Ларичев О. Теория и методы принятия решений

Подождите немного. Документ загружается.

ется (неявно), что человек может делать точные количествен-

ные измерения. Это далеко не так. Например, психологические

исследования показали, что нет надежного способа количест-

венного измерения весов критериев [9]. Во-вторых, подход

MAUT требует от ЛИР «немедленного» назначения всех основ-

ных параметров, не давая ему возможности провести исследо-

вания проблемы привычным для человека методом «проб и

ошибок». Как отмечается в известной книге Д. Винтерфельда и

В.

Эдвардса [10], трудно предположить, что полезности и веро-

ятности просто находятся в головах ЛИР в ожидании, что их

извлекут оттуда.

6. Подход аналитической иерархии

Подход аналитической иерархии (Analytic Hierarchy Pro-

cess - АНР) широко известен в настоящее время. Мы можем

найти в журналах оживленные дискуссии между противниками

В п. 3 данной лекции было введено понятие различных групп

задач принятия решений. Согласно этим определениям, метод

МЛиТ наиболее целесообразен при решении задач второй группы.

Действительно, построение функции полезности осущ;ествляется

независимо от того, заданы или нет конкретные альтернативы.

Ясно,

что одни и те же диапазоны значений критериев возмож-

ны при различных альтернативах. Кроме того, диапазоны могут

быть заданы без указания реальных альтернатив, как это бывает

во второй группе задач принятия решений.

При подходе МЛиТ одни и те же усилия ЛПР по построе-

нию функции полезности могут быть затрачены при большом и

малом числе альтернатив. Не всегда такой подход является

обоснованным. В случае небольшого числа заданных альтерна-

тив (задачи первой группы) представляется разумным напра-

вить усилия ЛПР на сравнение только заданных альтернатив.

Именно такая идея лежит в основе метода АНР [11].

Основные этапы подхода АНР

Постановка задачи, решаемой с помощью метода АНР, за-

ключается обычно в следующем.

Дано:

общая цель (или цели) решения задачи; критерии

оценки альтернатив; альтернативы.

101

Требуется: выбрать наилучшую альтернативу.

Подход АНР состоит

из

совокупности этапов.

Первый этап заключается

структуризации задачи

в ви-

де иерархической структуры

несколькими уровнями: цели

критерии—альтернативы.

На

втором этапе

ЛПР

выполняет попарные сравнения

элементов каждого уровня. Результаты сравнений переводятся

в числа.

Вычисляются коэффициенты важности

для

элементов

каждого уровня.

При

этом проверяется согласованность сужде-

ний ЛПР.

Подсчитывается количественный индикатор качества

ка-

ждой

из

альтернатив

определяется наилучшая альтернатива.

Рассмотрим

эти

этапы подробнее применительно

основно-

му методу

АНР,

разработанному Т.Саати

[11],

используя

для

иллюстрации приведенный выше пример выбора площадки

для

строительства аэропорта.

Структуризация

Предположим,

что

комиссия

по

выбору места постройки

аэ-

ропорта предварительно отобрала

из

нескольких возможных

три варианта:

А, В, К.

Тогда структура решаемой задачи может

быть представлена

виде, показанном

на

рис.

27.

Цели

Критерии

Цель строительства аэропорта

прием

отправка большого числа

пассажиров

Стоимость

строительства

Время

пути

от

аэропорта

до

центра

города

Количество людей,

подвергающихся

шумовым воздействием

Альтернативы

Площадка

Рис.

27. Иерархическая схема проблемы выбора места для аэропората

102

6.3. Попарные сравнения

При попарных сравнениях в распоряжение ЛПР дается

шкала словесных определений уровня важности, причем каж-

дому определению ставится в соответствие число (табл. 8).

Таблица 8

Шкала относительной важности

Уровень важности

Равная важность

Умеренное превосходство

Существенное или сильное

превосходство

Значительное (большое)

превосходство

Очень большое превосходство

Количественное

значение

При сравнении элементов, принадлежащих одному уровню

иерархии, ЛПР выражает свое мнение, используя одно из при-

веденных в табл. 8 определений. В матрицу сравнения заносит-

ся соответствующее число. Матрица сравнений критериев выбо-

ра площадки для аэропорта приведена в табл. 9. Матрица соот-

Таблица 9

Матрица сравнений для критериев

Критерии

Ci Стоимость

Сг Время в пути до

центра города

Сз Количество лю-

дей, подвергаю-

щихся шумо-

вым воздейст-

виям

Стоимость

1/5

1/3

Сг

Время в пути

до центра

города

1/3

Сз

Количество

людей, под-

вергающихся

шумовым воз-

действиям

Собст-

венный

вектор

2,47

0,848

0,48

103

ветствует следующим предпочтениям гипотетического ЛПР:

критерий «Стоимость» существенно превосходит критерий

«Время в пути» и умеренно превосходит критерий «Количество

людей, подвергающихся шумовым воздействиям»; критерий Сг

умеренно превосходит критерий Сз-

На нижнем уровне иерархической схемы сравниваются за-

данные альтернативы (конкретные площадки) по каждому кри-

терию отдельно. Приведем эти сравнения в табл. 10.

