Лекции - Эконометрика
Подождите немного. Документ загружается.
151
(
Если
вы
не
любите
риск
,
то
можете
также
пожелать
учесть
дисперсию
потерь
.)
Влияние увеличения размера выборки на точность оценок
Будем
по
-
прежнему
предполагать
,
что
мы
исследуем
случайную
переменную
x
с
неизвестным
математическим
ожиданием
µ
и
теоретической
дисперсией
2
σ
и
что
для
оценивания
µ
используется
x
.
Каким
образом
точность
оценки
x
зависит
от
числа
наблюдений
n
?
Ответ
неудивителен
:
при
увеличении
n
оценка
x
,
вообще
говоря
,
становится
более
точной
.
В
единичном
эксперименте
большая
по
размеру
выборка
необязательно
даст
более
точную
оценку
,
чем
меньшая
выборка
,
–
всегда
может
присутствовать
элемент
везения
, –
но
общая
тенденция
должна
быть
именно
такой
.
Поскольку
дисперсия
x
выражается
формулой
2
n
σ
(
доказательство
этого
факта
мы
опускаем
),
она
тем
меньше
,
чем
больше
размер
выборки
,
и
,
значит
,
тем
сильнее
«
сжата
»
функция
плотности
вероятности
для
x
.
Это
показано
на
рис
. A.9.
Мы
предполагаем
,
что
x
нормально
распределена
со
средним
25
и
стандартным
отклонением
50.
Если
размер
выборки
равен
25,
то
стандартное
отклонение
величины
x
,
равное
n
σ
,
составит
:
50 25 10
=
.
Если
размер
выборки
равен
100,
то
это
стандартное
отклонение
равно
5.
На
рис
.
А
.9
показаны
соответствующие
функции
плотности
вероятности
.
Вторая
(
100
n
=
)
выше
первой
в
окрестности
µ
,
что
говорит
о
более
высокой
вероятности
получения
с
ее
помощью
аккуратной
оценки
.
За
пределами
этой
окрестности
вторая
функция
всюду
ниже
первой
.
152
Рис. A.9.
Чем
больше
размер
выборки
,
тем
уже
и
выше
будет
график
функции
плотности
вероятности
для
x
.
Если
n
становится
действительно
большим
,
то
график
функции
плотности
вероятности
будет
неотличим
от
вертикальной
прямой
,
соответствующей
x
µ
=
.
Для
такой
выборки
случайная
составляющая
x
становится
действительно
очень
малой
,
и
поэтому
x
обязательно
будет
очень
близкой
к
µ
.
Это
вытекает
из
того
факта
,
что
стандартное
отклонение
x
,
равное
n
σ
,
становится
очень
малым
при
больших
n
.
В
пределе
,
при
стремлении
n
к
бесконечности
,
n
σ
стремится
к
нулю
и
x
стремится
в
точности
к
µ
.
Состоятельность
Вообще
говоря
,
если
предел
оценки
по
вероятности
равен
истинному
значению
характеристики
генеральной
совокупности
,
то
эта
оценка
называется
состоятельной
.
Иначе
говоря
,
состоятельной
называется
такая
оценка
,
которая
дает
точное
значение
для
большой
выборки
независимо
от
входящих
в
нее
конкретных
наблюдений
.
153
В
большинстве
конкретных
случаев
несмещенная
оценка
является
и
состоятельной
.
Для
этого
можно
построить
контрпримеры
,
но
они
,
как
правило
,
будут
носить
искусственный
характер
.
Иногда
бывает
,
что
оценка
,
смещенная
на
малых
выборках
,
является
состоятельной
(
иногда
состоятельной
может
быть
даже
оценка
,
не
имеющая
на
малых
выборках
конечного
математического
ожидания
).
На
рис
. A.10
показано
,
как
при
различных
размерах
выборки
может
выглядеть
распределение
вероятностей
.
Тот
факт
,
что
при
увеличении
размера
выборки
распределение
становится
симметричным
вокруг
истинного
значения
,
указывает
на
асимптотическую
несмещенность
.
То
,
что
в
конечном
счете
оно
превращается
в
единственную
точку
истинного
значения
,
говорит
о
состоятельности
оценки
.
Рис. A.10.
Оценки
,
типа
показанных
на
рис
. A.10,
весьма
важны
в
регрессионном
анализе
.
Иногда
невозможно
найти
оценку
,
несмещенную
на
малых
выборках
.
