôîðìóëå ßËÏ âûÿñíèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè îíà îáùåçíà÷èìîé.

★ Îäíàêî äëÿ íåêîòîðûõ êëàññîâ ôîðìóë ßËÏ ñóùåñòâóþò àëãîðèò-

ìû, ïîçâîëÿþùèå ïî ëþáîé ôîðìóëå èç ýòèõ êëàññîâ âûÿñíÿòü, ÿâëÿ-

åòñÿ ëè îíà îáùåçíà÷èìîé. Ïðèâåäåì ðÿä ñâÿçàííûõ ñ ýòèì óòâåðæ-

äåíèé, äîêàçàòåëüñòâî êîòîðûõ íå âõîäèò â íàøè çàäà÷è, îäíàêî âåñü-

ìà äîñòóïíî è ïðè æåëàíèè ìîæåò áûòü ïðîâåäåíî ÷èòàòåëåì.

1. Ñóùåñòâóåò àëãîðèòì, ïîçâîëÿþùèé ïî ëþáîé áåñêâàíòîð-

íîé ôîðìóëå ßËÏ âûÿñíèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè îíà îáùåçíà÷èìîé.

À. ×¸ð÷ (1903–1995) – àìåðèêàíñêèé ìàòåìàòèê, ëîãèê.

Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû âûõîäèò çà ðàìêè íàøåãî êóðñà. Ïðè æåëà-

íèè åãî ìîæíî íàéòè â [3], [10].

Теорема Чёрча

189

2. Ñóùåñòâóåò àëãîðèòì, ïîçâîëÿþùèé ïî ëþáîé ôîðìóëå ßËÏ

âûÿñíèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè îíà èñòèííîé âî âñåõ k-ýëåìåíòíûõ èíòåð-

ïðåòàöèÿõ ßËÏ (k ôèêñèðîâàíî).

3. Ïóñòü À – ïðîèçâîëüíàÿ áåñêâàíòîðíàÿ ôîðìóëà ßËÏ

áåç

ôóíêöèîíàëüíûõ ñèìâîëîâ è ïðåäìåòíûõ êîíñòàíò, (õ

, …, õ

) –

ñïèñîê åå ïåðåìåííûõ.

à) Ôîðìóëà >õ

… >õ

À îáùåçíà÷èìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîã-

äà îíà èñòèííà â ëþáîé n-ýëåìåíòíîé èíòåðïðåòàöèè ßËÏ

á) Ñóùåñòâóåò àëãîðèòì, ðåøàþùèé ïðîáëåìó îáùåçíà÷èìîñ-

òè äëÿ ôîðìóë âèäà, îïèñàííîãî â ï. (à).

4. Ïóñòü À – ïðîèçâîëüíàÿ áåñêâàíòîðíàÿ ôîðìóëà ßËÏ

áåç

ôóíêöèîíàëüíûõ ñèìâîëîâ è ïðåäìåòíûõ êîíñòàíò, (õ

, …, õ

) –

ñïèñîê åå ïåðåìåííûõ.

à) Ôîðìóëà ∃õ

… ∃õ

À îáùåçíà÷èìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîã-

äà îíà èñòèííà â ëþáîé îäíîýëåìåíòíîé èíòåðïðåòàöèè ßËÏ

á) Ñóùåñòâóåò àëãîðèòì, ðåøàþùèé ïðîáëåìó îáùåçíà÷èìîñ-

òè äëÿ ôîðìóë âèäà, îïèñàííîãî â ï. (à).

5. Ïóñòü À – ïðîèçâîëüíàÿ áåñêâàíòîðíàÿ ôîðìóëà ßËÏ

áåç

ôóíêöèîíàëüíûõ ñèìâîëîâ è ïðåäìåòíûõ êîíñòàíò, (õ

, …, õ

, ó

…, ó

) – ñïèñîê åå ïåðåìåííûõ.

à) Ôîðìóëà >õ

… >õ

∃ó

… ∃ó

À îáùåçíà÷èìà òîãäà è òîëüêî

òîãäà, êîãäà îíà èñòèííà â ëþáîé n-ýëåìåíòíîé èíòåðïðåòàöèè ßËÏ

á) Ñóùåñòâóåò àëãîðèòì, ðåøàþùèé ïðîáëåìó îáùåçíà÷èìîñ-

òè äëÿ ôîðìóë âèäà, îïèñàííîãî â ï. (à).

