Лапин П.А. Решение задач по высшей математике. 1 семестр. Кривые и поверхности второго порядка. Линейные неоднородные системы уравнений
Подождите немного. Документ загружается.
І семестр
Санкт-Петербург
2003
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
1
Министерство общего и профессионального образования
Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный институт
точной механики и оптики
(технический университет)
Кафедра высшей математики
ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
1 семестр
Методические указания и задачи для студентов
Под общей редакцией профессора И.А.Лапина
Издано на средства фонда ИТМО
Санкт-Петербург
2003
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
2
УДК 517.0(075.8)
Типовые расчеты по высшей математике.
1 семестр\Методические указания и задачи для студентов.-
СПб: ИТМО, 2003.-49 с.
Составители : Н.А. Бодрова, В.В. Войницкая,
С.Ю. Гарнаев, С.Н. Кузнецова, И.А. Лапин, С.В. Петрас,
Л.С. Ратафьева, Т.В. Родина, А.Е. Рыжков, Н.П. Стреляева,
И.А. Суслина, В.Ю. Тертычный, В.М. Фролов,
Ю.В. Экало, Д.А.Зубок.
Под общей редакцией профессора И.А.Лапина.
Рецензенты : доктор физ.-мат. наук проф. C.А. Козлов,
канд. физ.-мат. наук доц. К.К.Боярский
Одобрено на заседании кафедры 11 июня 2003 г.,
протокол № 5.
Одобрено на заседании методической комиссии ЕНФ
17 июня 2003 г., протокол № 7.
© Санкт-Петербургский государственный
институт точной механики и оптики
(технический университет),2003
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
3
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ “КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ" 5
1. ВЫПОЛНЕНИЕ ПЕРВОГО ЗАДАНИЯ ТРЕБУЕТ ЗНАНИЯ КАНОНИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА И УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ ЛИНИИ
НА ПЛОСКОСТИ. 5
Задача 1. Составить уравнение эллипса по фокусам эллипса и точке.
5
Решение.
5
II. ВО ВТОРОМ ЗАДАНИИ ТРЕБУЕТСЯ ПРИВЕСТИ К КАНОНИЧЕСКОМУ
ВИДУ УРАВНЕНИЕ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ВЫПОЛНИВ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО ПОВОРОТ, А ЗАТЕМ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ. 7
Задача 2. Дано уравнение кривой второго порядка
2 2
5 4 8 52 64 164 0
+ + − − + =
x xy y x y
. Выполнив поворот и параллельный
перенос координатных осей, получить каноническое уравнение кривой и построить
ее в исходной системе координат.
7
Решение.
7
III. ВЫПОЛНЕНИЕ ТРЕТЬЕГО ЗАДАНИЯ ПРЕДПОЛАГАЕТ ЗНАНИЕ
УРАВНЕНИЙ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ И УРАВНЕНИЙ
ПЛОСКОСТИ. 9
Задача 3. Провести плоскость через перпендикуляры из точки
5 2 1
−
( ; ; )
A
к
плоскостям
2 3 23 0
− + + =
x y z
и
2 2 8 0
+ + − =
x y z
. Найти расстояние от
основания первого перпендикуляра до второй плоскости.
9
Решение.
9
IV. ЧЕТВЕРТОЕ ЗАДАНИЕ ПРЕДЛАГАЕТ ИЗОБРАЗИТЬ ТЕЛО,
ОГРАНИЧЕННОЕ ЗАДАННЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА И
ПЛОСКОСТЯМИ. 11
Задача 4. Нарисовать тело, ограниченное указанными поверхностями. Указать тип
поверхностей, ограничивающих данное тело:
2 2 2 2 2 2
4 0 4 4 6+ = ≤ ≤ =− − − = − +( ), ,
x y y y x z y x z
.
11
Решение.
