Лазарев Ю.Ф. Mатематическое моделирование физических процессов и технических систем в MATLAB

Подождите немного. Документ загружается.

матрицей. Например, отдельное заданное число система воспринимает как матрицу размером (1*1), а вектор-

строку из N элементов - как матрицу размером (1*N).

1.3.1. Ввод векторов и матриц

Начальные значения векторов можно задавать с клавиатуры путем поэлементного ввода. Для этого в строке

следует сначала указать имя вектора, потом поставить знак присваивания ' = ', затем, - открывающую квадрат-

ную скобку, а за ней ввести заданные значения элементов вектора,

отделяя их пробелами или запятыми. Закан-

чивается строка записью закрывающей квадратной скобки.

Например, запись строки

V = [ 1.2 -0.3 1.2e-5] задает вектор V, который содержит три элемента со зна-

чениями 1.2, -0.3 и 1.2е-5 (рис. 1.14):

Рис. 1.14. Ввод вектора

После введения вектора система выводит его на экран. То, что в приведенном примере последний элемент вы-

веден как 0, обусловлено установленным форматом

short, в соответствии с которым выводятся не более че-

тырех цифр после десятичной запятой.

Длинный вектор можно вводить частями, которые потом объединять с помощью операции

объединения векто-

ров в строку : v = [ v1 v2 ]. Например (см. рис.1.15):

Рис. 1.15. Объединение векторов

Язык MatLAB дает пользователю возможность

сокращенного введения вектора, значения элементов которого

составляют арифметическую прогрессию. Если обозначить nz - начальное значение этой прогрессии (значение

первого элемента вектора), kz - конечное значение прогрессии (значение последнего элемента вектора), а h -

разность прогрессии (шаг), то вектор можно ввести с помощью короткой записи V = nz : h : kz . Напри-

мер, введение строки V = - 0.1 : 0.3 : 1.4 приведет к такому результату (рис. 1.16):

Рис. 1.16. Ввод вектора – арифметической прогрессии

Если средний параметр (разность прогрессии) не указан, то он по умолчанию принимается равным единице.

Например, команда

>> -2.1 : 5

приводит к формированию такого вектора

ans = -2.1000 -1.1000 -0.1000 0.9000 1.9000 2.9000 3.9000 4. 9000

Так вводятся векторы-строки. Вектор-столбец вводится аналогично, но значения элементов отделяются знаком

« ; ».

Ввод значений элементов матрицы осуществляется в MatLAB в квадратных скобках, по строкам. При этом

элементы строки матрицы один от другого отделяются пробелом или запятой, а

строки одна от другой отде-

ляются знаком « ; » (рис. 1.17).

Рис. 1.17. Ввод матрицы

1.3.2. Формирование векторов и матриц

MatLAB имеет несколько функций, которые позволяют формировать векторы и матрицы некоторого опреде-

ленного вида. К таким функциям относятся:

zeros(М,N) — создает матрицу размером (М×N) с нулевыми элементами, например:

» zeros(3,5)

ans =

0 0 0 0 0

ones(М,N)

— создает матрицу размером (М×N) с единичными элементами, например:

» ones(3,5)

ans =

1 1 1 1 1

eye(М,N)

— создает единичную матрицу размером (М×N), т. е. с единицами по главной диагонали и осталь-

ными нулевыми элементами, например:

» eye(3,5)

ans =

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

rand(М,N

) - создает матрицу размером (М×N) из случайных чисел, равномерно распределенных в диапазоне от

0 до 1, например:

» rand(3,5)

ans =

2.1896e-001 6.7930e-001 5.1942e-001 5.3462e-002 7.6982e-003

4. 7045e-002 9. 3469e-001 8. 3097e-001 5. 2970e-001 3. 8342e-001

6. 7886e-001 3. 8350e-001 3. 4572e-002 6. 7115e-001 6. 6842e-002

randn(М,N)

- создает матрицу размером (М¯N) из случайных чисел, распределенных по нормальному (га-

уссовому) закону с нулевым математическим ожиданием и стандартным (среднеквадратичным) отклонением,

равным единице, например:

