Лекции - Математическая логика

Подождите немного. Документ загружается.

141

§ 3.1. Ïðåäèêàòû§ 3.1. Ïðåäèêàòû

§ 3.1. Ïðåäèêàòû

è âûñêàçûâàòåëüíûå ôîðìûè âûñêàçûâàòåëüíûå ôîðìû

è âûñêàçûâàòåëüíûå ôîðìû

Ðàññìîòðèì ïðåäëîæåíèå «õ – ïðîñòîå ÷èñëî» ñ

ïåðåìåííîé õ ïî ìíîæåñòâó íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N

. Ýòî ïðåäëîæå-

íèå íå ÿâëÿåòñÿ âûñêàçûâàíèåì, òàê êàê åìó íåëüçÿ ïðèïèñàòü

çíà÷åíèå È èëè Ë. Îäíàêî, ïðèäàâàÿ õ çíà÷åíèÿ èç ìíîæåñòâà N,

ïîëó÷èì ñåðèþ îäíîòèïíûõ âûñêàçûâàíèé: «0 – ïðîñòîå ÷èñëî»,

«1 – ïðîñòîå ÷èñëî», «2 – ïðîñòîå ÷èñëî» è ò. ä. Ïðåäëîæåíèå «õ –

ïðîñòîå ÷èñëî» ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òàê íàçûâàåìóþ âûñêàçûâàòåëü-

íóþ ôîðìó ñ îäíîé íàòóðàëüíîé ïåðåìåííîé (ïåðåìåííîé ïî ìíî-

æåñòâó N). Ýòà âûñêàçûâàòåëüíàÿ ôîðìà ïîçâîëÿåò êàæäîìó íàòó-

ðàëüíîìó n ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå èñòèííîñòíîå çíà÷åíèå âûñ-

êàçûâàíèÿ «n – ïðîñòîå ÷èñëî», çàäàâ òåì ñàìûì îòîáðàæåíèå (ôóí-

êöèþ): N → {È, Ë}.

Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå äðóãîãî ïðèìåðà ïðåäëîæåíèå «õ äåëèò

ó», ãäå õ è ó – ïåðåìåííûå ïî ìíîæåñòâó öåëûõ ÷èñåë Z. Çäåñü ìû

èìååì äåëî ñ âûñêàçûâàòåëüíîé ôîðìîé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ïî

ìíîæåñòâó Z. Ïðèäàâàÿ ïåðåìåííûì õ è ó çíà÷åíèÿ èç Z, òàêæå

áóäåì ïîëó÷àòü ðàçëè÷íûå âûñêàçûâàíèÿ. Ñîïîñòàâèâ êàæäîé ïàðå

öåëûõ ÷èñåë (õ, y) èñòèííîñòíîå çíà÷åíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî âûñ-

êàçûâàíèÿ, ïîëó÷èì îòîáðàæåíèå (ôóíêöèþ): Z

→ {È, Ë}.

Ïðèìåðû. Ðàññìîòðèì åùå íåñêîëüêî ïðåäëîæåíèé ñ ïåðå-

ìåííûìè:

1) «õ = ó» (õ ðàâåí ó) – ïðåäëîæåíèå ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè,

êîòîðûå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê äåéñòâèòåëüíûå ïåðåìåííûå;

2) «ïðÿìûå l è m ïàðàëëåëüíû» – ïðåäëîæåíèå ñ äâóìÿ ïåðå-

ìåííûìè, êîòîðûå ìîãóò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ èç ìíîæåñòâà ïðÿ-

ìûõ íåêîòîðîé ïëîñêîñòè (èëè ïðîñòðàíñòâà);

3) «õ ⊆ ó» (õ ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ó) – ïðåäëîæåíèå ñ äâó-

ìÿ ïåðåìåííûìè, êîòîðûå ìîãóò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ èç ïðîèç-

âîëüíîé ñîâîêóïíîñòè ìíîæåñòâ;

4) «õ

+ ó

+ z

= 1» – ïðåäëîæåíèå ñ òðåìÿ ïåðåìåííûìè ïî

ìíîæåñòâó äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë;

5) «õ

– 2 = 0» è «õ

– 2 < 0» – ïðåäëîæåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåí-

íîé ïî ìíîæåñòâó äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë.

S Çàìåòèì, ÷òî âñÿêîå óðàâíåíèå è âñÿêîå íåðàâåíñòâî ñ íåèçâå-

ñòíûìè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðåäëîæåíèå ñ ïåðåìåííûìè.



Â ëîãèêå ïðèíÿòî ñ÷èòàòü, ÷òî íàòóðàëüíûé ðÿä íà÷èíàåòñÿ ñ 0, ò. å.

N = {0, 1, 2, …}.

142

Íè îäíî èç ýòèõ ïðåäëîæåíèé íå ÿâëÿåòñÿ âûñêàçûâàíèåì,

ïîñêîëüêó íè îäíîìó èç íèõ íåëüçÿ ïðèïèñàòü çíà÷åíèå È èëè Ë.

Îäíàêî åñëè â êàæäîì èç ýòèõ ïðåäëîæåíèé ïåðåìåííûì ïðèäà-

âàòü êàêèå-ëèáî çíà÷åíèÿ èç îáëàñòè èçìåíåíèÿ ïåðåìåííûõ, òî

áóäåì ïîëó÷àòü ðàçëè÷íûå âûñêàçûâàíèÿ (îäíîòèïíûå äëÿ êàæäî-

ãî ïðèìåðà), êàê èñòèííûå, òàê è ëîæíûå, â çàâèñèìîñòè îò çíà÷å-

íèé ïåðåìåííûõ.

