Лазарева Т.Я., Мартемьянов Ю.Ф. Основы теории автоматического управления. Учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

нэ

г)

б)

нэ

а)

- а

нэ

2 а

- а

в)

2 а

Рис. 10.8 Звено типа люфт:

а – статическая характеристика; б – входной сигнал; в – прохождение

гармонического сигнала; г – механическая модель

При подаче на вход гармонического сигнала )(tx (рис. 10.8, б) на выходе нелинейного элемента бу-

дет наблюдаться некоторый периодический процесс, представленный на рис. 10.8, в, для которого ха-

рактерным является появление участков "зависания"

нэ

y , т.е. на них изменения

нэ

y не происходит за

счет наличия сухого трения в золотнике. Однако, выходной сигнал

нэ

y не задерживается в зоне покоя в

области нулевых значений. Это означает также, что пока входная координата не изменится настолько,

чтобы она превысила значение a2 , выходная переменная не будет изменяться. Поэтому при изменении

направления действия выходная переменная начнет изменяться лишь тогда, когда значение входной пе-

ременной изменится на величину, равную удвоенному параметру a (параметр a характеризует, напри-

мер, сухое трение).

6 Трехпозиционное реле с зоной нечувствительности и зоной возврата. Нелинейности такого типа

часто встречаются в системах автоматического регулирования, особенно, когда элементом, управляю-

щим включением и выключением вспомогательной энергии, является электрическое реле, например,

электрический сервомотор, управляемый с помощью реле.

Статическая характеристика представляет собой релейную характеристику, отличительной особен-

ностью которой является то, что выходная переменная изменяется скачком в зависимости от изменения

входного сигнала и может принимать одно из трех значений:

−

,0,

. Эта характеристика изображена

на рис. 10.9, а и является ярким примером существенно нелинейной функции. Здесь можно выделить

три типичные зоны нелинейности: зону нечувствительности, участки неоднозначности и участки насы-

щения.

Зона нечувствительности определяется величиной тока срабатывания реле. Участки неоднозначности

представляют петли, образуемые вертикальными и горизонтальными участками характеристики, а участ-

ки насыщения определяются релейным характером включения энергии.

Математическая запись статической характеристики трехпозиционного реле с зоной нечувствитель-

ности выглядит следующим образом:

BB −,0,

. (10.7)

В этом случае переход от 0

нэ

=y к By =

нэ

происходит при a

, а возврат – при bx = .

Подобная статическая характеристика может быть получена при охвате усилителя с зоной нечувст-

вительности и ограничением положительной обратной связью. Для ее получения может быть применена

электрическая схема (рис. 10.9, г), состоящая из двух электромагнитных реле K1 и K2, включенных че-

рез вентили WS1 и WS2. Контакты

нэ

а)

- B

- b - а

б)

- B

- b

- а

в)

нэ

WS1

г)

WS2

Рис. 10.9 Трехпозиционное реле с зоной нечувствительности:

а – статическая характеристика; б – входной сигнал; в – прохождение

гармонического сигнала; г – электрическая схема

реле K1 и K2 замыкают цепь между источником питания и напряжением B выходными зажимами так,

что в зависимости от значения

напряжение z на зажимах принимает значение BB ,0,− в соответствии с

характеристикой (рис. 10.9, а).

При подаче на вход рассматриваемого нелинейного элемента гармонического сигнала (рис. 10.9, б)

на выходе наблюдается периодический процесс, представляющий собой чередование участков

нечувствительности и прямоугольных импульсов амплитудой B или B

−

. Переключение реле с B на B

−

и наоборот с B− на B происходит с некоторым запаздыванием в силу разных значений токов

срабатывания и отпусканием реле.

10.3 Методы линеаризации

Особенности поведения нелинейных систем и многообразия протекающих в них процессов создают

трудности при их математическом описании и исследовании. Во многих случаях представляется воз-

можным и целесообразным заменить реальные нелинейные характеристики приближенными линейны-

ми зависимостями, т.е. исходная нелинейная система будет заменена некоторой линеаризованной сис-

темой. В зависимости от типа нелинейностей применяют различные методы линеаризации. Наиболее

распространенными являются: для слабых нелинейностей – разложение в ряд Тейлора, для сильных

нелинейностей – гармоническая линеаризация, для релейных систем – вибрационная линеаризация.

