Лекции - Математическая логика

Подождите немного. Документ загружается.

Тимофеева И. Л.

Математическая логика. Курс лекций: Учеб. пособие для

студентов вузов / И. Л. Тимофеева. — 2-е изд., перераб. — М.:

КДУ, 2007. — 304 с.

ISBN 978-5-98227-307-9

Пособие написано в соответствии с действующей программой

по математической логике для педагогических вузов. Рассмотрены

следующие темы: язык логики высказываний, исчисления выска-

зываний, язык логики предикатов, исчисления предикатов, тео-

рии первого порядка. Центральное место занимает изложение ос-

нов теории доказательств. Отдельный раздел посвящен проблемам

оснований математики.

Курс лекций предназначен для студентов математических фа-

культетов педвузов, изучающих математическую логику, а также

для преподавателей, читающих лекционный курс и ведущих прак-

тические занятия по математической логике.

УДК 510.6(075.8)

ББК 22.12я73

Т41

УДК 510.6(075.8)

ББК 22.12я73

Т41

ISBN 978-5-98227-307-9

«Мир и Образование», 2007

Научный редактор:

Матросов В. Л. — акад. РАО, член-корр. РАН,

докт. физ.-мат. наук, проф.

Рецензенты:

Гладкий А. В. — докт. физ.-мат. наук, проф.;

Кабаков Ф. А. — канд. физ.-мат. наук, доц.;

Плиско В. Е. — канд. физ.-мат. наук, доц.

ÎãëàâëåíèåÎãëàâëåíèå

Îãëàâëåíèå

Ïðåäèñëîâèå ..................................................................................... 5

Ââåäåíèå ........................................................................................... 8

Íåêîòîðûå ÷àñòî èñïîëüçóåìûå îáîçíà÷åíèÿ ............................... 11

Ãëàâà 1. ßçûê ëîãèêè âûñêàçûâàíèé ................................................ 12

§ 1.1. Âûñêàçûâàíèÿ è îïåðàöèè íàä íèìè ............................. 12

§ 1.2. Ôîðìóëû ÿçûêà ëîãèêè âûñêàçûâàíèé .......................... 16

§ 1.3. Ôîðìóëû è èñòèííîñòíûå ôóíêöèè ............................... 23

§ 1.4. Òàâòîëîãèè......................................................................... 30

§ 1.5. Ðàâíîñèëüíûå ôîðìóëû ................................................... 33

§ 1.6. Ñåìàíòè÷åñêîå ñëåäîâàíèå .............................................. 37

§ 1.7. Ðàçðåøèìîñòü ÿçûêà ëîãèêè âûñêàçûâàíèé .................. 40

Ãëàâà 2. Èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. Ïðîïîçèöèîíàëüíûå

ñèñòåìû åñòåñòâåííîãî âûâîäà ......................................................... 43

§ 2.1. Ëîãè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà ìàòåìàòè÷åñêèõ äîêàçàòåëüñòâ ... 43

§ 2.2. Ïðàâèëà çàêëþ÷åíèÿ ........................................................ 49

§ 2.3. Äåðåâüÿ ôîðìóë ................................................................ 53

§ 2.4. Äåðåâüÿ âûâîäà ................................................................. 56

§ 2.5. Îòíîøåíèå N

-âûâîäèìîñòè ........................................... 67

§ 2.6. Ïðèíöèï èíäóêöèè äëÿ äåðåâüåâ âûâîäà ....................... 77

§ 2.7. Õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåì åñòåñòâåííîãî âûâîäà .............. 90

§ 2.8. Ïðîèçâîäíûå è äîïóñòèìûå ïðàâèëà.............................. 98

§ 2.9. Äåäóêòèâíàÿ ïîëíîòà ........................................................ 107

§ 2.10. Ñõåìû äîêàçàòåëüñòâà îò ïðîòèâíîãî

è ïðèâåäåíèåì ê íåëåïîñòè ........................................... 109

§ 2.11. Èíòåðïðåòàöèè ÿçûêà ëîãèêè âûñêàçûâàíèé .............. 115

§ 2.12. Íåçàâèñèìîñòü ïðàâèë çàêëþ÷åíèÿ .............................. 122

§ 2.13. Èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé ãèëüáåðòîâñêîãî òèïà ...... 133