S Ïðåäëîæåíèå ñ n ïåðåìåííûìè ïî ìíîæåñòâó M, êîòîðîå ïðå-

âðàùàåòñÿ â âûñêàçûâàíèå ïðè ëþáîé ïîäñòàíîâêå âìåñòî âñåõ åãî

ïåðåìåííûõ êàêèõ-ëèáî ýëåìåíòîâ èç M, íàçûâàþò âûñêàçûâàòåëü-

íîé ôîðìîé ñ n ïåðåìåííûìè ïî ìíîæåñòâó M

Âûñêàçûâàòåëüíûå ôîðìû ñ îäíîé ïåðåìåííîé õ ïî ìíîæå-

ñòâó M îáû÷íî èìåþò âèä: «õ îáëàäàåò ñâîéñòâîì P», ãäå P – íåêî-

òîðîå ñâîéñòâî ýëåìåíòîâ èç M. Îáîçíà÷àòü òàêèå ôîðìû áóäåì

÷åðåç P(õ). Âûñêàçûâàòåëüíûå ôîðìû ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè õ è ó

ïî ìíîæåñòâó M îáû÷íî èìåþò âèä: «õ íàõîäèòñÿ â îòíîøåíèè R ñ

ó», ãäå R – íåêîòîðîå áèíàðíîå îòíîøåíèå íà M (ìîæíî ãîâîðèòü,

÷òî R – ñâîéñòâî ýëåìåíòîâ èç M

). Îáîçíà÷àòü òàêèå ôîðìû áó-

äåì ÷åðåç R(õ, ó).

Ñî âñÿêîé âûñêàçûâàòåëüíîé ôîðìîé P(õ

, …, õ

) ñ n ïåðåìåí-

íûìè (n  1) ïî ìíîæåñòâó M ìîæíî åñòåñòâåííûì îáðàçîì ñâÿ-

çàòü n-ìåñòíóþ èñòèííîñòíîçíà÷íóþ ôóíêöèþ, ïåðåìåííûå êîòî-

ðîé ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ èç M, ò. å. ôóíêöèþ âèäà M

→ {È, Ë}.

Íà ïðîèçâîëüíîì êîðòåæå (a

, …, a

) èç M

ýòà ôóíêöèÿ ïðèíèìà-

åò çíà÷åíèå È èëè Ë â çàâèñèìîñòè îò òîãî, èñòèííî èëè ëîæíî

âûñêàçûâàíèå P(a

, …, a

), ïîëó÷åííîå èç âûñêàçûâàòåëüíîé ôîð-

ìû çàìåíîé åå ïåðåìåííûõ õ

, …, õ

çíà÷åíèÿìè a

, …, a

èç M

ñîîòâåòñòâåííî.

Ïóñòü M – ïðîèçâîëüíîå íåïóñòîå ìíîæåñòâî. Âñÿêîå îòîáðà-

æåíèå ìíîæåñòâà M

âî ìíîæåñòâî {È, Ë} áóäåì íàçûâàòü

n-ìåñòíûì ïðåäèêàòîì

íà ìíîæåñòâå M.

Ïîñêîëüêó âñÿêîå ïðåäëîæåíèå ñ n ïåðåìåííûìè ïî ìíîæå-

ñòâó M, êîòîðîå ïðè çàìåíå âñåõ ïåðåìåííûõ íà ýëåìåíòû èç M

ïðåâðàùàåòñÿ â âûñêàçûâàíèå, îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò n-ìåñòíûé

ïðåäèêàò, òî îáû÷íî n-ìåñòíûé ïðåäèêàò íà ìíîæåñòâå M çàäàþò

ñ ïîìîùüþ ïðåäëîæåíèÿ ñ n ïåðåìåííûìè ïî ìíîæåñòâó M,

Ñëåäóåò ðàçëè÷àòü âûñêàçûâàòåëüíûå è èìåííûå ôîðìû (ñì. § 3.2).

Òåðìèí ïðåäèêàò ïðîèñõîäèò îò ëàò. praedicatum – «ñêàçóåìîå». Îáû÷íî

èìåííî ñêàçóåìîå (èëè ãðóïïà ñêàçóåìîãî) â ïðåäëîæåíèè ñ ïåðåìåííûìè

âûðàæàåò (çàäàåò) òî ñâîéñòâî, êîòîðîå îïðåäåëÿåò îòîáðàæåíèå, íàçûâàåìîå

ïðåäèêàòîì.

143

ò. å. ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîé âûñêàçûâàòåëüíîé ôîðìû. È íàîáîðîò,

âñÿêîìó n-ìåñòíîìó ïðåäèêàòó íà M ìîæíî ñîïîñòàâèòü íåêîòî-

ðîå ïðåäëîæåíèå ñ n ïåðåìåííûìè ïî ìíîæåñòâó M (âûñêàçûâà-

òåëüíóþ ôîðìó). Â ñâÿçè ñ ýòèì ñàìè ïðåäëîæåíèÿ ñ ïåðåìåííû-

ìè (âûñêàçûâàòåëüíûå ôîðìû) ÷àñòî íàçûâàþò ïðåäèêàòàìè, åñëè

ýòî íå ïðèâîäèò ê íåäîðàçóìåíèþ.

Ïðèìåðû.

1. Âûñêàçûâàòåëüíàÿ ôîðìà «õ – ïðîñòîå ÷èñëî», ãäå õ – íàòó-

ðàëüíàÿ ïåðåìåííàÿ, çàäàåò îòîáðàæåíèå Pr : N → {È, Ë} òàêîå, ÷òî

äëÿ ïðîèçâîëüíîãî íàòóðàëüíîãî n Pr(n) = È, åñëè n – ïðîñòîå

÷èñëî, è Pr(n) = Ë â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Íàïðèìåð, Pr(3) = È, à

Pr(4) = Ë. Îòîáðàæåíèå (ôóíêöèÿ) Pr ñëóæèò ïðèìåðîì îäíîìåñò-

íîãî ïðåäèêàòà íà N.

2. Âûñêàçûâàòåëüíàÿ ôîðìà «õ äåëèò ó» çàäàåò îòîáðàæåíèå

D: N

→ {È, Ë} òàêîå, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ íàòóðàëüíûõ n è m

D(m, n) = È, åñëè n äåëèòñÿ íà m, è D(m, n) = Ë â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.

Íàïðèìåð, D(3, 6) = È, à D(4, 6) = Ë. Îòîáðàæåíèå D ñëóæèò

ïðèìåðîì äâóìåñòíîãî ïðåäèêàòà íà N.