6. à) Ëþáàÿ ôîðìóëà À ÿçûêà ßËÏ

, ãäå σ = {

, …,

}, âû-

ïîëíèìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà âûïîëíèìà â èíòåðïðåòà-

öèè, ñîäåðæàùåé íå áîëåå 2

ýëåìåíòîâ.

á) Ñóùåñòâóåò àëãîðèòì, ðåøàþùèé ïðîáëåìó îáùåçíà÷èìîñ-

òè äëÿ ôîðìóë âèäà, îïèñàííîãî â ï. (à).

✰

190

§ 4.1. Êâàíòîðíûå ïðàâèëà§ 4.1. Êâàíòîðíûå ïðàâèëà

§ 4.1. Êâàíòîðíûå ïðàâèëà

çàêëþ÷åíèÿçàêëþ÷åíèÿ

çàêëþ÷åíèÿ

Ïîñòðîèì íîâóþ ëîãè÷åñêóþ ñèñòåìó – ïðåäè-

êàòíóþ ñèñòåìó åñòåñòâåííîãî âûâîäà

, êîòîðóþ áóäåì îáîçíà-

÷àòü ñèìâîëîì PN. Äëÿ ýòîãî îïèøåì åå ÿçûê è ïðàâèëà çàêëþ-

÷åíèÿ. ßçûêîì ýòîé ñèñòåìû ñëóæèò ßËÏ. Ìíîæåñòâî àêñèîì,

êàê è â ñëó÷àå ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ñèñòåì åñòåñòâåííîãî âûâîäà,

ïóñòî.

Ñïèñîê ïðàâèë çàêëþ÷åíèÿ ïðåäèêàòíîé ñèñòåìû PN (èëè,

êðàòêî, PN-ïðàâèë) ïîëó÷èì äîáàâëåíèåì ê ñïèñêó ïðàâèë çàê-

ëþ÷åíèÿ ïðîïîçèöèîíàëüíîé ñèñòåìû N

ñëåäóþùèõ ÷åòûðåõ

êâàíòîðíûõ ïðàâèë (∃â è >ó – ïðÿìûå, >â è ∃ó – óñëîâíûå):

()

∀

(>â) – ââåäåíèå êâàíòîðà îáùíîñòè;

()

∃

(∃â) – ââåäåíèå êâàíòîðà ñóùåñòâîâàíèÿ;

()

∀ A

(>ó) – óäàëåíèå êâàíòîðà îáùíîñòè;

[()]

()

∃

(∃ó) – óäàëåíèå êâàíòîðà ñóùåñòâîâàíèÿ.

S Îòìåòèì, ÷òî ïðè ïîñòðîåíèè äåðåâüåâ PN-âûâîäà âñå êâàí-

òîðíûå ïðàâèëà èñïîëüçóþòñÿ ñ ñóùåñòâåííûìè îãðàíè÷åíèÿìè,

êîòîðûå áóäóò îòðàæåíû â îïðåäåëåíèè äåðåâà PN-âûâîäà.

ГлаваГлава

Глава

ÈÑ×ÈÑËÅÍÈß ÏÐÅÄÈÊÀÒÎÂ.ÈÑ×ÈÑËÅÍÈß ÏÐÅÄÈÊÀÒÎÂ.

ÈÑ×ÈÑËÅÍÈß ÏÐÅÄÈÊÀÒÎÂ.

ÏÐÅÄÈÊÀÒÍÛÅ ÑÈÑÒÅÌÛÏÐÅÄÈÊÀÒÍÛÅ ÑÈÑÒÅÌÛ

ÏÐÅÄÈÊÀÒÍÛÅ ÑÈÑÒÅÌÛ

ÅÑÒÅÑÒÂÅÍÍÎÃÎ ÂÛÂÎÄÀÅÑÒÅÑÒÂÅÍÍÎÃÎ ÂÛÂÎÄÀ

ÅÑÒÅÑÒÂÅÍÍÎÃÎ ÂÛÂÎÄÀ

Ðàññìàòðèâàåìàÿ ïðåäèêàòíàÿ ñèñòåìà, êàê è â ïðîïîçèöèîíàëüíîì ñëó-

÷àå, ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðîé ìîäèôèêàöèåé ñèñòåìû, ïðåäëîæåííîé Ãåíöåíîì.