Таблица 10

Относительная важность альтернатив

по

отдельным

критериям

По критерию Ci (Стоимость)

Альтернатива

1/7

1/3

Собствен-

ный

вектор

2,76

0,755

0,48

Вес

0,69

0,19

0,12

По критерию Сг (Время в пути до центра города)

1/7

1/3

1/5

0,31

2,76

1,18

0,07

0,65

0,28

По критерию Сз (Количество людей, подвергающихся

шумовым воздействиям)

1/5

2,93

0,34

0,68

0,09

0,23

6.4. Вычисление коэффициентов важности

Таблицы 9 и 10 позволяют рассчитать коэффициенты важ-

ности соответствующих элементов иерархического уровня. Для

этого нужно вычислить собственные векторы матрицы, а за-

тем пронормировать их. Формула для этих вычислений: из-

влекается корень п-й степени (п

—

размерность матрицы срав-

нений) из произведений элементов каждой строки.

Так, из табл. 9 определяются коэффициенты важности кри-

териев. В последнем столбце таблицы приведены значения соб-

ственных векторов. Нормирование этих чисел дает: wi=0,65;

W2=0,22; W3=0,13, где Wi - вес i-го критерия.

104

Таким же способом на основе табл. 10 можно рассчитать

важность каждой из площадок по каждому из критериев. В

таблице приведены веса соответствующей площадки по каждо-

му из критериев.

В книге Т. Саати (автора метода АНР) дается способ про-

верки согласованности суждений ЛПР при заполнении каждой

из матриц - путем сравнения со случайно заполненной матри-

цей. Ясно, что при сравнительно небольших ошибках ЛПР ус-

ловие согласованности выполняется.

6.5. Определение наилучшей альтернативы

Синтез полученных коэффициентов важности осуществля-

ется по формуле

s.=i:w,v,'

где S

—

показатель качества j-й альтернативы; Wi— вес i-ro

критерия; Vji— важность j-й альтернативы по i-му критерию.

Для трех площадок проведенные вычисления позволяют

определить:

SA=

0,65 ® 0,69 + 0,22 ® 0,07 + 0,13 ® 0,68 = 0,552;

= 0,65 ® 0,19 + 0,22 ® 0,65 + 0,13 <8) 0,09 = 0,278;

SK= 0,65 ® 0,12 + 0,22 ® 0,28 + 0,13 ® 0,23 = 0,17.

Итак, альтернатива А оказалась лучшей.

6.6. Общая характеристика подхода АНР

Достоинством метода АНР, привлекающим внимание мно-

гих пользователей, является направленность на сравнение ре-

альных альтернатив.

Отметим, что метод АНР может применяться и в тех случа-

ях, когда эксперты (или ЛПР) не могут дать абсолютные оцен-

ки альтернатив по критериям, а пользуются более слабыми

сравнительными измерениями. Метод АНР позволяет решить

ряд практических задач [11].

Недостатки метода АНР неоднократно обсуждались в

статьях различных авторов. Среди них наиболее существенны-

ми являются два. Прежде всего введение новой, недомини-

рующей альтернативы может в общем случае привести к изме-

нению предпочтений между двумя ранее заданными альтерна-

тивами (rank reversals) [12]. Весьма существенной проблемой

105

является, на наш взгляд, необоснованный переход к числам

при проведении измерений, оторванность метода объединения

оценок от предпочтений ЛПР.

Дальнейшее развитие подход АНР получил в виде методов

мультипликативной аналитической иерархии [13] и метода

MACBETH [14].

7. Методы ELECTRE ранжирования

многокритериальных альтернатив

В конце 60-х годов группа французских ученых во главе с

проф.

Б. Руа предложила подход к попарному сравнению мно-

гокритериальных альтернатив, не основанный на теории полез-

ности. В отличие от MAUT оценка каждой альтернативы явля-

ется не абсолютной, а относительной (по сравнению с другой

альтернативой). Так возник метод ELECTRE (ELimination Et

Choix Traduisant la Realite

—

исключение и выбор, отражающие

реальность). В настоящее время разработан ряд методов семей-

ства ELECTRE [15].