10.3.1 РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ТЕЙЛОРА

Основным методом линеаризации нелинейных зависимостей является метод перехода к малым воз-

мущениям и метод осреднения нелинейных характеристик.

Если статическая характеристика нелинейного элемента

)(

нэ

xfy

является непрерывной функцией

с непрерывными производными в некоторой области значений

, то эта характеристика всегда может

быть разложена в ряд Тейлора в окрестности любой точки

, принадлежащей этой области:

L+∆

′

+∆

′

+==

0нэ

)(

)()( x

xfxfy .

Смысл линеаризации заключается в том, что при достаточно малых значениях

xxx −=∆ можно по-

ложить, что

xxfxfxf

∆

′

≈

)()()(

Если обозначить )()(

xfxfy −=∆ , то получают линеаризованную статическую характеристику в

отклонениях (рис. 10.10)

∆∆yax

, (10.8, а)

где )(

xfa

′

= , или

baxy +

≈

нэ

, (10.8, б)

где

000

)()( xxfxfb

′

−= .

10.3.2 ГАРМОНИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ

В теории управления в большинстве случаев приходит-

ся иметь дело с неаналитическими, разрывными и неодно-

значными нелинейностями. Для характеристики особенно-

стей подобных нелинейных элементов, как уже отмечалось

выше, рассматривается прохождение через них гармониче-

ского сигнала tAtx

sin)( . Если система изменяет частоту

входных колебаний, то она называется частотопреобразующей,

если нет – нечастотопреобразующей. Далее рассматриваются нечастотопреобразующие системы. На выхо-

де безынерционного нелинейного нечастотопреобразующего элемента со статической характеристикой

)(

нэ

xfy = установятся периодические колебания, которые можно представить как сумму гармонических

составляющих с помощью ряда Фурье (рис. 10.11), в состав которого входят гармоники

)sin()(

1011

tCty ;

)3sin()(

3033

tCty и т.д.

Частота

называется главной частотой. Если на выходе нелинейного элемента рассматривать

только первую гармонику, а остальные во внимание не принимать, то получим некоторый линеаризо-

ванный элемент. Такую процедуру можно проделать, если будет выполняться гипотеза фильтра.

Выходной сигнал после нелинейного элемента записывается следующим образом:

∑

∞

ω+ω+=

0нэ

)cossin()(

tkbtkaaty ,

где

∫

ωω=

)()sin(

tdtAf

a ;

∫

ωωω=

)(sin)sin(

tdtktAf

a ;

∫

ωωω=

)(cos)sin(

tdtktAf

b .

Согласно гипотезе фильтра все гармоники, начиная со второй, имеют достаточно малую амплитуду

по сравнению с первой гармоникой и ими можно пренебречь. Тогда уравнение вынужденных колебаний

на выходе запишется в виде

tbtaaty ω+ω+≈ cossin)(

110нэ

(10.9)

или

01нэ

)sin()( atCty +

+ω≈ ,

где

baC += ;

arctg

=ϕ

Если принимать 0

=a , то

)sin()(

1нэ

+ω≈ tCty . (10.10)

Таким образом, на вход подали гармонический сигнал и на выходе получили также гармонический

сигнал (10.10). Следовательно, в рассмотрение можно ввести частотные характеристики, аналогичные

частотным характеристикам линейной системы:

– амлитудно-частотная характеристика

нэ

),( =ω ; (10.11)

– фазочастотная характеристика

)(),(),(

выхвыхнэ

−ω

=ω

AA ; (10.12)

– амплитудно-фазовая характеристика

нэ

- B

Рис. 10.11 Гармоническая ли-

неаризация

),(

нэнэ

нэ

),(),(

eAMAiW

ωϕ

ω=ω . (10.13)

Так как характеристики (10.11) – (10.13) были получены для линеаризованной системы, то они по-

лучили название эквивалентных.