3. Âûñêàçûâàòåëüíàÿ ôîðìà «õ = ó», ãäå õ è ó – äåéñòâèòåëüíûå

ïåðåìåííûå, çàäàåò îòîáðàæåíèå

: R

→ {È, Ë} òàêîå, ÷òî

(à, b) = È, åñëè a ñîâïàäàåò ñ b, è

(a, b) = Ë â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.

Íàïðèìåð,

(3, 3) = È, à

(4, 6) = Ë. Ôóíêöèÿ

ÿâëÿåòñÿ äâóìå-

ñòíûì ïðåäèêàòîì íà ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë R, íàçûâà-

åìûì ïðåäèêàòîì ðàâåíñòâà.



Ïî ñóòè, çàäàòü n-ìåñòíûé ïðåäèêàò íà ìíîæåñòâå M – ýòî

çíà÷èò çàäàòü íåêîòîðîå ñâîéñòâî ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà M

, à çà-

äàòü ñâîéñòâî ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà M

– ýòî çíà÷èò çàäàòü n-ìåñ-

òíûé ïðåäèêàò íà ìíîæåñòâå M.

Åñëè P – n-ìåñòíûé ïðåäèêàò íà ìíîæåñòâå M, òî ìíîæåñòâî

òåõ è òîëüêî òåõ õ

, …, õ

èç M, äëÿ êîòîðûõ P(õ

, …, õ

) = È,

íàçûâàþò ìíîæåñòâîì èñòèííîñòè ïðåäèêàòà P (è ñîîòâåòñò-

ñòâóþùåé åìó âûñêàçûâàòåëüíîé ôîðìû).

S Ìíîæåñòâî ðåøåíèé âñÿêîãî óðàâíåíèÿ (èëè íåðàâåíñòâà) ÿâ-

ëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì èñòèííîñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðåäèêàòà.

Íà âûñêàçûâàòåëüíûå ôîðìû ìîæíî ðàñïðîñò-

ðàíèòü èçâåñòíûå íàì îïåðàöèè àëãåáðû ëîãè-

êè. Èç ëþáûõ äâóõ ïðåäëîæåíèé (âûñêàçûâàòåëü-

íûõ ôîðì) ñ ïåðåìåííûìè ïî îäíîìó è òîìó æå

ìíîæåñòâó ñ ïîìîùüþ ñâÿçóþùèõ ñëîâ è; èëè;

Операции

над высказыва&

тельными формами

144

åñëè…, òî ìîæíî îáðàçîâàòü íîâûå ïðåäëîæåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè,

êîòîðûå íàçûâàþò ñîîòâåòñòâåííî êîíúþíêöèåé, äèçúþíêöèåé,

èìïëèêàöèåé äàííûõ ïðåäëîæåíèé. Ñ ïîìîùüþ ÷àñòèöû íå èç

äàííîãî ïðåäëîæåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè ìîæíî îáðàçîâàòü íîâîå

ïðåäëîæåíèå, íàçûâàåìîå îòðèöàíèåì äàííîãî.

Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ îáðàçîâàíèÿ ñëîæíûõ ïðåä-

ëîæåíèé ñ ïåðåìåííûìè (âûñêàçûâàòåëüíûõ ôîðì) óêàçàííûìè ñïî-

ñîáàìè:

1) «õ – ÷åòíîå ÷èñëî è ó – ïðîñòîå ÷èñëî»;

2) «õ – ÷åòíîå ÷èñëî è õ – ïðîñòîå ÷èñëî»;

3) «åñëè õ – íå÷åòíîå ÷èñëî, òî õ

– íå÷åòíîå ÷èñëî»;

4) «õ è ó íå ÿâëÿþòñÿ âçàèìíî ïðîñòûìè ÷èñëàìè». 

S Ñèñòåìà óðàâíåíèé (íåðàâåíñòâ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîíúþíê-

öèþ ïðåäëîæåíèé ñ ïåðåìåííûìè, à ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé (íå-

ðàâåíñòâ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äèçúþíêöèþ ïðåäëîæåíèé ñ ïåðå-

ìåííûìè.

×àñòî ãîâîðÿò î ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèÿõ íàä ïðåäèêàòàìè, çà-

äàííûìè íà îäíîì è òîì æå ìíîæåñòâå. Íàïðèìåð, ïîä êîíúþíê-

öèåé äâóõ ïðåäèêàòîâ P

è P

, çàäàííûõ ñîîòâåòñòâåííî âûñêàçû-

âàòåëüíûìè ôîðìàìè P

(õ) è P

(õ), ïîíèìàþò ïðåäèêàò, çàäàâàå-

ìûé ïðåäëîæåíèåì P

(õ) & P

(õ). Ïðè ýòîì íå ó÷èòûâàåòñÿ, ÷òî

ïðåäëîæåíèå P

(õ) & P

(ó) çàäàåò óæå äðóãîé ïðåäèêàò, êîòîðûé

òàêæå «ïîëó÷åí» èç ïðåäèêàòîâ P

è P

Ðàññìîòðèì â ñâÿçè ñ ýòèì ïåðâûå äâà ïðèìåðà. Î÷åâèäíî,

ïðåäëîæåíèÿ «ó – ïðîñòîå ÷èñëî» è «õ – ïðîñòîå ÷èñëî» çàäàþò

îäèí è òîò æå ïðåäèêàò, ò. å. äëÿ çàäàíèÿ ïðåäèêàòà ñ ïîìîùüþ

âûñêàçûâàòåëüíîé ôîðìû â äàííîì ñëó÷àå íåâàæåí âûáîð ïåðå-

ìåííîé. Â òî æå âðåìÿ, åñëè ðå÷ü èäåò îá îïåðàöèÿõ íàä âûñêàçû-

âàòåëüíûìè ôîðìàìè, ñóùåñòâåííî, êàêèå èìåííî áóêâû èñïîëü-

çîâàíû â ýòèõ ôîðìàõ â êà÷åñòâå ïåðåìåííûõ. Òàê, íàïðèìåð, ïðåä-

ëîæåíèÿ 1 è 2 çàäàþò ðàçëè÷íûå ïðåäèêàòû.