Методы ELECTRE направлены на решение задач с уже за-

данными многокритериальными альтернативами. Следователь-

но,

они принадлежат к методам первой группы согласно приве-

денной выше классификации. В отличие от метода АНР в мето-

дах ELECTRE не определяется количественно показатель каче-

ства каждой из альтернатив, а устанавливается лишь условие

превосходства одной альтернативы над другой.

Постановка задачи обычно имеет следующий вид:

Дано:

N критериев со шкалами оценок (обычно количест-

венные), веса критериев (обычно целые числа), альтернативы с

оценками по критериям.

Требуется: выделить группу лучших альтернатив.

Основные этапы методов ELECTRE

На основании заданных оценок двух альтернатив под-

считываются значения двух индексов: согласия и несогласия.

Эти индексы определяют согласие и несогласие с гипотезой, что

альтернатива А превосходит альтернативу В.

Задаются уровни согласия и несогласия, с которыми

сравниваются подсчитанные индексы для каждой пары альтер-

натив. Если индекс согласия выше заданного уровня, а индекс

несогласия

—

ниже, то одна из альтернатив превосходит дру-

гую.

В противном случае альтернативы несравнимы.

106

Из множества альтернатив удаляются доминируемые.

Оставшиеся образуют первое ядро. Альтернативы, входящие в

ядро,

могут быть либо эквивалентными либо несравнимыми.

Вводятся более «слабые» значения уровней согласия и

несогласия (меньший по значению уровень согласия и больший

уровень несогласия), при которых вьщеляются ядра с меньшим

количеством альтернатив.

В последнее ядро входят наилучшие альтернативы. По-

следовательность ядер определяет упорядоченность альтернатив

по качеству.

Рассмотрим эти этапы подробнее, используя в качестве ил-

люстрации все тот же пример выбора площадки для постройки

аэропорта.

7 2. Индексы согласия и несогласия

В различных методах семейства ELECTRE индексы согла-

сия и несогласия строятся по-разному. Основные идеи построе-

ния этих индексов далее будут показаны на примере метода

ELECTRE 1.

Каждому из N критериев ставится в соответствие целое

число р, характеризующее важность критерия. Б. Руа предло-

жил рассматривать р как «число голосов» членов жюри, голо-

сующих за важность данного критерия.

Выдвигается гипотеза о превосходстве альтернативы А над

альтернативой В. Множество I, состоящее из N критериев, раз-

бивается на три подмножества:

I — подмножество критериев, по которым А предпочти-

тельнее В;

- подмножество критериев, по которым А равноценно В;

I — подмножество критериев, по которым В предпочти-

тельнее А.

Далее формулируется индекс согласия с гипотезой о пре-

восходстве А над В. (В других методах семейства ELECTRE ис-

пользуются индексы сильного и слабого превосходства.)

Индекс согласия подсчитывается на основе весов критери-

ев.

Так, в методе ELECTRE1 этот индекс определяется как от-

ношение суммы весов критериев подмножеств 1^ и 1~ к общей

сумме весов:

с =

lelM

107

Индекс несогласия

(1АВ

гипотезой о превосходстве А над В

определяется на основе самого «противоречивого» критерия

—

критерия, по которому В в наибольшей степени превосходит А.

Чтобы учесть возможную разницу длин шкал критериев,

разность оценок В и А относят к длине наибольшей шкалы:

/в'

/л

d-B =max ,.

где /д,/в ~ оценки альтернатив А и В по i- му критерию; Ц

—

длина шкалы i-ro критерия.

Укажем очевидные свойства индекса согласия:

1)0<САВ<1;

2) Сдв =1> если подмножество I пусто;

3) Сдв сохраняет значение при замене одного критерия на

несколько с тем же общим весом.

Приведем свойства индекса несогласия:

1) 0<dAB< 1;

2) dAB сохраняет значение при введении более детальной

шкалы по i-му критерию при той же ее длине.

Введенные индексы используются при построении матриц

индексов согласия и несогласия для заданных альтернатив.

Предположим, что в задаче выбора места для строительства

аэропорта заданы альтернативы:

А ($180 млн, 70 мин., 10 тыс.); С ($160 млн, 55 мин., 20 тыс);

В ($170 млн, 40 мин., 15 тыс.); D ($150 млн, 50 мин.,25 тыс.).

Пусть веса критериев равны: Wi = 3; W2 = 2; \Уз = 1. Сохра-

ним те же длины шкал: Li = 100; L2 = 50; L3 = 45.

Матрица индексов согласия приведена как табл. 11, а мат-

рица индексов несогласия

—

как табл. 12.