Если
при
этом
вы
можете
найти
хотя
бы
состоятельную
оценку
,
это
может
быть
лучше
,
чем
не
иметь
никакой
оценки
,
особенно
если
вы
можете
предположить
направление
смещения
на
малых
выборках
.
154
Нужно
,
однако
,
иметь
в
виду
,
что
состоятельная
оценка
в
принципе
может
на
малых
выборках
работать
хуже
,
чем
несостоятельная
(
например
,
иметь
большую
среднеквадратичную
ошибку
),
и
поэтому
требуется
осторожность
.
Подобно
тому
,
как
вы
можете
предпочесть
смещенную
оценку
несмещенной
,
если
ее
дисперсия
меньше
,
вы
можете
предпочесть
состоятельную
,
но
смещенную
оценку
несмещенной
или
несостоятельную
оценку
им
обеим
(
также
в
случае
меньшей
дисперсии
).
155
Приложение B
Тестовые задания
Парная регрессия и корреляция
1. Наиболее наглядным видом выбора уравнения парной
регрессии является:
а
)
аналитический
;
б
)
графический
;
в
)
экспериментальный
(
табличный
).
2. Рассчитывать параметры парной линейной регрессии можно,
если у нас есть:
а
)
не
менее
5
наблюдений
;
б
)
не
менее
7
наблюдений
;
в
)
не
менее
10
наблюдений
.
3. Суть метода наименьших квадратов состоит в:
а
)
минимизации
суммы
остаточных
величин
;
б
)
минимизации
дисперсии
результативного
признака
;
в
)
минимизации
суммы
квадратов
остаточных
величин
.
4. Коэффициент линейного парного уравнения регрессии:
а
)
показывает
среднее
изменение
результата
с
изменением
фактора
на
одну
единицу
;
б
)
оценивает
статистическую
значимость
уравнения
регрессии
;
в
)
показывает
,
на
сколько
процентов
изменится
в
среднем
результат
,
если
фактор
изменится
на
1%.
5. На основании наблюдений за 50 семьями построено уравнение
регрессии
ɵ
284,56 0,672
y x
= +
, где
y
– потребление,
x
– доход.
Соответствуют ли знаки и значения коэффициентов регрессии
теоретическим представлениям?
а
)
да
;
б
)
нет
;
156
в
)
ничего
определенного
сказать
нельзя
.
6. Суть коэффициента детерминации
2
xy
r
состоит в
следующем:
а
)
оценивает
качество
модели
из
относительных
отклонений
по
каждому
наблюдению
;
б
)
характеризует
долю
дисперсии
результативного
признака
y
,
объясняемую
регрессией
,
в
общей
дисперсии
результативного
признака
;
в
)
характеризует
долю
дисперсии
y
,
вызванную
влиянием
не
учтенных
в
модели
факторов
.
7. Качество модели из относительных отклонений по каждому
наблюдению оценивает:
а
)
коэффициент
детерминации
2
xy
r
;
б
)
F
-
критерий
Фишера
;
в
)
средняя
ошибка
аппроксимации
A
.
8. Значимость уравнения регрессии в целом оценивает:
а
)
F
-
критерий
Фишера
;
б
)
t
-
критерий
Стьюдента
;
в
)
коэффициент
детерминации
2
xy
r
.
9. Классический метод к оцениванию параметров регрессии
основан на:
а
)
методе
наименьших
квадратов
:
б
)
методе
максимального
правдоподобия
:
в
)
шаговом
регрессионном
анализе
.
10. Остаточная сумма квадратов равна нулю:
а
)
когда
правильно
подобрана
регрессионная
модель
;
б
)
когда
между
признаками
существует
точная
функциональная
связь
;
в
)
никогда
.
157
11. Объясненная (факторная) сумма квадратов отклонений в
линейной парной модели имеет число степеней свободы, равное:
а
)
1
n
−
;
б
)
1
;
в
)
2
n
−
.
12. Остаточная сумма квадратов отклонений в линейной
парной модели имеет число степеней свободы, равное:
а
)
1
n
−
;
б
)
1
;
в
)
2
n
−
.
13. Общая сумма квадратов отклонений в линейной парной
модели имеет число степеней свободы, равное:
а
)
1
n
−
;
б
)
1
;
в
)
2
n
−
.
14. Для оценки значимости коэффициентов регрессии
рассчитывают:
а
)
F
-
критерий
Фишера
;
б
)
t
-
критерий
Стьюдента
;
в
)
коэффициент
детерминации
2
xy
r
.