На практике широкое распространение получили обратные частотные характеристики:

– обратная АФХ:

),(

обр

нэ

обр

),(

eAM

AiW

ωϕ

ω=

=ω

; (10.14)

– обратная АЧХ:

),(

нэ

обр

=ω

; (10.15)

– обратная ФЧХ:

),(),(

нэобр

AA ωϕ−

ωϕ

. (10.16)

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 10.1 Построить эквивалентные частотные характеристики для нелинейного элемента –

двухпозиционного реле (рис. 10.6, а).

Так как характеристика однозначна, то коэффициент 0

b , а коэффициент

a определится следую-

щим образом, период

π= 2

T .

tdtB

=ωω

∫

π2

)(sin

Следовательно,

– эквивалентная амплитудно-частотная характеристика (рис. 10.12, а)

=)(

нэ

;

– эквивалентная фазочастотная характеристика (рис. 10.12, б)

0)(

нэ

A ;

– эквивалентная амплитудно-фазовая характеристика (рис. 10.12, в)

iAW

=)(

нэ

;

а)

нэ

б)

нэ

Re(A)

в)

i Im(A)

∞

обр

(A)

г)

i Im

обр

(A)

∞

Рис. 10.12 Эквивалентные частотные характеристики двухпозиционного реле:

а – АЧХ; б – ФЧХ; в – АФХ; г – инверсная АФХ

– инверсная амплитудно-фазовая характеристика (рис. 10.12, г)

iAW

=)(

обр

В результате гармонической линеаризации двухпозиционное реле заменяется линейной статической

системой.

Пример 10.2 Построить эквивалентные частотные характеристики для двухпозиционного реле с зо-

ной нечувствительности (рис. 10.13, а). Так как характеристика однозначна, то 0

=b ,

=ωω

∫

cos

)(sin

tdtB

где Aa /arcsin=α (рис. 10.13, б).

- B

нэ

- B

- а

нэ

а)

б)

Рис. 10.13 Гармоническая линеаризация

двухпозиционного реле с зоной нечувствительности:

а – статическая характеристика; б – входной и выходной сигнал

нэ

A/a A/a

→

∞

A = a

= a

= 0

Re(A/a)

iIm(A/a

)

iIm

обр

(A/a)

а)

в) г)

б)

I/B

обр

(A/a)

Рис. 10.14 Эквивалентные частотные характеристики

двухпозиционного реле с зоной нечувствительности:

а – АЧХ; б – ФЧХ; в – АФХ; г – инверсная АФХ

Согласно определению эквивалентных частотных характеристик имеем:

– эквивалентная амплитудно-частотная характеристика

= cos

)(

нэ

которую обычно записывают как функцию не амплитуды входного сигнала, а отношения

)/( aA , что со-

ответствует измерению

в единицах

, и, следовательно,

нэ

)/(1

)/( Aa

aAM −

;

– эквивалентная фазочастотная характеристика

0)/(

нэ

aA .

Графики эквивалентных частотных характеристик изображены на рис. 10.14.

10.3.3 ВИБРАЦИОННАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ

Для линеаризации релейных элементов часто применяют вибрационную линеаризацию путем соз-

дания высокочастотных колебаний на их входе. В этом случае релейный элемент линеаризуется, и по-

этому вся система в целом ведет себя как система непрерывного действия.

Эффект вибрационной линеаризации может быть описан с помощью метода гармонической линеа-

ризации. Сущность вибрационной линеаризации применительно к двухпозиционному реле может быть

проиллюстрирована следующим образом. Если на вход двухпозиционного реле подать чисто перемен-

ный сигнал tAtx ω= sin)( , то на выходе получается также чисто переменный сигнал )(

нэ

ty в виде прямо-

угольной волны (рис. 10.15). Если же на вход подать сумму сигналов: переменного и постоянного зна-

чения, т.е. tAxtx ω+= sin)(

, где

x – const, то на выходе вследствие изменения скважности выходных

импульсов в выходном сигнале появится постоянная составляющая

y , величина которой зависит от

величины

x на входе реле (рис. 10.15). Зависимость постоянной составляющей

y на выходе реле от

величины постоянной составляющей

x на его входе показана на рис. 10.15, г.