Òàêèì îáðàçîì, áîëåå êîððåêòíî ãîâîðèòü îá îïåðàöèÿõ íàä

âûñêàçûâàòåëüíûìè ôîðìàìè, à íå íàä ïðåäèêàòàìè.

Ðàññìîòðèì òåïåðü äâå íîâûå îïåðàöèè, ñïåöè-

ôè÷åñêèå äëÿ âûñêàçûâàòåëüíûõ ôîðì, – îïå-

ðàöèè ïðèìåíåíèÿ (íåôîðìàëüíûõ) êâàíòîðîâ. Èõ

çàäàþò ñ ïîìîùüþ êâàíòîðíûõ ñëîâ «äëÿ ëþáîãî» è «ñóùåñòâóåò»

èëè èõ àíàëîãîâ.

Íà÷íåì ñ ïðèìåðà. Ðàññìîòðèì ïðåäëîæåíèå ñ îäíîé ïåðå-

ìåííîé «õ – íå÷åòíîå ÷èñëî» (ãäå õ – ïåðåìåííàÿ, êîòîðîé ìîæíî

ïðèäàâàòü çíà÷åíèÿ èç ìíîæåñòâà N). Îáðàçóåì èç íåãî äâà íîâûõ

ïðåäëîæåíèÿ: «äëÿ ëþáîãî õ (èç N) õ – íå÷åòíîå ÷èñëî» è «ñóùå-

Кванторы

145

ñòâóåò õ (èç N) òàêîå, ÷òî õ – íå÷åòíîå ÷èñëî». Â ýòèõ äâóõ íîâûõ

ïðåäëîæåíèÿõ áóêâå õ óæå íåëüçÿ ïðèäàâàòü çíà÷åíèÿ, ò. å. îíà

ïåðåñòàëà áûòü ïåðåìåííîé â ïðåæíåì ñìûñëå. Ãîâîðÿò, ÷òî â ïåð-

âîì ïðåäëîæåíèè ïåðåìåííàÿ õ ñâÿçàíà êâàíòîðîì îáùíîñòè, à âî

âòîðîì – ïåðåìåííàÿ õ ñâÿçàíà êâàíòîðîì ñóùåñòâîâàíèÿ. Îáà íî-

âûõ ïðåäëîæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ âûñêàçûâàíèÿìè, ïðè÷åì ïåðâîå –

ëîæíûì, à âòîðîå – èñòèííûì.

S Çàìåòèì, ÷òî ýòè âûñêàçûâàíèÿ ìîæíî, ñîõðàíÿÿ ñìûñë, ïåðå-

ôîðìóëèðîâàòü, ñîâñåì íå èñïîëüçóÿ áóêâó õ: «âñÿêîå (íàòóðàëü-

íîå) ÷èñëî íå÷åòíî» è «ñóùåñòâóåò (íàòóðàëüíîå) íå÷åòíîå ÷èñëî».

Ïóñòü P – ïðîèçâîëüíîå ñâîéñòâî ýëåìåíòîâ íåêîòîðîãî ìíî-

æåñòâà M. Êàê îáû÷íî, îáîçíà÷èì ÷åðåç P(õ) ïðåäëîæåíèå (âûñêà-

çûâàòåëüíóþ ôîðìó) ñ îäíîé ïåðåìåííîé õ ïî ìíîæåñòâó M:

«õ îáëàäàåò ñâîéñòâîì P». Âûñêàçûâàíèå «äëÿ ëþáîãî õ P(õ)» íà-

çûâàþò ðåçóëüòàòîì ïðèìåíåíèÿ ê ïðåäëîæåíèþ P(õ) êâàíòîðà îá-

ùíîñòè ïî ïåðåìåííîé õ (ðåçóëüòàòîì ñâÿçûâàíèÿ ïåðåìåííîé õ

êâàíòîðîì îáùíîñòè). Òàêîå âûñêàçûâàíèå ñ÷èòàþò èñòèííûì òîãäà

è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå ýëåìåíòû èç M îáëàäàþò ñâîéñòâîì P.

Ñèìâîëè÷åñêè ìû çàïèñûâàåì òàêîå âûñêàçûâàíèå ñëåäóþùèì îá-

ðàçîì: (õ) P(õ). Çàìåòèì, ÷òî òîò æå ñìûñë è òî æå èñòèííîñòíîå

çíà÷åíèå èìååò âûñêàçûâàíèå «äëÿ ëþáîãî ó P(ó)», êàê, âïðî÷åì,

è âûñêàçûâàíèå, â êîòîðîì ñîâñåì íå èñïîëüçóþòñÿ ïåðåìåííûå:

«âñÿêèé ýëåìåíò èç M îáëàäàåò ñâîéñòâîì P».

Îáðàçóåì èç ïðåäëîæåíèÿ P(õ) äðóãîå âûñêàçûâàíèå: «ñóùå-

ñòâóåò õ òàêîå, ÷òî P(õ)» (â ñèìâîëè÷åñêîé çàïèñè (Еõ) P(õ)), êîòî-

ðîå ñ÷èòàþò èñòèííûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà õîòÿ áû îäèí

ýëåìåíò èç M îáëàäàåò ñâîéñòâîì P. Ýòî âûñêàçûâàíèå íàçûâàþò

ðåçóëüòàòîì ïðèìåíåíèÿ ê ïðåäëîæåíèþ P(õ) êâàíòîðà ñóùåñòâî-

âàíèÿ ïî ïåðåìåííîé

õ (ðåçóëüòàòîì ñâÿçûâàíèÿ ïåðåìåííîé õ êâàí-

òîðîì ñóùåñòâîâàíèÿ â ïðåäëîæåíèè P(õ)).