» randn(3,5)

ans =

1.1650e+000 3.5161e-001 5.9060e-002 8.7167e-001 1.2460e+000

6. 2684e-001 -6. 9651e-001 1. 7971e+000 -1. 4462e+000 -6. 3898e-001

7. 5080e-002 1. 6961e+000 2. 6407e-001 -7. 0117e-001 5. 7735e-001

hadamard(N)

- создает матрицу Адамара размером (N¯N), например:

» hadamard(4)

ans =

1 1 1 1

1 -1 1 -1

1 1 -1 -1

1 -1 -1 1

hilb(N)

- создает матрицу Гильберта размером (N¯N), например:

» hilb(4)

ans =

1.0000e+000 5.0000e-001 3.3333e-001 2.5000e-001

5.0000e-001 3.3333e-001 2.5000e-001 2.0000e-001

3. 3333e-001 2. 5000e-001 2. 0000e-001 1. 6667e-001

2. 5000e-001 2. 0000e-001 1. 6667e-001 1. 4286e-001

invhilb(N)

- создает обратную матрицу Гильберта размером (N¯N), например:

» invhilb(4)

ans =

16 -120 240 -140

-120 1200 -2700 1680

240 -2700 6480 -4200

-140 1680 -4200 2800

pascal(N)

- создает матрицу Паскаля размером (N¯N), например:

» pascal(5)

ans =

1 1 1 1 1

1 2 3 4 5

1 3 6 10 15

1 4 10 20 35

1 5 15 35 70.

В языке MatLAB предусмотрено несколько функций, которые позволяют формировать матрицу на основе дру-

гой (заданной) или используя некоторый заданный вектор. К таким функциям принадлежат:

fliplr(A)

- формирует матрицу, переставляя столбцы известной матрицы А относительно вертикальной

оси, т. е. меняя местами левую и правую стороны матрицы, например:

A =

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18

» fliplr(A)

ans =

6 5 4 3 2 1

12 11 10 9 8 7

18 17 16 15 14 13

flipud(A)

- переставляет строки заданной матрицы А относительно горизонтальной оси, т. е. меняя местами

верхнюю и нижнюю стороны матрицы, например:

» flipud(A)

ans =

13 14 15 16 17 18

7 8 9 10 11 12

1 2 3 4 5 6

rot90(A)

- формирует матрицу путем "поворота" заданной матрицы А на 90 градусов против часовой

стрелки:

» rot90(A)

ans =

6 12 18

5 11 17

4 10 16

3 9 15

2 8 14

1 7 13

reshape(A,m,n)

- образует матрицу размером (m¯n) путем выборки элементов заданной матрицы А по

столбцам и последующего распределения этих элементов по n столбцам, каждый из которых содержит m эле-

ментов; при этом число элементов матрицы А должно равняться m*n, например:

» reshape(A,2,9)

ans =

1 13 8 3 15 10 5 17 12

7 2 14 9 4 16 11 6 18

tril(A)

- образует нижнюю треугольную матрицу на основе матрицы А путем обнуления ее элементов

выше главной диагонали:

» tril(A)

ans =

1 0 0 0 0 0

7 8 0 0 0 0

13 14 15 0 0 0

triu(A)

- образует верхнюю треугольную матрицу на основе матрицы А путем обнуления ее элементов ниже

главной диагонали:

» triu(A)

ans =

1 2 3 4 5 6

0 8 9 10 11 12

0 0 15 16 17 18

hankel(V)

- образует квадратную матрицу Ганкеля, первый столбец которой совпадает с заданным вектором

V, например:

>> V = [-5 6 7 4]

V = -5 6 7 4

» hankel(V)

ans =

-5 6 7 4

6 7 4 0

7 4 0 0

4 0 0 0

Процедура diag(х)

- формирует или извлекает диагональ матрицы.

Если х - вектор, то функция

diag(х) создает квадратную матрицу с вектором х на главной диагонали:

» diag(V)

ans =

-5 0 0 0

0 6 0 0

0 0 7 0

0 0 0 4

Чтобы установить заданный вектор на другую диагональ, при обращении к функции необходимо указать еще

один параметр (целое число) - номер диагонали (при этом

диагонали отсчитываются от главной вверх), на-

пример:

» diag(V, -1)

ans =

0 0 0 0 0

-5 0 0 0 0

0 6 0 0 0

0 0 7 0 0

0 0 0 4 0

Если х - матрица, то функция diag(х) создает вектор-столбец, который состоит из элементов главной диаго-

нали заданной матрицы х, например, для матрицы А, указанной перед примером применения процедуры

fliplr:

» diag(A)

ans =

Если при этом указать дополнительно номер диагонали, то можно получить вектор-столбец из элементов лю-

бой диагонали матрицы х, например:

» diag(A,3)

ans =

Функция zeros(1,N) формирует (создает) вектор-строку из N нулевых элементов. Аналогично zeros(N,1)

создает вектор-столбец из N нулей.