Ãëàâà 3. ßçûê ëîãèêè ïðåäèêàòîâ .................................................... 140

§ 3.1. Ïðåäèêàòû è âûñêàçûâàòåëüíûå ôîðìû ........................ 141

§ 3.2. ßçûê ëîãèêè ïðåäèêàòîâ è åãî ôðàãìåíòû .................... 146

§ 3.3. Èíòåðïðåòàöèè ÿçûêà ëîãèêè ïðåäèêàòîâ ..................... 156

§ 3.4. Îáùåçíà÷èìûå è âûïîëíèìûå ôîðìóëû ....................... 165

§ 3.5. Ñðàâíåíèå ôîðìóë ïî ñèëå. Ðàâíîñèëüíûå ôîðìóëû ... 174

§ 3.6. Ñåìàíòè÷åñêîå ñëåäîâàíèå â ëîãèêå ïðåäèêàòîâ........... 180

§ 3.7. Ïðèëîæåíèå ëîãèêè ïðåäèêàòîâ ê èññëåäîâàíèþ

ìàòåìàòè÷åñêèõ ðàññóæäåíèé ......................................... 184

§ 3.8. Ïðîáëåìà îáùåçíà÷èìîñòè â ëîãèêå ïðåäèêàòîâ .......... 188

Ãëàâà 4. Èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ. Ïðåäèêàòíûå ñèñòåìû

åñòåñòâåííîãî âûâîäà ........................................................................ 190

§ 4.1. Êâàíòîðíûå ïðàâèëà çàêëþ÷åíèÿ ................................... 190

§ 4.2. Îïðåäåëåíèå äåðåâà PN-âûâîäà ...................................... 195

§ 4.3. Îòíîøåíèå PN-âûâîäèìîñòè è åãî ñâîéñòâà ................ 198

§ 4.4. Ïðèíöèï èíäóêöèè äëÿ PN-âûâîäîâ ............................. 203

§ 4.5. Îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè ïðåäèêàòíûõ ñèñòåì ............ 208

§ 4.6. Èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ ãèëüáåðòîâñêîãî òèïà.............. 214

§ 4.7. Àíàëèç ëîãè÷åñêîé ñòðóêòóðû äîêàçàòåëüñòâ ................. 215

Ãëàâà 5. Òåîðèè ïåðâîãî ïîðÿäêà ..................................................... 218

§ 5.1. Àêñèîìàòè÷åñêèå ìàòåìàòè÷åñêèå òåîðèè...................... 218

§ 5.2. Òåîðèè ïåðâîãî ïîðÿäêà .................................................. 220

§ 5.3. Ìîäåëè òåîðèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ..................................... 232

§ 5.4. Õàðàêòåðèñòèêè òåîðèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ....................... 236

§ 5.5. Òåîðèè ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ðàâåíñòâîì ........................... 241

§ 5.6. Ôîðìàëüíàÿ àðèôìåòèêà ................................................. 246

§ 5.7. Ýëåìåíòàðíàÿ òåîðèÿ ZF ................................................. 262

Ãëàâà 6. Ïðîáëåìû îñíîâàíèé ìàòåìàòèêè ...................................... 273

§ 6.1. Ïàðàäîêñû òåîðèè ìíîæåñòâ ........................................... 273

§ 6.2. Êðèçèñ îñíîâàíèé ìàòåìàòèêè ....................................... 278

§ 6.3. Ïðîãðàììà Ãèëüáåðòà îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè ........... 283

§ 6.4. Èíòóèöèîíèçì. Êîíñòðóêòèâèçì .................................... 288

Ëèòåðàòóðà ........................................................................................ 294

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü ..................................................................... 295

Óêàçàòåëü îáîçíà÷åíèé è ñèìâîëîâ ................................................ 300

Èìåííîé óêàçàòåëü .......................................................................... 302