Форма этой зависимости определяется формой входного переменного сигнала и релейной характе-

ристикой. Таким образом, постоянную составляющую входного сигнала релейный элемент пропускает

как звено непрерывного действия. При этом для малых величин постоянного сигнала звено является

линейным.

Высокочастотные воздействия, осуществляющие вибрационную линеаризацию, могут быть получе-

ны тремя способами: с помощью генератора, создающего вынужденные колебания системы, путем

автоколебаний в самой САУ и путем создания скользящего режима.

нэ

а)

- B

в)

б)

max

г)

Рис. 10.15 Эффект вибрационной линеаризации:

а – статическая характеристика; б – входные сигналы; в – выходные сигналы;

г – зависимость постоянной составляющей на выходе от постоянной

составляющей на входе

10.4 Тренировочные задания

1 Система автоматического управления называется нелинейной, если она не подчиняется принци-

пу суперпозиции. Различают два вида нелинейностей: статические – это нелинейности статических

характеристик и динамические – это нелинейности дифференциальных уравнений. Простейшими не-

линейными элементами являются статические нелинейности, у которых выходная переменная зави-

сит только от входной переменной, причем эта зависимость строго однозначна: )(

нэ

xfy = . Такие не-

линейности называются типовыми.

А Как доказать, что система относится к классу нелинейных систем автоматического управления?

B Что представляют собой статические нелинейности и динамические нелинейности?

С Приведите пример типовых нелинейных элементов.

2 Как известно, особенности нелинейных систем вытекают из неподчинения принципу суперпозиции,

основными из которых являются следующие: выходной сигнал в нелинейных системах отличается от

входного гармонического сигнала как по форме, так и по частоте; частотные характеристики зависят от

амплитуды входного сигнала; условия устойчивости зависят от величины внешнего воздействия; в сис-

теме существуют собственные особые движения, называемые автоколебаниями.

А Почему частотные характеристики нелинейных систем зависят от амплитуды входного сигнала?

В Сколько состояний равновесия имеет нелинейная система?

С Что такое автоколебания?

3 При исследовании нелинейных систем очень часто их нелинейные характеристики заменяют

приближенными линейными зависимостями, в этом случае говорят, что проводят линеаризацию не-

линейной системы. Полученная система называется линеаризованной. Наиболее распространенными

методами линеаризации являются: для слабых нелинейностей – разложение в ряд Тейлора, для силь-

ных нелинейностей – гармоническая линеаризация, для релейных систем – вибрационная линеариза-

ция.

А Что означает слабая нелинейность и почему для нее используется разложение в ряд Тейлора?

В Каким требованиям должна отвечать нелинейная система, чтобы к ней можно было применять

гармоническую линеаризацию?

С Какие характеристики нелинейных систем вводятся в рассмотрение в результате проведения

гармонической линеаризации?

11 МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ

При исследованиях нелинейных систем широко используется метод фазового пространства, отно-

сящийся к группе графоаналитических методов, описывающих поведение систем при помощи нагляд-

ных геометрических представлений – фазовых портретов. Применительно к линейным системам этот

метод рассмотрен в разделе 6.3.

11.1 Основные понятия

Основным понятием метода является понятие фазового пространства, под которым понимается

пространство, в котором прямоугольными координатами точки являются величины, определяющие

мгновенное состояние системы, называемые фазовыми координатами.

Метод фазового пространства применим как для линейных, так и для нелинейных систем. Послед-

ние в общем случае описываются системой нелинейных дифференциальных уравнений вида:











,),,,(

)(

...

;),,,(

)(

;),,,(

)(

212

211

yyyf

tdy

yyyf

tdy

yyyf

tdy

(11.1)

где

yyy ,,,

K – фазовые координаты:

– время;

fff ,,,

K – нелинейные функции.