Векторы, значения элементов которых являются случайными равномерно распределенными, формируются та-

ким образом:

rand(1,n) - для вектора-строки и rand(m,1) - для вектора-столбца.

1.3.3. Извлечение и вставка частей матриц

Прежде всего, отметим, что обращение к любому элементу заданной матрицы в MatLAB осуществляется путем

указания (в скобках, через запятую) после имени матрицы двух целых положительных чисел, которые опреде-

ляют соответственно номера строки и столбца матрицы, на пересечении которых расположен этот элемент.

Пусть имеем некоторую матрицу А:

>> A = [ 1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]

A =

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

Тогда получить значение элемента этой матрицы, расположенного на пересечении второй строки с третьим

столбиком, можно следующим образом:

>> A(2,3)

ans = 7

Если нужно, наоборот, установить на это место некоторое число, например, , то это можно сделать так:

>> A(2, 3) = pi; A

A =

1.0000 2.0000 3.0000 4.0000

5. 0000 6. 0000 3. 1416 8. 0000

9. 0000 10. 0000 11. 0000 12. 0000

Иногда нужно создать меньшую матрицу из большей, формируя ее путем извлечения из последней матрицы

элементов ее нескольких строк и столбцов. Или, наоборот, вставить меньшую матрицу таким образом, чтобы

она стала определенной частью матрицы большего размера. Это в MatLAB делается с помощью знака двоето-

чия (« : »).

Рассмотрим эти операции на примерах.

Пусть нужно создать

вектор V1, состоящий из элементов третьего столбца последней матрицы А. Для этого

произведем такие действия:

>> V1 = A(:, 3)

V1 =

3.0000

3. 1416

11. 0000

Чтобы создать вектор V2, состоящий из элементов второй строки матрицы А, поступают так:

>> V2 = A(2, : )

V2 = 5. 0000 6. 0000 3. 1416 8. 0000

Допустим, что необходимо из матрицы А образовать матрицу В размером (2¯2), которая состоит из элементов

левого нижнего угла матрицы А. Тогда делают так:

>> B = A(2:3, 1:2)

B =

5 6

9 10

Аналогично можно вставить матрицу В в верхнюю середину матрицы А:

>> A(1:2,2:3)=B

A =

1 5 6 4

5 9 10 8

9 10 11 12

Как видно, для этого вместо указания номеров элементов матрицы можно указывать диапазон изменения этих

номеров путем указания нижней и верхней границ, разделяя их двоеточием.

Примечание. Если верхней границей изменения номеров элементов матрицы является ее размер в

этом измерении, вместо него можно использовать служебное слово end.

Например:

>> A(2:end,2:end)

ans =

9 10 8

10 11 12

Эти операции очень удобны для формирования матриц, большинство элементов которых одинаковы, в частно-

сти, так называемых разреженных матриц, которые состоят, в основном, из нулей, за исключением отдельных

элементов. Для примера рассмотрим формирование разреженной матрицы размером (5¯7) с единичными эле-

ментами в ее центре:

>> A = zeros(5,7);

>> B = ones(3,3);

>> A(2:4,3:5)=B

A =

0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0

"Растянуть" матрицу (А) в единый вектор (V) можно с помощью обычной записи "V = A(:)". При этом создается

вектор-столбец с количеством элементов (m¯n), в котором столбцы заданной матрицы размещены сверху вниз

в порядке самих столбцов:

» A = [1 2 3; 4 5 6]

A =

1 2 3

4 5 6

» v = A(:)

v =

Наконец, "расширить" матрицу, составляя ее из отдельных заданных матриц ("блоков") можно тоже довольно

просто. Если заданы несколько матриц-блоков А1, А2,... АN с одинаковым количеством строк, то из них можно

"слепить" единую матрицу А, объединяя блоки в одну "строку" таким образом:

A = [A1, A2,... , AN]

Эту операцию называют горизонтальной конкатенацией (сцеплением) матриц. Вертикальная конкатенация мат-

риц реализуется (при условии, что все составные блоки-матрицы имеют одинаковое количество столбцов) ана-

логично, путем применения для отделения блоков вместо запятой точки с запятой:

A = [A1; A2;... ; AN].

