
90
В приведенном уравнении
будем считать неэнергетическим
параметром.
Второй интеграл этого уравнения определяет энергетическую
характеристику выходного процесса, которая не зависит от
неэнергетического параметра, и, следовательно, уравнение правдоподобия
при оценке неэнергетического параметра примет вид
() ( )
0
,0
T
d
yt t dt
d
α
ϑα
α
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∫
. (4.35)
Корреляционный интеграл уравнения (4.35) можно представить в
следующем виде:
() ( )
()
() ()()
0
00 0
,,, ,
TT T
yt t dt st t dt xt t dt
ϑα αϑα ϑα
=+
∫∫ ∫
, (4.36)
где
0
- истинное значение параметра.
Так как решение интегрального уравнения (4.28) дает весовую функцию
()
,t
α
для оптимальной системы, то и выходной эффект
() ( )
0
,
T
yt t dt
ϑα
∫
является оптимальным. Таким образом, оптимальный выходной эффект
представляет собой сумму математического ожидания этого эффекта, или
взаимную корреляционную функцию входного сигнала
()
,
t
, и весовой
функции
()
,t
α
(сигнальной функции) и случайной функции с нулевым
средним значением (отклонения выходного эффекта от математического
ожидания).
Для нахождения смещения и дисперсии оценки необходимо решить
уравнение (4.35) при условии
() ( )
2
2
0
,0
T
d
yt t dt
d
αα
ϑα
α
=
∫
(4.37)
и из всех возможных максимумов корреляционного интеграла выбрать
наибольший. Уравнение (4.35) является нелинейным и в общем виде
относительно
α
не разрешается. Однако при достаточно надежном
наблюдении (большом отношении сигнала к шуму) случайной функцией
можно пренебречь. Тогда положение максимума логарифма отношения
правдоподобия будет совпадать с истинным значением оцениваемого
параметра. Если максимум логарифма отношения правдоподобия лежит в
окрестности истинного значения оцениваемого параметра
0
, и между
и
0
нет других максимумов, то отклонение оценки от истинного параметра