Фазовые координаты

yyy ,,,

K могут иметь любой физический смысл – температура, концентра-

ция и др., но обычно в качестве них выбирают выходную переменную и ее

)1( −n производную, т.е.

)()(,),()(),()(

)1(

tytytytytyty

−

′

== K .

Наибольшее распространение метод фазового пространства получил при исследовании систем вто-

рого порядка. В этом случае фазовым пространством является плоскость. Система дифференциальных

уравнений (11.1) для системы второго порядка запишется в виде:











.),(

)(

;),(

)(

212

211

yyf

tdy

yyf

tdy

(11.2)

Из этой системы получают уравнение, описывающее фазовый портрет. Для этого необходимо ис-

ключить из рассмотрения время, в результате чего получают следующее уравнение

)211

212

),(

yyf

, (11.3)

решение которого дает семейство интегральных кривых на фазовой плоскости, являющихся фазовыми

траекториями системы.

11.2 Фазовые портреты нелинейных систем

Фазовые портреты нелинейных систем второго порядка определяются решением дифференциаль-

ного уравнения (11.3), которое в данном случае является нелинейным, что и обуславливает характерные

особенности этих траекторий.

Линейная система имеет единственное состояние равновесия, определяемое (11.3), и характер осо-

бой точки полностью определяет поведение системы при любых отклонениях от состояния равновесия.

В нелинейной системе состояний равновесия может быть много, следовательно и особых точек также

много, но их характер определяет поведение фазовых траекторий только вблизи них. Так, на рис. 11.1

изображен типичный фазовый портрет нелинейной системы.

Рис. 11.1 Фазовый портрет нелинейной системы

Эта система имеет три состояния равновесия в точках А, В, С. Причем точка А является особой точ-

кой типа "центр", а В и С – типа "седло". При рассмотрении свободных движений их амплитуда может

вырасти до определенного предела и оставаться далее постоянной, а не расходиться. На фазовой плос-

кости помимо особых точек фазовый портрет может содержать особые линии, одной из которых явля-

ется особая траектория – изолированная замкнутая кривая, называемая предельным циклом (рис. 11.2).

Фазовые траектории могут асимптотически приближаться к предельному циклу – "наматываться"

(рис. 11.2, а) и "сматываться", уходя в бесконечность (рис. 11.2, б).

Предельным циклам соответствуют периодические процессы, в окрестности которых имеют место

колебательные процессы (рис. 11.3), т.е. предельному циклу соответствует режим автоколебаний в сис-

теме.

б)

а)

Рис. 11.2 Особые фазовые траектории − предельный цикл:

а – устойчивый; б – неустойчивый

а)

б)

t t

РИС. 11.3 ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ:

А – ПРИ УСТОЙЧИВОМ ПРЕДЕЛЬНОМ ЦИКЛЕ; Б – ПРИ НЕУСТОЙЧИВОМ

ПРЕДЕЛЬНОМ ЦИКЛЕ

Предельные циклы могут быть устойчивыми и неустойчивыми, и соответственно автоколебания – ус-

тойчивыми и неустойчивыми. Предельный цикл называется устойчивым, если фазовые траектории сна-

ружи и изнутри "наматываются на него" (рис. 11.2, а, 11.3, а). В такой системе обязательно будет на-

блюдаться автоколебательный режим.

Предельный цикл называется неустойчивым, если фазовые траектории удаляются от него с обеих

сторон, т.е. "сматываются" (рис. 11.2, б, 11.3, б).

Если начальные условия таковы, что изображающая точка находится внутри предельного цикла,

представленного на рис. 11.2, а, то она будет двигаться по фазовой траектории к нему, система ведет

себя, как неустойчивая система, особая точка – начало координат является неустойчивым фокусом. Ес-

ли же в начальный момент времени изображающая точка находится снаружи предельного цикла, то она

движется по фазовой траектории, приближаясь к нему, система ведет себя как устойчивая система. В

этом случае говорят, что рассматриваемая система неустойчива "в малом", устойчива "в большом" и

режим автоколебаний устойчивый.