Приведем примеры. Пример горизонтальной конкатенации :

>> A1 = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];

>> A2 = [10;11;12];

>> A3 = [14 15; 16 17; 18 19];

>> A = [A1, A2, A3]

A =

1 2 3 10 14 15

4 5 6 11 16 17

7 8 9 12 18 19

Пример вертикальной конкатенации:

>> B1 = [1 2 3 4 5];

>> B2 = [ 6 7 8 9 10; 11 12 13 14 15];

>> B3 = [17 18 19 20 21];

>> B = [ B1; B2; B3]

B =

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

17 18 19 20 21

1.3.4. Действия над векторами

Будем различать две группы действий над векторами:

а) векторные действия - т. е. такие, которые предусмотрены векторным исчислением в математике;

б) действия по преобразованию элементов - это действия, которые преобразуют элементы вектора, но не явля-

ются операциями, разрешенными математикой.

Векторные действия над векторами

Сложение векторов. Как известно, суммироваться могут только векторы

одинакового типа (т. е. такие, кото-

рые оба являются или векторами-строками, или векторами-столбцами), имеющие одинаковую длину (т. е. оди-

наковое количество элементов). Если X и Y - именно такие векторы, то их сумму Z можно получить, введя ко-

манду Z = X + Y, например:

» x = [1 2 3] ; y = [ 4 5 6];

» v = x + y

v = 5 7 9

Аналогично с помощью арифметического знака « - » осуществляется вычитание векторов, имеющих одина-

ковую структуру (Z = X - Y).

Например:

» v = x - y

v = -3 -3 -3

Транспонирование вектора осуществляется применением знака апострофа, который записывается сразу по-

сле имени транспонируемого вектора. Например:

» x'

ans =

Умножение вектора на число осуществляется в MatLAB с помощью знака арифметического умножения « * »

таким образом: Z = X*r или Z = r*X, где r - некоторое действительное число.

Пример:

» v = 2*x

v = 2 4 6

Умножение двух векторов определено в математике только для векторов одинакового размера (длины) и лишь

тогда, когда один из векторов-множителей - строка, а второй - столбец. Иначе говоря, если векторы X и Y яв-

ляются строками, то математическое смысл имеют лишь две формы умножения этих векторов: U = X' * Y и V =

X * Y'. При этом в первом случае результатом будет квадратная матрица, а во втором - число. В МatLAB умно-

жение векторов осуществляется применением обычного знака умножения ' * ', который записывается между

множителями-векторами.

Пример:

» x = [1 2 3] ; y = [ 4 5 6];

» v = x' * y

v =

4 5 6

8 10 12

12 15 18

» v = x * y'

v = 32

Для трехкомпонентных векторов в MatLAB предусмотрена функция cross, которая позволяет найти вектор-

ное произведение двух векторов. При этом, если заданы два трехкомпонентных вектора v1 и v2, достаточно

ввести оператор

cross(v1, v2).

Пример:

» v1 = [1 2 3]; v2 = [4 5 6];

» cross(v1,v2)

ans = -3 6 -3

На этом перечень допустимых математических операций с векторами исчерпывается.

Поэлементное преобразование векторов

В языке MatLAB предусмотрен ряд операций, которые преобразуют заданный вектор в другой того же размера

и типа, хотя не являются операциями с вектором как c математическим объектом. К таким операциям относят-

ся, например,

все элементарные математические функции, приведенные в разделе 1.2.4 и которые зависят от

одного аргумента. В языке MatLAB запись, например, вида

Y = sin(X), где X - некоторый известный вектор,

приводит к формированию нового вектора Y, имеющего тот же тип и размер, элементы которого равны сину-

сам соответствующих элементов вектора-аргумента X. Например:

» x = [ -2,-1,0,1,2];

» y = sin(x)

y = -0. 9093 -0. 8415 0 0. 8415 0. 9093

» z = tan(x)

z = 2. 1850 -1. 5574 0 1. 5574 -2. 1850

» v = exp(x)

v = 0. 3679 1. 0000 2. 7183 7. 389

Кроме этих операций в МаtLAB предусмотрено несколько операций поэлементного преобразования, осуществ-

ляемых с помощью знаков обычных арифметических действий. Эти операции применяются к векторам одина-

кового типа и размера. Результатом их является вектор того же типа и размера.