11
V. В ПЯТОМ ЗАДАНИИ ТРЕБУЕТСЯ РЕШИТЬ ЛИНЕЙНУЮ НЕОДНОРОДНУЮ
СИСТЕМУ. 13
Задача 5. Решить линейную неоднородную систему:
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
2 3 0
2 2 2
14
2 3 2 4 2 14
− + − + =
+ − + − =
− + − + =
− + − + =
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
13
Решение.
13
VI. ЗАДАЧИ ШЕСТОГО ТИПА, ГДЕ ПРЕДЛАГАЕТСЯ ПРИВЕСТИ К
КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
С ПОМОЩЬЮ ТЕОРИИ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ. 16
Задача 6. Привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
2
2 3 0
− =
xz y
с помощью теории квадратичных форм. Сделать рисунок.
19
Решение.
19
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
4
Общие рекомендации
Студенты первого курса дневного отделения обязаны выполнить
четыре типовых расчета: два в первом и два во втором семестре.
Номера задач указываются преподавателем, ведущим практические
занятия в группе. Каждый типовой расчет следует выполнить в
отдельной тетради, чертежи и рисунки необходимо исполнить на
миллиметровке, подклеить затем их в тетрадь и снабдить
необходимыми подписями и обозначениями. При решении задач
необходимо делать достаточно подробные пояснения. Выполненная
работа сдается на проверку преподавателю, который в случае
необходимости может потребовать от студента устные пояснения к
выполненной работе, то есть защитить типовой расчет.
К типовому расчету даются краткие методические указания,
принимая которые во внимание и пользуясь указанной литературой,
студент может приступить к выполнению типового расчета, не
дожидаясь, когда необходимый материал будет изложен на лекции.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
5
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ
“КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ"
Методические указания
Типовой расчет содержит 6 заданий.
1. Выполнение первого задания требует знания
канонических уравнений кривых второго порядка и
уравнения прямой линии на плоскости.
Решим типовую задачу.
Задача 1. Составить уравнение эллипса по фокусам эллипса и
точке.
Фокусы эллипса совпадают с фокусами гиперболы
2 2
1
9 4
− =
x y
.
Эллипс проходит через точку
2 1 5
−
( ; , )
M
.
Составить уравнение этого эллипса.
Решение.
Обозначим через
1
a
и
1
b
полуоси данной гиперболы,
через
a
и
b
- полуоси искомого эллипса.
Имеем
2 2
1 1
9 4
,a b
= =
,
Откуда
2 2 2
1 1 1
13
= + =
c a b
.
Так как фокусы эллипса совпадают с фокусами данной гиперболы,
то и для эллипса
2
2
1
13
= =
c c
.
Уравнение эллипса ищем в виде
2 2
2 2
1
+ =
x y
a b
.
Так как точка
2 1 5
−
( ; , )
M
принадлежит эллипсу,
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
6
то ее координаты удовлетворяют уравнению эллипса и, кроме того,
выполнено соотношение
2 2
13
− =
a b
.
Таким образом, для определения
a
и
b
имеем систему:
2 2
2 2
2 2
2 1 5
1
13
−
+ =
− =
( ) ( , )
;
.
a b
a b
Обозначив
2
0
( )
b t t
= >
и
2
13
= +
a t
,
Получим
2
4 9
1 13
13 4
, .
a t
t t
+ = = +
+
Решая, находим
2 2
3 16
,t b a
= = =
(рис.1).
Рис.1
Ответ:
2 2
1
16 3
+ =
x y
.
y
x
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
7
II. Во втором задании требуется привести к
каноническому виду уравнение кривой второго порядка,
выполнив последовательно поворот, а затем
параллельный перенос координатных осей.
Задача 2.
Дано уравнение кривой второго порядка
2 2
5 4 8 52 64 164 0
+ + − − + =
x xy y x y
.
Выполнив поворот и параллельный перенос координатных
осей, получить каноническое уравнение кривой и построить ее
в исходной системе координат.
Решение.
Выполняем поворот осей по формулам
1 1
α α
= −
cos sin
x x y
;
1 1
α α
= +
sin cos
y x y
.