Если рассматривать те же самые начальные условия, но для случая, представленного на рис. 11.2, б,

то говорят, что система устойчива "в малом" (особая точка – устойчивый фокус), неустойчива "в боль-

шом", режим автоколебаний неустойчивый.

а)

б)

устойчивый

неустойчи-

вый

Рис. 11.4 Фазовый портрет системы:

а – полуустойчивый предельный цикл; б – с двумя предельными циклами

Если начальные условия таковы, что одна фазовая траектория "наматывается" на предельный цикл,

а другая – "сматывается", то система является неустойчивой и "в малом", и "в большом". В этом случае

предельный цикл и соответственно режим автоколебаний называется полуустойчивым (рис. 11.4, а).

Система может иметь не один, а несколько предельных циклов. Система, фазовый портрет которой изо-

бражен на рис. 11.4, б, имеет два предельных цикла, один из них – внутренний устойчивый, другой –

внешний неустойчивый. Состояние равновесия одно и неустойчивое.

Другим видом особых линий, которые встречаются в нелинейных системах, являются сепаратрисы

– кривые, разделяющие области фазового портрета с различным характером фазовых траекторий. Так, в

линейных системах второго порядка при рассмотрении фазового портрета типа седло асимптоты гипер-

бол

yy ω±= ,

/ aa=ω , 0

=a и являются как раз сепаратрисами.

Типичный фазовый портрет нелинейной системы изображен на рис. 11.5. Здесь имеются следую-

щие особые точки: точка А – устойчивый фокус, точка В – неустойчивый узел и точка С – седло. В со-

ответствии с этим сепаратрисы разделяют фазовый портрет на четыре области: 1 – затухающих колеба-

ний, 2 – автоколебаний, 3 и 4 – неустойчивых апериодических процессов.

Рис. 11.5 Фазовый портрет нелинейной системы

Нелинейные системы с элементами, имеющими зону нечувствитель-

ности или сухое трение, имеют не один стационарный режим, а целую

область, что на фазовой плоскости выражается "вытягиванием" особой

точки в особую линию (рис. 11.6).

В заключение следует сказать, что если известен фазовый портрет, то

о системе известно все.

11.3 Методы построения фазовых портретов

Для построения фазовых портретов нелинейных систем используется

ряд методов. Наибольшее распространение получили нижеследующие методы.

11.3.1 ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ

В линейных системах интегрирование дифференциального уравнения фазовых траекторий (11.3) не

представляет трудностей. Для нелинейных систем эта задача существенно усложняется. Аналитическое

решение в большинстве случаев получить не удается, поэтому для построения фазовых портретов нели-

нейных систем применяют численное интегрирование уравнения (11.3). В ряде случаев предварительно

проводят качественное исследование изучаемой системы. Благодаря использованию методов качест-

венной теории дифференциальных уравнений определяют структуру фазовых портретов – число и тип

возможных в данной системе состояний равновесия, количество предельных циклов и их взаимораспо-

ложение, наличие сепаратрис. Все это позволяет определить совокупность возможных в исследуемой

системе режимов работы, и численное интегрирование уравнения фазовых траекторий выполнить для

целого ряда начальных условий, которые являются наиболее важными с точки зрения выделения облас-

тей фазового портрета.

Пример 11.1 Построить фазовый портрет нелинейной системы методом интегрирования уравне-

ния фазовой траектории.

Нелинейная система описывается дифференциальным уравнением

()

ykf

T −=+

где )( yf – релейная характеристика вида











−<−

<<−

;,0

)(

CyB

CyC

CyB

В этом случае уравнение нелинейной системы записывается для трех участков релейной характери-

стики











−<=+

<<−=+

>−=+

;,0

CykB

CyC

CykB

Рассмотрим, как самое простейшее, второе уравнение системы и получим для участка нечувстви-

тельности релейной характеристики уравнение фазовой траектории. С этой целью проводится подста-

новка

yy =

; dtdyy /

= и дифференциальное уравнение второго порядка сводится к системе дифферен-

циальных уравнений первого порядка

Рис. 11.6 Фазовый

портрет с особой ли-

нией