ÏðåäèñëîâèåÏðåäèñëîâèå

Ïðåäèñëîâèå

Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà áîëåå 30 ëåò âõîäèò â

÷èñëî îñíîâíûõ êóðñîâ ìàòåìàòè÷åñêèõ ôàêóëüòåòîâ îòå÷åñòâåí-

íûõ ïåäâóçîâ. Íà ìàòåìàòè÷åñêîì ôàêóëüòåòå ÌÏÃÓ ýòîò êóðñ

÷èòàåòñÿ ïî÷òè 50 ëåò. Ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè îí ñòàë íåîòúåìëå-

ìîé ÷àñòüþ ïîäãîòîâêè áóäóùèõ ó÷èòåëåé ìàòåìàòèêè.

Íåõâàòêà ðàçíûõ ó÷åáíûõ ïîñîáèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå

äëÿ ïåäâóçîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîâðåìåííîé ïðîãðàììå ýòîãî êóðñà,

ñîçäàåò îïðåäåëåííûå òðóäíîñòè ñòóäåíòàì ïðè îâëàäåíèè ó÷åá-

íûì ìàòåðèàëîì, à ïðåïîäàâàòåëÿì – ïðè ÷òåíèè ëåêöèé è ïðîâå-

äåíèè ïðàêòè÷åñêèõ çàíÿòèé ïî ýòîìó ïðåäìåòó.

Â äàííîì ïîñîáèè èçëîæåíû òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû ìàòåìàòè÷åñ-

êîé ëîãèêè â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèìåðíîé ïðîãðàììîé ýòîé äèñöèïëè-

íû, óòâåðæäåííîé Ìèíèñòåðñòâîì îáðàçîâàíèÿ è íàóêè ÐÔ (2004 ã.).

Ïðè åãî íàïèñàíèè èñïîëüçîâàíû ìàòåðèàëû ëåêöèé è ïðàêòè÷åñ-

êèõ çàíÿòèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå, ïðîâîäèìûõ àâòîðîì íà ìà-

òåìàòè÷åñêîì ôàêóëüòåòå ÌÏÃÓ â òå÷åíèå äâàäöàòè ëåò.

Ïîñîáèå ñîäåðæèò øåñòü ãëàâ: ÿçûê ëîãèêè âûñêàçûâàíèé, èñ-

÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé, ÿçûê ëîãèêè ïðåäèêàòîâ, èñ÷èñëåíèÿ

ïðåäèêàòîâ, òåîðèè ïåðâîãî ïîðÿäêà è ïðîáëåìû îñíîâàíèé ìàòå-

ìàòèêè. Øåñòàÿ ãëàâà ïîñîáèÿ, ïîñâÿùåííàÿ ïðîáëåìàì îñíîâà-

íèé ìàòåìàòèêè, èãðàåò îñîáóþ â ìåòîäîëîãè÷åñêîì îòíîøåíèè

ðîëü.

Îñíîâû òåîðèè äîêàçàòåëüñòâ çàíèìàþò öåíòðàëüíîå ìåñòî â

êóðñå ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè. Ïîýòîìó çíà÷èòåëüíîå âíèìàíèå

óäåëÿåòñÿ ëîãè÷åñêèì ñèñòåìàì (èñ÷èñëåíèÿì), ñðåäñòâàìè êîòî-

ðûõ îñóùåñòâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîå óòî÷íåíèå ïîíÿòèÿ äîêàçàòåëü-

ñòâà. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì òåìû, ïîñâÿùåííûå ëîãè÷åñêèì èñ-

÷èñëåíèÿì, ïðåäñòàâëåíû â ïîñîáèè áîëåå ïîäðîáíî, ÷åì äðóãèå

òåìû. Âî âòîðîé ãëàâå íàðÿäó ñ êëàññè÷åñêèì èñ÷èñëåíèåì âûñêà-

çûâàíèé ðàññìàòðèâàåòñÿ èíòóèöèîíèñòñêîå èñ÷èñëåíèå.