Подставим эти выражения для
x
и
y
в исходное уравнение
и выделим коэффициент при
1 1
x y
:
2
2
1
5
α
( cos
x
2
2 2 2 2
1
1 1 1 1 1
2 4
α α α α α α α
− + + + − −
cos sin sin ) ( cos sin (cos sin )
x y y x x y
2 2 2
2 2
1 1 1 1 1
8 2
α α α α α α
− + + + −
sin cos ) ( sin sin cos cos )
y x x y y
1 1
52
α α
− − −
( cos sin )
x y
1 1
64 164 0
α α
+ + =
( sin cos )x y
Приравняв нулю коэффициент при
1 1
x y
, получаем:
10
cos sin
α α
−
2 2
4 4 16 0
α α α α
+ − + =
cos sin sin cos
,
откуда
1 2
2 1 2
( ) ;( ) /
tg tg
α α
= = −
.
Зная
α
tg
, можно найти
α
sin
и
α
cos
по формулам тригонометрии:
2 2
1
1 1
sin ;cos .
tg
tg tg
α
α α
α α
=± = ±
+ +
Если угол поворота
α
условиться считать острым, то в этих формулах
надо брать знак плюс, и для
α
tg
надо взять также положительное
решение.
Выберем, например, угол поворота
2
α α
=
:
tg
,
найдем
1 2
5 5
cos ;sin
α α
= =
,
1
( )
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
8
подставим их в (1).
После вычисления коэффициентов получим уравнение:
2 2
1 1
9 4
+ −
x y
1 1
36 5 8 5 164 0
x y
+ + =
.
В полученном уравнении выделим полные квадраты двучленов
1 0
+
x x
и
1 0
+
y y
:
2 2
1 1
9 2 5 4 5 36 0
( ) ( )x y
− + + − =
.
Выполнив параллельный перенос
по формулам
1
2 5
− =
x X
,
1
5
+ =
y Y
,
получим в системе
/
XO Y
уравнение кривой
2 2
1
4 9
+ =
x y
:
это эллипс с полуосями 2 и 3 соответственно (рис.2).
Рис. 2
Y
1
y
X
1
x
y
x
/
O
O
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
9
III. Выполнение третьего задания предполагает знание
уравнений прямой на плоскости и в пространстве и
уравнений плоскости.
Решим типовую задачу.
Задача 3.
Провести плоскость через перпендикуляры из точки
5 2 1
−
( ; ; )
A
к
плоскостям
2 3 23 0
− + + =
x y z
и
2 2 8 0
+ + − =
x y z
.
Найти расстояние от основания первого перпендикуляра до
второй плоскости.
Решение.
1. Обозначим через
1
α
первую плоскость
2 3
− +
x y z
23 0
+ =
,
а через
2
α
- вторую плоскость
2 2 8 0
+ + − =
x y z
.
Очевидно, что в качестве нормального вектора
uur
N
искомой плоскости
можно взять векторное произведение нормальных векторов
{
}
1
2 1 3
= −
; ;
ur
n
и
{
}
2
2 2 1
=
; ;
ur
n
данных плоскостей
1
α
и
2
α
:
1 2
2 1 3 7 4 6
2 2 1
= × = − =− + +
uur ur ur
i j k
N n n i j k
.
Теперь, используя уравнение плоскости, проходящей через данную
точку
5 2 1
−
( ; ; )
A
перпендикулярно вектору
{
}
7 4 6
= −
; ;
uur
N
,
получаем
7 5 4 2 6 1 0
− − + − + + =
( ) ( ) ( )
x y z
или
7 4 6 33 0
− + + + =
x y z
.
2. Найдем проекцию P точки
5 2 1
−
( ; ; )
A
на плоскость
1
α
.
Вектор
{
}
1
2 1 3
= −
; ;
ur
n
будет направляющим вектором перпендикуляра
AP,
то есть
{
}
1
2 1 3
= −
; ;
r
s
.
Поэтому каноническое уравнение этого перпендикуляра имеет вид
5 2 1
2 1 3
− − +
= =
−
( ) ( ) ( )
x y z
.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.