15. Какое уравнение регрессии нельзя свести к линейному виду:
а
)
ɵ
ln
x
y a b x
= + ⋅
;
б
)
ɵ
b
x
y a x
= ⋅
:
в
)
ɵ
c
x
y a b x
= + ⋅
.
16. Какое из уравнений является степенным:
а
)
ɵ
ln
x
y a b x
= + ⋅
;
б
)
ɵ
b
x
y a x
= ⋅
:
158
в
)
ɵ
c
x
y a b x
= + ⋅
.
17. Параметр
b
в степенной модели является:
а
)
коэффициентом
детерминации
;
б
)
коэффициентом
эластичности
;
в
)
коэффициентом
корреляции
.
18. Коэффициент корреляции
xy
r
может принимать значения:
а
)
от
–1
до
1;
б
)
от
0
до
1;
в
)
любые
.
19. Для функции
b
y a
x
ε
= + +
средний коэффициент
эластичности имеет вид:
а
)
b x
Э
a b x
⋅
=
+ ⋅
;
б
)
b
Э
a x b
= −
⋅ +
;
в
)
b x
Э
a b x
⋅
= −
+ ⋅
.
20. Какое из следующих уравнений нелинейно по оцениваемым
параметрам:
а
)
y a b x
ε
= + ⋅ +
;
б
)
ln
y a b x
ε
= + ⋅ +
;
в
)
b
y a x
ε
= ⋅ ⋅
.
Множественная регрессия и корреляция
1. Добавление в уравнение множественной регрессии новой
объясняющей переменной:
а
)
уменьшает
значение
коэффициента
детерминации
;
б
)
увеличивает
значение
коэффициента
детерминации
;
159
в
)
не
оказывает
никакого
влияние
на
коэффициент
детерминации
.
2. Скорректированный коэффициент детерминации:
а
)
меньше
обычного
коэффициента
детерминации
;
б
)
больше
обычного
коэффициента
детерминации
;
в
)
меньше
или
равен
обычному
коэффициенту
детерминации
;
3. С увеличением числа объясняющих переменных
скорректированный коэффициент детерминации:
а
)
увеличивается
;
б
)
уменьшается
;
в
)
не
изменяется
.
4. Число степеней свободы для остаточной суммы квадратов в
линейной модели множественной регрессии равно:
а
)
1
n
−
;
б
)
m
;
в
)
1
n m
− −
.
5. Число степеней свободы для общей суммы квадратов в
линейной модели множественной регрессии равно:
а
)
1
n
−
;
б
)
m
;
в
)
1
n m
− −
.
6. Число степеней свободы для факторной суммы квадратов в
линейной модели множественной регрессии равно:
а
)
1
n
−
;
б
)
m
;
в
)
1
n m
− −
.
7. Множественный коэффициент корреляции
1 2
0,9
yx x
R
=
.
Определите, какой процент дисперсии зависимой переменной
y
объясняется влиянием факторов
1
x
и
2
x
:
а
) 90%;
160
б
) 81%;
в
) 19%.
8. Для построения модели линейной множественной регрессии
вида
ɵ
1 1 2 2
y a b x b x
= + +
необходимое количество наблюдений должно
быть не менее:
а
) 2;
б
) 7;
в
) 14.
9. Стандартизованные коэффициенты регрессии
i
β
:
а
)
позволяют
ранжировать
факторы
по
силе
их
влияния
на
результат
;
б
)
оценивают
статистическую
значимость
факторов
;
в
)
являются
коэффициентами
эластичности
.
10. Частные коэффициенты корреляции:
а
)
характеризуют
тесноту
связи
рассматриваемого
набора
факторов
с
исследуемым
признаком
;
б
)
содержат
поправку
на
число
степеней
свободы
и
не
допускают
преувеличения
тесноты
связи
;
в
)
характеризуют
тесноту
связи
между
результатом
и
соответствующим
фактором
при
элиминировании
других
факторов
,
включенных
в
уравнение
регрессии
.
11. Частный
F
-критерий:
а
)
оценивает
значимость
уравнения
регрессии
в
целом
;
б
)
служит
мерой
для
оценки
включения
фактора
в
модель
;
в
)
ранжирует
факторы
по
силе
их
влияния
на
результат
.
12. Несмещенность оценки параметра регрессии, полученной по
МНК, означает:
а
)
что
она
характеризуется
наименьшей
дисперсией
;
б
)
что
математическое
ожидание
остатков
равно
нулю
;