S Ñëîâà «äëÿ âñÿêîãî õ» íàçûâàþò (íåôîðìàëüíûì) êâàíòîðîì îá-

ùíîñòè ïî õ, à ñëîâà «ñóùåñòâóåò õ» – (íåôîðìàëüíûì) êâàíòîðîì

ñóùåñòâîâàíèÿ ïî õ.

Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðåäëîæåíèå (âûñêàçûâàòåëüíóþ ôîðìó) ñ

äâóìÿ íàòóðàëüíûìè ïåðåìåííûìè:

«õ ìåíüøå ó». (1)

Îáðàçóåì èç íåãî äâà íîâûõ ïðåäëîæåíèÿ:

«äëÿ âñÿêîãî ó ÷èñëî õ ìåíüøå ó», (2)

êîòîðîå áóäåì ñèìâîëè÷åñêè çàïèñûâàòü òàê: (ó) (õ < ó);

«ñóùåñòâóåò ó òàêîå, ÷òî õ ìåíüøå ó», (3)

êîòîðîå áóäåì ñèìâîëè÷åñêè çàïèñûâàòü òàê: (Еó)(õ < ó).

146

Â îòëè÷èå îò ïåðâîãî ïðåäëîæåíèÿ (1) â äâóõ íîâûõ ïðåäëîæå-

íèÿõ (2) è (3) çíà÷åíèÿ ìîæíî ïðèäàâàòü òîëüêî ïåðåìåííîé õ,

êîòîðóþ íàçûâàåò ñâîáîäíîé. Áóêâå ó óæå íåëüçÿ ïðèäàâàòü êàêèå-

ëèáî çíà÷åíèÿ, òàê êàê îíà ïåðåñòàëà áûòü ïåðåìåííîé â ïðåæíåì

ñìûñëå, ò. å. ñâîáîäíîé ïåðåìåííîé. Ïåðåìåííóþ ó â òàêèõ ñëó÷à-

ÿõ íàçûâàþò ñâÿçàííîé ïåðåìåííîé. Â ïðåäëîæåíèè (2) ïåðåìåí-

íàÿ ó ñâÿçàíà êâàíòîðîì îáùíîñòè, à â ïðåäëîæåíèè (3) ïåðåìåí-

íàÿ ó ñâÿçàíà êâàíòîðîì ñóùåñòâîâàíèÿ.

Ïóñòü P(õ, ó) – ïðîèçâîëüíîå ïðåäëîæåíèå ñ äâóìÿ ïåðåìåí-

íûìè ïî íåêîòîðîìó ìíîæåñòâó M. Îáîçíà÷èì ÷åðåç (õ) P(õ, ó)

ïðåäëîæåíèå «äëÿ ëþáîãî õ P(õ, ó)», èñòèííîå äëÿ òåõ è òîëüêî òåõ

ó èç M, äëÿ êîòîðûõ P(õ, ó) ïðèíèìàåò çíà÷åíèå È äëÿ êàæäîãî õ

èç M (âûïîëíÿåòñÿ P(õ, ó)). Ýòî ïðåäëîæåíèå èìååò òîëüêî îäíó

ñâîáîäíóþ ïåðåìåííóþ. Àíàëîãè÷íî ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé äëÿ

êâàíòîðà ñóùåñòâîâàíèÿ.

Â îáùåì ñëó÷àå, åñëè P(õ

, …, õ

, ó) – ïðåäëîæåíèå ñ ïåðåìåí-

íûìè õ

, …, õ

, ó (n  1), òî ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ ê íåìó êâàíòîðà

(îáùíîñòè èëè ñóùåñòâîâàíèÿ) ïî ïåðåìåííîé ó îïðåäåëÿåòñÿ àíà-

ëîãè÷íî. Îòìåòèì, ÷òî â ðåçóëüòàòå ñâÿçûâàíèÿ ïåðåìåííîé ó êâàí-

òîðîì ïîëó÷àåòñÿ ïðåäëîæåíèå ñ n ïåðåìåííûìè õ

, …, õ

S Çàìå÷àíèå. Êâàíòîð îáùíîñòè ðîäñòâåíåí êîíúþíêöèè â ñëå-

äóþùåì ñìûñëå. Åñëè M – êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, à P(õ) – íåêîòî-

ðîå ïðåäëîæåíèå ñ ïåðåìåííîé õ ïî ýòîìó ìíîæåñòâó, òî âûñêà-

çûâàíèå (õ) P(õ) èìååò òîò æå ñìûñë è òàêîå æå èñòèííîñòíîå çíà÷å-

íèå, ÷òî è âûñêàçûâàíèå P(a

) & P(a

) & … & P(a

), ãäå a

, …, a

–

ñïèñîê âñåõ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà M. Àíàëîãè÷íî, êâàíòîð ñóùå-

ñòâîâàíèÿ ðîäñòâåíåí äèçúþíêöèè: âûñêàçûâàíèå (Еõ) P(õ) èìååò

òîò æå ñìûñë è òàêîå æå èñòèííîñòíîå çíà÷åíèå, ÷òî è âûñêàçûâà-

íèå P(a

) ∨ P(a

) ∨ … ∨ P(a

), åñëè M = {a

, …, a

}. 

§ 3.2. ßçûê ëîãèêè ïðåäèêàòîâ§ 3.2. ßçûê ëîãèêè ïðåäèêàòîâ

§ 3.2. ßçûê ëîãèêè ïðåäèêàòîâ

è åãî ôðàãìåíòûè åãî ôðàãìåíòû

è åãî ôðàãìåíòû

Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîñòðîèòü ÿçûê ëîãèêè ïðåäèêà-

òîâ (ßËÏ), íåîáõîäèìî çàäàòü åãî àëôàâèò è ñôîðìóëèðîâàòü îï-

ðåäåëåíèå ôîðìóëû.

Àëôàâèò ßËÏ

: & ∨ ⊃ ¬ > ∃ ) ( , õ P f c.

Òåïåðü ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòíûì, ïî÷åìó äëÿ ñîêðàùåííîé ñèìâîëè÷åñêîé çàïèñè

ïðåäëîæåíèé âèäà «äëÿ ëþáîãî…» è «ñóùåñòâóåò…» áûëè èñïîëüçîâàíû ñèìâîëû,

îòëè÷àþùèåñÿ îò ñèìâîëîâ > è ∃, ôèãóðèðóþùèõ â êà÷åñòâå áóêâ àëôàâèòà ßËÏ.