Таблица 1 1 Таблица12

Значения индексов согласия Значения индексов несогласия

для примера для примера

5/6

1/6

3/6

1/6

3/6

5/6

1/6

3/6

1/6

0,11

0,22

0,33

0,6

0,3

0,22

0,3

0,1

0,11

0,4

0,2

0,1

108

7 3 Бинарные отношения. Выделение ядер

В методе ELECTRE 1 бинарное отношение превосходства

задается уровнями согласия и несогласия. Если Сдв ^ Ci и

(1АВ

<di,

где Сь di

—

заданные уровни согласия и несогласия, то аль-

тернатива А объявляется лучшей по сравнению с альтернативой

В.

Если же при этих уровнях сравнить альтернативы не уда-

лось,

то они объявляются несравнимыми.

С методологической точки зрения введение понятия несрав-

нимости было важным этапом развития теории принятия реше-

ний. Если оценки альтернатив в значительной степени противо-

речивы (по одним критериям одна намного лучше другой, а по

другим

—

наоборот), то такие противоречия никак не компенси-

руются и такие альтернативы сравнивать нельзя. Понятие не-

сравнимости исключительно важно и с практической точки зре-

ния. Оно позволяет выявить альтернативы с «контрастными»

оценками,как заслуживающие специального изучения.

Похожие идеи используются и в других методах семейства

ELECTRE.

Важно подчеркнуть, что уровни коэффициентов согласия и

несогласия, при которых альтернативы сравнимы, представляют

собой инструмент анализа в руках ЛПР и консультанта. Задавая

эти уровни, постепенно понижая требуемый уровень коэффици-

ента согласия и повышая требуемый уровень коэффициента несо-

гласия, они исследуют имеющееся множество альтернатив.

При заданных уровнях на множестве альтернатив выделя-

ется ядро неДоминируемых элементов, которые находятся либо

в отношении несравнимости, либо в отношении эквивалентно-

сти.

При изменении уровней из данного ядра выделяется

меньшее ядро и т. д. Аналитик предлагает ЛПР целую серию

возможных решений проблемы в виде различных ядер. В ко-

нечном итоге можно получить одну лучшую альтерйативу.

При этом значения индексов согласия и несогласия характери-

зуют степень «насилия» над данными, при которых делается

окончательный вывод.

Р Обратимся к нашему при-

меру. Зададим первые уровни

согласия и несогласия: ci > 5/6

и di

<0,11.

Отношения между

альтернативами представлены

Рис.

28. Выделение первого ядра jj^ рис. 28.

109

в первое ядро входят альтернативы В и С, исключаются аль-

тернативы А и D, что легко устанавливается с помощью табл. 10

и 11. Альтернативы В и С, входящие в ядро, несравнимы при

введенных уровнях Ci и di (согласия и несогласия). Их оценки

противоречивы: альтернатива С превосходит альтернативу В по

первому критерию, но существенно уступает по двум другим

критериям. Изменим уровни согласия и несогласия:

Сг

> 0,5; d2 <

< 0,2. Легко убедиться, что при введенных уровнях альтернатива В

оказывается наилучшей из четырех альтернатив.

7.4. Общая характеристика подхода

Важным достоинством методов ELECTRE является поэтап-

ность выявления предпочтений ЛПР в процессе назначения

уровней согласия и несогласия и изучения ядер. Детальный

анализ позволяет ЛПР сформировать свои предпочтения, опре-

делить компромиссы между критериями. Использование отно-

шения несравнимости позволяет выделить пары альтернатив с

противоречивыми оценками, остановиться на ядре, выделение

которого достаточно обоснованно с точки зрения имеющейся

информации. Трудности при применении методов ELECTRE

связаны с назначением ЛПР весов. В ряде случаев при выделе-

нии ядер могут возникать циклы.

8. Системы поддержки принятия решений

Каждый из представленных выше подходов - MAUT, АИР,

ELECTRE

—

реализован в виде компьютерных систем поддерж-

ки принятия решений, которые широко рекламируются и име-

ются в продаже. Существует несколько систем, основанных на

MAUT: Logical Decisions [16], DECAID [17]. Подход АНР реали-

зован в виде систем EXPERT CHOICE, MACBETH [14],

REMBRANDT [18]. Существует несколько компьютерных сис-

тем, реализующих методы из семейства ELECTRE [19]. В

[4,

11, 15] описаны многочисленные применения методов

MAUT, АНР и ELECTRE.

Выводы

1 Существуют две группы задач принятия решений В задачах

первой группы осуществляется анализ заданных альтернатив В

задачах второй группы находится решающее правило, позво-

ляющее оценить любые альтернативы. Разработаны многокри-

110