Добавление (отнимание) числа к (из) каждому элементу вектора. Осуществляется с помощью зна-

ка

(–).

Поэлементное умножение векторов. Проводится с помощью совокупности знаков «

», которая

записывается между именами перемножаемых векторов. В результате получается вектор, каждый

элемент которого является произведением соответствующих элементов векторов - "сомножителей".

Поэлементное деление векторов. Осуществляется с помощью совокупности знаков « ./ ». Результат

- вектор, каждый элемент которого является частным от деления соответствующего элемента первого

вектора на соответствующий элемент второго вектора.

Поэлементное деление векторов в обратном направлении. Осуществляется с помощью совокупно-

сти знаков «.\ ». В результате получают вектор, каждый элемент которого является частным от деле-

ния соответствующего элемента второго вектора на соответствующий элемент первого вектора.

Поэлементное возведение в степень. Осуществляется с помощью совокупности знаков «.^». Резуль-

тат - вектор, каждый элемент которого является соответствующим элементом первого вектора, возве-

денным в степень, величина которой равна значению соответствующего элемента второго вектора.

Примеры:

» x = [1,2,3,4,5]; y = [-2,1,4,0,5];

» disp(x + 2)

3 4 5 6 7

» disp(y - 3)

-5 -2 1 -3 2

» disp(x. *y)

-2 2 12 0 25

» disp(x. /y)

Warning: Divide by zero

-0. 5000 2. 0000 0. 7500 Inf 1. 0000

» disp(x. \y)

-2. 0000 0. 5000 1. 3333 0 1. 0000

» disp(x. ^y)

1 2 81 1 3125

Вышеуказанные операции позволяют очень просто вычислять (а затем – строить их графики) сложные матема-

тические функции, не используя при этом операторов цикла, т. е. осуществлять построение графиков в режиме

калькулятора. Для этого достаточно задать значение аргумента как арифметическую прогрессию так, как это

было показано в п. 1.3.1, а потом записать нужную функцию, используя

знаки поэлементного преобразования

векторов.

Например, пусть нужно вычислить значения функции:

xeay

sin

⋅⋅=

−

при значениях аргумента х от 0 до 10 с шагом 1. Вычисление массива значений этой функции в указанных ус-

ловиях можно осуществить с помощью лишь двух простых операторов :

» a = 3; h = 0.5; x = 0:10;

» y = a * exp(-h*x) . * sin(x)

y =

Columns 1 through 7

0 1.5311 1.0035 0.0945 -0.3073 -0.2361 -0.0417

Columns 8 through 11

0. 0595 0. 0544 0. 0137 -0. 0110

1.3.5. Поэлементное преобразование матриц

Для поэлементного преобразования матрицы пригодны все указанные ранее в п. 1.2.4 алгебраические функции.

Каждая такая функция формирует матрицу того же размера, что и заданная, каждый элемент которой вычисля-

ется как указанная функция от соответствующего элемента заданной матрицы. Кроме этого, в MatLAB опреде-

лены операции поэлементного умножения матриц одинакового размера (совокупностью знаков «.* », записы-

ваемой между именами перемножаемых матриц), поэлементного деления (совокупности « ./ » и « .\ »), поэле-

ментного возведения в степень (совокупность « .^ » ), когда каждый элемент первой матрицы возводится в

степень, равную значению соответствующего элемента второй матрицы.

Приведем несколько примеров:

» A = [1,2,3,4,5; -2, 3, 1, 4, 0]

A =

1 2 3 4 5

-2 3 1 4 0

» B = [-1,3,5,-2,1; 1,8,-3,-1,2]

B =

-1 3 5 -2 1

1 8 -3 -1 2