Îñîáåííîñòüþ äàííîãî ïîñîáèÿ ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî â ðàçäåëàõ,

ïîñâÿùåííûõ ëîãè÷åñêèì èñ÷èñëåíèÿì, çà îñíîâó âçÿòû ñèñòåìû

åñòåñòâåííîãî (íàòóðàëüíîãî) âûâîäà. Îñòàíîâèìñÿ áîëåå ïîäðîá-

íî íà ñîîáðàæåíèÿõ, îïðåäåëèâøèõ âûáîð â ïîëüçó ñèñòåì åñòå-

ñòâåííîãî âûâîäà ïðè èçëîæåíèè òåîðèè äîêàçàòåëüñòâ.

Ìàòåìàòè÷åñêîå óòî÷íåíèå ïîíÿòèÿ äîêàçàòåëüñòâà â ìàòåìà-

òèêå ÿâëÿåòñÿ ïåðâîî÷åðåäíîé çàäà÷åé òåîðèè äîêàçàòåëüñòâ, ïðåä-

ñòàâëÿþùåé ñîáîé îñíîâíîé ðàçäåë ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè.

Â ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå ðàçðàáîòàíî äâà îñíîâíûõ òèïà ìàòåìà-

òè÷åñêîãî óòî÷íåíèÿ ïîíÿòèÿ äîêàçàòåëüñòâà â ìàòåìàòèêå. Óòî÷-

íåíèÿ ïåðâîãî òèïà ñâÿçàíû ñ èìåíåì Ä. Ãèëüáåðòà è ïðåäñòàâëÿ-

þò ñîáîé ëèíåéíûå âûâîäû â ëîãè÷åñêèõ àêñèîìàòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ –

ñèñòåìàõ ãèëüáåðòîâñêîãî òèïà. Èìåííî íà áàçå òàêèõ ñèñòåì òðà-

äèöèîííî èçëàãàåòñÿ òåîðèÿ äîêàçàòåëüñòâ. Óòî÷íåíèÿ âòîðîãî òèïà

ïðèíàäëåæàò Ã. Ãåíöåíó è ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé âûâîäû â âèäå äåðå-

âà â ñèñòåìàõ åñòåñòâåííîãî âûâîäà.

Èçëîæåíèå îñíîâ òåîðèè äîêàçàòåëüñòâ íà áàçå åñòåñòâåííîãî

âûâîäà èìååò ðÿä äèäàêòè÷åñêèõ ïðåèìóùåñòâ ïî ñðàâíåíèþ ñ òðà-

äèöèîííûì åãî èçëîæåíèåì íà áàçå ëîãè÷åñêèõ èñ÷èñëåíèé ãèëü-

áåðòîâñêîãî òèïà:

– åñòåñòâåííîñòü è àäåêâàòíîñòü òîé ìîäåëè ðåàëüíûõ ìàòå-

ìàòè÷åñêèõ äîêàçàòåëüñòâ, êîòîðóþ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé äåðåâüÿ

åñòåñòâåííîãî âûâîäà;

– øèðîêèå ýâðèñòè÷åñêèå âîçìîæíîñòè, êîòîðûìè îáëàäàþò

ïðàâèëà âûâîäà, ïîñòóëèðóåìûå â ñèñòåìàõ åñòåñòâåííîãî âûâîäà;

– íàãëÿäíîñòü îòðàæåíèÿ ëîãè÷åñêîé ñòðóêòóðû âûâîäà â âèäå

äåðåâà;

– ïðîñòîòà ïîñòðîåíèÿ äåðåâüåâ åñòåñòâåííîãî âûâîäà, âîç-

ìîæíîñòü ïîñòðîåíèÿ ïðîñòûõ äåðåâüåâ âûâîäà äàæå â òåõ ñëó÷àÿõ,

êîãäà ïîñòðîåíèå ëèíåéíîãî âûâîäà â ãèëüáåðòîâñêèõ ñèñòåìàõ

ïðàêòè÷åñêè íåîñóùåñòâèìî â ðàìêàõ ó÷åáíîãî ïðîöåññà.