147

Ëåâóþ ñêîáêó, ïðàâóþ ñêîáêó è çàïÿòóþ íàçûâàþò òåõíè÷åñêè-

ìè ñèìâîëàìè.

Ñëîâî âèäà



ðàç

(x...x)

áóäåì íàçûâàòü ïðåäìåòíîé ïåðåìåííîé è

îáîçíà÷àòü ÷åðåç õ

(n = 1, 2, …).

Ñëîâî âèäà



ðàç

ñ...ñ)

(

áóäåì íàçûâàòü ïðåäìåòíîé êîíñòàíòîé è

îáîçíà÷àòü ÷åðåç ñ

(n = 1, 2, …).

Ñëîâî âèäà



ðàç ðàç

(P...P P...P)

áóäåì íàçûâàòü n-ìåñòíûì ïðåäèêàò-

íûì ñèìâîëîì ñ íîìåðîì m è îáîçíà÷àòü ÷åðåç

(n, m = 1, 2, …).

Ñëîâî âèäà



ðàç ðàç

(f...f f...f )

áóäåì íàçûâàòü n-ìåñòíûì ôóíêöèîíàëüíûì

ñèìâîëîì ñ íîìåðîì m è îáîçíà÷àòü ÷åðåç

(n, m = 1, 2, …)

Òàêèì îáðàçîì, äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëó÷èòü áåñêîíå÷íîå (ñ÷åò-

íîå) ìíîæåñòâî ïðåäìåòíûõ ïåðåìåííûõ, ïðåäèêàòíûõ è ôóíêöè-

îíàëüíûõ ñèìâîëîâ è ïðåäìåòíûõ êîíñòàíò, äîñòàòî÷íî èñïîëüçî-

âàòü êîíå÷íûé àëôàâèò. ×àñòî áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ïðåäìåò-

íûõ ïåðåìåííûõ, ïðåäèêàòíûõ è ôóíêöèîíàëüíûõ ñèìâîëîâ è

ïðåäìåòíûõ êîíñòàíò ñðàçó âêëþ÷àþò â èñõîäíûå ñèìâîëû, èñ-

ïîëüçóÿ òåì ñàìûì áåñêîíå÷íûé àëôàâèò.

Ïðåæäå ÷åì ââîäèòü ïîíÿòèå ôîðìóëû ßËÏ,

ââåäåì ïîíÿòèå òåðìà. Òåðìû ñëóæàò ôîðìàëü-

íûìè àíàëîãàìè ìàòåìàòè÷åñêèõ âûðàæåíèé ñ

ïåðåìåííûìè èëè áåç íèõ.

Â ìàòåìàòèêå ìû ÷àñòî èìååì äåëî ñ òàêèìè âûðàæåíèÿìè,

êàê π, sin 1, 5

è ò. ï., êîòîðûå ñëóæàò èìåíàìè (îáîçíà÷åíèÿìè)

íåêîòîðûõ îáúåêòîâ (â äàííûõ ïðèìåðàõ – ÷èñåë). Êðîìå òîãî,

ñòîëü æå ÷àñòî ìû âñòðå÷àåì âûðàæåíèÿ, ïîñòðîåííûå èç ïåðå-

ìåííûõ è ïîñòîÿííûõ (êîíñòàíò) ñ ïîìîùüþ ñèìâîëîâ ôóíêöèé,

íàïðèìåð, òàêèå, êàê sin 3õ, õ

, (2õ + ó)

è ò. ï. Îáû÷íî ñ ïîìîùüþ

ïîäîáíûõ âûðàæåíèé çàäàþò ôóíêöèè, â ÷àñòíîñòè ôóíêöèè, êî-

òîðûå ÿâëÿþòñÿ ñóïåðïîçèöèåé áîëåå ïðîñòûõ ôóíêöèé. Ïðèäàâàÿ

Íà ñàìîì äåëå â äàëüíåéøåì ìû áóäåì, êàê îáû÷íî, èñïîëüçóÿ îáîçíà÷å-

íèÿ ïðåäìåòíûõ ïåðåìåííûõ, êîíñòàíò, ïðåäèêàòíûõ è ôóíêöèîíàëüíûõ ñèì-

âîëîâ, äëÿ êðàòêîñòè ãîâîðèòü ïðåäìåòíàÿ ïåðåìåííàÿ è ò. ä.

Термы ЯЛП

148

âõîäÿùèì â íèõ ïåðåìåííûì ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ èç îáëàñòè äî-

ïóñòèìûõ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, ìû áóäåì ïîëó÷àòü çíà÷åíèÿ ñà-

ìèõ âûðàæåíèé – èìåíà êîíêðåòíûõ îáúåêòîâ.

Èìåííîé ôîðìîé íàçûâàþò âñÿêîå âûðàæåíèå ñ ïåðåìåííûìè

ïî íåêîòîðîìó ìíîæåñòâó M, êîòîðîå ïðåâðàùàåòñÿ â èìÿ îáúåêòà

èç M, åñëè âñåì åãî ïåðåìåííûì ïðèñâîèòü çíà÷åíèÿ èç M.

S Òåðì (îò ëàò. terminus – «âûðàæåíèå») – âûðàæåíèå ßËÏ, ÿâëÿ-

þùååñÿ ôîðìàëüíûì àíàëîãîì èìåíè îáúåêòà èëè èìåííîé ôîð-

ìû. Ïðåäìåòíûå ïåðåìåííûå è êîíñòàíòû ÿâëÿþòñÿ ïðîñòåéøèìè

òåðìàìè. Áîëåå ñëîæíûå òåðìû ñòðîÿòñÿ èç ïåðåìåííûõ è êîí-

ñòàíò ñ ïîìîùüþ ôóíêöèîíàëüíûõ ñèìâîëîâ. Òåðì îïðåäåëÿþò

èíäóêòèâíî ñëåäóþùèì îáðàçîì.