Ïðèíöèïèàëüíî âàæíûì äëÿ ñòóäåíòîâ ïåäâóçîâ – áóäóùèõ ó÷è-

òåëåé ìàòåìàòèêè – ÿâëÿåòñÿ èçó÷åíèå íàèáîëåå àäåêâàòíîé, íà-

ãëÿäíîé è ïðîñòîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ðåàëüíûõ ìàòåìàòè÷åñ-

êèõ äîêàçàòåëüñòâ. Òàêèå ìîäåëè ïðåäîñòàâëÿþò ãåíöåíîâñêèå ñè-

ñòåìû åñòåñòâåííîãî âûâîäà.

Åñòåñòâåííûé âûâîä ÿâíî íåäîîöåíåí â ïðåïîäàâàíèè ìàòåìà-

òè÷åñêîé ëîãèêè. È ýòî îñîáåííî äîñàäíî, êîãäà ðå÷ü èäåò î ïðå-

ïîäàâàíèè åå áóäóùèì ó÷èòåëÿì ìàòåìàòèêè. Æåëàíèå èñïðàâèòü

ñèòóàöèþ è ïðèâåëî ê íàïèñàíèþ ýòîãî ïîñîáèÿ.

Ýòî ïîñîáèå ïðåäîñòàâëÿåò ïðåïîäàâàòåëþ (îñîáåííî íà÷èíà-

þùåìó), ÷èòàþùåìó êóðñ ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, âîçìîæíîñòü

âûáîðà, êàêîé òèï ôîðìàëèçàöèè áðàòü çà îñíîâó ïîñòðîåíèÿ

êóðñà.

Ïîñîáèå ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî òàêæå, êîãäà èçëîæåíèå

îñíîâ òåîðèè äîêàçàòåëüñòâ ñòðîèòñÿ òðàäèöèîííûì îáðàçîì íà

áàçå ãèëüáåðòîâñêèõ èñ÷èñëåíèé. Ýòè ñèñòåìû ðàññìîòðåíû â

§ 2.13 è 4.6. Ãëàâû, ïîñâÿùåííûå ÿçûêàì ëîãèêè âûñêàçûâàíèé è

ëîãèêè ïðåäèêàòîâ, ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðè ëþáîì ïîäõîäå ê èç-

ëîæåíèþ îñíîâ òåîðèè äîêàçàòåëüñòâ.

Â 2002 ã. áûëî èçäàíî ïîñîáèå àâòîðà «Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà

â âîïðîñàõ è çàäà÷àõ» (Ì., ÌÏÃÓ, 2002), ñîäåðæàùåå áîëüøîé

íàáîð çàäà÷ äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ çàíÿòèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå.

Èñïîëüçîâàíèå ýòîãî ñáîðíèêà çàäà÷ â ñî÷åòàíèè ñ äàííûì ïîñî-

áèåì áóäåò ñïîñîáñòâîâàòü áîëåå ýôôåêòèâíîìó óñâîåíèþ ñòóäåí-

òàìè êóðñà ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè.

* * *

Õî÷ó âûðàçèòü áëàãîäàðíîñòü âñåì, êòî îêàçàë ïîìîùü â ïîä-

ãîòîâêå ýòîãî ïîñîáèÿ ê èçäàíèþ. Ñàìóþ ãëóáîêóþ áëàãîäàðíîñòü

âûðàæàþ ìîåìó ó÷èòåëþ Ôåëèêñó Àëåêñàíäðîâè÷ó Êàáàêîâó, îá-

ùåíèå ñ êîòîðûì íà ïðîòÿæåíèè ìíîãèõ ëåò ñîâìåñòíîé ðàáîòû

íà êàôåäðå ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ÌÏÃÓ îêàçàëî îãðîìíîå âëè-

ÿíèå íà ñòèëü èçëîæåíèÿ è ñîäåðæàíèå íåêîòîðûõ ðàçäåëîâ ýòîãî

ïîñîáèÿ. Èñêðåííå áëàãîäàðþ Ã. Í. Áîðèñîâó, À. Þ. Âåéö,

Å. Â. Ëóêüÿíîâó, È. Å. Ñåðãååâó, Ñ. Â. Õîõëîâà çà áîëüøóþ ïî-

ìîùü â ðàáîòå íàä ðóêîïèñüþ ïîñîáèÿ.

Àâòîð

ÂâåäåíèåÂâåäåíèå

Ââåäåíèå

Ïðè èçó÷åíèè íîâîãî êóðñà ïðåæäå âñåãî âîç-

íèêàþò âîïðîñû: ÷òî ïðåäñòîèò èçó÷èòü â ýòîì êóðñå, êàê è çà÷åì

ýòî íóæíî èçó÷àòü?

Ñíà÷àëà âûÿñíèì, ÷òî èçó÷àåò ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà. Ïðåä-

ìåò èçó÷åíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè âåñüìà íåîáû÷åí – ýòî ìàòå-

ìàòè÷åñêèå ðàññóæäåíèÿ, äîêàçàòåëüñòâà è òåîðèè.

Çäåñü âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ìàòåìàòèêà – íàóêà äåäóêòèâíàÿ (îò

ëàò. deductio – «âûâåäåíèå»). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îñíîâíûì ìåòîäîì

îáîñíîâàíèÿ çíàíèé â ìàòåìàòèêå ÿâëÿåòñÿ âûâåäåíèå îäíèõ óò-

âåðæäåíèé èç äðóãèõ. Ïðè÷åì ýòî âûâåäåíèå ïðîèñõîäèò ïî ÷åò-

êèì ïðàâèëàì, îáåñïå÷èâàþùèì äîñòîâåðíîñòü âûâîäîâ ïðè óñëî-

âèè, ÷òî èñõîäíûå óòâåðæäåíèÿ áûëè äîñòîâåðíûìè. Ýòî îòëè÷àåò

ìàòåìàòèêó îò äðóãèõ íàóê, â êîòîðûõ øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ èí-

äóêòèâíûå ðàññóæäåíèÿ è òàêèå ìåòîäû, êàê ýêñïåðèìåíò, íàáëþ-

äåíèå è ò.ï.

Ñïðàâåäëèâûìè â ìàòåìàòèêå ïðèçíàþò òîëüêî òå óòâåðæäåíèÿ,

êîòîðûå îáîñíîâàíû ñ ïîìîùüþ äåäóêòèâíûõ ðàññóæäåíèé. Âñå èí-

òóèòèâíî ïîëó÷åííûå â ïðîöåññå ìàòåìàòè÷åñêîãî òâîð÷åñòâà ðå-

çóëüòàòû, ñôîðìóëèðîâàííûå â âèäå óòâåðæäåíèé, çàòåì îáÿçàòåëü-

íî îáîñíîâûâàþò ñ ïîìîùüþ äåäóêòèâíûõ ðàññóæäåíèé. Èìåííî

äåäóêòèâíûå ðàññóæäåíèÿ è áóäóò ïðåäìåòîì íàøåãî èçó÷åíèÿ.

Äåäóêòèâíûå ðàññóæäåíèÿ â ìàòåìàòèêå âûñòðàèâàþò â äîêà-

çàòåëüñòâà â ðàìêàõ ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé. Òà-

êèì îáðàçîì, èìåííî ìàòåìàòè÷åñêèå äîêàçàòåëüñòâà è ìàòåìàòè-

÷åñêèå òåîðèè ÿâëÿþòñÿ ïðåäìåòîì èçó÷åíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ëî-

ãèêè, òî÷íåå, åå îñíîâíîãî ðàçäåëà – òåîðèè äîêàçàòåëüñòâ.

Âòîðîé åñòåñòâåííî âîçíèêàþùèé âîïðîñ: êàê, êàêèì îáðàçîì

îñóùåñòâëÿåòñÿ èçó÷åíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ ðàññóæäåíèé? Ïîñêîëü-

êó ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà – ýòî îáëàñòü ìàòåìàòèêè, òî îíà ïîëüçó-

åòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèìè ñðåäñòâàìè è ìåòîäàìè.