Îïðåäåëåíèå òåðìà:

1. Âñÿêàÿ ïðåäìåòíàÿ ïåðåìåííàÿ õ

è âñÿêàÿ ïðåäìåòíàÿ êîí-

ñòàíòà ñ

åñòü òåðì.

2. Åñëè ñëîâà t

, ..., t

– òåðìû, à

– n-ìåñòíûé ôóíêöèî-

íàëüíûé ñèìâîë, òî ñëîâî

, ..., t

) – òåðì.

3. Ñëîâî â àëôàâèòå ßËÏ ÿâëÿåòñÿ òåðìîì òîãäà è òîëüêî òîã-

äà, êîãäà ýòî ìîæåò áûòü îáîñíîâàíî ñ ïîìîùüþ ï. 1 è 2.

Ïðèìåðû.

1. Ñëåäóþùèå ñëîâà ÿâëÿþòñÿ òåðìàìè ßËÏ

121

(())

ffx

1212

(,, )

fxcx

1512234

(,, (, ),)

fxñfxxc

2. Ñëîâà

121

(())

PPx

21 1

111 21

((),())

fPx Pc

íå ÿâëÿþòñÿ òåðìàìè

ßËÏ.



★ Ïóñòü P – íåêîòîðîå ñâîéñòâî òåðìîâ ßËÏ. Åñëè òðåáóåòñÿ

äîêàçàòü, ÷òî âñå òåðìû ßËÏ îáëàäàþò ñâîéñòâîì P, óäîáíî èñ-

ïîëüçîâàòü ñëåäóþùèé ïðèíöèï (äîêàçàòü êîòîðûé ìîæíî èí-

äóêöèåé ïî ÷èñëó âõîæäåíèé â òåðì ôóíêöèîíàëüíûõ ñèìâîëîâ).

ÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ (ïðèíöèï èíäóêöèè äëÿ òåðìîâ ßËÏ).

Åñëè 1) âñÿêàÿ ïðåäìåòíàÿ ïåðåìåííàÿ è âñÿêàÿ ïðåäìåòíàÿ êîí-

ñòàíòà îáëàäàþò ñâîéñòâîì P;

Çäåñü ñèìâîë «,» (çàïÿòàÿ) âûñòóïàåò â ðàçíûõ êà÷åñòâàõ: â çàïèñè

21 2

(,, )

fxcx

ýòîò ñèìâîë èñïîëüçóåòñÿ êàê äåâÿòàÿ áóêâà àëôàâèòà ßËÏ; âìå-

ñòå ñ òåì ýòîò æå ñèìâîë èñïîëüçóåòñÿ êàê îáû÷íàÿ çàïÿòàÿ ìåòàÿçûêà (åñòå-

ñòâåííîãî ÿçûêà ñ ìàòåìàòè÷åñêèìè òåðìèíàìè è ñèìâîëàìè).

149

2) êàêîâû áû íè áûëè íàòóðàëüíûå m è n, äëÿ ëþáûõ òåðìîâ

, ..., t

, îáëàäàþùèõ ñâîéñòâîì P, è n-ìåñòíîãî ôóíêöèîíàëü-

íîãî ñèìâîëà

òåðì

, ..., t

) òàêæå îáëàäàåò ñâîéñòâîì P,

òî âñÿêèé òåðì ßËÏ îáëàäàåò ñâîéñòâîì P.

✰

Ôîðìóëû ßËÏ ÿâëÿþòñÿ ôîðìàëüíûìè àíàëî-

ãàìè ïðåäëîæåíèé ñ ïåðåìåííûìè èëè áåç íèõ

(ò. å. âûñêàçûâàòåëüíûõ ôîðì è âûñêàçûâàíèé). Îïðåäåëåíèå ôîð-

ìóëû ßËÏ òàêæå íîñèò èíäóêòèâíûé õàðàêòåð.

Îïðåäåëåíèå ôîðìóëû ßËÏ:

1. Åñëè t

, …, t

– òåðìû, à

– n-ìåñòíûé ïðåäèêàòíûé ñèì-

âîë, òî

, …, t

) – ôîðìóëà ßËÏ (åå íàçûâàþò òàêæå ýëå-

ìåíòàðíîé ôîðìóëîé ßËÏ).

2. Ïóñòü À è Â – ïðîèçâîëüíûå ñëîâà â àëôàâèòå ßËÏ.

2.1. Åñëè À è Â – ôîðìóëû ßËÏ, òî ñëîâà (À & Â), (À ∨ Â), (À ⊃ Â),

(¬À) – ôîðìóëû ßËÏ.

2.2. Åñëè À – ôîðìóëà ßËÏ, à õ

– ïðåäìåòíàÿ ïåðåìåííàÿ,

òî ñëîâà (>õ

À), (∃õ

À) – ôîðìóëû ßËÏ.

3. Ñëîâî â àëôàâèòå ßËÏ ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëîé òîãäà è òîëüêî

òîãäà, êîãäà ýòî ìîæåò áûòü îáîñíîâàíî ñ ïîìîùüþ ï. 1 è 2.

Â äàëüíåéøåì â ãë. 3 è 4, åñëè ýòî íå áóäåò âûçûâàòü íåäîðàçó-

ìåíèé, èíîãäà áóäåì èñïîëüçîâàòü âìåñòî ñëîâ «ôîðìóëà ßËÏ»

ïðîñòî ñëîâî «ôîðìóëà», à âìåñòî ñëîâ «ïðåäìåòíàÿ ïåðåìåííàÿ»

ïðîñòî ñëîâî «ïåðåìåííàÿ».

Ïðèìåðû.

1. Ñëåäóþùèå ñëîâà ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëàìè ßËÏ:

1212

(,, )

Pxcx

31 2

113 3212

((),, (,))

Pfx cfcx

11 1 2 2 1 2

(( ( )) ( ( , )))

xP x xP c x

∃∀∨

Çàìåòèì, ÷òî ýòèì ôîðìóëàì ìîæíî ïðèäàòü ñìûñë, ïðè÷åì íå

åäèíñòâåííûì îáðàçîì (ñì. äàëåå § 3.3).