Èòàê, êðàòêî ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà èçó-

÷àåò ìàòåìàòè÷åñêèå ðàññóæäåíèÿ, ïîëüçóÿñü ìàòåìàòè÷åñêèìè ìå-

òîäàìè.

Îñíîâíûì ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ôîð-

ìàëèçàöèè, èìåþùèé ðåøàþùåå çíà÷åíèå â ðàçâèòèè ìàòåìàòè-

÷åñêîé ëîãèêè. Ñóùíîñòü ýòîãî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì.

Âñå ìàòåìàòè÷åñêèå ïðåäëîæåíèÿ çàïèñûâàþò íà ñïåöèàëü-

íîì (ôîðìàëüíîì) ëîãè÷åñêîì ÿçûêå â âèäå ôîðìóë. Ñ ïîìîùüþ

ýòîãî æå ÿçûêà òî÷íî âûðàæàþò èñïîëüçóåìûå â ìàòåìàòè÷åñêèõ

ðàññóæäåíèÿõ ëîãè÷åñêèå ïðàâèëà. Â ðåçóëüòàòå âñÿêîå ìàòåìàòè-

÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî â íåôîðìàëüíîé àêñèîìàòè÷åñêîé òåîðèè

ïðåâðàùàåòñÿ â óïîðÿäî÷åííóþ ñèñòåìó ôîðìóë, ïîñòðîåííóþ ïî

÷åòêî îïèñàííûì ïðàâèëàì, – ôîðìàëüíûé âûâîä â ôîðìàëüíîé

òåîðèè, ñòàíîâÿñü ïðè ýòîì òî÷íî îïèñàííûì ìàòåìàòè÷åñêèì

îáúåêòîì.

Ïðåæäå ÷åì ïåðåéòè ê ñëåäóþùåìó âîïðîñó, íåñêîëüêî ñëîâ îá

èñòîðèè âîçíèêíîâåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè.

Ñîçäàòåëåì ôîðìàëüíîé ëîãèêè áûë äðåâíåãðå÷åñêèé ìûñëèòåëü

Àðèñòîòåëü (384–322 äî í. ý.). Åãî ó÷åíèå íåèçìåííî ëåæàëî â

îñíîâå èçó÷åíèÿ ëîãèêè áîëåå äâóõ òûñÿ÷åëåòèé. Íîâûì ýòàïîì åå

ðàçâèòèÿ ñòàëî èñïîëüçîâàíèå ñèìâîëè÷åñêîãî ÿçûêà äëÿ çàïèñè

ïðåäëîæåíèé (XIX â., Äæîðäæ Áóëü). Îäíàêî ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëî-

ãèêà êàê íàóêà âîçíèêëà òîëüêî â ÕÕ âåêå. Îãðîìíóþ ðîëü â åå

ñòàíîâëåíèè è ðàçâèòèè ñûãðàë êðóïíåéøèé íåìåöêèé ìàòåìàòèê

Äàâèä Ãèëüáåðò (1862–1943), èñïîëüçîâàâøèé ìåòîä ôîðìàëèçà-

öèè äëÿ èçó÷åíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé ñ öåëüþ äîêàçàòåëüñòâà

èõ íåïðîòèâîðå÷èâîñòè.

Íàêîíåö, âîçíèêàåò åùå îäèí âîïðîñ: çà÷åì íóæíî èçó÷àòü ìà-

òåìàòè÷åñêèå ðàññóæäåíèÿ? Äåéñòâèòåëüíî, ìàòåìàòèêà ìíîãèå âåêà

äîñòàòî÷íî óñïåøíî ðàçâèâàëàñü áåç èõ ñïåöèàëüíîãî èçó÷åíèÿ,

áåç ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè. ×åì ýòî áûëî âûçâàíî? Âîçíèêíîâå-

íèþ ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè ñïîñîáñòâîâàëè ñëåäóþùèå îáñòîÿ-

òåëüñòâà. Â êîíöå XIX âåêà Ãåîðã Êàíòîð (1845–1918) ñîçäàë òåî-

ðèþ ìíîæåñòâ. Ýòà òåîðèÿ áûëà ïðèíÿòà ìàòåìàòèêàìè êàê óíè-

âåðñàëüíûé ôóíäàìåíò âñåé ìàòåìàòè÷åñêîé íàóêè è ÿâèëàñü âàæ-

íåéøèì èíñòðóìåíòîì åå äàëüíåéøåãî ðàçâèòèÿ (ïðåæäå âñåãî,

ðàçâèòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà). Îäíàêî â íà÷àëå ÕÕ âåêà ìà-

òåìàòèêà áûëà ïîòðÿñåíà îòêðûòèåì ïðîòèâîðå÷èé â êàíòîðîâîé

òåîðèè ìíîæåñòâ, òàê íàçûâàåìûõ ïàðàäîêñîâ. Îòêðûòèå ïàðàäîê-

ñîâ îçíàìåíîâàëî íà÷àëî êðèçèñà â îñíîâàíèÿõ ìàòåìàòèêè íà ðó-

áåæå XIX–XX âåêîâ. Ïîäðîáíî íà ýòîì ìû îñòàíîâèìñÿ â ãë. 6

«Ïðîáëåìû îñíîâàíèé ìàòåìàòèêè».

Ñ îòêðûòèåì ïàðàäîêñîâ ïîÿâèëàñü íåîáõîäèìîñòü óòî÷íåíèÿ

è ñïåöèàëüíîãî èçó÷åíèÿ ëîãè÷åñêèõ ñðåäñòâ, èñïîëüçóåìûõ â ìà-

òåìàòè÷åñêèõ äîêàçàòåëüñòâàõ, ÷òî ïðèâåëî ê âîçíèêíîâåíèþ ìà-

òåìàòè÷åñêîé ëîãèêè è ñïîñîáñòâîâàëî åå äàëüíåéøåìó ðàçâèòèþ.

Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà ïðîäîëæàåò ðàçâèâàòüñÿ è â íàñòîÿùåå

âðåìÿ. Ðåçóëüòàòû ñîâðåìåííûõ èññëåäîâàíèé â íåêîòîðûõ îáëàñ-

òÿõ ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè íàõîäÿò âñå áîëüøåå ïðèìåíåíèå â

êèáåðíåòèêå è èíôîðìàòèêå (èëè, êàê ñåé÷àñ ïðèíÿòî ãîâîðèòü, â

computer science).

Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè íåîáõîäèìî èçó÷àòü â òîé èëè

èíîé ñòåïåíè êàæäîìó, êòî çàíèìàåòñÿ ìàòåìàòèêîé. Îñîáåííî

âàæíóþ ðîëü èçó÷åíèå ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè èãðàåò â ïðîôåññè-

îíàëüíîé ïîäãîòîâêå áóäóùèõ ó÷èòåëåé ìàòåìàòèêè. Âåäü ó÷èòåëü

ìàòåìàòèêè äîëæåí óìåòü îáúÿñíèòü ñâîåìó ó÷åíèêó, ïî÷åìó òî

èëè èíîå óìîçàêëþ÷åíèå ÿâëÿåòñÿ íåïðàâèëüíûì è â ÷åì çàêëþ-

÷àåòñÿ îøèáêà. Èìåííî ó÷èòåëü ìàòåìàòèêè îáó÷àåò øêîëüíèêîâ

äîêàçàòåëüñòâàì, à çíà÷èò, îí äîëæåí ïîíèìàòü, â ÷åì çàêëþ÷àåò-

ñÿ ñóùíîñòü ìàòåìàòè÷åñêèõ äîêàçàòåëüñòâ, êàê îíè óñòðîåíû.

Êðîìå òîãî, èçó÷åíèå ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè äèñöèïëèíèðóåò óì.

Âñïîìèíàÿ èçâåñòíîå èçðå÷åíèå Ì. Â. Ëîìîíîñîâà î ìàòåìàòèêå,

ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà áîëåå ÷åì êàêàÿ-ëèáî

äðóãàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ íàóêà «óì â ïîðÿäîê ïðèâîäèò».