2. Ñëîâà

21 1

111 21

((), ())

fPx Pc

112 11

(, )& ()

fxx fc

112

(, )

xf x x

∀

íå

ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëàìè ßËÏ. Ýòèì ñëîâàì íåâîçìîæíî åñòåñòâåí-

íûì îáðàçîì ïðèäàòü êàêîé-ëèáî ñìûñë.



S Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ÿçûê ëîãèêè ïðåäèêàòîâ ðàçðåøèì, ò. å.

ñóùåñòâóåò àëãîðèòì, ïîçâîëÿþùèé ïî ïðîèçâîëüíîìó ñëîâó â àë-

ôàâèòå ßËÏ âûÿñíèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè îíî ôîðìóëîé ßËÏ.

Формулы ЯЛП

150

Ïóñòü P – íåêîòîðîå ñâîéñòâî ôîðìóë ßËÏ. Åñëè òðåáóåòñÿ

äîêàçàòü, ÷òî âñå ôîðìóëû ßËÏ îáëàäàþò ñâîéñòâîì P, óäîáíî

èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèé ïðèíöèï (äîêàçàòü êîòîðûé ìîæíî èí-

äóêöèåé ïî ÷èñëó âõîæäåíèé ñâÿçîê è êâàíòîðîâ â ôîðìóëó).

ÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ (ïðèíöèï èíäóêöèè äëÿ ôîðìóë ßËÏ).

Åñëè 1) âñÿêàÿ ýëåìåíòàðíàÿ ôîðìóëà îáëàäàåò ñâîéñòâîì P;

2) äëÿ ëþáûõ ôîðìóë À è Â, îáëàäàþùèõ ñâîéñòâîì P, è ëþ-

áîé ïðåäìåòíîé ïåðåìåííîé õ

ôîðìóëû (À & B), (À ∨ B),

(À ⊃ B), (¬À), (>õ

À), (∃õ

À) òàêæå îáëàäàþò ñâîéñòâîì P,

òî âñÿêàÿ ôîðìóëà ßËÏ îáëàäàåò ñâîéñòâîì P.

Äëÿ ëþáûõ ôîðìóë À è Â ôîðìóëó ((A ⊃ B) & (B ⊃ À)) áóäåì

îáîçíà÷àòü ÷åðåç À

Â è íàçûâàòü ýêâèâàëåíöèåé ôîðìóë À è Â.

S Ïðè çàïèñè ôîðìóë ßËÏ ïðèíÿòî îïóñêàòü íåêîòîðûå ñêîáêè.

Äîãîâîðåííîñòü îá ýêîíîìèè ñêîáîê îñíîâûâàåòñÿ íà ñëåäóþùåì

óïîðÿäî÷åíèè êâàíòîðîâ è ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ñâÿçîê ïî óáûâà-

íèþ èõ ñèëû: >, ∃, ¬, &, ∨, ⊃,

. Êðîìå òîãî, ïðèíÿòî îïóñêàòü

âíåøíèå ñêîáêè. Ñêîáêè, îïóùåííûå â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòîé äîãî-

âîðåííîñòüþ, ìîãóò áûòü îäíîçíà÷íî âîññòàíîâëåíû.

Ïðîèçâîëüíûå ïðåäìåòíûå ïåðåìåííûå áóäåì èíîãäà îáîçíà÷àòü

áóêâàìè x, y, z, âîçìîæíî ñ èíäåêñàìè; ïðîèçâîëüíûå ïðåäèêàòíûå

ñèìâîëû – áóêâàìè P, Q, R, âîçìîæíî ñ èíäåêñàìè; ïðîèçâîëüíûå

ôóíêöèîíàëüíûå ñèìâîëû – áóêâàìè f, g, h, âîçìîæíî ñ èíäåêñàìè.

Â ôîðìóëàõ (>õ

À) è (∃õ

À) ñî÷åòàíèÿ ñèìâîëîâ >õ

è ∃õ

íàçû-

âàþò ñîîòâåòñòâåííî êâàíòîðîì îáùíîñòè è êâàíòîðîì ñóùå-

ñòâîâàíèÿ ïî ïåðåìåííîé õ

, à ôîðìóëó À íàçûâàþò îáëàñòüþ

äåéñòâèÿ óêàçàííîãî âõîæäåíèÿ êâàíòîðîâ >õ

è ∃õ

. ✰

Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå íà÷àëî ñëîâà,

ñòîÿùåãî ñïðàâà îò âõîæäåíèÿ êâàíòîðà >õ

(èëè ∃õ

), êîòîðîå ÿâëÿ-

åòñÿ ôîðìóëîé. Ýòà ôîðìóëà è åñòü îáëàñòü äåéñòâèÿ äàííîãî âõîæ-

äåíèÿ êâàíòîðà.

Óòî÷íèòü ïîíÿòèå îáëàñòè äåéñòâèÿ âõîæäåíèÿ êâàíòîðà â ôîð-

ìóëó ìîæíî ñëåäóþùèì îáðàçîì.

★ Ïóñòü À – ôîðìóëà ßËÏ, â êîòîðîé ôèêñèðîâàíî íåêîòîðîå

âõîæäåíèå êâàíòîðà Q: À



ÕQõ

Y, ãäå Õ, Y – ñëîâà â àëôàâèòå

ßËÏ (Õ ìîæåò áûòü ïóñòûì), Q åñòü > èëè ∃. Ìîæíî äîêàçàòü

(îñòàâëÿåì ýòî çàèíòåðåñîâàííîìó ÷èòàòåëþ), ÷òî ñóùåñòâóåò è

ïðèòîì åäèíñòâåííîå íà÷àëî ñëîâà Y, ÿâëÿþùååñÿ ôîðìóëîé.

Èìåííî îíî è íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ äåéñòâèÿ äàííîãî âõîæäå-

íèÿ êâàíòîðà Q ïî ïåðåìåííîé õ

â ôîðìóëó À. ✰